【教学设计】平行线分线段成比例的基本事实

平行线分线段成比例(续表)(续表)(续表)【学习目标】 1．知识层面(1)理解相似三角形的概念，了解相似三角形的对应元素及相似比；(2)掌握判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．能力层面(1)经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力；(2)通过相似多边形和三角形全等的条件类比，体会类比的教学思想，领会特殊与一般的关系． 【学习重难点】1．重点：掌握相似三角形的概念及判定两个三角形相似的预备定理，会运用预备定理判定两个三角形相似．2．难点：会准确的运用判定两个三角形相似的预备定理来判断两个三角形是否相似. 课前延伸 【知识梳理】1．相似多边形的性质：__对应角相等__，__对应边成比例__．2. 如图27－2－24，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝6 cm ，DB ＝3 cm ，BC ＝9.9 cm ，∠B ＝50°，则∠ADE ＝__50°__，DE ＝____ cm.图27－2－243．已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则∠ADE ＝__∠B __，∠AED ＝__∠C __，DE BC __12__． 课内探究一、课堂探究1(a问题探究，自主学习)1．问题解决：如图27－2－25，在△ABC中，D是边AB的中点，DE∥BC，DE交AC于点E，△ADE与△ABC有什么关系？图27－2－25二、课堂探究2(分组讨论，合作探究)在课堂探究1问题的基础上，改变点D在AB上的位置，先自己画图、测量验证、猜想△ADE 与△ABC是否仍相似．(1)若点D为线段AB上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？(2)若点D为AB延长线上任意一点，则△ADE与△ABC有什么关系？归纳：__平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，_所构成的三角形与原三角形相似__．几何语言：如图27－2－26，在△ABC中，∵__DE∥BC__，∴__△ADE∽△ABC__．图27－2－26三、反馈训练(可以设计成必做题与选做题两类，分层要求)1．如图27－2－27，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.图27－2－27 图27－2－282．如图27－2－28，已知在△ABC中，DE∥BC.(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．3．如图27－2－29，在△ABC中，DE∥AB，BD＝8，CD＝6，AE＝4，则CE的长为(B)A . 6B . 163C . 4D . 3图27－2－29 图27－2－304．如图27－2－30，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm, BC ＝12 cm ，求菱形的边长． 课后提升一、课后练习题(1－6为必做题，7、8为选做题)：1．如图27－2－31，AB ∥CD, AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则图中与△CEG 相似的三角形 有( B )A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个图27－2－31 图27－2－32 图27－2－33 图27－2－342．如图27－2－32，DE ∥BC ，EO ＝6，OC ＝15，则△OED ∽__△OCB __，相似比为__2∶5__． 3．如图27－2－33，已知在△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图3中相似三角形共有__6__对． 4．如图27－2－34，在▱ABCD 中，EF ∥AB ，DE ∶EA ＝2∶3，EF ＝4，求CD 的长.5．如图27－2－35，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝EC ，DB ＝1 cm ，AE ＝4 cm ，BC ＝5 cm ，求DE 的长．图27－2－35 图27－2－366．如图27－2－36，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，求BF ∶FD .word11 / 11 7．如图27－2－37，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，三角形中有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于点G ，AC ＝15，BC ＝10，求GE.图27－2－37 图27－2－388．如图27－2－38，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，R 为DE 的中点，BR 分别交AC ，CD 于点P ，Q .(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1的除外)；(2)求BP ∶PQ ∶QR .。

课题：4.2 平行线分线段成比例教学目标：1.经历平行线分线段成比例基本事实及推论的探索过程，掌握这两个定理.2.会应用定理及推论求线段的长度或证明线段间的关系.教学重、难点：重点：平行线分线段成比例定理及推论的掌握与应用.难点：熟练运用平行线分线段成比例定理及其推论进行计算.教学过程：一、创设情境，引入新课活动内容：回答下列问题.问题1.线段的比如何计算？问题2.线段AB、CD、EF、GH成比例是什么意思？问题3：教师展示绳子（1）你能快速的将这根绳子分成相等的两根吗？（2）你能快速的将它分成长度比为1:3的两根吗？（3）你能快速的将它分成长度比为2:3的两根吗？处理方式：问题1、2由学生口答完成.（教师注意学生回答问题1时对长度的叙述，回答问题2时四条线段的顺序性是否正确）.问题3由学生自告奋勇动手分一分试一试，一学生操作，其他同学进行判断.设计意图：本环节通过对线段的比及成比例线段的复习，为这节课的探究活动做铺垫.设计问题3，学生对前两种分法都很轻松，到了第3中将会产生疑问或分的不准确，提出这个问题是为了让学生感受到数学对解决生活中问题的必要性.为本节课的学习设下悬念，激发学生的学习兴趣.二、探究学习，感悟新知活动一：自主学习 自学指导：1.学习内容：课本82页全部内容.2.学习时间：约5分钟.3.学法指导：（1）小组内同学分工计算下列各组线段的比1223A A A A = ，1223B BB B = ， 1213A A A A= ，1213B B B B = ， 2313A A A A = ，2313B B B B = .（2）观察各组线段的比，你们发现了成比例线段吗？ （3）若将l 2平移后，成比例线段改变了吗？ （4）撤掉方格纸，成比例线段会改变吗？（5）由此得到了结论：两条 被 所截，所得的 成比例 . 处理方式：生分组自学，分工计算，完成导学案上的学法指导.师巡视参与小组学习，随时点拨计算中出现的问题，提示学生记住这个定理.设计意图：本环节为了适应学生自学，将课本上的问题更细化，让学生知道怎么学，学什么，从而一步一步按照指导得出定理. 活动二、自学检测1.展示导学案上的学法指导部分答案2.如图： ∵ l 1 ∥l 2 ∥ l 3 ∴ AB BC= ， ABAC = ， ABDE. = ， = .等处理方式：将一位同学导学案上的学法指导部分的答案借助实物投影投出，全体同学进行批改订正，形成结论.第二问由学生将比例写在黑板上.多名同学相互补充，感受对应线段成比例的不同表示方法.活动三、合作探究（一）1.你认为定理中的关键词是？2.在找出“对应线段”时你有什么好方法与同学们分享？处理方式：师将平行和对应线段画出来，以示本定理的关键.同时强调这是使用本定理的条件和书写比例时必须注意的问题.各小组各抒己见，说出找对应线段的技巧及比例的书写技巧.设计意图：本环节主要是深化学生对平行线分线段成比例定理的理解，预防学生在解决问题时只写比例式而忽略了平行线这个条件，再者让学生明确无论是上下比还是左右比，都必须对应.跟踪训练（一）1.如图，已知两条直线被三条平行线所截，截得的线段长度如图所示，则x= .2.如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AB=3，DE=4，EF=2，则BC= .处理方式：学生独立完成这两个习题，小组内的同学相互批改.设计意图：借助这两个小题检测学生对定理的理解，发现定理只对“平行”和“对应”有限制，而与被截直线的位置无关.同时借助于比例式，求线段的长.活动四、合作探究（二）提出问题：1.将直线l 5向左平移，使其与l 4相交于A 点（如左图），则上述比例还成立吗？ 2. 将直线l 5继续向左平移，使其与l 4相交于B 点（如右图），则上述比例还成立吗？3.平行线分线段成比例定理与两直线的位置有关系吗？4.（擦掉多余直线），观察这两个图形，上述比例式还成立吗？你发现了什么？5.推论： 三角形一边的直线与其它两边相交， .6. ∵ ，∴ .处理方式：学生分组讨论，完成自学提出的问题.师参与学生的讨论，并给出适当的点拨.学生在讨论时指出对应线段，各小组派代表将符号语言板书在黑板上.三、例题解析，应用新知例：如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC . （1）如果AE =7，EB =5，FC =4，那么AF 的长是多少？ （2）如果AB =10，AE =6，AF =5，那么FC 的长是多少？ 处理方式：生思考2分钟，然后试着写出求解过程，生主动去黑板上板演，小组内的其他同学主动订正，最后师进行评价，给出规范的板书.设计意图：通过本题的解答，让学生感悟到平行线分线段成比例定理的推论的应用，选择恰当的比例式，并以此为例，给出规范书写.跟踪训练（二）（1）如果AD=15，AB=40，AC=28，那么AE= .（2）如果AB=5，AD=3，AC=4，那么EC= .处理方式：两生板演，生分组训练，互相批改.教师及时表扬鼓励.设计意图：学生已经对例题学习完毕，是否会根据条件和结论写出合适的比例对学生来说是个挑战，教师也借这两题看看学生对定理的灵活应用情况，及时获得反馈信息，解决学生学习中的问题.四、拓展应用，答疑解惑提出问题：现在你能解决将绳子分为2:3两根这个问题吗？处理方式：生分组讨论，师巡视，参与小组讨论，倾听他们的见解，并给与启发性点拨，搜集不同小组的不同答案，待会进行展示.设计意图：解决课堂开始时的疑问，感受数学在生活中的应用，并会设计n等分线段的方法.五、回顾反思，提炼升华“学而不思则罔”，本节课你有哪些收获和疑问，谈谈你的看法.处理方式：鼓励学生大胆回答畅谈，说出自己所学到的知识及解题技巧和问题解决中的突破口，让全体同学在知识上，方法上，技巧上均有收获.设计意图：通过学生总结收获，对本节课的学习内容强化记忆，在解题中形成技巧.六、达标检测，反馈提高A组：如图，已知直线l1∥l2∥l3，（1）在图（1）中，AB=5，BC=7，EF=4，那么DE= .（2）在图（2）中，DE =6，AB =5，EF =7，那么AC = .（1） （2）考查知识点：平行线分线段成比例定理的基本应用 2.如图，已知DE ∥BC ，如果AB =10，AD =6，AE =5，那么EC = .考查知识点：平行线分线段成比例定理的推论 B 组：如图，已知在△ABC 中，点E 、D 、F 分别在AB 、AC 和BC 上，DE ∥BC ，DF ∥AB ，试判断成AE BFEB FC立吗？ 考查知识点：平行线分线段成比例定理的应用及转化 处理方式：学生独立完成，然后教师将一生的答案投出来，同学们积极发表见解，进行批改订正.设计意图：通过这三个小题，检测学生对本节课的学习情况，及时反馈，查缺补漏.板书设计。

27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1.方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，直线l4、l5交于点O，且l1∥l2∥l3，已知EF∶DF＝5∶8，AC＝24.(1)求CBAB的值；(2)求AB的长．解析：(1)根据l1∥l2∥l3推出CBAB＝EFDE；(2)根据l1∥l2∥l3，推出EFDF＝BCAC＝58，代入AC＝24求出BC即可求出AB.解：(1)∵l1∥l2∥l3，∴CBAB＝EFDE.又∵DF∶DF＝5∶8，∴EF∶DE＝5∶3，∴CBAB＝53；(2)∵l1∥l2∥l3，EF∶DF＝5∶8，AC＝24，∴EFDF＝BCAC＝58，∴BC＝15，∴AB＝AC－BC＝24－15＝9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝5，AC＝5，求AE的长．解析：根据DE∥BC得到ADAB＝AEAC，然后根据比例的性质可计算出AE的长．解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题探究点三：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD 推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF.又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5. 方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。

平行线分线段成比例教学设计教学设计一：平行线分线段成比例的概念与性质教学内容分析：平行线分线段成比例是几何学中一个基本的概念，也是平行线的重要性质之一、通过学习平行线分线段成比例的概念和性质，可以帮助学生更好地理解和应用平行线的性质，解决有关平行线的问题。

教学设计旨在通过引入具体的实例和实践活动，帮助学生深入理解平行线分线段成比例的概念和性质。

教学目标：1.理解平行线分线段成比例的概念。

2.掌握平行线分线段成比例的性质。

3.能够应用平行线分线段成比例的性质解决实际问题。

教学重点：1.平行线分线段成比例的概念。

2.平行线分线段成比例的基本性质。

教学难点：1.平行线分线段成比例的应用。

2.解决实际问题时的思考和分析能力。

教学过程：Step 1 引入问题教师出示一副图形，图中有两条平行线和一条横穿两条平行线的线段。

教师问学生，如何找到这条线段与平行线的关系？是否存在特殊性质？引发学生对平行线分线段成比例的思考。

Step 2 探究性学习教师让学生以小组为单位进行探究性学习，通过观察、实验和讨论找到平行线分线段成比例的性质。

每个小组拿到一份实验材料，包括两张图纸，其中一张上有平行线和线段，另一张只有平行线。

要求学生在两张图纸上进行实验观察，并记录下各自的发现与疑惑。

Step 3 总结概念和性质教师和学生共同讨论实验结果，并总结出平行线分线段成比例的概念和性质。

教师提醒学生将发现的规律以几何性质的方式进行表达。

Step 4 练习巩固教师组织学生进行一些针对概念和性质的基本练习，包括绘制平行线和分线段、推断和验证平行线分线段成比例的性质等。

Step 5 应用拓展教师出示一些实际生活中的问题，要求学生运用平行线分线段成比例的性质解决问题。

问题可以涉及到房屋设计、地图测量等实际场景。

Step 6 制作教学展板学生根据所学内容制作展板，展示平行线分线段成比例的概念、性质和应用。

教学设计二：探究平行线分线段成比例的证明教学内容分析：在上一个教学设计中，学生已经通过实验和观察得出了平行线分线段成比例的性质，这一教学设计旨在让学生通过探究，自己发现并证明这一性质。

27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例《相似三角形的判定》是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的，是本章的重点内容．本课时首先利用“如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似．”引出两个三角形相似的定义(即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似)，然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法．接下来教材编写者通过一个“探究”，由学生动手测量来探究得到平行线分线段成比例的基本事实(三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等)，继而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础．【置疑导入】(1)如图，一组等距离的平行线截直线AC 所得到的线段相等，那么在直线A ′C ′上所截得的线段有什么关系呢？(2)若AB BC ＝23，猜想A ′B ′B ′C ′的值是多少．【说明与建议】 说明：让学生通过试验来体会“如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等”的数学事实，以此来为平行线分线段成比例的基本事实做铺垫．通过生活中的一个实例激发学生探究知识的欲望．建议：用印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做试验：(1)画一条与这组平行线垂直的直线l 1，则直线l 1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？(2)任意画一条与这组平行线相交的直线l 2，量一量直线l 2被这组平行线截得的线段是否相等．【类比导入】(1)如果两个三角形的形状和大小都相同，那么这两个三角形是全等三角形．(2)如果两个多边形的边数相同，它们的角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形是相似多边形．(3)类比全等三角形和相似多边形的定义，你能说出什么叫相似三角形吗？如何表示相似三角形呢？又如何判定两个三角形相似呢？【说明与建议】 说明：通过对全等三角形的定义和判定方法的回顾，加强新旧知识的联系和延伸，类比旧知识的学习方法、数学思想来学习新知识．建议：让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：(1)对顶角一定是对应角．(2)公共角一定是对应角．(3)最大角或最小角一定是对应角．(4)对应角所对的边一定是对应边．(5)对应边所对的角一定是对应角．(6)对应边所夹的角一定是对应角．命题角度1 利用平行线分线段成比例的基本事实及推论进行计算或推理 1．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式中错误的是(D)A.AC CE ＝BDDFB.AC AE ＝BDBFC.CE AE ＝DFBFD.AE CE ＝BD BF命题角度2 多次应用平行线分线段成比例的相关结论进行计算或推理2．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 边上，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列式子一定正确的是(B)A.AD DB ＝DEBCB.AD DB ＝BFFCC.AD DB ＝FC BFD.AD DB ＝FC BC命题角度3 利用三角形相似的预备定理判定相似三角形 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD AB ＝35，则AECE的值为(C)A ．3B.23C.32D.534．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.(1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长；(2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长．解：(1)AD的长是8.(2)CD的长是10.5.课题27.2.1 第1课时平行线分线段成比例授课人素养目标1.了解相似比的定义．2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似．3．会用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题.4．通过探索平行线分线段成比例这个基本事实的过程，进一步熟悉由特殊到一般的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，锻炼识图能力和推理论证能力．教学重点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的理解.教学难点平行线分线段成比例的基本事实及其推论的灵活应用，平行线分线段成比例的基本事实的变形. 授课类型新授课课时教学步骤师生活动设计意图回顾问题1：根据所学相似多边形的知识，你能给出相似三角形的定义吗？问题2：如果相似比为1，那么这两个三角形有什么关系？问题3：判定三角形全等，我们并不是验证六个条件，而是利用了几个简便的判定定理，那么判定三角形相似我们又能找到哪些简便的方法呢？问题1引导学生回顾旧知得出相似三角形的定义及写法．问题2、3让学生理解全等是相似的特殊情况，类比三角形全等的判定方法为我们探索三角形相似的判定方法提供方向指导.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】问题：如图，一组等距离的平行线截直线a所得到的线段相等，那么在直线b上所截得的线段有什么关系呢？引导学生回答问题后，教师做如下总结：一组等距离的平行线在直线a上所截得的线段相等，那么在直线b上所截得的线段也相等．以上结论是平行线等分线段的基本事实，讨论的是平行线截得线段相等的情况，如果截得的线段不相等呢？通过展示问题，由浅入深，循序渐进，为学习新知做铺垫.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．探究平行线分线段成比例的基本事实教师提出问题，学生讨论问题：图1如图1，三条平行直线l1，l2，l3在直线AE上截得的线段AC，CE的长度之间存在着什么关系呢？同样在直线BF上截得的线段BD，DF的长度之间存在着什么关系呢？教师指导学生利用刻度尺先测量线段的长度，然后寻找线段AC，CE，BD，DF之间是否存在比例关系，实际验证后可以得到如下结论：由l1∥l2∥l3，ACCE＝23，BDDF＝23，可得ACCE＝BDDF＝23.仿照上例分析，可得结论：由l1∥l2∥l3，可得ACAE＝BDBF＝23.1.本环节的主要任务是推理得出平行线分线段成比例的基本事实，其中运用了先猜想、再测量、最后论证的方法，用语言把平行线分线段成比例的基本事实进行总结，使结论的得出有一定的层次性，也使学生在认识问题、理解问题时确定教师引导学生初步总结出平行线分线段成比例的基本事实，然后师生共同进行推理论证．师生共同归纳得出基本事实，教师板书基本事实．平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．2．探究平行线分线段成比例基本事实的推论教师将图1中的某些直线进行平移变换，使其出现图2、图3所示的位置关系，对学生提出问题：图2 图3根据基本事实补全下列比例式： 由图2，得AC CE ＝BD DF ，AC AE ＝BD BF ，CE AE ＝DFBF ；由图3，得AC CE ＝BD DF ，AC AE ＝BD BF ，CE AE ＝DFBF.解答本题应关注线段之间的对应关系，列比例式时上与下的对应关系应展现在同一条直线上，同时教师应利用比例的基本性质，指导学生对比例式进行变形训练，进而总结出平行线分线段成比例的位置规律，如上下＝上下，上全＝上全，下全＝下全等． 教师对于图形作进一步变化：对于以上两个练习，只保留如图4所示的部分，那么就可以得到两个三角形对应边成比例的式子，可以得到什么结论呢？图4教师在由一般到特殊的演化过程中，将平行线分线段成比例的基本事实延伸到三角形中，当三角形中出现平行线时，使三角形的各边之间存在比例关系． 教师指导学生总结平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．了一种思想方法． 2．本环节是对平行线分线段成比例的基本事实的变式与延伸，这部分内容将在以后的学习和应用中起到重要的指导作用，所以在探究、总结、应用的过程中，一定要注意知识的重要性，要使每一个学生都有深刻的理解与记忆． 3．学生经历观察、猜想、动手实践、总结归纳、实践应用等环节，在学习知识的过程中循序渐进，符合学生的认知规律和思维模式．通过对相似三角形的基本图形的对比理解，更能加深印象.3．探究三角形相似的预备定理教师提出问题，学生组内讨论解答，教师适时指导：如图5，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作DE∥BC交AC于点E.(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？图5(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？思考：当DE∥BC时，△ADE与△ABC相似，可以用什么语言来概括呢？你能进行证明吗？总结判定三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．思考：一条直线截三角形两边延长线所得三角形与原三角形相似吗？请对比图6、图7两个图形，分析其中的联系与区别．图6 图7活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例(教材第31页练习第1题)如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，求BCCE的值．解：∵AB∥CD∥EF，∴BCCE＝ADDF.又AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴BCCE＝35.本环节所设置的例题和变式非常具有代表性，既考查了平行线分线段成比例基本事实的内容及其推论，又灵活地运用转化思想实现了运用“中间比”的性质，不仅发展了学生的思维能力，【变式训练】1．如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB AC ＝（PG ）PH ＝DE（DF ）.2.如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，且AB ＝6，BC ＝8. (1)求DEDF的值；(2)当AD ＝5，CF ＝19时，求BE 的长．解：(1)∵AD ∥BE ∥CF ，∴DE DF ＝AB AC ＝66＋8＝37.(2)过D 点作DM ∥AC 交CF 于M ，交BE 于N ，求出MF ＝14. ∵NE ∥MF ，∴NE MF ＝DE DF ＝37，∴NE ＝37MF ＝37×14＝6.∴BE ＝BN ＋NE ＝5＋6＝11. 还拓宽了学生的思路和视野.活动四：课堂检测【课堂检测】1．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，若AC ＝6，CE ＝2，BD ＝3，则BF 的长为(C) A ．6 B ．5.5 C ．4 D ．4.5第1题图2．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．通过设置课堂检测，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.第2题图提示：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC ，然后根据比例的性质可计算出AE 的长为107.课堂小结1.课堂小结：(1)平行线分线段成比例的基本事实是什么？推论是什么？易错点是什么？ (2)目前我们有什么方法判定两个三角形相似？(3)本课两个重要的结论在探索中主要运用了哪些数学思想方法？教学说明：梳理本节课的重要方法和知识点，加深对本节课知识的理解．让学生在总结的过程中理清思路、整理经验，对本节课所学的知识结构有一个清晰的认识，再通过排忧解难让学生对知识形成正向迁移，从而构建出合理的知识体系，养成良好的学习习惯． 2．布置作业：教材第42页习题27.2第4，5题.注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.板书设计27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例1．相似三角形的定义及有关概念． 2．平行线分线段成比例定理及推论． 3．相似三角形判定的预备定理.提纲挈领，重点突出.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。

平行线分线段成比例教学任务分析教学过程设计12l l l AB DE BC EF∴=∥∥教师多媒体展示，学生作答．你能得到对应的比例关系吗？【小结】板书设计12l l l AB DE BC EF ∴=∥∥ADBCE在现行义务教育《数学课程标准》第三学段中，平行线分线段成比例是九个基本事实之一，不同于其他八个基本事实，该基本事实对于初学者并不那么显而易见。

“几条线段成比例”很难凭直观感受到，基于测量计算判断线段是否成比例又往往受到测量精度、误差等影响。

该教学设计从以下三方面帮助学生建立对这个基本事实正确认识，在数学活动中培养学生良好的数学学习习惯。

一、设计严谨的探究流程对基本事实的探究过程分为以下几个步骤：活动1：引入横格背景，归纳初始结论；活动2：打破条件限制，发现对应线段；活动3：深入探索验证，激发认知冲突；活动4：利用信息技术，达成结论认同；活动5：归纳活动经验，形成基本事实．从横格纸到白纸、从一条直线被一组平行线所截到两条直线被一组平行线所截、从手工测量计算到图形计算器测量计算、从验证有理数比值到感悟无理数比值，完整细致的探索流程充分满足了学生验证猜想的学习需求，让学生感受到猜想的真实可信，将猜想作为“事实”接受下来，为相似全章定理的证明打好逻辑基础。

二、恰当运用技术辅助学生探究在本节课开始的探究中，教师安排学生动手画图、测量、计算。

进行到活动3，度量并计算两条直线被一组手画的平行线截得的对应线段比值，很多同学都得到了比值近似的结论，很难通过测量、计算直接确认比值相等。

教师恰当地设计了学生使用图形计算器探究的环节，技术的使用提高了测量的精度，同时让实验的结论从特殊到一般自然发展。

学生亲自操作图形计算器，按照自己的需要个性化地进行任意次数的试验验证，让结论在学生心中更加真实可信。

三、提炼探究方法关注数学素养本节课的教学目标不仅仅局限于掌握知识，更特别关注探究方法的提炼，批判精神的培养。

当不同于猜想的试验数据出现时，教师不是忽视或掩盖，而是直面问题，分析可能的原因，提出更好的试验方案，最终让学生通过自己的操作真正感受到猜想的真实可信。

第四章图形的相似4.2 平行线分线段成比例一、教学目标1.探索并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.2.会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.3.进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.4.培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.二、教学重难点重点：理解并掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”及其推论.难点：学会用平行线分线段成比例的事实和推论解决相关的计算和证明问题.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等.四、教学过程设计【情景引入】教师活动：展示常见的梯子图片，提出几何问题：如图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道AD，BE，CF互相平行，若AB=BC，你能猜想出什么结果呢？预设答案：DE=EF.教师活动：进一步说明这是一个常识性问题，肯定同学们的回答正确，进一步提出问题，如何对这一问题进行几何证明，引入本节课内【合作探究】教师活动：提出平行线分线段有关问题，让学生思考并通过计算完成下面几个题目：在下图中，小方格的边长均为1，直线l 1∥l 2∥l 3，分别交直线m ，n 于格点A 1， A 2，A 3，B 1，B 2，B 3.问题（1）：计算1223A A A A 与1223B B B B ，1213A AA A 与1213B B B B ，23231313A A B B A A B B 与的值，你有什么发现？教师活动：引导学生用勾股定理计算各条线段的长度再求比值.计算步骤如下： 先计算线段的长：222212*********A A A A =+==+=，， 222212231254845B B B B =+==+=，，1313525 5.A AB B ==，再计算比值：121223232151444245A A B B ,,A A B B ====121213132151555255A A B B ,,A A B B ====23231313424454555255A A B B ,.A A B B ====你发现了什么？232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B === 问题（2）：将l 2向下平移到如图所示的位置，直线m ，n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？预设答案：同样方法先计算各线段的长，12231332225 2.A A A A A A ===，， 12231335255 5.B B B B B B ===，，经计算232312121212232313131313A AB B A A B B A A B B ,,.A A B B A A B B A A B B ===第（1）小问结论仍然成立.问题（3）：在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？教师活动：播放平行线位置变化时，截取线段长度的变化及对应比值变化情况的动画.指导学生注意观察对应线段的比值是否相等.预设答案：得出结论：截得的对应线段成比例.【归纳】教师活动：对上面三个题目内容进行抽象总结，归纳出平行线分线段成比例定理的内容.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：当l 1∥l 2∥l 3，则有： ABDE BC EF AB DEAC DF BC EF.AC DF AB BC DEEF，， 可以对应记忆为.上上上上下下左左，，下下全全全全右右【拓展】教师活动：讲解说明定理的内容，强调定理涉及的图形情况有多种，展示适用的图形情况：定理适用的几种基本图形【做一做】如图1，直线a ∥b ∥c ，分别交直线m ，n 于 A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3 .过点A 1作直线n 的平行线，分别交直线b ，c 于点C 2，C 3(如图2 ），图2中有哪些成比例线段？了教师活动：提示两组平行线所夹的图形为平行四边形，平行四边形的对边对应相等.预设答案：依题意知，四边形A 1B 1B 2C 2、A 1B 1B 3C 3、C 2B 2B 3C 3均为平行四边形.故有：A 1C 2=B 1B 2、A 1C 3=B 1B 3、C 2C 3=B 2B 3，则：232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【延伸】教师活动：将图2中的三角形标注出来并抽离，提出问题：将题目中的三角形单独拿出来，它反映了什么样的几何问题？预设答案： 1332233A A C A C A C 中，，则有： 232312121212232313131313A A C C A A AC A A AC A A C C A A AC A A AC 、、、 【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.符号语言：△ABC 中，MN ∥BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，则有：AM AN MB NC AM AN AB AC MB NC.AB AC、、【拓展】教师活动：提出问题：平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所得的对应线段成比例吗？将问题转换成几何问题展示：如图，已知△ABC ，MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，求证：AM AN.ABAC提示：做出辅助线，使用平行线分线段成比例定理.预设答案：证明：过A 点做MN 的平行线l ，由平行线分线段成比例定理可得：AMAN.ABAC【归纳】教师活动：对上面三角形中涉及的几何内容进行归纳总结，给出平行线分线段成比例定理的推论的第二种形式.平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交，截得的对应线段成比例.符号语言：MN ∥BC ，分别与△ABC 的两边BA 、CA 的延长线于点M 、N ，则有：AM AN.ABAC【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例：如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC .（1）如果AE =7，EB =5，FC =4.那么AF 的长是多少？（2）如果AB =10，AE =6，AF =5.那么FC 的长是多少？教师分析：依题意知，EF ∥BC ，可以使用平行线分线段成比例定理的推论: （1）已知AE 、EB 、FC ，直接套用比例关系式可求出AF 的长.（2）已知AB 、AE 、AF ，可先求出AC 的长，再由AC 与AF 的差求出FC .展示完整解题过程： 解：（1）∵ EF //BC ， ∴.AE AFEB FC33教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式错误的是（ ）A.AC BD CE DF =B.AC BDAE BF= C.CE DF AE BF = D.AE BDBF AC= 2.如图，已知l 1∥l 2∥l 3，下列比例式成立的是（ ）A.AD CE DF BC = B. AD BCBE AF = C.AF BE DF CE = D. CE ADDF BC= 3.如图，BC ∥DE ，AB =15，AC =9，BD = 10，AE =______.4.如图，DE∥BC，AB=6，AC=9，AD=2则EC=______.答案：1.D2.C3.解：因为BC∥DE，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ACBD CE=，又AB=15，AC=9，BD = 10，解得：CE = 6.所以AE =AC+CE =15.4. 解：因为DE∥BC，由平行线分线段成比例定理的推论，得AB ADAC AE=，又AB=6，AC=9，AD=2，解得：AE = 3.所以EC =AC+AE =12.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第84、85页习题4.3第2、3题.。

27.2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例《平行线分线段成比例》是人教版九年级数学第二十七章《相似》第二节《相似三角形》第一课时的内容。

它是在学生认识相似图形，了解相似多边形的性质及判定的基础上进行学习的。

本课时首先复习相似多边形的性质，然后引出两个三角形相似的定义（即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似），然后引导学生思考类比全等三角形的判定方法，对于相似三角形是否存在较为简便的方法。

接下来通过一个探究，由学生动手计算来探究得到平行线分线段成比例的基本事实（三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等），从而将其应用于三角形中，得到“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”这一基本事实的推论，是进一步学习相似三角形判定的预备定理的基础。

●教学目标：【知识与技能目标】1、了解相似三角形的定义；2、理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用；3、掌握两个三角形相似的预备定理.【过程与方法目标】经历“动手操作—直观感知—发现事实”的过程，增强学生发现问题，解决问题的能力．【情感态度与价值观目标】1、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值.2、在进行探索的活动过程中，发展学生的探索发现归纳意识，并养成合作交流的学习习惯，体现数学的真善美.C B A '''CBA●教学重点：判定两个三角形相似的预备定理 ●教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程 ●教学过程设计：一、复习提问，引入新课问题1：什么是相似多边形？它具有什么性质？师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，使学生对上节课所学内容有深刻印象，以引起学生对本节课的研究内容的关注。

设计意图：通过对旧知识的复习和回顾，激发学生的学习兴趣，为学习新知识提供基础。

二、探索新知，自主学习问题2：如何定义相似三角形？问题3：如果k=1，则△ABC______△A'B'C'师生活动：学生观察图形，结合相似多边形的定义，不难发现如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形相似。

《25.2平行线分线段成比例》教学设计一、教材分析：本节课主要探究的是平行线分线段成比例这一基本事实和推论，是在学生学习了比例线段的性质的基础上进一步学习的，这为本节课的学习奠定了基础，同时本节课的学习又对后面学习相似三角形,判定及应用起着至关重要的作用.二、学情分析：九年级学生好奇心强，思维较活跃，学生已经具有一定的计算能力,探究分析能力，逻辑推理能力，展示讲解能力，但数学语言不够精炼，推理过程不够严谨，需要教师不断的引导启发和帮助！三、教学目标：（一）知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论,并会运用.（二）过程与方法：通过经历回顾,观察,计算,总结的过程，让学生发现平行线分线段成比例的基本事实,培养学生自主探究、合作交流的能力和严谨治学的态度及培养学生认识事物的一般规律是从特殊到的一般过程.通过对推论的发现,证明与运用,培养学生的证明推理能力及运用能力。

（三）情感态度与价值观：在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过交流合作，解决问题让学生在合作中体验成功的喜悦，树立学习的自信心，欣赏数学表达式的对称美。

四、教学重点：平行线分线段成比例的基本事实及推论的理解。

五、教学难点：平行线分线段成比例的基本事实及推论的应用。

六、教学方法：讲练结合教师点拨七、学法指导：自主探究合作学习八、教具：多媒体、三角板、导学案九、课时安排：1课时十、教学流程:中考链接——课题引入——自主学习，合作探究——能力提升——课堂小结——当堂检测——课后作业——教学反思十一、教学过程：教学流程教师活动学生活动设计意图知识链接多媒体展示下列问题，教师提问：1、什么是比例线段?2、比例的性质：（1）如果，那么（2）如果且，那么（3）如果，那么（4）如果那么a c mb d n++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+学生独立完成，并回答问题。

本环节为今天的学习作铺垫。

课题引入我们已经学过，如果在△ABC中，D是AB中点，过点D 作BC边的平行线交AC于点E，如图1所示，那么: AE=EC, 即:当时，也就是说当:DE//BC时，教师继续追问：是不是只要有平行，就有这样的关系呢？从而引出今天的课题：今天我们来学习平行线分线段成比例。