平行线分线段成比例定理(2)

平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。

该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。

定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。

如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。

证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。

步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。

此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。

通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。

步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。

步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。

根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。

由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。

因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。

应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。

平行线分线段成比例定理(二)教学目标1.理解并掌握平行线分线段成比例定理的推论，能运用它进行简单的计算和证明。

2.渗透利用方程的思想进行计算，利用换线段、换中间比及分析法探索解题思路的方法。

3.培养学生分解基本图形的能力，利用特殊化研究问题的方法。

教学重点和难点重点是平行线分线段成比例定理的推论及应用。

难点是分解、构造基本图形，利用换线段、换中间比及分析法寻找解题思路。

教学过程设计一、运用“特殊化”方法研究平行线分线段成比例定理的推论1.复习平行线分线段成比例定理的内容。

2.教师制作投影片，帮助学生复习定理的各种变式图形的演示过程（图5-22(a)～(d)）3.推论的发现过程.（1）教师利用叠加投影片分解出三种特殊的基本图形——图5-22(e),(f),(g)，并指出图5-22(f)和(g)是我们今后重点研究的基本图形。

（2）在图5-22(f),(g)中，分别已知BE∥CF,AD∥CF，写出比例式。

（3）让学生用语言叙述结论，教师再订正，概括归纳平行线分线段成比例定理的推论，推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

二、应用举例、变式练习1.直接给出图5-22(f),(g)的问题。

（板书）例1已知：如图5-23，ED∥BC,AC=7,AB=5,AD=2.求EC的长。

分析：引导学生根据题目需要选用恰当的比例式得到关于未知量的方程，解得EC=。

2.包含图5-22(f),(g)的问题。

（投影）例2已知：如图5-24(a),DE∥BC.(1)AD=15,AE=9,BD=4,求AC，（2）如图5-24(b)，若DF∥AC交BC于F，①问：图中有几个图5-22(f)这样的基本图形？②求分析：（1）使用推论的关键是从复杂图形中分解出图5-22(f),(g)这样的基本图形。

（2）遇到不能直接证明的比例式时，经常用到等量代换的方法，常换线段长（如DE=FC），换中间比（都等于），以后还会遇到换乘积式。

二 平行线分线段成比例定理教学目标1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.会应用定理及推论进行解题.教学重点 定理及推论的应用.教学难点 定理、推理的运用。

教学过程一、复习1、 平行线分线段成比例定理2、 平行线分线段成比例定理的推论3、 平行于三角形一边的性质（例3）说明：要求掌握定理的内容和它们的基本图形。

二、新授思考：用三条平行线去截两条直线所得的线段对应成比例，类比这个结论，用三个平行的平面去截两条直线，又有什么结论呢？见课本9页的图分析：过A 去作l 2的平行线，利用面面平行，线线平行的转化，把所讨论的问题转化为平行线分线段成比例定理。

结论：用三个平行的平面去截两条直线，所得的线段对应成比例。

例4、三角形的内角平分线分对边成两条线段，和这个角的两边对应成比例。

已知：在△ABC 中，AD 是角A 的平分线。

求证： BD ：DC=AB ：AC分析：由BD ：DC 和AB 我们联想到平行线分线段 定理推论的A 型基本图形，过D 作的平行线就构成A △ ADE 还是等腰三角形，这样就能证明出结论了证明：略 说明：（1）这个定理叫三角形内角平分线的性质定理（2）想一想还能怎么添加辅助线？（3）平行线分线段成比例定理还有转移比例的功能，如上本题作平行线后，可以把BD ：DC 转移到AE ：EC ，在证明一条直线上的两线段和其它线段成比例，或已知一条直线上的两条线段的比时，常作平行线，以构成A 型或X 型基本图形。

例5、已知：如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ：BC=2：1，ED ：DB=2:1求AD ：DF分析：作AB 的平行线DG 构成推论的基本图形DC想一想：此题还有什么作辅助线的方法。

证明：略例6、已知：△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。

求证：FBAF ED AE 2 分析：作CF 的平行线DG 构成推论的基本图形。

想一想：还有没有其它作辅助线的方法证明：略作业：1． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 的中点，CM 的延长线交AB 于K 。

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。

它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。

本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。

定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。

更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。

定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。

根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。

通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。

证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。

初二数学教案：平行线分线段成比例定理(二) (第二课时)一、教学目标1.使学生在明白得的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2.使学生把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培养识图能力和推理论证能力.5.通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时安排1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理(要求：结合图形，做出六个比例式).【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依照平行线分线段成比例定理有：……(六个比例式)然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，如此即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：(六个比例式)，然后擦掉图中有关线，得到右图，如此即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，因此对应线段成比例.综上所述，能够得到：推论：(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，(六个比例式).此推论是判定三角形相似的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，那个推论包含了下图的各种情形.那个推论不包含下图的情形.后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待.(考虑改用投影仪或小黑板)例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.让学生摸索，是否可直截了当未出AE(找学生板演).【小结】1.明白推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业(1)教材P215中2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

数学教案－平行线分线段成比例定理（第二课时）教学目标•了解平行线分线段成比例定理的概念和原理；•掌握平行线分线段成比例定理的应用方法；•能够解决一些简单的平行线分线段成比例的问题。

教学准备•教学课件；•教学工具：直尺、量角器、黑板、粉笔。

教学过程1. 复习•复习上节课所学的平行线的性质。

2. 引入•引导学生回想一下平行线的性质中是否有关于比例的概念。

3. 学习平行线分线段成比例定理•介绍平行线分线段成比例定理的概念：在两条平行线上，同侧的两个线段成比例，那么这两条线段被一条横截线所截得的线段也成比例。

4. 举例说明•在黑板上画出一条横截线和两条平行线，并标出相关线段。

引导学生观察并总结规律。

5. 确立结论•引导学生通过观察和分析，总结、确定平行线分线段成比例定理。

6. 实例讲解•进行一些简单的实例讲解，让学生理解如何应用平行线分线段成比例定理来解决问题。

7. 合作探究•分成小组，每组给出一些具体的问题，让学生合作探究应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法。

8. 提出问题•提出一些让学生思考和讨论的问题，引导学生探索更深层次的问题。

9. 总结归纳•结合学生的讨论和思考，总结归纳平行线分线段成比例定理的相关要点。

10. 小结•对本节课所学内容进行总结，强调平行线分线段成比例定理的重要性和应用价值。

课后练习1.请根据平行线分线段成比例定理，求出下列问题中所问线段的长度：–已知$$\\frac{AC}{CB} = \\frac{2}{3}$$–，求DE–的长度。

–已知$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{3}{5}$$–，求CD–的长度。

2.解决下列问题，应用平行线分线段成比例定理：–若$$AB \\parallel CD$$–，$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{1}{3}$$–，求证$$AD \\parallel BC$$–。

–在平行四边形ABCD–中，$$\\frac{AB}{BC} = \\frac{1}{2}$$–，$$\\frac{AD}{DC}=\\frac{3}{4}$$–，求证$$AC \\parallel BD$$–。

平行线分线段成比例定理教学设计-2一、教学目标通过本节课的教学，学生应该能够： 1. 理解平行线分线段成比例定理的概念以及应用场景； 2. 掌握平行线分线段成比例定理的表述和证明方法； 3. 运用平行线分线段成比例定理解决相关问题； 4. 发展思维，培养逻辑推理能力。

二、教学重点和难点重点1.平行线分线段成比例定理的概念和表述；2.平行线分线段成比例定理的证明方法；3.运用平行线分线段成比例定理解决问题的能力。

难点1.理解平行线分线段成比例定理的证明过程；2.运用平行线分线段成比例定理解决复杂问题。

三、教学过程1. 引入（5分钟）•引导学生回顾上节课学习的内容，复习平行线的性质和特点。

•提问：什么是平行线？两条平行线的性质是什么？2. 知识讲解（15分钟）•向学生介绍平行线分线段成比例定理：如果一条直线两边与另外两条平行线相交，那么这条直线所分割的两个线段与这两条平行线成比例。

•解释定理的原理和推导过程，并以几个示例说明。

3. 证明与推导（20分钟）•讲解平行线分线段成比例定理的证明过程：–基于相似三角形的证明方法：首先证明对应角相等，然后利用相似三角形的边比例关系得出结论。

–展示证明的步骤和思路，帮助学生理解并模仿证明的过程。

4. 练习与应用（25分钟）•给学生提供一些简单到复杂的练习题，要求运用平行线分线段成比例定理求解线段的长度。

•强调解题思路和方法，鼓励学生自主思考和尝试解题。

5. 拓展探究（15分钟）•基于平行线分线段成比例定理，设计一些探究题，引导学生探索更复杂的问题。

•鼓励学生提出自己的问题并寻找解决方法，培养学生的创新思维和问题解决能力。

6. 总结与反思（10分钟）•总结平行线分线段成比例定理的要点和证明过程。

•引导学生自我反思本节课的学习收获和不足之处。

四、教学评价本节课的评价主要从以下几个方面进行： - 学生对平行线分线段成比例定理的理解程度； - 学生运用平行线分线段成比例定理解决问题的能力； - 学生的思维发展和逻辑推理能力。

数学教课方案－平行线分线段成比率定理（第二课时） _八年级数学教课方案（第二课时）一、教课目的1．使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比率定理及其推论，并会灵巧应用.2．使学生掌握三角形一边平行线的判断定理.3．已知线的成已知比的作图问题.4．经过应用，培育识图能力和推理论证能力.5．经过定理的教课，进一步培育学生类比的数学思想.二、教课方案察看、猜想、概括、解说三、要点、难点l．教课要点：是平行线分线段成比率定理和推论及其应用．2．教课难点：是平行线分线段成比率定理的正确性的说明及推论应用．四、课时安排1 课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用绘图工具．六、教课步骤【复习发问】表达平行线分线段成比率定理（要求：联合图形，做出六个比率式）.【解说新课】在黑板上画出图，察看其特色：与的交点 A 在直线上，依据平行线分线段成比率定理有：（六个比率式）而后把图中相关线擦掉，剩下如下图，这样即可获取：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比率．在黑板上画出左图，察看其特色：与的交点 A 在直线上，相同可得出：（六个比例式），而后擦掉图中相关线，获取右图，这样即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延伸线，因此对应线段成比率．综上所述，能够获取：推论：（三角形一边平行线的性质定理）平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率．如图，（六个比率式）．此推论是判断三角形相像的基础．注：对于推论中“或两边的延伸线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延伸线，假如已知， DE 是截线，这个推论包括了以下图的各样状况．这个推论不包括以下图的状况．后者，教课中如学生不提起，可不用向学生交待．（考虑改用投影仪或小黑板）例 3 已知：如图，教材上采纳了先求，求： AE ．CE 再求 AE 的方法，建议在列比率式时，把CE 写成比率第一项，即：.让学生思虑，能否可直接未出【小结】1．知道推论的研究方法．AE （找学生板演）．2．要点是推论的正确运用七、部署作业（1）教材 P215 中 2．（2）选作教材 P222 中 B 组1．八、板书设计二次根式加减的教课方案汉滨区初级中学张教军课题：二次根式的加减课时： 1 课时课型：新讲课教课目的：1.知识目标：二次根式的加减法运算2.能力目标：能娴熟进行二次根式的加减运算，能经过二次根式的加减法运算解决实质问题。

平行线分线段成比例定理教学设计-2_七年级数学教案平行线分线段成比例定理教学设计-2（下载：）角教学设计-1（下载：）线段、射线、直线教学目标：1、在现实情境中理解线段、射线、直线等简单图形（知识目标）2、会说出线段、射线、直线的特征;会用字母表示线段、射线、直线（能力目标）3、通过操作活动，了解两点确定一条直线等事实，积累操作活动的经验，培养学生的兴趣、爱好，感受图形世界的丰富多彩。

（情感态度目标）教学难点：了解“两点确定一条直线”等事实，并应用它解决一些实际问题教具：多媒体、棉线、三角板教学过程:情景创设：观察电脑展示图，使学生感受图形世界的丰富多彩，激发学习兴趣。

如何来描述我们所看到的现象？教学过程：1、一段拉直的棉线可近似地看作线段师生画线段演示投影片1：①将线段向一个方向无限延长，就形成了______学生画射线②将线段向两个方向无限延长就形成了_______学生画直线2、讨论小组交流：①生活中，还有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线？（强调近似两个字，注意引导学生线段、射线、直线是从生活上抽象出来的）②线段、射线、直线，有哪些不同之处，有哪些相同之处？（鼓励学生用自己的语言描述它们各自的特点）3、问题1：图中有几条线段？哪几条？“要说清楚哪几条，必须先给线段起名字！”从而引出线段的记法。

点的记法：用一个大写英文字母线段的记法：①用两个端点的字母来表示②用一个小写英文字母表示自己想办法表示射线，让学生充分讨论，并比较如何表示合理射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面直线的记法：①用直线上两个点来表示②用一个小写字母来表示强调大写字母与小写字母来表示它们时的区别（我们知道他们是无限延长的，我们为了方便研究约定成俗的用上面的方法来表示它们。

）练习1：读句画图（如图示）（1）连BC、AD（2）画射线AD（3）画直线AB、CD相交于E（4）延长线段BC，反向延长线段DA相交与F（5）连结AC、BD相交于O练习2：右图中，有哪几条线段、射线、直线4、问题2请过一点A画直线，可以画几条？过两点A、B呢？学生通过画图，得出结论：过一点可以画无数条直线经过两点有且只有一条直线问题3如果你想将一硬纸条固定在硬纸板上，至少需要几根图钉？为什么？（学生通过操作，回答）小组讨论交流：你还能举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例吗？适当引导：栽树时只要确定两个树坑的位置，就能确定同一行的树坑所在的直线。

平行线分线段成比例定理(一)一、学习目标1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用。

2．通过学习定理，再一次培养同学们类比的数学思想。

3．渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点、疑点及解析1．重点是平行线分线段成比例定理及其应用。

2．难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

3．疑点是由定理可得到六个比例，如图5－5而言，与横线段无关，这里要知道。

定理中“能得的对应线段成比例”，是“被截得的”，要分清是谁截谁。

三、学习过程(一)复习自己叙述平行线等分线段定理。

(二)讲解新课在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理。

首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：∵l1∥l2∥l3，且AB=BC，∴DE=EF。

自己可以画三条平行线，并作出两条直线分别与这些平行线相交，用尺子进行测量并计算。

(该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过测量计算可以得到比例仍成立)由比例性质，还可得到：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。

根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-7。

∵l1∥l2∥l3，其中图5-8，图5-9两种情况仍然成立，下一节我们会学习这部分更具体的内容。

例1已知：如图5-6，l1∥l2∥l3，若A B=3，DE=2，EF=4，求：BC。

解：自己来完成。

注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：自己来完成。

提示：设DE=m，EF=n。

小结：(1)熟练掌握由定理得出的六个比例式。

(2)灵活运用定理解决问题。

平行线分线段成比例定理(二)一、学习目标1．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用。

平行线分线段成比例定理（第二课时）介绍在平行线的几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理。

该定理描述了当一条直线与两个平行线相交时，它们所分割的线段之间存在着一定的比例关系。

这个定理在不同的几何推理和证明中经常被使用。

在本文档中，我们将讨论平行线分线段成比例定理的概念、原理和应用。

我们将首先介绍定理的表述，然后解释其背后的原理，最后给出一些习题和应用示例。

定理表述平行线分线段成比例定理的一般表述是：如果两条平行线L1和L2被一条直线交叉，那么它们所分割的任意两个线段的比例相等。

具体来说，如果直线AB与平行线L1和L2相交，分别在点C和D处与它们相交，那么有以下比例关系成立：AC/CD = AB/BD这里AC和CD是由直线AB与平行线L1和L2所分割的线段，而AB和BD 是直线AB的两个部分。

原理解释平行线分线段成比例定理的证明可以通过相似三角形或平行线的交错角等几何性质来进行。

这里介绍一种常见的证明方法。

首先，考虑由直线AB与平行线L1和L2所形成的三角形ABC和ABD。

根据平行线的性质，我们可以得出∠ABC = ∠ABD（对应角相等）。

而由于这两个三角形共有一个角∠B，所以它们是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AC/AB = BC/BD接下来，我们观察三角形ABC和三角形BCD。

由于它们共有一个角∠B，所以它们也是相似的。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：BC/AB = CD/BD将以上两个比例关系结合起来，可以得到以下结果（将第一个比例关系代入第二个比例关系的分子）：CD/BD = AC/AB上式即为平行线分线段成比例定理的表述。

示例和习题示例例题1如图所示，AB//DE，且AC/CD = AE/EB。

证明BC//DE。

A------------------B/ \\ / \\/ \\ / \\C-----D------------E-----F解答：根据平行线分线段成比例定理，我们有：AC/CD = AE/EB根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AC/AE = CD/EB而根据线段的比例关系，我们可以得到：AC/AE = CD/EB = AD/BE由于AB//DE，所以ABD和AEB是相似的三角形。