平行线分线段成比例定理(2)

平行线分线段成比例定理简介平行线分线段成比例定理（Parallelogram Proportion Theorem）是几何学中关于平行线与线段相交的一个重要定理。

该定理表明，如果在两条平行线上，有一条直线与这两条平行线相交，那么它所截取的线段与平行线的对应线段成比例。

定理描述设有两条平行线l和m，直线n与这两条平行线相交。

如果直线n依次截取了线段AB和CD，那么这两条线段的比例等于与AB和CD平行的线段的比例，即：AB/CD = AE/CF其中，A、B分别是直线n与l的交点，C、D分别是直线n与m的交点，E、F分别是直线n与l和m的另外两个交点。

证明过程为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以使用类似于相似三角形的方法来进行证明。

步骤1：构造辅助线段首先，我们在直线n上任意取一点G，然后通过G分别作l和m的垂线GH和GK。

此时，我们得到了一个平行四边形AGHK。

通过平行线的性质，我们可以知道AG和HK是平行的，并且两条平行线之间的距离是相等的。

步骤2：证明三角形AFB与三角形CGD相似由于AGHK是一个平行四边形，所以我们可以得到以下结论：∠KGD = ∠HAG （对顶角）∠KDG = ∠GAH （对顶角）因此，根据AA相似性质，我们可以得出三角形AFB与三角形CGD相似。

步骤3：证明AE/CF = AB/CD在步骤2中，我们已经得到了三角形AFB与三角形CGD相似的结论。

根据相似三角形的基本性质，我们知道相似的三角形中，对应边的比例是相等的。

由于三角形AFB与三角形CGD相似，根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例等式：AB/CD = AF/CG而AF和CG分别是线段AE和线段CF在相似三角形中对应的边。

因此，我们可以得出以下结论：AB/CD = AE/CF步骤4：证明结论由于步骤3中得出的结论，我们证明了平行线分线段成比例定理。

应用举例平行线分线段成比例定理在解决几何问题中起着重要的作用。

平行线分线段成比例定理(二)教学目标1.理解并掌握平行线分线段成比例定理的推论，能运用它进行简单的计算和证明。

2.渗透利用方程的思想进行计算，利用换线段、换中间比及分析法探索解题思路的方法。

3.培养学生分解基本图形的能力，利用特殊化研究问题的方法。

教学重点和难点重点是平行线分线段成比例定理的推论及应用。

难点是分解、构造基本图形，利用换线段、换中间比及分析法寻找解题思路。

教学过程设计一、运用“特殊化”方法研究平行线分线段成比例定理的推论1.复习平行线分线段成比例定理的内容。

2.教师制作投影片，帮助学生复习定理的各种变式图形的演示过程（图5-22(a)～(d)）3.推论的发现过程.（1）教师利用叠加投影片分解出三种特殊的基本图形——图5-22(e),(f),(g)，并指出图5-22(f)和(g)是我们今后重点研究的基本图形。

（2）在图5-22(f),(g)中，分别已知BE∥CF,AD∥CF，写出比例式。

（3）让学生用语言叙述结论，教师再订正，概括归纳平行线分线段成比例定理的推论，推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

二、应用举例、变式练习1.直接给出图5-22(f),(g)的问题。

（板书）例1已知：如图5-23，ED∥BC,AC=7,AB=5,AD=2.求EC的长。

分析：引导学生根据题目需要选用恰当的比例式得到关于未知量的方程，解得EC=。

2.包含图5-22(f),(g)的问题。

（投影）例2已知：如图5-24(a),DE∥BC.(1)AD=15,AE=9,BD=4,求AC，（2）如图5-24(b)，若DF∥AC交BC于F，①问：图中有几个图5-22(f)这样的基本图形？②求分析：（1）使用推论的关键是从复杂图形中分解出图5-22(f),(g)这样的基本图形。

（2）遇到不能直接证明的比例式时，经常用到等量代换的方法，常换线段长（如DE=FC），换中间比（都等于），以后还会遇到换乘积式。

二 平行线分线段成比例定理教学目标1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论.2.会应用定理及推论进行解题.教学重点 定理及推论的应用.教学难点 定理、推理的运用。

教学过程一、复习1、 平行线分线段成比例定理2、 平行线分线段成比例定理的推论3、 平行于三角形一边的性质（例3）说明：要求掌握定理的内容和它们的基本图形。

二、新授思考：用三条平行线去截两条直线所得的线段对应成比例，类比这个结论，用三个平行的平面去截两条直线，又有什么结论呢？见课本9页的图分析：过A 去作l 2的平行线，利用面面平行，线线平行的转化，把所讨论的问题转化为平行线分线段成比例定理。

结论：用三个平行的平面去截两条直线，所得的线段对应成比例。

例4、三角形的内角平分线分对边成两条线段，和这个角的两边对应成比例。

已知：在△ABC 中，AD 是角A 的平分线。

求证： BD ：DC=AB ：AC分析：由BD ：DC 和AB 我们联想到平行线分线段 定理推论的A 型基本图形，过D 作的平行线就构成A △ ADE 还是等腰三角形，这样就能证明出结论了证明：略 说明：（1）这个定理叫三角形内角平分线的性质定理（2）想一想还能怎么添加辅助线？（3）平行线分线段成比例定理还有转移比例的功能，如上本题作平行线后，可以把BD ：DC 转移到AE ：EC ，在证明一条直线上的两线段和其它线段成比例，或已知一条直线上的两条线段的比时，常作平行线，以构成A 型或X 型基本图形。

例5、已知：如图，B 在AC 上，D 在BE 上，且AB ：BC=2：1，ED ：DB=2:1求AD ：DF分析：作AB 的平行线DG 构成推论的基本图形DC想一想：此题还有什么作辅助线的方法。

证明：略例6、已知：△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，过C 任作一直线交AD 于E ，交AB 于F 。

求证：FBAF ED AE 2 分析：作CF 的平行线DG 构成推论的基本图形。

想一想：还有没有其它作辅助线的方法证明：略作业：1． 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 的中点，CM 的延长线交AB 于K 。

平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。

它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。

本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。

定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。

更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。

定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。

根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。

通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。

证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。

初二数学教案：平行线分线段成比例定理(二) (第二课时)一、教学目标1.使学生在明白得的基础上把握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用.2.使学生把握三角形一边平行线的判定定理.3.已知线的成已知比的作图问题.4.通过应用，培养识图能力和推理论证能力.5.通过定理的教学，进一步培养学生类比的数学思想.二、教学设计观看、猜想、归纳、讲解三、重点、难点l.教学重点：是平行线分线段成比例定理和推论及其应用.2.教学难点：是平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用.四、课时安排1课时五、教具学具预备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤【复习提问】叙述平行线分线段成比例定理(要求：结合图形，做出六个比例式).【讲解新课】在黑板上画出图，观看其特点：与的交点A在直线上，依照平行线分线段成比例定理有：……(六个比例式)然后把图中有关线擦掉，剩下如图所示，如此即可得到：平行于的边BC的直线DE截AB、AC，所得对应线段成比例.在黑板上画出左图，观看其特点：与的交点A在直线上，同样可得出：(六个比例式)，然后擦掉图中有关线，得到右图，如此即可证到：平行于的边BC的直线DE截边BA、CA的延长线，因此对应线段成比例.综上所述，能够得到：推论：(三角形一边平行线的性质定理)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.如图，(六个比例式).此推论是判定三角形相似的基础.注：关于推论中“或两边的延长线”，是指三角形两边在第三边同一侧的延长线，假如已知，DE是截线，那个推论包含了下图的各种情形.那个推论不包含下图的情形.后者，教学中如学生不提起，可不必向学生交待.(考虑改用投影仪或小黑板)例3 已知：如图，，求：AE.教材上采纳了先求CE再求AE的方法，建议在列比例式时，把CE写成比例第一项，即：.让学生摸索，是否可直截了当未出AE(找学生板演).【小结】1.明白推论的探究方法.2.重点是推论的正确运用七、布置作业(1)教材P215中2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

数学教案－平行线分线段成比例定理（第二课时）教学目标•了解平行线分线段成比例定理的概念和原理；•掌握平行线分线段成比例定理的应用方法；•能够解决一些简单的平行线分线段成比例的问题。

教学准备•教学课件；•教学工具：直尺、量角器、黑板、粉笔。

教学过程1. 复习•复习上节课所学的平行线的性质。

2. 引入•引导学生回想一下平行线的性质中是否有关于比例的概念。

3. 学习平行线分线段成比例定理•介绍平行线分线段成比例定理的概念：在两条平行线上，同侧的两个线段成比例，那么这两条线段被一条横截线所截得的线段也成比例。

4. 举例说明•在黑板上画出一条横截线和两条平行线，并标出相关线段。

引导学生观察并总结规律。

5. 确立结论•引导学生通过观察和分析，总结、确定平行线分线段成比例定理。

6. 实例讲解•进行一些简单的实例讲解，让学生理解如何应用平行线分线段成比例定理来解决问题。

7. 合作探究•分成小组，每组给出一些具体的问题，让学生合作探究应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法。

8. 提出问题•提出一些让学生思考和讨论的问题，引导学生探索更深层次的问题。

9. 总结归纳•结合学生的讨论和思考，总结归纳平行线分线段成比例定理的相关要点。

10. 小结•对本节课所学内容进行总结，强调平行线分线段成比例定理的重要性和应用价值。

课后练习1.请根据平行线分线段成比例定理，求出下列问题中所问线段的长度：–已知$$\\frac{AC}{CB} = \\frac{2}{3}$$–，求DE–的长度。

–已知$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{3}{5}$$–，求CD–的长度。

2.解决下列问题，应用平行线分线段成比例定理：–若$$AB \\parallel CD$$–，$$\\frac{EF}{FG} = \\frac{1}{3}$$–，求证$$AD \\parallel BC$$–。

–在平行四边形ABCD–中，$$\\frac{AB}{BC} = \\frac{1}{2}$$–，$$\\frac{AD}{DC}=\\frac{3}{4}$$–，求证$$AC \\parallel BD$$–。

平行线分线段成比例定理教学设计-2一、教学目标通过本节课的教学，学生应该能够： 1. 理解平行线分线段成比例定理的概念以及应用场景； 2. 掌握平行线分线段成比例定理的表述和证明方法； 3. 运用平行线分线段成比例定理解决相关问题； 4. 发展思维，培养逻辑推理能力。

二、教学重点和难点重点1.平行线分线段成比例定理的概念和表述；2.平行线分线段成比例定理的证明方法；3.运用平行线分线段成比例定理解决问题的能力。

难点1.理解平行线分线段成比例定理的证明过程；2.运用平行线分线段成比例定理解决复杂问题。

三、教学过程1. 引入（5分钟）•引导学生回顾上节课学习的内容，复习平行线的性质和特点。

•提问：什么是平行线？两条平行线的性质是什么？2. 知识讲解（15分钟）•向学生介绍平行线分线段成比例定理：如果一条直线两边与另外两条平行线相交，那么这条直线所分割的两个线段与这两条平行线成比例。

•解释定理的原理和推导过程，并以几个示例说明。

3. 证明与推导（20分钟）•讲解平行线分线段成比例定理的证明过程：–基于相似三角形的证明方法：首先证明对应角相等，然后利用相似三角形的边比例关系得出结论。

–展示证明的步骤和思路，帮助学生理解并模仿证明的过程。

4. 练习与应用（25分钟）•给学生提供一些简单到复杂的练习题，要求运用平行线分线段成比例定理求解线段的长度。

•强调解题思路和方法，鼓励学生自主思考和尝试解题。

5. 拓展探究（15分钟）•基于平行线分线段成比例定理，设计一些探究题，引导学生探索更复杂的问题。

•鼓励学生提出自己的问题并寻找解决方法，培养学生的创新思维和问题解决能力。

6. 总结与反思（10分钟）•总结平行线分线段成比例定理的要点和证明过程。

•引导学生自我反思本节课的学习收获和不足之处。

四、教学评价本节课的评价主要从以下几个方面进行： - 学生对平行线分线段成比例定理的理解程度； - 学生运用平行线分线段成比例定理解决问题的能力； - 学生的思维发展和逻辑推理能力。