初中数学 初三平行线分线段成比例

第19讲平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例及其推论.2.平行线分线段成比例及其推论的应用.一、平行线截线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例已知如图，直线l 1、l 2、l 3是一组等距离的平行线，l 4、l 5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式,,,,AB DE AB DE BC EF BC EFBC EF AC DF AB DE AC DF====成立.要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示：右全左全右上左上全上全上下上下上===,,等等.（2）有推论可以得出以下结论：二、把已知线段AB 五等分.已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB 五等分.作法1.以A 为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5.2.连结A 5B，并过点A 1，A 2，A 3，A 4分别作A 5B 的平行线，依次交AB 于点B 1，B 2，B 3，B 4.则点B 1，B 2，B 3，B 4就是所求作的把线段AB 五等分的点.依据：实际上，过点A 作l∥A 5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式11223344112233445.AB B B B B B B B BAA A A A A A A A A ====∵AA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5，∴AB 1=B 1B 2=B 2B 3=B 3B 4=B 4B,∴点B 1，B 2，B 3，B 4把线段AB 五等分.要点：在射线上截取等长的线段时使用的作图工具是圆规,不能使用直尺进行量取,尺规作图中的直尺是没有刻度的,它的用途是画线或者连线.考点1：A 字三角形例1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE ＝4，EC ＝6，AB ＝5，则BD 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4例2．如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE ，432DE BC AE AD CE ===∥，，，，则BD 的长为（）A ．1.5B ．2C ．3D ．2例3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=6，DB=3，AE=4，则EC 的长为（）A．1B．2C．3例4．如图，DE∥A．3B．4例5．如图，在例6．已知：如下图，例7．如图，在ABC例8．如图，在例9．如图，已知：ABC 中，DE BC ∥．(1)若2cm AD =，3cm DB =，1cm AE =，求EC 的长；(2)若5cm AB =，2cm AD =，4cm AC =，求EC 的长．考点2：X 字三角形例10．如图，已知//,2,3,6AB CD AO BO CO ===，那么DO =（）A ．3B ．4C ．5D ．6例11．如图，在OAB 中，点C D 、分别在边OB OA 、的反向延长线上，且CD AB ∥．若2OC =，4OB =，3OD =，则OA 的长为（）A ．4B ．6C ．8D ．10例12．如图，已知ABC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 的反向延长线上，且DE BC ∥．若4AE =，8AC =，5AD =，则AB 为()A ．5B ．8C ．10D ．15例13．如图，496AB CD AO BC OC ===∥，，，，求OD 的长．考点3：类A字三角形例14．如图，在△ABC 正确的是（）例错误的是A．AE AF=B．AE AF=例AM；②A．1个B．2个考点4：类X字三角形例OD OC例14例中正确的是（A．AC CDAE EF=B．ABCD=例20．如图，AB CD∥A．AC CE BD DF⋅=⋅C．AC DF CE BD⋅=⋅D．考点6：X型平行线分线段成比例例21．如图，AB CD∥1DG DG 例DF=15A ．3B ．6C ．考点7：由平行线分线段成比例判断平行或求值例23．已知线段作法是（）．．．．例24．已知：MN PQ ∥，则满足关系式bcx a=的图形是（A ．B ．．．例错误的是（A ．AF AEBF ED=B ．BF AF 例26．如图，MN 是说法不正确的是（）A ．12AE AF =B ．13ME MN =AM 例27．如图，在平行四边形列结论错误的是（）A ．AB DEAF EA=B ．AE AD =例28．已知：在ABC 平行线交BC 于点F ，连接CDA ．AD AEAB AC=B ．DE AEBC AC =C ．BD BF FK FC=D ．BF ADBC AB=例29．如图，ABC 中，E 为AB 边上一点，过E 作EF BC ∥交AC 于F ，G 为EF 的中点，作FH AB ∥交BC 于H ，则下列结论错误的是（）A ．BH AG BC AD=B ．EG AGCD AD=C ．CF CHAF EF=D ．EF FHBC AB=一、单选题1．（2022·山东临沂·统考中考真题）如图，在ABC 中，DE BC ∥，23AD DB =，若6AC =，则EC =（）A ．65B ．125C ．185D ．2452．（2023·全国·统考中考真题）如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．若23AD BD ==，，则AEAC的值是（）A．25B．123．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线和点D、E、F，若:AB BCA．4B．7 4．（2020·辽宁营口·中考真题）如图，在△8．（2020·吉林·统考中考真题）如图，三、解答题9．（2018·湖南永州·中考真题）如图BC、AC上，CD是边AB上的高，（1）求正方形DFGI 的边长；（2）如图2，延长AB 至P ．使得AC ＝CP ，将矩形EFGH 沿BP 的方向向右平移，当点G 刚好落在CP 上时，试判断移动后的矩形与△CBP 重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？（3）如图3，连接DG ，将正方形DFGI 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到正方形DF ′G ′I ′，正方形DF ′G ′I ′分别与线段DG 、DB 相交于点M 、N ，求△MNG ′的周长．一、单选题A ．132．ABC 中，直线A ．AD CEDB AE=3．如图，已知：AB 、A ．23AO OB =，DO OC C ．25AO AB =4．如图，已知直线1ABA．1 35．如图，点A，E，结论中错误的是（A．AGAD＝AE AF6．如图，直线l1∥E、F，AC与DF相交于点37．如图，DE∥BC，DFAE DF2)5A ．AF BGAB BE=B ．FG GD 二、填空题11．如图，已知AE BC ∥，AC 12．如图，已知AE CFEB FD=，则DE FG13．如图，//中，AD是中线，14．如图，在ABC则AF=____________．的中线AD 15．如图，ABC16．如图，△ABC的两条中线18．如图，在ABC 中，90,8,6,ACB AC BC AD ∠=︒==为边BC 上的中线，BE 是ABC 的角平分线，,AD BE 交于点F ．则EF 的长为______．三、解答题20．已知，如图，在(1)AB ACDB EC =(2)AD AEAB AC=．21．在ABC 中，点D (1)3cm =AD ，4cm DB =(2)6cm AD =，BD =(3)8cm AD =，16cm AC =(4)2AB BD =，2AC =22．如图，123l l l ∥∥23．如图，E 为平行四边形AD 于点F ，求BF 24．在ABC 中，2AB AC =，求证：AF AG =．25．如图，ABCD Y 中，过D 26．如图，P 为ABCD Y 对角线27．如图，已知菱形ABCD 中，AC 交EF 于点M ，点N 在AC(1)求证：BCE FCM ∠=∠(2)若3BC =，1BE =，求28．已知：在ABCD 中，于G ，延长DG 交BC 于H(1)如图1，若点E 与点C 重合，且5AF =，求AD 的长；(2)如图2，连接FH ，求证：AFB HFB ∠=∠；(3)如图3，连接AH 交BF 于M ，当M 为BF 的中点时，请直接写出AF 与FH 的数量关系．。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题14 平行线分线段成比例阅读与思考平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：例题与求解【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．（上海市竞赛试题）解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）A ．3︰2︰1B ．4︰2︰1C ．5︰4︰3D ．5︰3︰2（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．ABCDEGH MQA BCDEFP【例3】如图，□ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R，交CD，AD于S，T．求证：PQ•PT＝P R•PS．（吉林省中考试题）解题思路：要证PQ•PT＝P R•PS，需证PQPS＝PRPT，由于PQ，PT，P R，PS在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．【例4】梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC．（1）如图1，如果P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB＝PE＋PF；（2）如图2，如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB＝PE＋PF这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．（上海市闵行区中考试题）解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB＝PE＋PF，即要证明PEAB＋PFAB＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．AB CDEFP图2AB CDEFP图1QARBCDSP【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．求证：MN ＋PQ ＝2PN ．解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．（浙江省竞赛试题）【例6】已知：△ABC 是任意三角形．（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且AM AB ＝13，AN AC ＝13，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．（济南市中考试题）解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．ABCM NP图1ABC MN1P 2P 图2AMNBC1P 2P 2009P 图3QA BCDEFGM NP能力训练A 级1．设K ＝a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．（杭州市中考试题）4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．（重庆市中考试题）5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则ab 的值为（ ） ABCD6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）A ．1︰10B ．1︰9C ．1︰8D ．1︰77．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4B ．8C ．12D ．168．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝35BC ，则BE ︰EA 等于（ ）A ．3︰5B ．2︰5C ．2︰3D ．3︰2A BCD E F 第2题ABCD M N第3题ABCDEFGH第4题A BCEFG第5题ABCDE F第6题QABCP第7题AB CDEF 第8题9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点．（要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）（山西中考试题）10．如图，已知在□ABCD 中，E 为AB 边的中点，AF ＝12FD ，FE 与AC 相交于G ． 求证：AG ＝15AC ．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD ． （1）求证：OE ＝OF ； （2）求OE AD ＋OEBC的值； （3）求证：1AD ＋1BC ＝2EF． （宿迁市中考试题）ABCDE FGO第9题ABCDEG第10题ABCD EFO第11题12．如图，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底边AD 上的一点，CE 的延长线与BC 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线交CD 的延长线于点M ，MB 与AD 交于点N ．求证：∠AFN ＝∠DME ．（全国初中数学联赛试题）B 级1．如图，工地上竖立着两根电线杆AB ，CD ，它们相距15cm ，分别自两杆上高出地面4m ，6m 的A ，C 处，向两侧地面上的E ，D 和B ，F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆，那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为＿＿＿＿m ．（全国初中数学联赛试题）2．如图，□ABCD 的对角线交于O 点，过O 任作一直线与CD ，BC 的延长线分别交于F ，E 点．设BC ＝a ，CD ＝b ，CF ＝c ，则CE ＝＿＿＿＿．（黑龙江省中考试题）3．如图，D ，F 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且AD ︰DB ＝CF ︰F A ＝2︰3，连结DF 交BC 边的延长线于点E ，那么EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（“祖冲之杯”邀请赛试题）4．如图，设AF ＝10，FB ＝12，BD ＝14，DC ＝6，CE ＝9，EA ＝7，且KL ∥DF ，LM ∥FE ，MN ∥ED ，则EF ︰FD ＝＿＿＿＿．（江苏省竞赛试题）ABCDEF M NP ABCDEF O第2题ABCD EF 第3题QABCD EF 第1题5．如图，AB ∥EF ∥CD ，已知AB ＝20，CD ＝80，那么EF 的值是（ ） A ．10B ．12C ．16D ．18（全国初中数学联赛试题）6．如图，CE ，CF 分别平分∠ACB ，∠ACD ，AE ∥CF ，AF ∥CE ，直线EF 分别交AB ，AC 于点M ，N ．若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，且c ＞a ＞b ，则EM 的长为（ ）A ．2c a- B ．2a b- C ．2c b- D ．2a b c+- （山东省竞赛试题）7．如图，在□ABCD 的边AD 延长线上取一点F ，BF 分别交AC 与CD 于E ，G ．若EF ＝32，GF ＝24，则BE 等于（ ）A ．4B ．8C ．10D ．12E ．16（美国初中数学联赛试题）8．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于点F ，则AF ︰FD 的值是（ ）A ．2B ．53C ．32D ．1（黄冈市竞赛试题）9．如图，P 是梯形ABCD 的中位线MN 所在直线上的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线CD 于E ，F ．求证：MN NP ＝1()2AE BFEP FP+． （宁波市竞赛试题）ABCD EFG第7题ABCDE F第8题ABCD E F MNP第9题A BCDE F第5题ABCD EF L KM N第4题AB CDEFM第6题10．如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，直线l 平行于BD 且与AB ，DC ，BC ，AD 及AC 的延长线分别交于点M ，N ，R ，S 和P ．求证：PM ·PN ＝P R ·PS ．（山东省竞赛试题）11．如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，B ，D 是垂足，AD 和BC 交于E ，EF ⊥BD 于F ．我们可以证明：11AB CD +＝1EF 成立（不要求证出）．以下请回答：若将图中垂直改为AB ∥CD ∥EF ，那么， （1）11AB CD+＝1EF 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （2）请找出S △ABD ，S △BED 和S △BDC 的关系式，并给出证明．（黄冈市竞赛试题）ABCDEF第11题SA R BC DMN OPl第10题12．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，过D点的直线PQ交边AC于点P，交边AB 的延长线于点Q．（1）如图1，当PQ⊥AC时，求证：11AQ AP+；（2）如图2，当PQ不与AD垂直时，（1）的结论还成立吗？证明你的结论；（3）如图3，若∠BAC＝60°，其它条件不变，且11AQ AP+＝nAD，则n＝＿＿＿＿（直接写出结果）AQ B CDP图1AQB CDP图2AQB CDP图3专题14 平行线分线段成比例例1aba b+ 提示：由AP DQ a PF QF b ==,推得PQ ∥AD 。

平行线分线段成比例（一）线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ：CD=__________，或写成ABCD =_________，其中AB ，CD 分别叫做这个线段比的__________、___________。

注意事项：1.确定两条线段的比的关键是两条线段的长度单位要统一2.两条线段的比值是长度比，所以结果是正数，没有单位3.图上距离与实际长度的比值通常称为比例尺例1、已知a ＝0.2，b ＝1.6，c ＝4，d ＝12，则下列各式中正确的是( )A ．a ∶b ＝c ∶dB ．a ∶c ＝d ∶bC ．a ∶b ＝d ∶cD ．b ∶a ＝d ∶c例2、2013版《中华人民共和国全图》在左下角特别配有一幅放大的钓鱼岛插图，比例尺为1∶1 500 000，已知钓鱼岛东西方长约3.5公里，则在地图上的东西方长约为( )A ．0.002 3 cmB ．0.23 cmC ．4.29 cmD ．0.042 9 cm例3、已知点P 是直线AB 上的点，且AP ：PB=1：2，则AP ：AB=__________例4、已知x:y:z =3:4:5，求： ①x+y+z z；②x+y y+z；③4x+3y−2z x−y+z（二）成比例线段四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于________的比，即a b ＝cd ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称__________．其中，a ，d 叫做__________，b ，c 叫做__________。

注意事项：1. 四条线段a ，b ，c ，d 成比例，只能记作a b ＝cd 或a ：b=c ：d ，不能写成其他形式。

四条线段成比例时，一定要将这四条线段按顺序写出。

2.判断给定的四条线段是否成比例的方法（1）排：先将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好； （2）算：分别求出前两条线段的长度之比与后两条线段的长度之比； （3）判：若这两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是。

平行线分线段成比例定理逆定理
在初中数学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它
表明任何一条平行线都可以把一条线段分成两部分，其长度的比值与
平行线外断点即线段的首尾两点之间的距离比例相等。

这个定理名叫
平行线分线段成比例定理，简称平行分线比例定理。

经典的平行分线
比例定理物理描述如下：将直线AB平分，则AC:CB=AD:DB，即等比
例定理的具体表达形式。

此定理的逆定理叫做平行线分线段成比例逆定理，它表明当知道
平行线分线段的比例时，可以求出平行线与线段的外断点之间的距离。

即若知道AC:CB=AD:DB，则可以求出AD=DBxAC/CB。

平行线分线段成比例定理与其逆定理，只要用到直线上分比例，
就可以用到这两个定理。

有时候我们需要求解一个图形中分比例的线段，应用平行线分线段成比例定理与逆定理是最直接解决的方法。

总的来说，平行线分线段成比例定理及其逆定理是数学中非常重
要的定理，它不仅可以被广泛应用到图形分比例的计算中，而且还可
以作为我们认识数学世界规律性的重要法则。

平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理，也被称为延长线分线段成比例定理，是初中数学中的一个重要定理。

它是指当一条直线与两条平行线相交时，所相交的线段在平行线上的投影之间成等比例。

本文将介绍该定理的证明方法。

我们来看一下平行线分线段成比例定理的表述：设有两条平行线l 和m，直线AB与这两条平行线相交于点C和D，点E是直线AB上的一个任意点。

那么，有线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。

接下来，我们开始证明平行线分线段成比例定理。

我们假设线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。

我们要证明的是，当直线AB与平行线l和m相交时，线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。

根据平行线分线段成比例定理，我们可以得到以下等式：CE/DE=AC/BD接下来，我们需要利用一些几何性质来证明这个等式。

我们可以利用相似三角形的性质。

根据平行线的性质，我们可以得到∠ACB=∠CDE和∠BDC=∠CED。

因此，三角形ACB与三角形CDE相似，三角形BDC与三角形CED相似。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AC/CE=AB/DE （1）BD/DE=AB/CE （2）接下来，我们将等式（1）和等式（2）相除，得到：(AC/CE)/(BD/DE)=(AB/DE)/(AB/CE)AC/BD=CE/DE因此，我们得到了CE/DE=AC/BD的等式，即平行线分线段成比例定理成立。

通过上述推导，我们可以看出，平行线分线段成比例定理的证明方法主要依赖于相似三角形的性质。

通过利用相似三角形的性质，我们可以得到线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。

平行线分线段成比例定理在数学中有着广泛的应用。

例如，在解决平面几何问题时，我们经常会利用该定理来求解未知线段的长度。

同时，在解决实际问题时，该定理也能为我们提供有效的解题思路。

平行线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理。