平行线分线段成比例定理(一)

平行线分线段成比例定理讲义
二、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比
例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
如图1-1
图1-1
若，则，(或；或)
定理的证明“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论
之一：
(1)简称“上比下”等于“上比下”
(2)简称“上比全”等于“上比全”
(3)简称“下比全”等于“下比全”
把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.
2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
主要的基本图形：
1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP
交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.
2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
求证：EF：FD=CA：CB.
图2-2又AD=BE
∴.
证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.。

平行线分线段成比例定理（一）教学内容：平行线分线段成比例定理。

教学目点：1、使学生了解平行线分线段成比例定理的正确性的说明。

2、使学生会用平行线分线段成比例定理进行证明和计算。

重点难点：难点是定理正确性的说明；重点是定理的应用。

教学过程：一、引入：同学们我们先一起来思考下面一个问题：（出示幻灯1）一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？引导学生回答后教师作如下总结：这就是我们前面所学的平行线等分线段定理，他讨论的是平行线截直线相等的情况，那么如果截的线段不相等呢？（出示幻灯2），这就是我们今天要学习的内容：（出示课题）5．2平行线分线段成比例定理（第一教时）二、新授：1、观察幻灯2，一组平行直线L 1//L 2//L 3截直线a 上的线段AB 、BC 长度之间（除不等外）不存在着什么关系呢？同样截直线b 上的线段DE 、EF 长度之间存在着什么关系呢？板书：由L 1//L 2//L 3可得：32=BC AB ；32=EF DE 所以：32==EF DE BC AB 2、观察幻灯3，彷上分析得： 板书：由L 1//L 2//L 3可得：53=BC AB ；53=EF DE 所以：53==EF DE BC AB 3、引导学生初步总结出平行线分线段成比例定理，同时教师按课本进行P209第5行至第12行师生共同得出定理。

同时出示幻灯4.（定理的内容及对应规则）。

4、学生练习：（出示幻灯4）选择题：（1） 如图1，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式 中错误的是：（ ） A ．DF BD CE AC = B.BFBD AE AC = C. BF DF AE CE = D.AC BD BF AE =（2） 如图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式 A B L 1C D L 2 E F L 3 A B L 1C D L 2中成立的是：（ ）A ．BC CE DF AD = B.AFBC BE AD = C. BC AD DF CE = D.CE BE DF AF = 根据学生的回答情况对定理内容最进行一次总结，重点是对应两字。

平行线分线段成比例定理【重点难点解析】重点：平行线分比例线段定理与三角形一边的平行线的性质和判定.难点：平行线分线段成比例定理及推论的应用.【命题趋势分析】利用平行线分线段成比例定理及相关推论，进行证明和计算是考试热点，在中考中常以填空题、选择题、计算题、证明题和作图题出现，解题时要结合比例性质.核心知识【基础知识精讲】本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.1.平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例(2)定理的基本图形(5.2-1)若l1∥l2∥l3，则＝，＝，＝2.平行线分线段成比例推论(1)推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.(2)推论的基本图形(如图5.2-2)若DE∥BC，则＝3.三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角的两边(或两边的延长线)所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4.相似三角形性质定理的预备定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的三边成比例(如图)△ABC中，若DE∥BC，则＝＝上述基础知识①用来证明线段成比例；②证明直线平行；③证明两三角形相似；④已知三条线段，作第四比例项. 典型例题例1 如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE∶ED＝1∶3，BE的延长线交AC于F.求AF∶FC.例2 如图，D为△ABC的AC边上一点，E为CB延长线上一点，且＝，求证：AD＝EB.例3 已知：如图，△ABC中，DE∥BC，AC＝6，AD＝6，CE＝2，则BD的长为多少？例4 如图，已知AD为△ABC中∠BAC的平分线，求证：＝.【课本难题解答】例1 在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP∶CP＝BD∶CE.(如图5.2-11)(P255 A.18)例2 如图5.2-12，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E.求证：AE∶ED＝2AF∶FB例3 为了求出海岛上的山峰AB的高度、在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步(1步等于6尺)，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在同一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上，求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少?(如图5.2-13)(P256B.17)补充一些小问题1.怎样用三角形面积公式证明平行线分线段成比例定理？2.平行线分线段成比例定理有没有逆定理？3.如图，D为△ABC的AB边上一点，过D点作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，求证：GH∥AB.4.如图，已知AC∥BD，BD⊥AB，AD、BC相交于E，EF⊥AB于F.求证：- ＝.5.如图，D、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且AD∶DB＝CF∶FA＝2∶3连DF交BC的延长线于E.求EF∶FD.6.已知：如图，在□ABCD 中，E 是AB 的中点，在AD 上截取AF＝FD，EF交AC于G.求证：＝.7.如图，在△ABC(AB＞AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，线段DE和BC的延长线交于点P.求证：BP∶CP＝BD∶CE8.如图，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于点F，求AF的长. 【典型例题】例1 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.（1）求证：AF：AD=AD：AB（2）若AF=4，FB=5，求FD的长.（1）证明：∵EF∥DC，∴AF：AD=AE：AC∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC∴AF：AD=AD：AB（2）AF=4，FB=5，∴AB=9，由AD2=AF·AB，∴AD=6，FD=2.AB C D EFD例2 如图，M为ABCD一边AD的中点，BM交AC于点P，若AC=6cm，求PC的值.例3 如图，若DE∥AB，FD∥BC，ADAC=23，AB=9cm，BC=6cm，求BEDF的周长.例4 如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于D。

平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. *（2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则E F A FF C F D+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； E AO（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

3.1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题。

在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比。

在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF =。

当然，也可以得出AB DEAC DF=。

在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例。

例1 如图3.1-2， 123////l l l ，且2,3,4,AB BCD F ===求,DE EF 。

解:32,//l //l l 321==∴EF DE BC AB , ∴28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC ∆中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，图 3.1-1 图3.1-2求证：AD AE DEAB AC BC==。

证明（1）//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ ADE∆∴∽ABC ∆，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2）如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=。

过E 作//EF AB 交AB 于D ，得□BDEF ,因而.DE BF =//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DEAB AC BC∴== 从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

平行线分段成比例的定理平行线分段成比例的定理概述平行线分段成比例的定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。

该定理在解决平面几何问题时经常被使用，特别是在求解三角形相似性问题时。

定义在平面几何中，如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

符号表示设有两条平行线l和m，它们分别与另一条直线n相交于A、B、C、D四点。

则有：AB/BC = AD/DC证明我们可以使用相似三角形来证明这个定理。

具体步骤如下：步骤1：连接AC和BD两条对角线，并延长BD至E点。

步骤2：由于l和m是平行的，所以∠ABC = ∠ACD（同旁内角）。

步骤3：同样地，由于n与l和m相交，所以∠ABC = ∠ADE（同旁内角）。

步骤4：因此，∆ABC与∆ADE是相似三角形。

步骤5：根据相似三角形的定义，我们可以得到：AB/AD = BC/DE步骤6：又因为BD = AD + DE，所以有：AD/BD = AD/(AD + DE) = AB/(AB + BC)步骤7：移项可得：AB/BC = AD/DC结论根据上述证明过程，我们可以得出结论：如果一条直线被两条平行线分割，那么这条直线上任意两点所构成的线段与其中一条平行线所构成的对应线段之间的比值相等。

应用平行线分段成比例的定理在解决平面几何问题时经常被使用。

以下是一些常见的应用场景：1. 求解三角形相似性问题：当两个三角形中有两个角分别相等时，我们可以使用该定理来判断它们是否相似。

2. 求解平面图形内部点的位置关系：当一个点在一个多边形内部时，我们可以使用该定理来判断它到多边形各边的距离关系。

3. 求解直线交点坐标问题：当两条直线之间存在比例关系时，我们可以使用该定理来求出它们的交点坐标。

总结平行线分段成比例的定理是几何学中一个重要且实用的定理，它描述了一条直线被平行线分割后所得到的两个线段之间的比例关系。