数学建模第二章作业答案章绍辉

1.1 解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容积的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即估计出人体的血液总量。

注意采集和测量的时间要选择适当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收。

（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计出其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率。

（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值。

为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间。

还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间。

（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速度已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点的时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度成正比，并由试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离1S ，设通过十字路口的距离为2S ，汽车行驶的速度为v ，则黄灯的时间长度t 应使距停车线1S 之内的车能通过路口，即12()/t S S v ≈+。

1S 可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响。

（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金觉得应该维修或更新（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层。

1.2（1）分析商品的价格C 与商品重量W 的关系.价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。

(2)给出单位重量价格C 与W 的关系。

画出它的简图，说明W 越大C 越小，但是随着W 的增加C 减小的程度变小。

解释实际意义是什么。

数学建模章绍辉版作业 Last revised by LE LE in 2021第四章作业第二题：针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。

下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。

1、 问题假设大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设（1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为032D;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ；（2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0；在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ；（3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量无关。

2、 符号说明酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克；酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时）；()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）；(t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）；~V 中心室的容积（百毫升）；1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）；2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）；3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V . 3、 模型建立和求解（1） 酒是在很短时间内喝的：记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113212()k t k t k k c t e e k k --=--来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ⎛⎫== ⎪⎝⎭.下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。

智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案第一章单元测试1.数学模型是根据特定对象和特定目的，做出必要假设，运用适当数学工具得到一个数学结构的理论表述。

答案：对2.数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。

通过抽象、简化、假设、引入变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，是对实际问题的完全解答和真实反映，结果真实可靠。

答案：对3.数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述。

数学建模就是建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验）。

答案：对4.数学模型（Mathematical Model）强调的是过程；数学建模（Mathematical Modeling）强调的是结果。

答案：错5.人口增长的Logistic模型表明人口增长过程是先快后慢。

答案：对6.MATLAB的主要功能包括符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口和数值计算。

答案：符号计算、绘图功能、与其他程序语言交互的接口、数值计算7.Mathematica的基本功能包括语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（XXX）和图像处理（Graphics）。

答案：语言功能（Programing Language）、符号运算（Algebric n）、数值运算（Numeric n）、图像处理（Graphics）8.数值计算是Maple、MATLAB和Mathematica的主要功能之一。

答案：Maple、MATLAB、XXX9.评阅数学建模论文的标准包括表述的清晰性、建模的创造性和论文假设的合理性。

答案：表述的清晰性、建模的创造性、论文假设的合理性10.中国（全国）大学生数学建模竞赛（CUMCM）每年举办一次。

该竞赛开始于70年代初。

答案：一年举办一次，开始于70年代初。

10、微分方程模型可以用于描述物体动态变化过程，并且可以用来预测对象特征的未来状态。

《数学模型》作业解答第一章（2008年9月9日）4．在“椅子摆放问题”的假设条件中，将四脚的连线呈正方形改为呈长方形，其余条件不变.试构造模型并求解.解：设椅子四脚连线呈长方形ABCD. AB 与CD 的对称轴为x 轴，用中心点的转角θ表示椅子的位置.将相邻两脚A 、B 与地面距离之和记为)(θf ;C 、D 与地面距离之和记为)(θg .并旋转0180.于是，设,0)0(,0)0(=g f 就得到()()0,0=ππf g .数学模型：设()()θθg f 、是[]π2,0上θ的非负连续函数.若[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f ,且()()()()0,0,00,00==ππf g f g ,则[]πθ2,00∈∃,使()()000==θθg f .模型求解:令)()()(θθθg f h -= .就有,0)0( h 0)(0)()()( ππππg g f h -=-=.再由()()θθg f ,的连续性,得到()θh 是一个连续函数. 从而()θh 是[]π,0上的连续函数.由连续函数的介值定理：()πθ,00∈∃,使()00=θh .即()πθ,00∈∃,使()()000=-θθg f .又因为[]πθ2,0∈∀,有()()0=θθg f .故()()000==θθg f .8. 假定人口的增长服从这样的规律：时刻t 的人口为)(t x ,单位时间内人口的增量与)(t x x m -成正比（其中m x 为最大容量）.试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果比较.解：现考察某地区的人口数，记时刻t 的人口数为()t x （一般()t x 是很大的整数）,且设()t x 为连续可微函数.又设()00|x t x t ==.任给时刻t 及时间增量t ∆,因为单位时间内人口增长量与)(t x x m -成正比, 假设其比例系数为常数r .则t 到t t ∆+内人口的增量为：()()()t t x x r t x t t x m ∆-=-∆+)(. 两边除以t ∆,并令0→∆t ,得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(x x x x r dtdxm 解为rtm m e x x x t x ---=)()(0如图实线所示，当t 充分大时 m x 它与Logistic 模型相近.0x t9．为了培养想象力、洞察力和判断力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面 或反面思考.试尽可能迅速回答下面问题：（1） 某甲早8：00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿. 次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅店.某乙说，甲必在两天中的同一时刻经 过路径中的同一地点.为什么？（2） 37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者 进入下一轮，直至比赛结束.问共需进行多少场比赛，共需进行多少轮比赛.如果是n 支球队比赛呢？（3） 甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻 不一定相同.甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约10天到达乙站.问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（4） 某人家住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的 妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子象往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常 提前了10分钟.问他步行了多长时间？（5） 一男孩和一女孩分别在离家2 km 和1 km 且方向相反的两所学校上学，每天 同时放学后分别以4 km/h 和2 km/h 的速度步行回家.一小狗以6 km/h 的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？解：（1）方法一：以时间t 为横坐标，以沿上山路径从山下旅店到山顶的行程x 为纵坐标， 第一天的行程)(t x 可用曲线（I ）表示 ，第二天的行程)(t x 可用曲线（I I ）表示，（I ）（I I ）是连续曲线必有交点),(000d t p ,两天都在0t 时刻经过0d 地点.方法二：设想有两个人， 一人上山，一人下山，同一天同 时出发，沿同一路径,必定相遇. 0d t早8 0t 晚5方法三：我们以山下旅店为始点记路程,设从山下旅店到山顶的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从山顶到山下旅店的路函数为)(t g ,并设山下旅店到山顶的距离为a (a >0).由题意知：,0)8(=f a f =)17(,a g =)8(,0)17(=g .令)()()(t g t f t h -=,则有0)8()8()8(<-=-=a g f h ，0)17()17()17(>=-=a g f h ，由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]17,8[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =.（2）36场比赛，因为除冠军队外，每队都负一场；6轮比赛，因为2队赛1轮，4队赛2轮，32队赛5轮. n 队需赛1-n 场，若k k n 221≤- ，则需赛k 轮.（3）不妨设从甲到乙经过丙站的时刻表是8：00，8：10，8：20，…… 那么从乙到甲经过丙站的时刻表应该是8：09，8：19，8：29……（4）步行了25分钟.设想他的妻子驾车遇到他后，先带他前往车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车多跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻应该是5：55.（5）放学时小狗奔跑了3 km .孩子上学到学校时小狗的位置不定（可在任何位置），因为设想放学时小狗在任何位置开始跑，都会与孩子同时到家.之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗初始跑动的那一瞬间，方向无法确定.10*. 某人第一天上午9：00从甲地出发，于下午6：00到达乙地.第二天上午9：00他又从乙地出发按原路返回，下午6：00回到甲地.试说明途中存在一点，此人在两天中同一时间到达该处.若第二天此人是下午4：00回到甲地，结论将如何？答：（方法一）我们以甲地为始点记路程,设从甲地到乙地的路程函数为)(t f (即t 时刻走的路程为)(t f ),同样设从乙地到甲地的路函数为)(t g ,并设甲地到乙地的距离为a (a >0).由题意知：,0)9(=f a f =)18(,a g =)9(,0)18(=g . 令)()()(t g t f t h -=,则有0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)18()18()18(>=-=a g f h 由于)(t f ,)(t g 都是时间t 的连续函数,因此)(t h 也是时间t 的连续函数,由连续函数的介值定理,]18,9[0∈∃t ,使0)(0=t h ,即)()(00t g t f =. 若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确,这是因为0)9()9()9(<-=-=a g f h ，0)16()16()16()16(>=-=f g f h .（方法二）此题可以不用建模的方法,而变换角度考虑：设想有两个人，一人从甲地到乙地,另一人从乙地到甲地,同一天同时出发,沿同一路径,必定相遇.若第二天此人是下午4：00回到甲地,则结论仍然正确.《数学模型》作业解答第二章(1)（2008年9月16日）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y由量纲i P 定理得 1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数. 16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1)由量纲i P 定理 得 g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()()(120011010001010k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g l t =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mg kl =π ∴)(2/12/1mg kl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1g m l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l mm '='时， 就有 ll l g g l tt '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rTc T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 rc c T 21*2= ⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆ni Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kTT r k r c 2)(2⋅-=于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c Tc dT dC 2)(221-+-=. 0=dT dC令, 得)(221r k r c k c T -=* 易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，Tr k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TT t <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β )(2)8322(22022bp a TT t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(m ax 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天） 根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 925002+-=TdT dC又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k)(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域. 直线l ：20x+30y=c 在可行域内 平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值. 由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 m ax S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：货物 体积（立方米/箱）重量 （百斤/箱）利润 （百元/箱）甲 5 2 20 乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 m ax x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值 由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和32ll1x1l2x个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得⎩⎨⎧==2020y x .m ax S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明：（1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s（2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0 .01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ.0)(lim .0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s ,1,10 dtdit s s σσσ从而则若()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt3种情况下的血药浓度曲线如下：第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e eba v aw Q v bl a vl β ()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈　ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay ak t y t x =-=-===时，当 即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.02k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点； ②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dtdx ．∴0x 不稳定；③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h即 )1(max Nxrx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ． 2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h Ex()x f由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即 02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点； ② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max Nx rx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β （1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 2 12,1<⇔<∴αβλ即平衡稳定的条件为2<αβ与207P 的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-=则,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11k k k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y k k k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3）（1）代入（3），可得)2(0102x x x x x k k k -+-=-++αβ ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4）上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程.为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为 48)(22,1αβαβαβλ-±-= ---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．。

选修课——数学建模部分习题详细解答【陈文滨】1、在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？【模型假设】（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断 (没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面．这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．为保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的．因为在地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰(即使是连续变化的)，此时三只脚是无法同时着地的。

【模型建立】在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来．首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动．生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换．然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的．于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形．注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来．我们知道，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地．由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数．由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数．而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0．因此，只需引入两个距离函数即可．考虑到长方形ABCD是中心对称图形，绕其对称中心 O沿逆时针方向旋转180°后，长方形位置不变，但A,C和B,D对换了．因此，记A、B两脚与地面竖直距离之和为f（θ），C、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

智慧树知到《科学计算与数学建模》章节测试答案第一章单元测试名称科学计算与数学建模1、【单选题】(20 分)以下哪种误差可以完全避免？BA.模型误差B.过失误差C.舍入误差D.观察误差E.截断误差2、【单选题】(20 分)关于误差的衡量，哪个是不准确的？DA.相对误差B.绝对误差C.百分误差D.估计误差3、【单选题】(20 分)进行减法运算时，要尽量做到（C ）？A.数的量级相差不要太大B.避免相近的数相减C.避免相近的近似数相减D.不用管，直接计算即可4、【单选题】(20 分)算法的计算复杂性可以通过来衡量?DA.循环嵌套的次数B.加法的次数C.程序的长短D.算法的时间复杂度5、【单选题】(20 分)在数学建模过程中，要遵循尽量采用(A ) 的数学工具这一原则，以便更多人能了解和使用?A.简单B.复杂C.图形化第二章单元测试名称科学计算与数学建模1、【单选题】(20 分)若n+1 个插值节点互不相同，则满足插值条件的n 次插值多项式（C ）？A.不一定存在B.存在但不唯一C.唯一存在D.一定不存在2、【单选题】(20 分)三次样条函数的插值条件中，最多可以插值于给定数据点的阶导数？CA.0B.1C.2D.33、【单选题】(20 分)当要计算的节点x 靠近给定数据点终点xn 时，选择公式比较合适？BA.Newton 向前插值B.Newton 向后插值grange 插值D.直接多项式插值4、【单选题】(20 分)n+1 个点的插值多项式，其插值余项对f（x）一直求到（C ）阶导数？A.n-1B.nC.n+1D.n+25、【判断题】(20 分)三次样条插值只需要插值节点位置即可。

BA.对B.错第三章单元测试名称科学计算与数学建模对应章节第三章1、【单选题】(20 分)有4 个不同节点的高斯求积公式的代数精度是CA.5B.6C.7D.82、【单选题】(20 分)复合Simpson 求积公式具几阶收敛性BA.4B.3C.5D.63、【单选题】(20 分)AA.2B.3C.2.5D.44、【单选题】(20 分)以下哪项不属于数值求积的必要性？CA.f（x）的结构复杂，求原函数很困难。

第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲剖析方法确立风车获取的功率P与v、S、的关系.设P、v 、、的关系为f(P,v,s,)0，其量纲表达式为: S[P]=ML2T3,[v]=LT1,[s]=L2,[]=ML3,这里L,M,T是基本量纲.量纲矩阵为：2123(L)A=1001(M)3100(T) (P)(v)(s)(齐次线性方程组为：2y1y22y33y40y1y403y1y20它的基本解为y(1,3,1,1)由量纲P i定理得P1v3s11，P v3s11，此中是无量纲常数.16．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数和重力加快度g相关，此中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比率系数为粘滞系数，用量纲剖析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,g的关系为f(v,,,g)=0.其量纲表达式为[v]=LM0T-1，[]=L-3M T0，[-2-1-1-1-2-2-2-1-10-2,此中L，M，T是基本量纲. ]=MLT（LT L）L=MLLT T=L MT，[g]=LMT量纲矩阵为1311(L)A=0110(M)1012(T)(v)()()(g)齐次线性方程Ay=0，即组y1-3y2-y3y40y2y30-y1-y3-2y40的基本解为y=(-3,-1,1,1)第一章作业解答第1页共23页由量纲P i定理得v31g.v3g，此中是无量纲常数.16*．雨滴的速度v与空气密度、粘滞系数、特点尺寸和重力加快度g相关，此中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比率系数为粘滞系数，用量纲剖析方法给出速度v的表达式.解：设v,,,，g的关系为f(v,,,,g)0.其量纲表达式为0-1，[]=L -30-2-1-1-1-2-2-2-1-1，[]=LM0T0，[0-2[v]=LMT MT，[]=MLT（LTL）L=MLLTT=LMT g]=LMT 此中L，M，T是基本量纲.量纲矩阵为11311(L)A=00110(M)10012(T) (v)()()()(g)齐次线性方程组Ay=0即y1y23y3y4y50y3y40y1y42y50的基本解为y1(1,1,0,0,1) 22y2(0,3,1,1,1)22获取两个互相独立的无量纲量1v1/2g1/223/21g1/2即v g1,3/2g1/2111,2)0,得1(21) 2.由(g(3/2g1/21),此中是不决函数.观察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，而后议论物理模拟的比率模型，即如何由模型摆的周期计算原型摆的周期.解：设阻尼摆周期t,摆长l,质量m,重力加快度g，阻力系数k的关系为f(t,l,m,g,k)0第一章作业解答第2页共23页其量纲表达式为：[t]L 0M 0T,[l]LM 0T 0,[m]L 0MT 0,[g]LM 0T 2,[k][f][v]1MLT 2(LT 1)1L 0MT 1，此中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为0 1 0 1 0 (L)0 0 1 0 1 (M) A=0 0 21 (T) 1(t)(l)(m)(g)(k)齐次线性方程组y 2 y 4 0y 3 y 5y 1 2y 4 y 5的基本解为Y 1 (1, 1,0,1,0)22Y 2 (0,1, 1, 1,1)22 获取两个互相独立的无量纲量tl1/2g 1/21l 1/2m 1g 1/2k2∴tl 1,(2),kl 1/2 g 12mg 1/2∴tl (kl 1/2 ) ，此中是不决函数.gmg 1/2考虑物理模拟的比率模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为' ';'.又l kl1/2t ,t ；l ,l m ,m tg(mg 1/2)当无量纲量ml时，就有tl g l .mltg l l《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）第一章作业解答第 3页共23页2．成立不一样意缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k r．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间0 t T0一边生产一边销售，以后的一段时间(T0t T)只销售不生产，画出储存量g(t)的图形.设每次生产准备费为c1，单位时间每件产品储存费为c2，以总花费最小为目标确立最优生产周期，议论k r 和k r的状况.解：由题意可得储存量g(t)的图形以下：gg(t)k rrO T0T tn T(kr)T0T储存费为c2lim g(i)t i c2g(t)dt c22t0i10又()()k rT0rT T0T0r T,储存费变成c2r(kr)T T k2k于是不一样意缺货的状况下，生产销售的总花费（单位时间内）为C(T)c1c2r(kr)T2c1r(kr)T T2kT T c22kdC c1c2r(k r)dT T22k.令dC0,得T2c1k dT c2r(k r)易得函数C(T)在T处获得最小值，即最优周期为：2c1k Tc2r(kr)当k r时，T2c1.相当于不考虑生产的状况.c2r当k r时，T.此时产量与销量相抵消，没法形成储存量.第一章作业解答第4页共23页第三章2（2008年10月16日） 3．在节丛林救火模型中， 假如考虑消防队员的灭快速度与开始救火时的火势 b 相关，试假定一个合理的函数关系，从头求解模型 .解：考虑灭快速度与火势b 相关，可知火势b 越大，灭快速度 将减小，我们作如下假定:k ，(b)b1分母b 1中的1是防备b 0时而加的.总花费函数Cxc 1t 12c 1 2t 12(b1) c 2 t 1x(b 1) c 3x22(kxb)kxb最优解为xc 1kb 2 2c 2b(b 1) (b1) (b1)2c 3k2k5．在考虑最优价钱问题时设销售期为T ，因为商品的消耗，成本q 随时间增添，设q(t)q 0t ，为增添率.又设单位时间的销售量为 xabp(p 为价钱).今将销售期分为0tT 和TtT 两段，每段的价钱固定，记作p 1,p 2.求p 1,p 2的最优值，22使销售期内的总利润最大 .假如要求销售期T 内的总售量为Q 0，再求p 1,p 2的最优值.解：按分段价钱，单位时间内的销售量为a bp 1,0 t T xbp 2,T2a 2 t T又q(t) q 0 t .于是总利润为(p 1,p 2)TTp 2q(t)(abp 2)dt2p 1q(t)(abp 1)dtT2t 2 Tt 2 T =(abp 1)p 1tq 0t2 (abp 2)p 2tq 0tT222=(abp 1)(p 1Tq 0TT 2)(abp 2)(p 2Tq 0t 3T 2)228228第一章作业解答第5页共23页p1b(p1TqTT2)T(abp1) 2282p2T q0t3T2Tp2b(28)(abp2) 22令0,0,获取最优价钱为:p1p2p11a b(q0T)2b4p21a b(q03T)2b4在销售期T内的总销量为TT bTQ02(abp1)dt T(abp2)dtaT(p1p2)22于是获取以下极值问题：max(p1,p2)(abp1)(p1Tq0T T2p2Tq0t3T2 228)(abp2)(228)aT bT(p1p2)Q0 2利用拉格朗日乘数法，解得：p1a Q0Tb bT8p2a Q0Tb bT8即为p1,p2的最优值.第三章3（2008年10月21日）6.某厂每日需要角钢100吨，不一样意缺货.当前每30天定购一次，每次定购的花费为2500元.每日每吨角钢的储存费为元.假定当储存量降到零时订货立刻抵达.问能否应改变订货策略？改变后能节俭多少花费？解：已知：每日角钢的需要量r=100(吨);每次订货费c1＝2500（元）;第一章作业解答第6页共23页每日每吨角钢的储存费c2＝0.18（元）.又此刻的订货周期T0＝30（天）依据不一样意缺货的储存模型：C(T)c11c2rT kr T2得：C(T)25009T100k TdC25009dT T2令dC0，解得：T*250050dT93由实质意义知：当T*50（即订货周期为50）时，总花费将最小.325003503又C(T*)9100k＝300＋100k2500503C(T0)930100k=353．33＋100k30C(T0)－C(T*)＝（353.33＋100k）－（300＋100k）2＝53．33. 3故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T*=50，能节俭花费约53．33元. 3《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A原料1千克,B原料5千克；一件乙产品用A原料2千克,B原料4千克.现有A原料20千克,B原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品x件,乙产品y件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxS=20x+30yx 2y 20s.t.5x 4y 70x,y 0,x,y Z这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线l1：x+2y=20,l2:5x+4y＝70l2y第一章作业解答第7页共23页以及x=0,y=0 构成的凸四边形地区.直线l ：20x+30y=c 在可行域内 l平行挪动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，l 1xS 取最大值.x 2y 20 x 10 由4y70解得55x y此时S max ＝2010305＝350（元）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可赢利润以下表：货物体积重量 利润（立方米/箱）（百斤/箱）（百元/箱）甲 5 2 20乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超出 24立方米，重量不超出 13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所赢利润最大，并求出最大利润 .解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x 1,x 2,所赢利润为z .则问题的数学模型可表示为maxz 20x 1 10x 25x 1 4x 2 24 st2x 15x 213x 1,x 20,x,yZ这是一个整线性规划问题 .用图解法求解 . 可行域为：由直线l 1:5x 14x 224l 2:2x 15x 2 13 及x 1 0,x 2 0构成直线l:20x 1 10x 2c 在此凸四边形地区内平行挪动.x 2l 1l 2 x 1l第一章作业解答第 8页共23页易知：当l 过l1与l 2的交点时，z 取最大值5x 1 4x 2 24 x 1 4由5x 213解得12x 1x 2zmax204 10 190.3．某微波炉生产公司计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉 .已知每台甲型、乙型微 波炉的销售利润分别为 3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为 2和3个单位,所需工时分别为 4和2个单位.若同意使用原料为 100个单位,工时为120个单位, 且甲型、乙型微波炉产量分别不低于 6台和12台.试成立一个数学模型 ,确立生产甲型、乙型微波炉的台数 ,使赢利润最大．并求出最大利润 .解：设安排生产甲型微波炉 x 件,乙型微波炉 y 件,相应的利润为 S.则此问题的数学模型为：maxS=3x+2y 2x 3y 100s.t. 4x 2y 120 x 6,y 12,x,y Z 这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线 l 1：2x+3y=100, l 2:4x+2y ＝120及x=6,y=12构成的凸四边形地区.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形地区内平行挪动 . 易知：当l 过l 1与l 2的交点时,S 取最大值.2x 3y 100 由解得4x 2y 120第一章作业解答第 9页x 20.y20S max ＝320220＝100.《数学模型》作业解答 第五章1（2008年11月12日）关于节传得病的SIR 模型，证明：（1）若s1,则i(t)先增添，在s1处最大，而后减少并趋于零；s(t) 单一减少至s.（2）若s 0 1,( ) 单一减少并趋于零， () 单一减少至s .则it st解：传得病的SIR 模型（14）可写成dii(s1)dtdssidt由dssi,知ds0.s(t)单一减少.而s(t)0.lims(t)s 存在.dtdtt故s(t)单一减少至s.（1）若s 01.由s(t)单一减少.s(t)s 0.当1s s 0时, s10.di0,i(t)单一增添;dt当s1时,s1 0.di 0,i(t)单一减少.dt又由书上(18)式知i 0.即limi(t)0.t第一章作业解答第 10页共23页当s1 时,di0.i(t)达到最大值i m .dt（2）若s 01,则st1,进而s-10.di0.dtit单一减少且limit0.即i0.t4．在节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为a4.b初始兵力x 0与y 0同样.问乙方取胜时的节余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确立.(2) 若甲方在战斗开始后有后备队伍以不变的速率 r 支援,从头成立模型 ,议论如何判断两方的输赢.解:用xt,yt 表示甲、乙开战两方时辰 t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为 :dxaydtdy1bx,dtx0x 0,y0y 0现求(1)的解:(1) 0 a的系数矩阵为Aba2ab0.abEA1,2b1,2对应的特点向量分别为2 ，21 11 的通解为xtC 12e abt2abt .yt 1C 21e再由初始条件，得第一章作业解答第11页共23页xtx 0 y 0e abtx 0 y 0e abt 22 2又由1可得dybx .dx ay其解为ay 2 bx 2 k, 而k ay 02 bx 02 3(1)当xt 1kay 02 bx 02b30时，yt 1ay 01y 0.aa 2即乙方取胜时的节余兵力数为3y 0.2x 0abt 1xabt 10.又令由（）得0,2y 0ey 0ext 122注意到x 0y 0 ,得e2abt1x2y0.e 2abt 13,t 1 ln3 .2y 0x 04b(2) 若甲方在战斗开始后有后备队伍以不变的速率r 支援.则dxayrdtdy4bxdtx(0)x 0,y0y 0由4得dxayr,即bxdxaydyrdy.相轨线为ay 22rybx 2k,dybxr 2r222ry2bx 211中的轨线上移了kay 00bx .0或ayak.此相轨线比书图a第一章作业解答第12页共23页rr2r2b2a .乙方取胜的条件为k0,亦即y 0aa x 0a 2.《数学模型》作业解答 第六章（2008年11月20日） 1.在节打鱼模型中，假如渔场鱼量的自然增添仍听从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就h rN/4，h rN/4，h rN/4这3种状况议论渔场鱼量方程的均衡点及其稳定状况．如何获取最大连续产量，其结果与节的产量模型有何不一样．解：设时辰 t 的渔场中鱼的数目为 xt ，则由题设条件知： xt 变化规律的数学模型为dx(t) rx(1 x )hdt N记F(x)rx(1x )hN(1). 议论渔场鱼量的均衡点及其稳固性：由Fx0，得rx(1x)h0．N即 r x 2rxh1Nr 24rh r(r 4h ) ，N NN1 4hNrN(1)的解为：x 1,22①当h rN /4，0，(1) 无实根，此时无均衡点；②当hrN /40 ，(1) N.，有两个相等的实根，均衡点为x 02F '(x)r(1x ) rx r2rx，F '(x 0) 0不可以判定其稳固性.N NN但xx 0及xx 0 均有F(x) x rN 0 ，即dx 0． x 0不稳固；rx(1)dtN4③当hrN/4， 0时，获取两个均衡点：第一章作业解答第13页共23页N14h Nx 1rN ， x 22N ，x 2N易知：x 12214h NrN 2，F '(x 1)0，F '(x 2)均衡点x 1不稳固，均衡点 x 2稳固.最大连续产量的数学模型为maxhh rN /4 s.t.F(x)h rN /4 即maxhrx(1x)，h rN /4rx1x/NN易得x 0*N此时hrN ，x 1N/2x 2x24但x 0*N这个均衡点不稳固．这是与节的产量模型不一样之处．2要获取最大连续产量，应使渔场鱼量xN，且尽量靠近N，但不可以等于N．2222.与Logistic 模型不一样的另一种描绘种群增添规律的是Gompertz 模型：x 't rxlnN．其x中r 和N 的意义与Logistic 模型同样．设渔场鱼量的自然增添听从这个模型，且单位时间捕捞量为 hEx ．议论渔场鱼量的均衡点及其稳固性，求最大连续产量 h m 及获取最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平 x *0．解：xt 变化规律的数学模型为dxt NrxlnExdtx记F(x)rxln NExx0，得rx lnNE①令FxEx 0x 0 Ne r ，x 10．x均衡点为x 0,x 1.又F 'xrlnNr E ，F 'x 0r0,F 'x 1．x均衡点x o 是稳固的，而均衡点 x 1不稳固.yrxlnNx yEx第一章作业解答第14页共23页yfxNex 0xrNe②最大连续产量的数学模型为：maxh ExNs.t.rxln Ex 0,x 0.xE由前方的结果可得h ENe rdh EEN ENe rr ，令dh0.dE erdE得最大产量的捕捞强度E m r ．进而获取最大连续产量h m rN/e ，此时渔场鱼量水平x 0*N．e3．设某渔场鱼量x(t)(时辰t渔场中鱼的数目)的自然增添规律为：dx(t)rx(1 x ) 此中r 为固有增添率,N`为环境允许的最大鱼量.dth .N而单位时间捕捞量为常数10．求渔场鱼量的均衡点,并议论其稳固性;2 0．试确立捕捞强度E m ,使渔场单位时间内拥有最大连续产量Q m ,求此时渔场鱼量水平x 0*.解：10．x(t)变化规律的数学模型为dx(t) rx(1x ) hdtN记f(x) rx(1x ) h,令rx(1x)h0 ，即r x 2 rx h0 ----（1）NNN4rh4hN1 4h Nr 2r(r) ，（1）的解为：x 1,2rNN N2①当 0时，（1）无实根，此时无均衡点； ②当0 时，（1）有两个相等的实根，均衡点为f '(x)r(1x ) rx r 2rx，f '(x0)0NNNx )rN但xx 0 及xx 0均有f(x)rx(1N4③当0时，获取两个均衡点：x 0N .2不可以判定其稳固性 .0，即dx x 0不稳固；dt第一章作业解答第 15页共23页N N4hN N4h 11x1rN，x2rN22易知x1Nx2Nf'(x1)0，f'(x2)0，22均衡点x1不稳固，均衡点x2稳固.20．最大连续产量的数学模型为：maxhs.t.f(x)0即maxh rx(1x)，易得x0*N此时h rN，但x0*N这个均衡点不稳固. N242要获取最大连续产量，应使渔场鱼量x N,且尽量靠近N N 22,但不可以等于.2《数学模型》作业解答右下列图是5位网球选手循环赛的结果，作为比赛图，它是双向连通的吗？找出几条完整路径，用适合方法排出5位选手的名次.解：这个5阶比赛图是一个5阶有向Hamilton图.其一个有2向Hamilton圈为314523.因此此比赛图是双向连通的.451232453113 5312431452等都是完整路径.此比赛图的毗邻矩阵为01010001105A1000040010111100令e1,1,1,1,1T，各级得分向量为S1Ae2,2,1,2,3T，S2AS14,3,2,4,5T，第一章作业解答第16页共23页S 3AS 2 7,6,4,7,9T ， S 4 AS 3 13,11,7,13,17T由此得名次为 5，1（4），2，3 （选手 1和4名次同样）.注：给5 位网球选手排名次也可由计算A 的最大特点根和对应特点向量 S 获取：，S T第九章（2008年12月18日） 1．在节传递带效率模型中 ,设工人数n 固定不变.若想提升传递带效率D,一种简单的方法是增添一个周期内经过工作台的钩子数m ，比方增添一倍，其余条件不变．另一种方法是在本来搁置一只钩子的地方搁置两只钩子，其余条件不变，于是每个工人在任何时辰能够同时触到两只钩子，只需此中一不过空的，他就能够挂上产品，这类方法用的钩子数目与第一种方法同样．试推导这类状况下传递带效率的公式，从数目关系上说明这类方法比第一种方法好．解：两种状况的钩子数均为 2m ．第一种方法是 2m 个地点，单钩搁置 2m 个钩子；第二种方法是m 个地点，成对搁置 2m 个钩子．①由节的传递带效率公式，第一种方法的效率公式为2m 1nD1 1n2m当n较小，n1时，有2mD2m 11 1nn11n1n2m8m 24mD 1 E， nEm下边推导第二种方法的传递带效率公式：关于m 个地点，每个地点搁置的两只钩子称为一个钩对， 考虑一个周期内经过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是1；m1 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是1；m记p1,q 1 1 ．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空mm第一章作业解答第17页共23页的概率为q n，其空钩的数为2m；任一钩对上只挂上１件产品的概率为npq n1，其空钩数为m．因此一个周期内经过的2m个钩子中，空钩的均匀数为2mq n mnpq n1m2q n npq n1于是带走产品的均匀数是2m m2q n npq n1，未带走产品的均匀数是n2m m2q n npq n1）此时传递带效率公式为n n1n n1D'2mm2q npqm2211n11n n m m m③近似效率公式：1n nnn11nn1n21因为11m m2m26m31n11n1n1n211m m2m2D'1n1n26m2当n1时，并令E'1D'，则E'n26m2④两种方法的比较：由上知：En，E'n2 4m6m2E'/E 2n2n1，E'E．，当mn时，3m3m因此第二种方法比第一种方法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每日从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童所有卖出可赢利7元.假如当日卖不掉，次日削价能够所有卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每日售出的报纸数r是一随机变量，其概率散布以下表：第一章作业解答第18页共23页售出报纸数r（百份）012345概率P(r)0．05试问报童每日订购多少份报纸最正确(订购量一定是100的倍数)？解：设每日订购n百份纸，则利润函数为f(r)7r(4)(n r)r n 7n r nn利润的希望值为G(n)=(11r4n)P(r)+7n P(r)r0r n1现分别求出n=0,1,2,3,4,5时的利润希望值.G(0)=0；G(1)=4×0.05+7×0.1+7×（）=6.45;G(2)=(8314)140.1);G(3)=(1211021)21(0.1)G(4)=(16561728)28G(5)=2092132435当报童每日订300份时，利润的希望值最大.5．某工厂生产甲、乙两种产品,生产每件产品需要原资料、能源耗费、劳动力及所赢利润如下表所示：品种原资料能源耗费(百元)劳动力(人)利润(千元)甲2144乙3625现有库存原资料1400千克；能源耗费总数不超出2400百元；全厂劳动力满员为2000人.试安排生产任务(生产甲、乙产品各多少件),使利润最大,并求出最大利润.解：设安排生产甲产品x件，乙产品y件，相应的利润为S.则此问题的数学模型为maxS 4x 5ys.t.2x 3y1400x 6y24004x 2y2000x 0,y 0,x,y Z模型的求解：用图解法.可行域为：由直线第一章作业解答第19页共23页l1:2x3y1400l2::x6y2400l3:4x2y2000及x0,y0构成的凸五边形地区.直线l:4x5y C在此凸五边形地区内平行挪动.易知：当l过l1与l3的交点时，S取最大值.由2x3y1400400,y200 4x2y解得：x2000Smax440052002600（千元）.故安排生产甲产品400件、乙产品200件,可使利润最大,其最大利润为2600千元.某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可赢利润以下表：货物体积重量利润（立方米/箱）（百斤/箱）（百元/箱）甲5220乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超出24立方米，重量不超出13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所赢利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x1,x2,所赢利润为z.则问题的数学模型可表示为maxz20x110x25x14x224st2x15x213x1,x20,x,yZ这是一个整线性规划问题.用图解法求解.可行域为：由直线l1:5x14x224l2:2x15x213及x10,x20构成直线l:20x110x2c在此凸四边形地区内平行挪动.x2l1l2x1l第一章作业解答第20页共23页易知：当l 过l 1与l 2的交点时，z 取最大值5x 1 4x 224解得x 14由5x 213x 212x 1zmax20 4 10 1 90 .7.深水中的波速v 与波长 、水深d 、水的密度和重力加快度 g 相关，试用量纲剖析方法给出波速v 的表达式.解：设v ,,d ,，g的关系为f(v, ,d, ,g)=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ ]=LM 0T 0，[d ]=LM 0T 0，[ ]=L -3 MT 0 ，[g ]=LM 0T -2, 此中L ，M ，T 是基本量纲.---------4 分量纲矩阵为1 1 1 3 1(L)A=0 0 0 1 0(M)1 00 02 (T)(v)()(d)()(g)齐次线性方程组 Ay=0，即y 1 y 2y 33y 4y 5 0y 4-y 1-2y 5的基本解为y 1=(1,1,0,0,1),y 2=(0, 1,1,0,0)2211由量纲P i 定理得v2g 211d2∴vg1,1(2),2d第一章作业解答第21页共23页vg (d)，此中是不决函数.第四章（2008 年10月28日）2. 某厂生产甲、乙两种产品 ,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用 A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？解：设安排生产甲产品 x 件,乙产品y 件，相应的利润为S则此问题的数学模型为：maxS=20x+30yx 2y20s.t. 5x 4y70x,y0,x,yZ这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线l 1：x+2y=20,l 2:5x+4y ＝70l 2y以及x=0,y=0构成的凸四边形地区.直线l ：20x+30y=c 在可行域内 l平行挪动.易知：当l 过l 1与l 2的交点时，l 1xS 取最大值.x2y20x10由4y 70 解得55xy此时S max ＝2010 305＝350（元）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可赢利润以下表：货物体积重量 利润（百斤/箱）（百元/箱）（立方米/箱）甲 5 2 20乙4510已知这两种货物托运所受限制是体积不超出24立方米，重量不超出 13百斤.试问这两种 货物各托运多少箱，使得所赢利润最大，并求出最大利润 . 解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为x 1,x 2,所赢利润为z .则问题的数学模型可表示为maxz 20x 110x 2第一章作业解答第 22页共23页5x 1 4x 2 24 st2x 15x 213x 1,x 20,x,yZ这是一个整线性规划问题 .用图解法求解 . 可行域为：由直线l 1:5x 14x 224l 2:2x 15x 2 13 及x 1 0,x 2 0构成直线l:20x 110x 2c 在此凸四边形地区内平行挪动.x 2l 1l 2x 1l易知：当l 过l1与l2的交点时，z 取最大值5x 1 4x 224x 14由5x 2解得2x 113x 21zmax204 10 190.第一章作业解答第 23页共23页。

《数学建模》第二次作业一、填空题：1、一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是（ ）.2、如图是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走（ ）km.. 3、设某种物资有两个产地21,A A ，其产量分别为10、20，两个销地21,B B 的销量相等均为15。

如果从任意产地到任意销地的单位运价都相等为,a 则最优运输方案与运价具有 两个特点。

4、设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 .5、设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的逻辑斯蒂克模型为 .二、分析判断题：1、从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决。

2、一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”。

交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路。

那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种。

3、地方公安部门想知道，当紧急事故发生时，人群从一个建筑物中撤离所需要的时间，假设有足够的安全通道.若指挥者想尽可能多且快地将人群撤离，应制定甚麽样的疏散计划.请就这个计划指出至少三个相关因素，并使用数学符号表示。

4、作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那麽相应的微分方程模型是甚麽？5、某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现甚麽结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性。

2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 40 道试题,共 80 分)
1.最小二乘法估计是常见的回归模型参数估计方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
2.样本平均值和理论均值不属于参数检验方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
3.量纲齐次原则指任一个有意义的方程必定是量纲一致的<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
4.对实际问题建模没有确定的模式
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
5.数学建模以模仿为目标
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
6.利用乘同余法可以产生随机数
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
7.大学生走向工作岗位后就不需要数学建模了
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A。

智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试[完整答案]智慧树知到《数学建模与系统仿真》章节测试答案第一章单元测试1、数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构.A:错B:对答案:【对】2、数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践.即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解，是对实际问题的完全解答和真实反映，结果真实可靠。

A:对B:错答案:【错】3、数学模型是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述. 数学建模就是建立数学模型的全过程(包括表述、求解、解释、检验).A:对B:错答案:【对】4、数学模型(Mathematical Model):重过程;数学建模(Mathematical Modeling):重结果。

A:错B:对答案:【错】5、人口增长的Logistic模型，人口增长过程是先慢后快。

A:错B:对答案:【错】6、MATLAB的主要功能有A:符号计算B:绘图功能C:与其它程序语言交互的接口D:数值计算答案:【符号计算;绘图功能;与其它程序语言交互的接口;数值计算】7、Mathematica的基本功能有A:语言功能(Programing Language)B:符号运算(Algebric Computation)C:数值运算(Numeric Computation)D:图像处理(Graphics )答案:【语言功能(Programing Language);符号运算(Algebric Computation);数值运算(Numeric Computation);图像处理(Graphics )】8、数值计算是下列哪些软件的一个主要功能 A:MapleB:JavaC:MATLABD:Mathematica答案:【Maple;MATLAB;Mathematica】9、评阅数学建模论文的标准有：A:完全一致的结果B:表述的清晰性C:建模的创造性D:论文假设的合理性答案:【表述的清晰性;建模的创造性;论文假设的合理性】10、关于中国(全国)大学生数学建模竞赛(CUMCM)描述正确的是 A:2年举办一次B:一年举办一次C:开始于70年代初D:一年举办2次答案:【一年举办一次】第二章单元测试1、衡量一个模型的优劣在于它是否使用了高深的数学方法。