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数学建模第二章课件

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数学建模2-2-课件

数学建模2-2-课件
m yk m1 yk 1 m1 yk
为了便于计算与应用，通常采用表格形式计算差分，如表2.4.1所示。
表 2.4.1
x
x
k
y y
k
y y y
0
k
y
2
k
y
3
k
y
4
k
0
0
x
x x x
1
y
y y y
y
2
0
1
y
3
1
0
yi
2
2
y y
y
2
1
2
y
3
1
3
y
2
2
3
3
4
4
科学计算与数学建模
第2章 城市供水量的预测模型
中南大学数学与统计学院
2.4 求插值多项式的Newton法
由线性代数可知，任何一个不高于n 次的多项式，都可表示成函 数 1, x x0 , ( x x0 )( x x1 ),, ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1 ) 的线性 组合，即可将满足插值条件 P( xi ) yi (i 0,1,, n) 的n 次多项式写 成形式 a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 )( x xn1 )
因此，牛顿插值多项式 Nn x 是插值多项式P x 的另一种表示形 n 式,与拉格朗日插值多项式相比较，不仅克服了“增加一个节点时整个 计算机工作必须重新开始”﹙见例2.3.1﹚的缺点，而且可以节省乘﹑ 除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念， 又与数值计算的其它方面有着密切的关系.

数学建模 第二讲

数学建模 第二讲

历史背景: 然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的“在 埃牟斯的门徒”是范· 梅格伦伪造的。事实上，在此之前这幅画 已经被文物鉴定家认定为真迹，并以17万美元的高价被伦布兰 特学会买下。专家小组对于怀疑者的回答是：由于范· 梅格伦曾 因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制“在埃牟 斯的门徒”，来证明他高于三流画家。当创造出这样的杰作后， 他的志气消退了。而且，当他看到这幅“在埃牟斯的门徒”多 么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了 。这 种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学地、确定地 证明“在埃牟斯的门徒”的确是一个伪造品。这一问题一直拖 了20年，直到1967年，才被卡内基· 梅伦（Carnegie-Mellon） 大学的科学家们基本上解决。
dN dt N
放射性定理
常数λ是正的，称为该物质的衰变常数 ， 物质的衰变常数λ越大，衰变的越快。 变速度的一种度量就是半衰期，它定义为一定数 量的放射性原子衰变到一半时所需的时间。
用λ来计算半衰期T:
dN dt N (t0 ) N 0 N
其解为:
令 N N0 1 2
N (t ) N 0 e
§1 微分方程的简单应用 一、物体达到的最大高度
问题：在地面上以初速度 v 铅直向上射一物 体，设地球引力与物体到地心距离平方成反比， 求物体可能达到的最大高度。若物体脱离太阳 v 系，则 应为多少？
0
0
解：已知地球半径R＝6370公里，假设空气阻力不 计（仅讨论此简单情况）。 设在t时刻物体的高度为S＝S(t)，
共轭复根λ1, λ2 = p ± iq 时， y = e px( c1 cos qx ＋c2 sin qx )。
13
λx

数学建模第二章

数学建模第二章
* *
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p

数学建模第二章课件

数学建模第二章课件
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。

数学建模简明教程课件-第1-2章

数学建模简明教程课件-第1-2章

第1章数学建模概论随着电子计算机的出现和科学技术的迅猛发展，数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而正以空前的广度和深度逐步渗透到人类活动的各个领域。

生物、医学、军事、社会、经济、管理等各学科、各行业都涌现出大量的实际课题，亟待人们去研究、去解决。

利用数学知识研究和解决实际问题，遇到的第一项工作就是要建立恰当的数学模型，简称数学建模，数学建模正在越来越广泛地受到人们的重视。

从这一意义上讲，数学建模被看成是科学研究和技术开发的基础。

没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，从这一意义上讲，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键步骤之一。

1.1 数学模型与数学建模1.1.1 模型的概念在日常生活和工作中，人们经常会遇到或用到各种模型，如飞机模型、水坝模型、火箭模型、人造卫星模型、大型水电站模型等实物模型；也有文字、符号、图表、公式、框图等描述客观事物的某些特征和内在联系的模型，如模拟模型、数学模型等抽象模型。

模型是客观事物的一种简化的表示和体现，它应具有如下的特点：1.它是客观事物的一种模仿或抽象；它的一个重要作用就是加深人们对客观事物如何运行的理解，为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此要用一种简化的方式来表现一个复杂的系统或现象。

2.为了能协助人们解决问题，模型必须具备所研究系统的基本特征和要素。

此外，还应包括决定其原因和效果的各个要素之间的相互关系。

有了这样的一个模型，人们就可以在模型内实际处理一个系统的所有要素，并观察它们的效果。

模型可以分为实物（形象）模型和抽象模型，抽象模型又可以分为模拟模型和数学模型。

对我们来说，最感兴趣的是数学模型。

与上述的各种各样的模型相对应的是它们在现实世界中的原型（原始参照物）。

所谓原型，是指人们研究或从事生产、管理的实际对象，也就是系统科学中所说的实际系统，如电力系统、生态系统、社会经济系统等。

而模型则是指为了某个特定目的，将原型进行适当地简化、提炼而构造的一种原型替代物。

数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法

数学建模 - 第二章 线性规划及单纯形法
p j a1 j , a2 j ,, amj 为A的第j列向量
T
max s.t.
p
j 1
n
j
xj b
x0
13
§2 线性规划问题的图解法
max s.t.
z cx Ax b x0
(1) (2) (3)
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的 解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。 记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得 对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ，
则 xj’ ≥0；
又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数，
可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
11
第二章
线性规划及单纯形法
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7 x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
x2
2x1 x2 2
x1 4x2 4
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
增大，即解无界。
(１,0)
O
A
x1
称为无最优解。

数学建模第二章 非线性规划

数学建模第二章 非线性规划

数学建模
线性规划与非线性规划的区别 如果线性规划的最优解存在，其最优解只能在其可行 域的边界上达到（特别是可行域的顶点上达到）；而非线 性规划的最优解（如果最优解存在）则可能在其可行域的 任意一点达到。 3.1.2 非线性规划的Matlab 解法 Matlab 中非线性规划的数学模型写成以下形式
数学建模
数学建模
解 设投资决策变量为
则投资总额为
，投资总收益为
因为该公司至少要对一个项目投资，并且总的投资金 额不能超过总资金A ，故有限制条件
由于) xi (i = 1,…. , n 只取值0 或1，所以还有
数学建模
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量 （取0 或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。 因此，其数学模型为：
就可以求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478 时，最小 值 y = 10.6511 。
3.2 Matlab 求无约束极值问题 3.2.2 无约束极值问题的数值解 在Matlab 工具箱中，用于求解无约束极值问题的函数有 fminunc 和fminsearch，用法介绍如下。
数学建模
例2 求下列非线性规划
数学建模
解 （i）%编写M 文件fun1.m 定义目标函数
function f=fun1(x); f=sum(x.^2)+8;
（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件 function [g,h]=fun2(x); G=-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20; %非线性不等式约束
h=[-x(1)-x(2)^2+2 x(2)+2*x(3)^2-3; %非线性等式约束

第二章 机电一体化系统数学建模(新)ppt课件

第二章 机电一体化系统数学建模(新)ppt课件
电动机x(Mt)(t) (t) m 电动机 M (t) (t) m
m
x(t)
x(t)
m
(t)
(t) M(t)
x(t)
x(t) (t)
m
r
M(t)
x(t)
m
r
丝杠螺母副
(a) (t) M(t)
M(t) (b)
小齿轮齿条副
(c)
(a)
(b)
(c)
x(t)
x(t)
x(t)
m
(t) m
r
(t) M(t)
k
b
x1
m
拉氏变换：
(s22 nsn 2)X(s)A (s)F m (s)
x2 f (t)
由加速度作为输入、质点相对壳体的位移作为输出，系统的传递函数为：
X(s) A(s)
s221nsn2
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8
2.1 质点平移系统
问题2 质点振动系统。这是一个单轮汽车支撑系统的简化模型。m1代表汽车质量， B代表振动阻尼器，K1为弹簧，m2为轮子的质量，K2为轮胎的弹性，建立质点平 移系统数学模型。
2.3.2 速比折合 齿轮传动系统
n12
2 1
2 1
M1 M2
J 1d d 2 t2 1 B 1d d t11 2(J2d d 2 t2 2 B 2d d t2 M 0) M i
(J 1 n 1 2 2 J2 )d d 2 t2 1 (B 1 n 1 2 2 B 2 )d d t1 M i n 1 2 M 0
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11
2.1 质点平移系统
习题1 图示机械平移系统的传递函数，并画出它们的动态结构方框图。
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12

第2讲 数学建模初等模型.ppt

第2讲 数学建模初等模型.ppt

假设(1)、(2)是解剖学(((123)))中LAB的=-=k根来Bk越k统o12据比Al=大b计ak的,,较3成b规al大<3<选绩律21小手越，成好在L绩。假的因设L优而(（B劣建3。议）3中5)O13’
Carroll将体重划分成两部分：B=B0+B1，B0为非肌肉重量。
根据三条假设可
得L=k(B-B0)β,k和β为两个常数，
第2讲 初等模型
2.1、船艇回合问题 2.2、双层玻璃的功效 2.3、崖高的估算 2.4、 经验模型 2.5、量纲分析 2.6、 几个实例
§2.1 舰 艇的会合
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行 员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快 返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方 向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。
1βBiblioteka ab 32 3
此外，根据统计结果，他 得出B0≈35公斤1， β 3
故有：L k(B 35)3
模型5（Vorobyev公式）
这是一个前苏联使用的公式。建模者认为举重选手举起的不 光是重物，也提高了自己的重心，故其举起的总重量为L+B， 可以看出，他们更重视的是腿部肌肉的爆发力。应用与模型4 类似的方法，得出了按
模型2（幂函数模型）
线性模型并未得到广泛的接受，要改进结果，能够 想到的自然首先是幂函数模型，即令L=kBa，对此式 取对数，得 到lnL=lnk+a lnB。将原始数据也取对数， 问题即转化了线性模型，可用最小二乘法求出参数。 几十年前英国和爱尔兰采用的比较举重成绩优劣 的 Austin公式：L′=L/B3/4就是用这一方法求得的。
令：
h

a2 a2
1b, r 1

数学建模第二章微积分方法建模-2.7古物年代确定

数学建模第二章微积分方法建模-2.7古物年代确定

研究展望
01
随着科技的不断进步，未来可 以利用更先进的检测技术和数 据采集手段，提高古物年代确 定的精度和可靠性。
02
未来可以进一步探索古物年代 与其他相关因素之间的复杂关 系，建立更为精确和全面的数 学模型。
03
未来可以将微积分方法与其他 数学建模方法相结合，形成更 为完善的古物年代确定方法体 系。
根据碳14含量随时间变化 的规律，建立数学模型。
根据估计值，确定古物的 年代范围。
结果分析与解读
根据数学模型和微积分方法求 解，得到古物年代的估计值。
将估计值与已知历史时期进行 比较，验证模型的准确性。
分析估计值的可靠性，考虑 误差范围和不确定性因素。
根据结果，得出古物的年代范围 ，为相关领域的研究提供参考。
THANKS
感谢观看
微积分方法建模在古物年代确定中 具有广泛的应用，例如：利用微分 方程描述古物中放射性元素的衰变 过程，从而确定古物的年代；利用 积分方程描述古物中元素含量的变 化，从而推断出古物的年代等。
这些应用不仅有助于我们更好地 了解历史和文化，还有助于我们 更好地保护和传承文化遗产。
微积分方法建模的优势与局限性
对未来ห้องสมุดไป่ตู้究的建议
建议未来研究注重跨学科合作，将数学建模与考古学、历史学、化学等学科相结合，共同推进古物年 代确定领域的发展。
建议加强国际合作与交流，借鉴国际先进的研究方法和经验，提高我国在古物年代确定领域的国际影响 力。
建议注重人才培养和队伍建设，加强数学建模专业人才的培养和引进，为古物年代确定领域的发展提供 有力的人才保障。
05
结论与展望
研究结论
1
微积分方法在古物年代确定中具有重要应用，能 够通过数学模型对古物年代进行精确预测。

数学建模第二章

数学建模第二章
P = R(t) – C(t)=(p0-rt)(w0+gt)(k0 + k t)
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
精品PPT
数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
精品PPT
构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
精品PPT
精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
精品PPT
例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？

数学建模-第二章

数学建模-第二章
之间的距离之比对所有可能的点对都不变(等于同一个常数),则 称这两个物体是几何相似的.
注:几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具
划艇比赛的成绩
问
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立
题 数学模型揭示这种关系。
赛艇 2000米成绩 t (分) 艇长l 艇宽b
二、数学模型
1、数学语言及其功能 1）简明性： 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。 2）可运算性：能用需要的数学方法作运算或推理处理。 3）广泛性： 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的
内部关系。
2. 数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表
达，被称之为数学模型。
三、数学建模
1、数学建模含义 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再
3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？
5：30
5：55
车 站 5分钟
刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
最小二乘法 k=0.06
计算刹车距离、刹车时间
模型
d t1 v k2v 0 .7v 5 0 .0v 2 6
车速
刹车时间
(英里/小时) （秒）
20
1.5
30
1.8
40
2.1
50
2.5
60
3.0
70
3.6
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y2 •设作者选择A、B两家出版社所得的报酬分别为 y1 ， （单位：元），销售量为 n册，书的定价为 p 元∕本。
二、模型的分析与建立
出版社给作家的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬之和。
出版社A给作家的稿酬为：
6% n p, 0 n 3000 y1 8% n-3000 p 2 n 300 6% 3000 p, n 3000
将问题中的已知数据代入模型，得
I 5.5%-3% x 100 3%
2.5% x 3 0 x 100
问题（2）
由问题（1）建立的模型可以看出来，老人的年收入 I 与购 买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入 I 4.5万元，要 求投资公司债券的金额 x 。

4.模型求解。
应当借助 计算Байду номын сангаас 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
•设小王的租车费用为y 元，汽车行驶了
x
km。
二、模型的分析与建立
由问题知道，小王共租用了5天汽车。小王的租车用为5 x 元为基本租金200×5与汽车行驶里程费用 之和。因此租 车费用 y 与车程 x 之间的关系为
y 200 5 5 x
三、模型求解
将2800代入上式，得
2800 1000 5 x
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
即
6% n p,0 n 3000 y1 8% n p 2 n 60 p 6000, n 3000
出版社B给作家的报酬为： 0, 0 n 4000 y2 10% n 4000 p 3 n 4000 , n 4000 即
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
思考2：餐馆中洗盘子问题
餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是 这样清洗盘子的：先用冷水粗洗一下，再放进热水池 洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低， 否则洗不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一 池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下。
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
二、模型的分析、建立与求解 问题（1）
老人的年收入 I （单位：万元）为购买公司债券的红利收入x r1 与银行存款的利息收入100 x r1 之和。 因此建立模型如下：
I x r1 100 x r2
0 x 100
即：
I r1 r2 x 100 r2
将年收入4.5万元代入模型
得
4.5 2.5% x 3
解之，得
x 60 （万元）
所以如果老人希望获得45000元的年收入，则至少 要购买60万元的公司债券。
问题三：出版的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的出版权。 A出版社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版税； 超过3000册部分支付8%的版税另加每本2元稿酬。
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 数学建模与其 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 说是一门技术,不 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 如说是一门艺术 . 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 技术大致有章可. 题的本领。撰写论文的初步方法 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 循,艺术无法归纳 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 成普遍适用的准 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 则. 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
0,0 n 4000 y2 10% n p 3 n 400 p 12000, n 4000
三、模型求解
y2 均为分段函数， 这里 y1 ，
当n 4000 时，显然 y1 y2 0
，所以选择A出版社；
当 n 4000 时，令 y1 y2 ， 即
二、模型假设与变量说明
• 小王在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付了 1000元押金。假期第5天下午5时，他还车时支付了 2800元租车费（含押金）。问小王驾车行驶了多少 千米？
一、模型假设与变量说明
•假设小王在租车期间没有造成汽车损坏，2800元租车 费为基本租金与驾车里程收费之和。 •假设租车时间不到一天按一天计。
三、模型的分析与建立
所用地砖的数量 表示取上整。 a / di b / di ，其中 所用材料的面积 ( a / di di ) ( b / di di ) 浪费面积 ( a / di di ) ( b / di di ) ab 按题目要求：求浪费的材料最少，即
S
思考1：淋雨量问题
一个雨天，你有急事需要从家到学校去，学校离家 仅1km，且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具， 决定碰一下运气，冒着雨去学校。而出发雨就大了， 但你不打算再回去，一路上，你将被大雨淋湿。
,
一个似乎很简单的考虑是你应该在雨中尽可能地快 走，以减少淋雨的时间。但如果考虑到降雨方向的变 化，在全部路程上尽力地快跑是不是最好的策略？试 建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能降低淋雨的 程度。
• 假设房间地面为一个标准的长方形 • 假设玻化砖均为标准的正方形，三种型号地砖的 边长分别为0.5m，0.6m，0.8m.
• 不考虑玻化砖之间的缝隙、房屋尺寸的误差以及 瓷砖尺寸的误差等等。
• 假设一间屋用同一型号的地砖。 • 假设一块地砖被切割后，余料不能再用。 • 设测得房间的长为a m，宽为b m. •设三种型号规格的地砖的边长分别为di（i=1,2,3）
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
一、模型假设与变量说明
•假设不考虑投资公司债券的风险。 •假设公司债券的红利与银行的利息都按年支付， 且利率固定。 •假设老人将1百万全部用来购买公司债券或存入银 行，没有闲臵。 •假设老人的年收入为 I （万元），购买公司债券的金额为 x 万元，则存入银行的金额为100 x 万元，公司债券的年回报率 为 r1 ，银行存款的年利率为 r2 。
( a / di di ) ( b / di di ) ab 最小
简记为 min( a / di di ) (b / di ) ab 这就是要建立的数学模型。
五、模型的分析与检验
• 在实际装修中，工人师傅一般会在正式铺地砖之 前进行预铺，以调节误差，使铺出的地砖整齐、 美观。因此，建模时可以不考虑各种误差。我们 所得结果与实际情况吻合，模型正确实用。 • 把模型分析的结果返回到实际所研究的对象中， 如果检验的结果不符合或部分符合实际情况，那 么我们必须 回到建模之初，修改、补充假设，重 新建模；如果检验结果与实际情况相符，则进行 最后的工作——模型的应用。