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数学建模 第二章 概率统计模型

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数学建模-概率模型

数学建模-概率模型

如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr

概率统计数学模型

概率统计数学模型

概率统计数学模型在数学领域，概率统计是一个非常重要的分支，它涉及到各种随机现象的数学描述和统计分析。

概率统计数学模型则是这些分析的基础，它能够准确地描述和预测各种随机现象的结果。

一、概率统计数学模型的基本概念概率统计数学模型是建立在随机试验基础上的数据分析方法。

在概率论中，随机试验的结果通常被视为不可预测的，但可以通过概率分布来描述它们。

而统计方法则是对数据进行收集、整理、分析和推断的方法，它依赖于概率论的知识。

二、概率统计数学模型的应用概率统计数学模型在各个领域都有广泛的应用，例如在金融领域中，它可以帮助我们预测股票价格的波动；在医学领域中，它可以帮助我们理解疾病的传播方式；在工程领域中，它可以帮助我们优化设计方案。

三、概率统计数学模型的建立过程建立概率统计数学模型通常包括以下几个步骤：1、确定研究问题：首先需要明确研究的问题是什么，以及我们想要从中获得什么样的信息。

2、设计随机试验：针对研究问题，设计合适的随机试验，以便收集数据。

3、收集数据：通过试验或调查等方式收集数据，并确保数据的准确性和可靠性。

4、分析数据：利用统计分析方法对收集到的数据进行处理和分析，提取有用的信息。

5、建立模型：根据分析结果，建立合适的概率统计模型，以描述数据的分布规律和预测未来的趋势。

6、验证模型：对建立的模型进行验证，确保其准确性和适用性。

7、应用模型：将建立的模型应用于实际问题的解决和预测中。

概率统计数学模型是处理和分析随机现象的重要工具，它在各个领域都有广泛的应用前景。

通过建立合适的概率统计模型，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的结果，从而为实际问题的解决提供有力的支持。

概率统计数学模型在投资决策中的应用在投资决策的制定过程中，准确理解和应用概率统计数学模型是至关重要的。

概率统计数学模型为投资者提供了定量分析工具，帮助他们更准确地预测投资结果，从而做出更合理的决策。

一、概率模型的应用概率模型在投资决策中的应用广泛。

数学建模—概率模型 ppt课件

数学建模—概率模型 ppt课件

数学建模—概率模型
v3统计图(examp05-03) v箱线图（判断对称性） v频率直方图（最常用） v经验分布函数图 v正态概率图（+越集中在参考线附近，越近似正态分布）
v4分布检验 vChi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 vChi2gof卡方拟合优度检验，检验样本是否符合指定分布。它把观测数据分 组，每组包含5个以上的观测值，根据分组结果计算卡方统计量，当样本够 多时，该统计量近似服从卡方分布。 vjbtest,利用峰度和偏度检验。
3 单因素一元方差分析步骤
（ example07_01.m 判断不同院系成绩均值是否相等）
数据预处理
正态性检验 lillietest （p>0.05接受）
方差齐性检验 vartestn （p>0.05接受）
方差分析
anoval （ｐ＝0 有显著差别）
多重比较：两两比较，找出存在显著差异的学院，multcompare
构造观测值矩阵，每一列对应因素Ａ的一个水平，每一行对应因素Ｂ的一个
水平
方差分析
anova2 得到方差分析表
方差分析表把数据差异分为三部分（或四部分）： 列均值之间的差异引起的变差 列均值之间的差异引起的变差 行列交互作用引起的变差 （随机误差） 后续可以进行多重比较，multcompare，找出哪种组合是最优的
Computer Science | Software Engineering & Information System
数学建模—概率模型
目的：用一个函数近似表示变量之间的不确定关系。 1 一元线性回归分析 做出散点图，估计趋势；计算相关系数矩阵； regress函数，可以得到回归系数和置信区间,做残差分析，剔除异常点，重 新做回归分析 Regstats 多重线性或广义回归分析，它带有交互式图形用户界面，可以处 理带有常数项、线性项、交叉项、平方项等模型 robustfit函数：稳健回归（加权最小二乘法）

数学建模-概率模型

数学建模-概率模型

确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。

数学建模中的概率统计模型1

数学建模中的概率统计模型1
x1 2，F1统计量和与χ y1 对应的概率p。 相关系数 R 回归系数 a ， b 以及它们的置信区间 0 残差向量e=Y-Y 及它们的置信区间 X , Y 1 xn yn
残差及其置信区间可以用rcoplot(r,rint)画图。
3、将变量t、x、y的数据保存在文件data中。 save data t x y 4、进行统计分析时，调用数据文件data中的数 据。 load data 方法2 1、输入矩阵：
data=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87; 23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4; 41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
线性模型 (Y , X , I n ) 考虑的主要问题是： （1） 用试验值（样本值）对未知参数 和 2 作点估计和假设检验，从而建立 y 与
x1 , x 2 ,..., x k 之间的数量关系；
（2）在 x1 x01 , x2 x02 ,..., xk x0 k , 处对 y 的值作预测与控制，即对 y 作区间估计.
1 ( x0 x ) 2 ˆ 1 d n t (n 2) n Lxx 2
Q ˆ n2
2
设y在某个区间(y1, y2)取值时, 应如何控制x 的取值范围, 这样的问题称为控制问题。
可线性化的一元非线性回归 需要配曲线，配曲线的一般方法是： • 先对两个变量x和y 作n次试验观察得画出 散点图。 • 根据散点图确定须配曲线的类型。 • 由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数 a和b采用的方法是通过变量代换把非线性 回归化成线性回归，即采用非线性回归线 性化的方法。

概率统计模型决策模型教学课件

概率统计模型决策模型教学课件

THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
过程能力分析
通过概率统计模型分析生产过程中的能力指数，评估生产 过程的稳定性和可靠性，为生产计划的制定提供依据。
故障模式分析
使用概率统计模型对生产过程中出现的故障模式进行分析 ，找出故障原因和解决方法，提高生产效率和产品质量。
在医疗诊断中的应用
疾病预测
基于大数据和概率统计模型，可以对患者的疾病风险进行预测和分 析，为医生提供更加准确的诊断依据。
不确定决策模型
不确定决策模型的概述
不确定决策模型是指在决策过程中，各种因素的发生概率是未知的，决策者需要 根据历史数据和经验进行推断。
不确定决策模型的应用场景
不确定ห้องสมุดไป่ตู้策模型广泛应用于风险管理、预测等领域，如天气预报、市场预测等。
基于偏好关系的决策模型
基于偏好关系的决策模型的概述
基于偏好关系的决策模型是指在决策过程中，决策者根据自身偏好进行决策，这些偏好关系可以用数学模型表示 。
02
概率统计模型在科学、工程、医 学等领域有广泛的应用，为决策 提供科学依据。
概率统计模型的基本概念
01
02
03
04
随机试验
指可能出现不同结果的事件， 且每个结果的出现具有不确定
性。
随机事件
指随机试验中可能出现的观察 结果，如扔硬币的正面或反面
。
概率
指随机事件发生的可能性，用 介于0和1之间的实数表示。
平均数
所有变量值的和除以变量值的 个数，反映变量的集中趋势。
标准差
衡量变量值离散程度的指标， 反映变量的波动大小。
推论性统计模型
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法， 如点估计和区间估计。

《概率统计模型》课件

《概率统计模型》课件
回归分析在市场预测中的应用还包括价 格分析、消费者行为分析等方面。
在市场营销领域，回归分析可以用于预 测产品需求、销售量、市场份额等方面 。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势 ，制定有针对性的营销策略，提高市场 竞争力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等 方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法， 用于探索变量之间的关系，并对未来趋 势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企 业做出科学合理的决策，提高市场占有 率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据 进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性 。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等 领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着 广泛的应用，如风险评估 、投资组合优化、期权定 价等。
概率论在金融领域的应用 还包括信用评级、保险精 算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参 数的过程，是统计推断的重要内容之 一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计 总体参数，常用的方法有矩估计和极 大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计 总体参数，常用的方法有置信区间和 预测区间。
假设检验的步骤

概率统计模型决策模型课件

概率统计模型决策模型课件

案例三：市场预测决策
பைடு நூலகம்
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业了解 市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
VS
详细描述
市场预测决策需要考虑消费者行为、市场 趋势等因素。利用概率统计模型，可以对 历史数据和消费者行为进行分析，预测未 来市场趋势和消费者需求，为产品研发、 市场营销等提供决策支持。
案例二：生产计划制定决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划，提高生产效率和降 低成本。
详细描述
生产计划制定决策需要考虑市场需求、库存状况、生产能力等因素。利用概率统计模型，可以对历史 销售数据进行分析，预测未来市场需求，同时根据生产能力等因素进行生产计划安排，实现生产效益 最大化。
决策模型是指用来描述一个系统或者过程的一系列数学方程和算法，它可以帮助 我们理解和预测系统的行为。
决策模型通常包括三个主要部分：输入、处理和输出。输入部分包括所有可能影 响决策的因素，处理部分包括决策规则和算法，输出部分则是决策结果。
决策模型的应用领域
决策模型被广泛应用于各种领域，如金 融、医疗、军事、环境保护等。
案例四：质量控制决策
总结词
通过概率统计模型，可以帮助企业实现产品 质量控制和优化生产过程，提高产品质量和 生产效益。
详细描述
质量控制决策需要考虑产品质量、生产过程 等因素。利用概率统计模型，可以对生产过 程数据进行统计分析，找出影响产品质量的 关键因素，实现产品质量控制和优化生产过 程，提高产品质量和生产效益。
概率统计模型的基本概念
01
02
03
04
概率
描述随机事件发生的可能性大 小。

数学建模方法之概率统计分析法

数学建模方法之概率统计分析法
z 0.044568X1 0.039443X 2 0.106057X 3 0.56514X 4 0.959439X 5 0.0.055029X 6
Obs
Prin1 Prin2 Prin3 Prin4 Prin5 Prin6 1 -0.38118 -0.32367 -0.04450 0.30363 0.00430 0.06437 2 0.57795 -0.35416 0.49279 0.55119 -0.18726 0.17414 3 0.69219 -0.21588 0.40557 0.40041 -0.10461 0.05393 4 0.22635 -0.39419 0.27521 0.63296 0.13851 -0.06481 5 -0.82981 -0.40293 0.47330 -0.42964 -0.55401 -0.35020 6 -1.19410 -0.40627 -0.36848 0.14000 0.02221 0.01063 7 -1.63568 -0.26394 -0.67179 -0.15189 0.01702 -0.03769 8 0.95195 -0.46156 1.61851 -0.92520 0.08394 0.25530 9 0.46501 -0.14888 0.19070 0.16273 -0.30327 0.20883 10 -1.45693 -0.18670 -0.55658 -0.17088 -0.10267 -0.00922 11 -0.29401 3.71727 -0.02727 -0.02382 -0.06419 0.03517 12 0.08041 0.22542 1.71694 0.12718 0.45539 -0.26668 13 -2.11628 -0.16312 -0.90179 -0.16784 0.14422 -0.03334 14 -0.94513 -0.31477 -0.39513 0.09760 0.11375 -0.03132 15 6.74015 -0.06989 -1.12895 -0.16618 0.04080 -0.11394 16 -0.88090 -0.23673 -1.07853 -0.38025 0.29589 0.10482

数学建模 第二章 概率统计模型

数学建模 第二章 概率统计模型

参数检验
• 回归系数的检验，即检验每个解释变量对响应变量的影响是否有 统计学上的意义。若有m个回归系数 ，假设检验为：
• 常用的回1归,L系,数m检验方法有Wald统计量：
H0 : b j = 0 H1 : b j ? 0 (j 1,2,L ,m)
• 式中分子为解释变量的参数估计值，分母为参数估计值Wald的标
第二章 概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、 设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地 方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在 图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹 孔分布图.
成一类。
• K均值聚类
K均值聚类首先人为确定分类数，起步于一个初始的分类，然后 通过不断的迭代把数据在不同类别之间移动，直到最后达到预 定的分类数为止。
• 第一步 将所有的样品分成K个初始类； • 第二步 逐一计算每一样品到各个类别中心点的距离，把
各个样品按照距离最近的原则归入各个类别，并计算新 形成类别的中心点。 • 第三步 按照新的中心位置，重新计算每一样品距离新的 类别中心点的距离，并重新进行归类，更新类别中心点。 • 第四步 重复第三步，直到达到一定的收敛标准，或者达 到分析者事先指定的迭代次数为止。
• 模型求解： • 1. 抽取[0,1]之间均匀分布的随机数，确定这次模拟路口停红灯
的车数，例如，抽到0.732，则这个数落在区间（0.671，0.857） 的范围里，所以这次模拟停车数为3； • 2. 计算红灯转为绿灯后，在绿灯延续期间d（如题设5分钟）内， 这部车以速度u通过道口共需时间t=（50/50）*3（分钟），如果 t>d,那么道口发生堵塞，在本次模拟中t=3分钟，没有发生堵塞； • 3. 抽取随机数很多次，如10000次，记下其中多少次发生堵塞， 从而估算出道口发生堵塞的概率。

2011概率统计数学建模

2011概率统计数学建模

概率统计模型§1 概率论模型一、概率的基本知识1、离散型随机变量的概率分布ξ（随机变量）1x2x 3x … n x … 概率P1p2p3p…n p…性质：1,0=≥∑i i p p （1）几个常见的重要分布i.两点分布（贝努里分布或0-1分布） 注：两点分布的分布列就是X 0 1 P p 1-p不论题目有什么区别,只有两种可能,要么是这种结果要么是那种结果,通俗点,要么成功要么失败而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的,。

ii.二项分布注：如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ，N 次独立重二项分布公式复试验中发生K 次的概率是P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中 C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)iii. 普阿松分布（泊松分布）——排队论中常见。

注：若随机变量 X 只取非负整数值，取k （k=0,1,2…）值的概率为（2）期望与方差∑=i i p x E ξ22)()(ξξξE E D -=（3）几个常见的重要分布的期望与方差两点分布（贝努里分布或0-1分布）：p E =ξ，)1(p p D -=ξ 二项分布：np E =ξ，)1(p np D -=ξ 普阿松分布（泊松分布）：λξξ==D E2、连续型随机变量的分布函数与概率密度分布函数：)()(x P x F ≤=ξ，ξ为随机变量 密度函数)(x p ，满足⎰∞-=xdu u p x F )()( （1）几个常见的重要分布i.均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,0,1)(b x a a b x pii ．指数分布：⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x p x λλiii ．正态分布：222)(21)(σμπσ--=x ex p（2）期望与方差⎰+∞∞-=dx x xp E )(ξ22)()(ξξξE E D -=（3）几个常见的重要分布的期望与方差均匀分布：2ba E +=ξ，12)(2ab D -=ξ二项分布：λξ1=E ，21λξ=D普阿松分布（泊松分布）：μξ=E ，2σξ=D（4）实际问题中注意：密度函数（分布函数）的摸拟二、概率论模型实例1．报童问题一个报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。

数学建模 概率统计模型

数学建模 概率统计模型

日常生活中经常遇到的一类问题。它是现代
企业管理的核心问题，贯穿于整个企业管理
的始终。本节将首先简要说明决策的概念和
分类，然后介绍风险型和不确定型决策模型
及其应用。
数
学
4.1.1 决策的概念和类型
建
模
所谓决策，就是从多个备选方案中，选择一个
最优的或满意的方案付诸实施。
例4.1.1（展销会选址问题） 某公司为扩大市场，要举办一个产品展销
会，会址打算选择甲、乙、丙三地，获利情 况除了与会址有关外，还与天气有关，天气 分为晴、阴、多雨三种，据天气预报，估计 三种天气情况可能发生概率为0.2，0.5，0.3 其收益情况见表4.4.1，现要通过分析，确定 会址，使收益最大。
数 学
建 决策问题通常包含以下要素：
模
1.决策者 2.决策的备选方案或策略A1 ， A2，…，Am 3.决策准则，即衡量所选方案正确性的标准。对
数学建模
（Mathematical Modeling)
数 学 建 模
概率统计模型
数
学
建
概率统计模型
模
决策模型
报纸零售商最优购报问题
经济轧钢模型
线性回归模型
排队论模型 建模举例
重点:概率统计模型的建立和求解 难点:概率统计模型的基本原理及数值计算
数
学 建
4.1 决策模型
模
决策问题是人们在政治、经济、技术和
其最大值50对应的行动方案为A1 ，因此用乐观 法的决策结果是执行策略A1 。
数 学
建 解 悲观法：因为每个行动方案在各种状态下的
模 最大效益值为
minj{a1j } min{50,10,5} 5
minj{a2j } min{30,25,0} 0

概率统计模型决策模型教学课件

概率统计模型决策模型教学课件

金融领域应用
风险评估与管理
概率统计模型用于评估金融风险，如股票价格波动、 信用风险等，帮助投资者制定风险管理策略。
投资组合优化
决策模型可以帮助投资者优化投资组合，实现风险和 收益的平衡。
保险精算
概率统计模型用于精算保险费和赔付概率，为保险公 司提供科学决策依据。
医学领域应用
疾病预测与预防
基于概率统计模型的疾病预测可以帮助医生 制定预防措施，降低发病率。
2
参数估计
讲解参数估计的基本原理和方法，包括 最大似然估计和最小二乘法等，通过实 例演示如何使用参数估计对未知参数进 行估计和误差分析。
3
假设检验
介绍假设检验的基本原理和常见假设检 验方法（如Z检验、t检验、卡方检验等 ），通过实例演示如何使用假设检验对 数据进行分析和推断。
决策模型案例
线性规划
介绍线性规划的基本原理和求解方法，通过实例演示如何使用线性规划解决资源分配和 生产计划等问题。
主成分分析模型
总结词
主成分分析模型是一种降维技术，通过找到数据的主要成分 来减少变量的数量。
详细描述
主成分分析模型通过将原始变量转换为新的正交变量（主成 分），使得新的变量能够最大程度地保留原始数据的变异信 息，同时减少变量的数量。该模型适用于处理高维数据集。
04
常用决策模型
决策树模型
01
决策树模型是一种常用的分类和回归方法，通过树状图的形式 展示决策过程。
决策树
讲解决策树的基本原理和构建方法，通过实例演示如何使用决策树解决分类和回归问题 ，并讨论如何评估和优化决策树的性能。
贝叶斯网络
介绍贝叶斯网络的基本原理和构建方法，通过实例演示如何使用贝叶斯网络进行概率推 理和决策分析，并讨论如何处理不确定性和不完整性。

概率统计模型 ppt课件

概率统计模型 ppt课件
如果水果店现已有n百千克水果，那么再进1百 千克水果，从而就存有n+1百千克水果。
2020/4/13
信息工程大学 韩中庚
7
1、初等概率模型
问题1：水果店的合理进货模型
首先给出以下两个概念：
边际利润（Marginal Profit）：由所增加的1个
单位水果带来的纯利润，记为MP。
边际损失（Marginal Loss）：由所增加的１个
1、初等概率模型
问题1：水果店的合理进货模型
某时令水果店每售出一百千克水果，可以获得 利润250元，若当天进货不能出售出去，则每一 百斤将损失325元。该水果店根据预测分析，每 天的需求量和对应的概率值如下表：
水果需求量/百千克 0
1
相应的概率值 0.05 0.1
2
3
4
5
6 78
0.1 0.25 0.2 0.15 0.05 0.05 0.05
损失，即不考虑缺货所带来的损失。 （2）水果店的纯利润为卖出水果后所获利润与
因未卖出的水果所带来的损失部分之差。
2020/4/13
信息工程大学 韩中庚
2
1、初等概率模型
问题1：水果店的合理进货模型
模型的建立与求解 ：利用概率知识及经济学中边际 分析的方法，综合分析讨论这个问题。
不妨记需求量为随机变量 ，则需求量的期望值 为 E( ) 3.65 。
E () 0 .0 5 ( 6 5 0 ) 0 .1 ( 7 5 ) 0 .1 5 0 0 0 .2 5 5 0 0 0 .2 5 0 0
0 .1 5 5 0 0 0 .0 5 5 0 0 0 .0 5 5 0 0 0 .0 5 5 0 0 3 8 5
2020/4/13

概率统计模型(数学建模)

概率统计模型(数学建模)
一周期内通过的钩子数 m 增加一倍，可使“效率”E 降低 一倍。（可理解为相反意义的效率）
思考： 如何改进模型使“效率”降低？
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：
在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一
周期内通过 m 个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率
p 1/ m ，不被触到的概率 q 1 p，于是任一钩对为空的概率
工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致， 认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。
由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
2 模型假设
则
r
Gn
n
0
a
b
r
b
c
n
r
pr
dr
n
a
b
npr
dr
计算
dG dn
a
bnpn
n
0
b
cprdr
a
bnpn
n
a
b
pr
dr
b
c n 0
pr dr
a
b n
pr dr
令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
统计模型
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型。

数学建模_概率统计建模的理论和方法

数学建模_概率统计建模的理论和方法

1 ( x) e 2
x2 2
x .
( x)dx b a a 12
b
X
N ( , 2 ) 时，我们有
b a
P{a X b} p( x)dx
poisspdf（x，λ），计算poisson概率，
例如，poisspdf(0:9,3.87)
问题：Poisson分布是又一类非常重要的用来
计数的离散型分布，它依赖于一个参数 。什么
样的随机变量会服从Poisson分布呢？
10
在给定的观测范围内（例如给定时间内，给定区域内等等）， 事件会发生多少次？把观测范围分成n个小范围： 1.给定事件在每个小范围内可能发生，也可能不发生，发生多少 次取决于小范围的大小； 2.在不同的小范围内发生多少事件相互独立； 3.在小范围里发生的事件数多于一个的概率，和小范围的大小相 比可以忽略不计，用 pn 表示在小范围内事件发生一次的概率。 那么在给定范围内发生的总事件数X近似服从 B(n, pn ) , npn 为给定范围内事件发生次数的近似平均值。令 n ，则
4 5
678Fra bibliotek910
4
可以看出， P{X 6} 1 P{X 6} 0.000864 也就是说，如果供应6个单位的电力，则超负荷工作的 概率只有0.000864，即每
1 1147分钟 20小时 0.000864
中，才可能有一分钟电力不够用。还可以算出，八个或八 个以上工人同时使用电力的概率就更小了，比上面概率的 1/11还要小。 问题：二项分布是一个重要的用来计数的分布。什么 样的随机变量会服从二项分布？ 进行n次独立观测，在每次观测中所关心的事件出现 的概率都是p，那么在这n次观测中事件A出现的总次数 是一个服从二项分布B（n，p）。 5
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2.1.3． 逻辑回归方法的一般原理
逻辑回归
• 实际问题中，我们经常需要探讨变量之间的关系。 • 当两个变量之间或者多个变量之间具有较高的相关关系，而又需
要我们通过某个（些）变量 的变化来解释另一个（些）变量 的 变化情况，则我们会先尝试采用线性回归的方法探讨解释变量对 响应变量的影响。 • 当响应变量为定性变量时，相应回归方法的改进就称为 LOGISTIC回归模型，中文称为逻辑回归模型。
• 统计学家拿着这张分布图，指着那些没有弹孔的地方说， 这就是要增加护甲的地方，因为这地方中弹的飞机都
• 没能返回。
例子的背后
• 上面的例子可以领略到统计学的精彩之处。 • 统计模型是数学模型的重要组成部分，尤其对具有大量数据的对
象，统计建模具有极其重要的作用。
大量的数据挖掘工作，就其本质而言，就是对于这些海量数据的 统计处理。
果更为可取。 • 模型估计完成后，要评价模型有效匹配观测数据的程度。若模型
的预测值与对应的观测值有较高的一致性，则认为该回归模型拟 合数据，即所谓“拟合优”，否则需重新估计模型，这就是拟合 优度检验。
2.1.4． 聚类分析方法的一般原理
聚类分析过程
• 面对大量的数据和变量，如何快速将具有相近特质的样本或变量 分在一类，从而达到降维和寻找共性的目的就成为一个重要的研 究方向。
logit 变换
logit ( p) ln( p ) 1 p
一元Logistic回归方程
• 设有一个自变量ｘ，用logit(p)与ｘ建立起回归关系为
• •
这用里回的归方法为lo求回g出it归(回p系)归数系，数0 为，随代1x机+入误上差式。，经过简单运算可得下式：
0，1

eb0 + b1x p = p(Y = 1| x) =
样品相似性度量
• 样品相似性的度量包括闵可夫斯基距离、马氏距离和兰氏距离等 等。
• 闵可夫斯基距离
d
1
d (xi , x j ) ( | xik x jk |q )q
k 1
• 当q=1，称绝对距离，当q=2，称欧氏距离。
• 马氏距离
• 马氏距离又称为广义欧几里得距离。
di2j (M ) (Xi X j )'1(Xi X j )
第二章 概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、 设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地 方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在 图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹 孔分布图.
参数检验
• 回归系数的检验，即检验每个解释变量对响应变量的影响是否有 统计学上的意义。若有m个回归系数 ，假设检验为：
• 常用的回1归,L系,数m检验方法有Wald统计量：
H0 : b j = 0 H1 : b j ? 0 (j 1,2,L ,m)
• 式中分子为解释变量的参数估计值，分母为参数估计值Wald的标
1+ eb0 + b1x
多元Logistic回归方程
• 如果解释变量不止一个，则可以将一元logistic回归推广到多元 logistic回归，得到模型如下：
logit(
p)

ln( 1
p
p
)

0

1x1

2
x2

L
m xm +
• 即可类似求得Y=1的概率：
eb0 + b1x1+ b2 x2 + L + bm xm p = 1+ eb0 + b1x1+ b2x2 + L + bmxm
• 马尔科夫过程的特性在于未来的演变不依赖于它过去的演变。例 如明天是否会下雨不依赖于昨天是否下雨。这种性质被称作无后 效性。
马尔科夫链
0 ? t1
i1, i2 ,L , ik- 1, i, j t2 < L < tk- 1 < tk < tk+1
P(Xtk+1 = j | Xt1 = i1,L , Xtk- 1 = ik- 1, Xtk = i) = P( Xtk+1 = j | Xtk = i)
机抽取相应分布的伪随机数来作为随机样本)以模拟原问题的随 机量； • (４) 求出随机样本的样本均值.
2.1.2． 马尔科夫方法的一般原理
马尔科夫过程
• 现实中很多问题都可以看作马尔科夫过程：如布朗运动、传染病 爆发过程、车站候车人流量等。
• 马尔科夫模型也在网站流量分析、教学质量评估、股票期权等方 面得到了广泛的应用。
dij (L)

1 d
d|
k 1
xik xik

x jk x jk
概率统计模型
2.1． 概率统计模型的基本理论
2.1.1．蒙特卡洛方法的一般原理
蒙特卡洛方法解题的基本步骤
• (１) 确定所要模拟的目标以及实现这些目标的随机变量,一般情况 下，目标就是这些随机变量的期望；
• (２) 找到原问题中随机变量的分布规律； • (３) 大量抽取随机样本(在如今的计算机时代， 一般是利用计算
准误。
Wald
2
[ˆj
/
se(ˆj )]2
模型评价
• 一般情况下，Wald检验的结果趋向于保守。 • 当样本量较小时，可能会产生一个很大的标准误，从而导致Wald
值变得很小，增加犯第二类错误的可能。 • 这种情况下采用似然比检验更为可靠。 • 当Wald检验与似然比检验结果出现不一致时，一般似然比检验结
转移概率矩阵
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(Xmn j | Xm i) 1
jE
遍历性与极限分布
平稳分布
平稳分布与遍历性关系
• 当马尔科夫链具有遍历性时，极限分布必定存在且唯一。当马尔科 夫链不具有遍历性时，极限分布必定不存在，而平稳分布可能存在 且不唯一。
• 当有限马尔科夫链具有遍历性，极限分布必定是平稳分布；当无限 马尔科夫链具有遍历性，如果极限分布存在，则极限分布必定是平 稳分布。
• 聚类分析正是这样一种快速将大量数据分类的统计方法，有很强 的应用价值。
• 宗旨：根据数据样本的性质，将具有相近特质的样品或变量分在 一组，既可以根据不同组的特性进行不同的处理，也可以对同组 数据进行更进一步的分析。
Q型聚类
• 对样品进行分类处理，距离由样品相似性来度量。
R型聚类
• 对变量进行分类处理，距离由变量相似性来度量。