华农概率论习题三解答

习 题 三 解 答

1：设二维随变量（X，Y）只能取下列数组中的值：（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），且取这几组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12。求此二维随机变量（X，Y）的分布列。

解：此二维随机变量（X，Y）的分布列是：

Y

X 0 1/3 1

-1 0 1/12 1/3

0 1/6 0 0

2 5/12 0 0

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2．一袋中有四个球，它们依次标有数字1，2，2，3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取球，设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X，Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字，求（X，Y）的概率分布。

解：由题意得：（X，Y）的可能取值为：（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2）。

则由概率的乘法公式得：P{X=1,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6

P{X=1,Y=3}=(1/4)×(1/3)=1/12

P{X=2,Y=1}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=2,Y=2}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=2,Y=3}=(2/4)×(1/3)=1/6

P{X=3,Y=1}=(1/4×(1/3)=1/12

P{X=3,Y=2}=(1/4)×(2/3)=1/6

而事件(1,1),(3,3)为不可能事件，所以P{X=1,Y=1}=0，P{X=3,Y=3}=0。

则（X，Y）的联合分布列为：

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3在一个箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只，考虑两种试验，（1）有放回抽样，（2）无放回抽样，我们定义随机变量X，Y如下 Y

X 1 2 3

1 0 1/6 1/12

2 1/6 1/6 1/6

3 1/12 1/6 0

品表示第一次取出的是次品表示第一次取出的是正10X

品表示第二次取出的是次品表示第二次取出的是正10Y

解：（1）所求联合概率分布为：

X 0 1

0 25/36 5/36

1 5/36 1/36

（2）所求联合概率分布为：

X 0 1

0 45/66 10/66

1 10/66 1/66

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4.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

),(yxf=其他,00,0,)43(yxkeyx

（1）确定常数k；（2）求（X，Y）的分布函数；（3）求P{0＜X≤1，0＜Y≤2}。

解：（1）由概率密度函数的性质知

dxdykedxdyyxfyx00)43(),(

=dyedxekyx0403

=k*4131

=1

即 k=12.

(2)由定义，有

dudvvufyxFyx),(),(

当00xy或时 Y

Y

(,)(,)00yxyxFxyfuvdudvdudv

当0,0xy时

(34)000034(,)1234121111||34xyuvxyxyFxyduedvuveeee

于是

34(1)(1)0,0(,)0xyeeyxFxy其它

（3）21(34)0001,0212xyPXYdyedx

=)1)(1(83ee

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5.随机变量（X，Y）的分布密度为

22222222(),(,)0,CRxyxyRfxyxyR

（1）求系数C；（2）求随机变量（X，Y）落在)(222Rrryx内的概率。

解：（1）由(,)1fxydxdy （利用极坐标运算）得

232222000032313RRRdCRrrdrCRdCdCR

于是 33CR

（2）利用极坐标运算得：

=233rR（1-Rr32）

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6.求出在D上服从均匀分布的随机变量(X,Y)的分布密度及分布函数,其中D为x轴，y轴及直线y=2x+1围成的三角形区域．

解：由于面积Ｓ=1/4，所以（X,Y）的联合密度函数为

其它0),(4),(Dyxyxf

分布函数分区域讨论

（1） 当1xy0, f(x,y)=0 2或

从而 yxyx----F(x,y)=f(x,y)dxdy=0dxdy=0

（2） 当1

yxyx2y-1--02F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dx=4xy+2y-ydy

（3） 当10,212xxy

yxx2x+1211---022F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dy=8x+421xdxdxx

（4） 当0,01xy

yxy02y-1--02F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dx=1-1-ydy

（5） 当0,1xy

yx02x+11---02F(x,y)=f(x,y)dxdy=4dy=1dx

综上可得：

22210021420,0212(,)1210,212110,0110,1xyxyyyxyxFxyxxxyyxyxy或

7. 设随机变量（X,Y）的概率密度为

2,01,02(,)30,xyxxyfxy其他

求P｛X+Y1｝.

解：P｛X+Y1｝=1–P｛X+Y<1｝

=1–11200()3xxydxxdy=7265

8：设二维随机变量（X，Y）要区域D上服从均匀分布，其中D 是曲线y=2x和 y=x所围成，试求（X，Y）的分布密度及边缘分布密度。

解：面积211200116xdDxSdxdydxdyxxdx

则 6(,)(,)0xyDfxy其他

（a）关于X的边缘概率密度

当01x时,

22()(,)66xXxfxfxydydyxx

当01xx或时

()0Xfx

所以

2601()0Xxxxfx其他

（b）关于Y的边缘概率密度

当01y时,

()(,)66yYyfyfxydxdxyy

当01yy或时

()0Yfy

所以

601()0Yyyyfy其他

9．（1）第1题中的随机变量X和Y是否相互独立（提示：考虑事件{X=-1，y=1}）

（2）第6题中的随机变量X与Y是否相互独立（提示：考虑事件

21,41YX）

解：（1）1151012312PX，15100312PY

而 11,13PXY

1,111PXYPXPY

根据定义得：X与Y不相互独立。

（2）

10．已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为：

6(2),0x1,0y1(,)0,xyxyfxy其它

求边缘概率密度Xfx与Yfy； 64,(,)(,)0,11{,}04211111{}44242411111{}4224241111{,}{}{}4242YxyDfxyPXYPXPYPXYPXPYX由第题得，其他而与不相互独立

（1） )|(|yxfYX，)|(|xyfXY

（2） 问X和Y是否相互独立

解：（1）dyyxfxfX),()(

当0≤x≤1时，

1206(2)43Xfxxyxydyxx

其它， ,0),(yxf

所以

0Xfx

所以关于X的概率密度为

243,0x1()0,Xxxfx其它

类似地，(,)Yfyfxydx

当0≤y≤1，

1206(2)43Yfyxyxydxyy

其它， 0),(yxf

0Yfy

所以

243,0y10,Yyyfy其它

（3） 故由条件概率密度的定义可知，

)(),()|(|yfyxfyxfYYX其它,01y0,1x0,34)2(6yyxx

)(),()|(|xfyxfxyfXXY其它,01y0,1x0,34)2(6xyxx

（3）x=1，y=1时，)(xfX×)(yfY＝（4y-32y）(4x-32x)=1

(,)0fxy