【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业 3.2.1空间向量与平行关系

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课时提升作业(二十五)

空间向量与平行关系

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题3分,共18分)

1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( )

A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)

C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)

D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)

【解析】选D.若l∥α,则a〃n=0.而选项A中a〃n=-2.选项B中a〃n=1+5=6.选项C中a〃n=-1,选项D中a〃n=-3+3=0.

【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )

A.xOy平行 B.xOz平行

C.yOz平行 D.yOz相交

【解析】选C.因为=(9, 2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz.

2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别

为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(

)

A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定

【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

因为A1M=AN=a,

所以M,

N.

所以=.

又C1(0,0,0),D1(0,a,0),

所以=(0,a,0).

所以〃=0.

所以⊥.

因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN⊄平面BB1C1C,

所以MN∥平面BB1C1C.

【一题多解】选B.=++, ①

=++. ②

因为A1M=AN=a,

所以=,=.

①×2+②得3=2+,

而=,所以=+.

故MN∥平面BB1C1C.

3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量:

①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1);

②a=(8,4,0),b=(2,1,0);

③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3);

④a=,b=(4,-3,3).

其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( )

A.②③ B.①④

C.①②④ D.①②③④

【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1),

所以a∥b;

②a=(8,4,0)=4b,所以a∥b;

③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3),a=-b,

所以a∥b;④a=,b=(4,-3,3),a=-b,所以a∥b,因此选D.

4.(2014·长沙高二检测)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若||a=,a分别与,垂直,则向量a为( )

A.(1,1,1)

B.(-1,-1,-1)

C.(1,1,1)或(-1,-1,-1)

D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)

【解析】选C.由题意=(-2,-1,3),=(1,-3,2),

设向量a=(x, y,z),则有令z=1得x=1,y=1,令z=-1得x=-1,y=-1,故选C.

5.a,b是两个非零向量,α,β是两个平面,下列命题正确的是( )

A.a∥b的必要条件是a,b是共面向量

B.a,b是共面向量,则a∥b

C.a∥α,b∥β,则α∥β

D.a∥α,bβ,则a,b不是共面向量

【解析】选A.对于A若a∥b,则a,b是共线向量,即为共面向量.所以a∥b的必要条件是a,b是共面向量.反之a,b是共面向量则a与b不一定共线.对于C可举反例如用翻开的课本,则也满足条件a∥α,b∥β,此时平面α,β不平行.对于D由于α,β两平面的位置关系不确定,故也不正确.

6.对于任意空间向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),给出下列三个命题:

①a∥b⇔==;

②若a1=a2=a3=1,则a为单位向量;

③a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.

其中真命题的个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.若b1,b2,b3的值只要有一个为0,则①式无意义;a=(1,1,1)不是单位向量,其长度|a|=;③正确.

二、填空题(每小题4分,共12分)

7.(2014·平顶山高二检测)若A,B,C是平面α内三点,

设平面α的法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=

.

【解析】由已知得=,

=,由于a是平面α的一个法向量,所以a〃=0,a〃=0,

即解得

所以x∶y∶z=y∶y∶y=2∶3∶(-4).

答案:2∶3∶(-4)

8.若=λ+u(λ,u∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系是 .

【解析】因为=λ+u,

所以与,共面,

所以AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE.

答案:AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE

9.(2014·广州高二检测)已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),线段AB上是否存在一点C,使AC=AB,若存在,则C点的坐标为 .

【解题指南】先假设存在,因为点C在AB上且AC=AB,可转化为用向量表示即=,从而设出C点的坐标求出答案.

【解析】设C(x,y,z),则=(x-4,y-1,z-3),又=(-2,-6,-2),因为点C在AB上且AC=AB,则可转化为=,

即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2),

得x=,y=-1,z=,故C.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

10.三条不同直线a,b,c,若a∥b,a∥c,求证b∥c.

【证明】设a,b,c的方向向量分别为e1,e2,e3,

因为a∥b,所以存在k∈R,使e2=ke1,

因为a∥c,所以存在实数m,使e1=me3,

所以e2=(km)e3,

所以e2∥e3,因为b与c不重合,所以b∥c.

11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1BD∥平面CB1D1.

【证明】如图,分别以AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,

则A1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D1(0,1,1),=(1,0,-1),=(1,0,-1). =(-1,1,0),=(-1,1,0),所以∥,∥.

所以A1B∥D1C,B1D1∥BD.

又因为D1C⊂平面B1D1C,A1B⊄平面CB1D1,

所以A1B∥平面CB1D1,

同理BD∥平面CB1D1.

又因为A1B∩BD=B,

所以平面A1BD∥平面CB1D1.

【变式训练】已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中点.

求证:(1)FC1∥平面ADE.

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

【解题指南】(1)先求出平面ADE的法向量,再证明直线FC1的方向向量与平面ADE的法向量垂直.

(2)求出平面ADE与平面B1C1F的法向量,证明它们的法向量共线.

【证明】建立如图所示空间直角坐标系,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B1(2,2,2),

C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),所以

=(0,2,1),=(-2,0,0),

=(0,2,1),=(2,0,0),

设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面ADE与平面B1C1F的法向量,

则

即令y1=1得n1=(0,1,-2),同理可得n2=(0,1,-2).

(1)因为n1〃=(0,1,-2)〃(0,2,1)=0,

所以n1⊥,

又FC1⊄平面ADE,

所以FC1∥平面ADE.

(2)因为n1=(0,1,-2),n2=(0,1,-2),

所以n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.

(30分钟 50分)

一、选择题(每小题4分,共16分)

1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a与b分别为直线l1与l2的方向向量且a∥b,则( )

A.x=1,y=1 B.x=,y=-

C.x=,y=- D.x=-,y=

【解析】选C.因为a=λb(λ∈R),

所以(2x,1,3)=(λ,-2yλ,9λ)(λ∈R).

由9λ=3,得λ=.

所以2x=.所以x=,

又1=-y,所以y=-.

2.(2014·广州高二检测)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的一个单位法向量为( )

A. B.

C. D.

【解题指南】求单位法向量时可先求出一个法向量再求法向量方向上的单位法向量.

【解析】选B.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有取x=1,则y=-2,z=2.

所以n=(1,-2,2).因为|n|=3,

所以平面ABC的一个单位法向量可以是.

3.(2014·济南高二检测)已知空间三点A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3),则下列向量中是平面ABC的法向量的是( )

A.(-1,-2,5) B.(1,3,2)

C.(1,1,1) D.(-1,1,-1)

【解题指南】由A,B,C的坐标算出=(0,-1,-1),=(-2,-1,1).设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,利用垂直向量数量积为零的方法建立关于x,y,z的方程组,再取y=1即可得到向量n的坐标,从而可得答案.

【解析】选D.因为A(1,3,2),B(1,2,1),C(-1,2,3),

所以=(0,-1,-1),=(-2,-1,1).

设向量n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量,

则

取y=1,得x=-1,z=-1,

所以n=(-1,1,-1)是平面ABC的一个法向量,

因此可得:只有D选项的向量是平面ABC的法向量.

4.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论:

①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;

④A1M∥平面D1PQB1.

这四个结论中正确的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4