高中数学第三章指数函数和对数函数单元测试北师大版必修1

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。

2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．知识点一同类函数增长特点思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．类型一根据图像判断函数的增长速度例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。

3x－1的图像如图所示．(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．类型二函数增长模型的应用例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三:第一天回报0。

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二、反函数 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)是对数函数 y＝logax(a>0，a≠1)的 反函数 ；指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数 y＝logax(a>0，a≠1，x>0) 互为反函数 ． 三、画 y＝log2x(x>0)的图像的方法 (1) 描点法 ； (2) 变换法 ．
x＋1>0 解析：(1)要使函数有意义，需 1－x>0 x>－1 ，即 x<1
.
∴－1<x<1，∴函数的定义域为(－1,1)． 5－x>0 (2)要使函数有意义，需x－2>0 x－2≠1 ∴定义域为(2,3)∪(3,5)． x<5 ，∴x>2 . x≠3
∴函数的定义域为{x|0<x<2 且 x≠1}．
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探究二 [典例 2] 写出下列函数的反函数． 求函数的反函数
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1x (1)y＝log 1 x；(2)y＝ln x；(3)y＝( ) ；(4)y＝2x－1. e 6 1 1x [解析] (1)对数函数 y＝log 1 x 的底数是 ，它的反函数是指数函数 y＝( ) . 6 6 6
(2)对数函数 y＝ln x 的底数是 e，它的反函数是指数函数 y＝ex. 1x 1 (3)指数函数 y＝( ) 的底数是 ， 它的反函数是对数函数 y＝log 1 x(x>0)， 即 y＝－ln x(x>0)． e e e (4)由 y＝2x－1 得 2x＝y＋1， ∴x＝log2(y＋1)，
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第2课时 对数的运算性质及换底公式学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)．预习教材P80－85完成下列问题： 知识点一 对数的运算性质 如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，则： (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)log a M n＝n log a M (n ∈R )； (3)log a MN＝log a M －log a N ．思考 当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示 不一定成立．【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( ) (2)log a x ＋log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)对数的运算性质(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 能推广为log a (a 1·a 2·…·a n )＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n (a >0且a ≠1，a n >0，n ∈N *)．( )提示 (1)错误．M 和N 为负数时log a M 和log a N 无意义． (2)错误．log a x ＋log a y ＝log a (xy )． (3)正确．能log a [(a 1a 2…a n－1)·a n ]＝log a (a 1·a 2·…·a n－1)＋log a a n ＝log a (a 1·a 2·…·a n －2)＋log a a n －1＋log a a n ＝…＝log a a 1＋log a a 2＋…＋log a a n ．答案 (1)× (2)× (3)√ 知识点二 换底公式log b N ＝log a Nlog a b (a ，b >0，a ，b ≠1，N >0)．【预习评价】1．换底公式中底数a 是特定数还是任意数？ 提示 是大于0，且不等于1的任意数． 2．换底公式有哪些作用？提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值．知识点三 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1； (3)log an b n＝log a b ； (4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b ．【预习评价】1．计算log 2781＝( ) A.43 B ．34 C ．23D ．32解析 log 2781＝log 3334＝lg 34lg 33＝43．答案 A2．计算log 42＋log 48＝________． 解析 log 42＋log 48＝log 416＝2． 答案 23．结合教材P81－82，例4和例5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？ 提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化． 第二步：利用对数的性质化简、求值．题型一 利用对数的运算性质化简、求值 【例1】 计算下列各式的值． (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．解 (1)法一 原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12． 法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg (75)＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12．(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．【训练1】 计算下列各式的值． (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27．解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1．(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3－＝115．题型二 利用换底公式化简、求值 【例2】 计算下列各式的值． (1)lg 20＋log 10025；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． 解 (1)lg 20＋log 10025＝1＋lg 2＋lg 25lg 100＝1＋lg 2＋lg 5＝2．(2)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52) ＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52 ＝133×3＝13． 规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式． (2)常用的公式有：log a b ·log b a ＝1，log an b m＝m nlog a b ， log a b ＝1log b a等．【训练2】 (1)(log 29)·(log 34)等于( ) A.14 B ．12 C ．2D ．4(2)log 2125·log 318·log 519＝________．解析 (1)(log 29)·(log 34)＝(log 232)·(log 322) ＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4． (2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝－2lg 5·－3lg 2·－2lg 3lg 2·lg 3·lg 5＝－12．答案 (1)D (2)－12方向1 含有附加条件的对数式或指数式的求值 【例3－1】 (1)已知log 189＝a,18b＝5，求log 3645． (2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．解 (1)法一 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 18log 18＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a． 法二 ∵log 189＝a,18b＝5，∴log 185＝b ． 于是log 3645＝log 18log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a．法三 ∵log 189＝a,18b＝5，∴lg9＝a lg 18， lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a． (2)法一 由3a＝4b ＝36，得a ＝log 336＝2log 36，b ＝log 436＝log 2262＝log 26． ∴2a ＋1b ＝22log 36＋1log 26＝log 63＋log 62＝log 6(2×3)＝log 66＝1． 法二 对已知条件取以6为底的对数，得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1b＝log 62，于是2a ＋1b＝log 63＋log 62＝log 66＝1．方向2 与方程的综合应用 【例3－2】 解下列方程．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2； (3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1．解 (1)首先，方程中的x 应满足x >10， 其次，原方程可化为lgx3＝lg5x －10，∴x3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0． 解得x ＝15或x ＝－5(舍去)， 经检验，x ＝15是原方程的解． (2)首先，x >0且x ≠110，其次，原方程可化为lg x ＋2lg x 1＋lg x＝2，即lg 2x ＋lg x －2＝0．令t ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2， ∴x ＝10或x ＝1100．经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1>0且x 2－1≠1，即x >1或x <－1且x ≠±2． 由2x 2－3x ＋1>0，得x <12或x >1．综上可知，x >1或x <－1且x ≠±2． 其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1． ∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2． 又∵x >1或x <－1且x ≠±2，∴x ＝2． 经检验，x ＝2是原方程的解． 方向3 与集合知识的综合应用【例3－3】 已知集合A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，若A ＝B ，则log 8(x 2＋y 2)＝________．解析 在集合B 中，根据集合中元素的互异性，有|x |≠0，且y ≠0.则在集合A 中，x ≠0，且xy ≠0，有lg(xy )＝0，解得xy ＝1.此时，A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，y }．由A ＝B ，得|x |＝1或y ＝1．①若|x |＝1，则x ＝－1或x ＝1(舍去)．此时y ＝－1.经检验，符合题意． ②若y ＝1，则|x |＝x ，解得x ＝1，与集合中元素的互异性矛盾． 综合可知，x ＝－1，y ＝－1，log 8(x 2＋y 2)＝log 82＝13．答案 13方向4 与函数知识的综合应用【例3－4】 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ∈，＋，x2，x ∈－1，0]，－2x ＋3，x ∈－∞，－1]，求f (f (f (－2－3)))的值．解 ∵－2－3<－1，且当x ∈(－∞，－1]时，f (x )＝－2x ＋3，∴f (－2－3)＝－2－2－3＋3＝－14．∵－14∈(－1,0]，且当x ∈(－1,0]时，f (x )＝x 2，∴f (f (－2－3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝116>0．又当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ， ∴f (f (f (－2－3)))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝log 2116＝－4．规律方法 (1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．(2)解对数方程时，先由对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可，这样做可以避免烦琐的计算．课堂达标1．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝( )A ．3aB ．32a C ．aD ．a2解析 lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 23＝3(lg x －lg y )＝3a ．答案 A2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为( ) A ．a －b B ．a bC ．abD ．a ＋b解析 log 32＝ln 2ln 3＝ab ．答案 B3．log 510＋log 512＝________．解析 原式＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫10×12＝log 55＝1． 答案 14．log 23·log 34＝________． 解析 原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3＝2．答案 25．计算：lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8×(lg 32－lg 2)．解 原式＝－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2×lg 24＝4． 课堂小结1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质． (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用． (3)在运算过程中避免出现以下错误：①log a N n＝(log a N )n，②log a (MN )＝log a M ·log a N ， ③log a M ±log a N ＝log a (M ±N )．。

新课程必修第一册《指数函数与对数函数》基础测试题及答案解析时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若a<12，则化简42a －12的结果是( )A .2a －1B ．－2a －1C .1－2aD ．－1－2a2．函数y ＝lg x ＋lg (5－3x)的定义域是( )A ．[0，53) B ．[0，53] C ．[1，53)D ．[1，53]3．若a>1，则函数y ＝a x与y ＝(1－a)x 2的图象可能是下列四个选项中的( )4．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)5．若0<a<1，在区间(－1,0)上函数f(x)＝log a (x ＋1)是( )A ．增函数且f(x)>0B ．增函数且f(x)<0C ．减函数且f(x)>0D ．减函数且f(x)<06．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x>02x， x≤0，则f(f(19))等于( )A ．4B .14C ．－4D ．－147．函数f(x)＝4x＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称8．下列式子中成立的是( )A ．log 0.44<log 0.46B ．1.013.4>1.013.5C ．3.50.3<3.40.3D ．log 76<log 67二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A ．y ＝x 3＋x B ．y ＝log 2x C ．y ＝2x 2－3D ．y ＝x |x |10．下列说法正确的是（ ） A ．函数()1f x x=在定义域上是减函数 B ．函数()22xf x x =-有且只有两个零点 C ．函数2xy =的最小值是1D ．在同一坐标系中函数2xy =与2xy -=的图象关于y 轴对称11．若函数1xy a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有（ ） A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a ＜b ，设函数f (x )＝1⊕2－x，则下列命题正确的有( )A ．f (x )的值域为[1，＋∞)B ．f (x )的值域为(0,1]C ．不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立的范围是(－∞，0)D ．不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立的范围是(0，＋∞) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 函数()()2lg lg x f x x =-的零点为________. 14．函数f(x)＝ax －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，那么实数a 的取值范围是________．16.若函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，最小值为m ，函数g (x )＝(3＋2m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＋m ＝______. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(1)计算：(－3)0－120＋(－2)－2－1416-；(2) 设log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n的值；18．(12分)(1) log 49－log 212＋5lg210-.(2)12lg 25lg 2lg ++()1lg 0.01+－； 19．(12分)设函数f(x)＝2x＋a 2x －1(a 为实数)．(1)当a ＝0时，若函数y ＝g(x)为奇函数，且在x>0时g(x)＝f(x)，求函数y ＝g(x)的解析式；(2)当a<0时，求关于x 的方程f(x)＝0在实数集R 上的解． 20．(12分)已知函数f (x )＝log ax ＋1x －1(a >0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．21．(12分)已知－3≤12log x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x4的最大值和最小值．22．(12分) 已知函数2328()log 1mx x nf x x ++=+． （Ⅰ）若4,4m n ==，求函数()f x 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数()f x 的定义域为R ，值域为[0,2]，求实数,m n 的值．答案及解析：一、单选题1．C [∵a <12，∴2a －1<0.于是，原式＝41－2a2＝1－2a .]2．C [由函数的解析式得：⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，x >0，5－3x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x >0，x <53.所以1≤x <53.]3．C [∵a >1，∴y ＝a x在R 上是增函数，又1－a <0，所以y ＝(1－a )x 2的图象为开口向下的抛物线．] 4．A f(1)＝ln2－2＝ln 2e 2<ln1＝0，f(2)＝ln3－1＝ln 3e>ln1＝0，所以函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．5．C [当－1<x <0，即0<x ＋1<1，且0<a <1时，有f (x )>0，排除B 、D.设u ＝x ＋1，则u 在(－1,0)上是增函数，且y ＝log a u 在(0，＋∞)上是减函数，故f (x )在(－1,0)上是减函数．]6．B [根据分段函数可得f (19)＝log 319＝－2，则f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14.]7．D 易知f(x)的定义域为R ，关于原点对称．∵f(－x)＝4－x＋12－x ＝1＋4x2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称．8．D [A 选项中由于y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)单调递减， 所以log 0.44>log 0.46；B 选项中函数y ＝1.01x在R 上是增函数， 所以1.013.4<1.013.5；C 选项中由于函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增， 所以3.50.3>3.40.3；D 选项中log 76<1，log 67>1，故D 正确．] 二、多选题9．解析：选AD A 中，y ＝x 3＋x 为奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符；B 中，y ＝log 2x 为非奇非偶函数，与题意不符；C 中，y ＝2x 2－3为偶函数，与题意不符；D 中，y ＝x |x |是奇函数，且存在零点x ＝0，与题意相符． 10．解析：对于A ，()1f x x=在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B ，函数()22xf x x =-有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2﹣x 的图象关于y 轴对称，命题正确.故选CD 11．解析：因为函数1xy a b =+- (0a >,且1a ≠)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:由图像可知函数为增函数，所以1a >.当0x =时，110y b b =+-=<，故选AD.12．解析：选AC 由函数f (x )＝1⊕2－x，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≥2－x，2－x ，1＜2－x，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ＜0，1，x ≥0，作出函数f (x )的图象，如图所示，根据函数图象得f (x )的值域为[1，＋∞)，故A 正确，B 错误；若不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立，由函数图象知，当2x ＜x ＋1＜0即x ＜－1时成立，当⎩⎪⎨⎪⎧2x ＜0，x ＋1≥0即－1≤x ＜0时也成立．所以不等式f (x ＋1)＜f (2x )成立时，x ＜0.故C 正确，D 错误．故选A 、C. 三、填空题13. 解析：由题知：()2lg lg 0x x -=，得(l g 1g )l 0x x -＝，∴lg 0x =或lg 1x =，∴1x =或10x =.故答案为：1x =或10x = 14．(1,4)解析 由于函数y ＝a x恒过(0,1)，而y ＝ax －1＋3的图象可看作由y ＝a x的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)． 15．(1,2)解析 当x ∈[2，＋∞)时，y >1>0，所以a >1，所以函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a 2，所以log a 2>1＝log a a ，所以1<a <2.16.解析：当a ＞1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的增函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，因此有f (4)＝log a 4＝2⇒a ＝2，所以m ＝log 212＝－1，此时g (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数，符合题意，因此a ＋m ＝2－1＝1；当0＜a ＜1时，函数f (x )＝log a x 是正实数集上的减函数，而函数f (x )＝log a x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4上的最大值为2，因此有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 12＝2⇒a ＝22，所以m ＝log 224＝－4，此时g (x )＝－5x 在[0，＋∞)上是减函数，不符合题意. 答案：1 17．解 (1)原式＝1－0＋1－22－()1442-＝1＋14－2－1＝1＋14－12＝34.(2) ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n＝3. ∴a 2m ＋n＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22·3＝12.18．解 (1) 原式＝log 23－(log 23＋log 24)＋2lg 510＝log 23－log 23－2＋25＝－85.(2) ()11222lg 252100.1-⎡⎤⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦()172227lg 521010lg 102⎛⎫=⨯⨯⨯==⎪⎝⎭；19．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝2x－1， 由已知g (－x )＝－g (x )，则当x <0时，g (x )＝－g (－x )＝－f (－x )＝－(2－x－1) ＝－(12)x＋1，由于g (x )为奇函数，故知x ＝0时，g (x )＝0， ∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1， x ≥0－12x＋1， x <0.(2)f (x )＝0，即2x＋a2x －1＝0，整理，得：(2x )2－2x＋a ＝0， 所以2x＝1±1－4a 2，又a <0，所以1－4a >1，所以2x＝1＋1－4a2， 从而x ＝log 21＋1－4a2.20．解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x －1<0，解得x >1或x <－1，此函数的定义域为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称． (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log ax ＋1x －1＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减． 所以当a >1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减； 当0<a <1时，f (x )＝log ax ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增． 21．解 ∵f (x )＝log 2x2·log 2x4＝(log 2x －1)(log 2x －2) ＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝(log 2x －32)2－14，∵－3≤12log x ≤－32.∴32≤log 2x ≤3. ∴当log 2x ＝32，即x ＝22时，f (x )有最小值－14；当log 2x ＝3，即x ＝8时，f (x )有最大值2.22．(1)解 （Ⅰ）若4,4m n ==，则232484()log 1x x f x x ++=+，由2248401x x x ++>+，得到2210x x ++>，得到1x ≠-，故定义域为{}1x x ≠-．令224841x x t x ++=+，则2(4)840t x x t --+-= 当4t =时，0x =符合．当4t ≠时，上述方程要有解，则2644(4)0,t t ⎧∆=--≥⎨≠⎩，得到04t ≤<或48t <≤，又1x ≠-，所以0t ≠，所以08t <≤，则值域为3(,log 8]-∞．（Ⅱ）由于函数()f x 的定义域为R ，则22801mx x nx ++>+恒成立，则06440m mn >⎧⎨-<⎩，即016m mn >⎧⎨>⎩，令2281mx x nt x ++=+，由于()f x 的值域为[0,2]，则[1,9]t ∈，而 2()80t m x x t n --+-=，则由644()()0,t m t n ∆=---≥解得[1,9]t ∈ ，故1t =和9t =是方程644()()0t m t n ---=即2()160t m n t mn -++-=的两个根，则10169m n mn +=⎧⎨-=⎩，得到55m n =⎧⎨=⎩，符合题意．所以5,5m n ==．。