必修1 数学
——指数函数及幂函数
一、指数函数 1．整数指数幂
)0(10
≠=a a
； )0,(1≠∈=
-a N n a
a
n
n
； n
m
n
m
a
a
=
2、指数函数
【1】一般形式：()0,1x y a a a =>≠； 【2】定义域：(,)-∞+∞；值域：(0,)+∞；
【3】函数值变化情况：
当1a >时，1(0)1(0)1(0)x x a x x >>⎧⎪==⎨⎪<<⎩
； 当01a <<时，1(0)1(0)1(0)x
x a
x x <>⎧⎪
==⎨⎪><⎩
【4】单调性：当1a >时，x y a =是增函数；当01a <<时，x y a =是减函数
【类型题归纳】
【例题1】下列哪些是指数函数：（1）(4)x
y =-；（2）2
1
2
x y -=；（3）x
y a =；
（4）1(21)(,1)2
x
y a a a =->
≠；（5）23x
y =⋅.
【总结升华】判断一个函数是否为指数函数，要紧扣指数函数的定义：其一，底数大于0且不等于1；其二，幂指数是单一的自变量x ；其三，系数为1，且没有其他的项. 2、设137
x
=
，则（ ）
A 、21x -<<-
B 、32x -<<-
C 、10x -<<
D 、01x << 3、若函数()(0,1)x
f x a a a =>≠，则下列等式不正确的是（ ）
A 、()()()f x y f x f y +=
B 、 ()()()n n n f xy f x f y ⎡⎤=⎣⎦
C 、 ()()()
f x f x y f y -=
D 、 ()()n
f nx f x =
【总结】对于()()()f x y f x f y +=类型的抽象函数，x
y a =可以作为它的一个经典原型，用来解决实际
问题。 4、化简4
63
9436
9)(
)(
a a ⋅的结果为（ ）
A 、a 16
B 、a 8
C 、a 4
D 、a 2
【例题5】求下列函数的定义域、值域：
（1）1
421x x y +=++； （2）1(01
x
x
a y a a -=
>+，且1)a ≠.
【变式训练】求下列函数的定义域、值域：（1）||
2
()
3
x y -=； （2）2
120.5x x y +-=.
【例题6】比较下列各组数的大小. （1） 2.5
1.7，3
1.7；（2）0.10.20.8,1.25-；（3）0.3 3.11.7,0.9；（4） 4.1 3.64.5,3.7.
【例题7】讨论函数2
21
()()
3x x
f x -=的单调性，并求其值域.
【变式训练】求函数|12|
1
()
2x y +=的单调区间.
二、幂函数
（1）定义：一般地，函数a
y x =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. （2）注意：对于幂函数，我们只讨论11,2,3,,12
α=-时的情形.
（3）图象与性质：
2、幂函数的图象不过第四象限
3、幂函数y x α=的奇偶性的判断：令q p
α
=
（其中,p q 互质，,p q N ∈）
【1】若p 是奇数，则q p
y
x =的奇偶性取决于q 是奇数或偶数。当q 是奇数时，则q
p y x =是奇函数；
当q 是偶数时，则q
p y x =是偶函数.
【2】若p 是偶数，则q 必是奇数，此时q
p y x =既不是奇函数，也不是偶函数. 4. 幂函数的增减性：当α<0时，幂函数在第一象限为减函数。
【类型题归纳】
1、在函数①1
23y x x =+；②3
(1)y x =-；③2
1y x
=
；④1y =；⑤1
22y x =；⑥y =是 .
2、幂函数1234:,:,:,:k m n p
C y x C y x C y x C y x ====的 图象如图所示，则,,,k m n p 的大小关系是
（ ）
A.k m n p >>>
B.n m k p >>>
C.m n p k >>>
D.k m p n >>>
3、写出下列函数的定义域、值域，判断（1）的奇偶性和单调性.
（1）1
2y x =； （2）35
y x
-
= （3）2
(2)
y x -=+
4、若113
3
(1)
(32)
a a --
+<-，则a 的取值范围是 .
5、函数2
-
=x y 在区间]2,2
1
[上的最大值是
（ ）
A ．
4
1
B ．1-
C ．4
D ．4- 6、函数3
x y =和31
x y =图象满足
（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称
