北师大版数学高一必修1练习 指数函数及其性质的应用

第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用A级必备知识基础练1.函数f(x)=(14)x−(12)x+1在区间[-2,2]上的最小值为( )A.1 4B.34C.1316D.132.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2的定义域为( )A.[0,3]B.[-1,2]C.[0,1)∪(1,3]D.[-1,1)∪(1,2]3.(多选题)若指数函数y=a x在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为52,则a的值可能是( )A.2B.12C.3 D.134.方程4x+2x+1-3=0的解是 .5.若函数y=√a x-1的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是 .6.函数y=(13)√x-2的定义域是 ,值域是 .7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f(12)=2,则不等式f(2x)>2的解集为.8.已知函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),其中a>0,且a≠1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.B级关键能力提升练9.设函数f(x)={(12)x-7,x<0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是( )√x,x≥0,A.(-3,1)B.(-∞,-3)∪(1,+∞)C.(-∞,-3)D.(1,+∞)10.若函数f(x)={(12)x,x<1,a+(14)x,x≥1的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为( )A.[14,+∞)B.[14,12]C.[12,1]D.(14,1]11.(2021浙江高一期末)已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是　.12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)= ;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为 .13.解下列关于x的不等式:(1)123x-1≤2;(2)a x 2-3x +1<a x+6(a>0,且a ≠1).14.已知函数f (x )=1-2x 1+2x .(1)判断f (x )的奇偶性并证明;(2)当x ∈(1,+∞)时,求函数f (x )的值域.15.已知函数f(x)=a-12x+1(x∈R),(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;(2)若f(x)为奇函数,求a的值;(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.C级学科素养创新练16.已知函数f(x)=(12x-1+12)x3.(1)求f(x)的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)证明:f(x)>0.第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用1.B　令t=(12)x,t∈[14,4],∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=12∈[14,4],∴g(t)min=g(12)=34.故选B.2.D　函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=f(x+1)2x-2中{0≤x+1≤3,2x-2≠0,解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.3.AB　当a>1时,指数函数y=a x为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=a,最小值y min=1a.所以a+1a =52,解得a=2,或a=12(舍去);当0<a<1时,指数函数y=a x为减函数,所以在区间[-1,1]上的最大值y max=1a,y min=a,所以a+1 a =52,解得a=2(舍去),或a=12.综上所述,a=2或者a=12.4.x=0　原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.5.(0,1)　由a x-1≥0,知a x≥1.又x≤0,所以0<a<1.6.{x|x≥2}　{y|0<y≤1}　由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.当x≥2时,√x-2≥0.又0<13<1,所以y=(13)√x-2的值域为{y|0<y≤1}.7.(-1,+∞)　∵f(x)是偶函数,且f(12)=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由f(2x)>2,且2x>0得2x>12,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).8.解(1)因为函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(2,12),所以a2-1=a=12.(2)由(1)得f(x)=(12)x-1(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].9.A　当a<0时,f(a)<1,即(12)a-7<1⇔(12)a<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,f(a)<1,即√a<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.故选A.10.B　当x<1时,f(x)=(12)x∈(12,+∞),当x≥1时,f(x)=a+(14)x∈(a,a+14].∵函数f(x)的值域为(a,+∞),∴{a+14≥12,a≤12,即a∈[14,12].故选B.11.(-∞,2]　令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,化简得k≤t+1t.因为t+1t≥2√t·1t=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.12.2-x-4　{x|x<0或x>4}　设x<0,则-x>0,∴f(-x)=2-x-4.又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.于是f (x-2)>0可化为{x -2≥0,2x -2-4>0或{x -2<0,2-x +2-4>0,解得x>4或x<0.13.解(1)不等式123x-1≤2,即为21-3x ≤2,故1-3x ≤1,解得x ≥0,∴不等式的解集为{x|x ≥0}.(2)当a>1时,有x 2-3x+1<x+6,解得-1<x<5;当0<a<1时,有x 2-3x+1>x+6,解得x<-1或x>5.所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1<x<5};当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.14.解(1)函数f (x )是奇函数,证明如下:∵对任意x ∈R ,2x +1>1恒成立,且f (-x )=1-2-x 1+2-x =2x -2-x ·2x 2x +2-x ·2x =2x -12x +1=-f (x ),∴f (x )是奇函数.(2)令2x =t ,则f (x )可化为g (t )=1-tt +1=-1+2t +1,∵x ∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.∴0<2t +1<23,∴-1<g (t )<-13,∴f (x )的值域是(-1,-13).15.(1)证明f (x )的定义域为R ,任取x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a-12x 1+1-a+12x 2+1=2x 1-2x 2(1+2x 1)(1+2x 2).∵x 1<x 2,∴2x 1−2x 2<0,(1+2x 1)(1+2x 2)>0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).∴不论a 为何实数,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数.(2)解∵f (x )为奇函数,且x ∈R ,∴f (0)=0,即a-120+1=0,解得a=12.(3)解由(2)知,f (x )=12−12x +1,由(1)知,f (x )在(-∞,+∞)上为增函数,故f (x )在区间[1,5]上的最小值为f (1).∵f (1)=12−13=16,∴f (x )在区间[1,5]上的最小值为16.16.(1)解由题意得2x -1≠0,即x ≠0,∴f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解f (x )=2x +12(2x -1)·x 3,∴f (-x )=2-x +12(2-x -1)·(-x )3=-1+2x2(1-2x )·x 3=f (x ),∴f (x )为偶函数.(3)证明当x>0时,2x >1,x 3>0,∴2x -1>0,∴12x -1+12>0.∴f (x )>0.由偶函数的图象关于y 轴对称,知当x<0时,f (x )>0也成立.故对于x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f (x )>0.。

十八习题课——指数函数及其性质的应【基础全面练】(20分钟35分)1• (2021•鹰潭高一检测)已知函数» = 3 -苛+1的图象恒过定点P , 则点P的坐标是(选B.因为y = b的图象恒过定点(0 , 1),所以"-苛的图象过定点(0 , - 1),则由函数的图象平移可得您0 = 3 -苛+i的图象恒过定点F( -1,2).【补偿训练】X)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y = 关于y轴对称，则» =()D . e-'-i［解题指南］把上述变换过程逆过来,求出y = w 关于y 轴对称的函 数，再向左平移］个单位长度得到犬X ）.选D.与y=e'关于y 轴对称的函数应该是y = e'x ,则必）可由” e-* 向左平移1个单位长度得至U ,所以/U ）二e - 1）= e -- J 2 .》=2-2|的图像是（）z 轴上方的部分不变 -------- > X 轴下方的部分翻折到Z 轴上方y=\2x - 2|. 3 .若指数函数f （x ） = a x在区间［。

，2］上的最大值和最小值之和为10 , 则a 的值为（）A.?B.3 C . ±3 D .选B.因为指数函数» = 在区间［0 ,2］上单调，且犬0）=1顶2）二。

2 ,即 1 + 〃 = 10 ,解得 a = ±3 , 又。

〉0 , a^l ,所以文=3. 4 .若函数必）=a -」一为奇函数，则实数a = 2X + 1因为函数/U ）是奇函数，所以犬。

）=o ,即。

-万上=o ,解得.2° +1 2焚窒•-口 . 2选 B.y = 2x下移2个单位长度 -- A y =2X~25.已知函数» " + b（a＞0 ,存1）的定义域和值域都是-；,0 ,贝\] a + b =.①当。

＞1时，根据指数函数单调性可知：尸#是单调递增函数, 所以此时» = + b（a＞0 ,#1）单调递增,可得：»=1+/, = 0,解得危-1 ,=a2 - 1 = - ，即。

§3 指数函数(2)课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图像的影响．1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x 2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图像如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <1 3．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，12)5．设13<(13)b <(13)a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( ) A ．a <2 B ．a >2 C ．－1<a <0 D ．0<a <1一、选择题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则( ) A ．Q P B ．Q PC ．P ∩Q ＝{2,4}D ．P ∩Q ＝{(2,4)} 2．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3 D.324．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 5．函数y ＝f (x )的图像与函数g (x )＝e x ＋2的图像关于原点对称，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝－e x－2 B ．f (x )＝－e －x ＋2C ．f (x )＝－e －x －2D ．f (x )＝e －x ＋2 6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________________． 9．函数y ＝2212x x-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．三、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]．(1)设t ＝2x，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )13．已知函数f (x )＝2x－12x ＋1.(1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．§3 指数函数(二)双基演练1．C 2.C 3.A4．B [∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12.]5．C [由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ， ∴a b <a a <b a .] 6．C 作业设计1．B [因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .] 2．C [∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)．]3．C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]4．B [∵f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )， g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．]5．C [∵y ＝f (x )的图像与g (x )＝e x ＋2的图像关于原点对称， ∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.]6．A [∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12，∴b >a >1.又0<c <1， ∴c <a <b .]7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)． 10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)． 又由y ＝2u 的增减性得()12g x <()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． (2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数． 根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数． 即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增，∴t ∈[22，2]．(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3， g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (22)<g (2)．∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2. ∴函数的值域为[2,5－22]． 12．A [当x →－∞时，2x →0， 所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除C 、D.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除B.故选A.] 13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0，∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517.(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x>12x>0,22x－12x>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)，又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4， 即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

第2课时 指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练知识点一 指数函数的定义域和值域 1．函数y ＝2x－1 的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D．(0，＋∞) 2．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝35x －1；(2)y ＝(12)x2－2x －3；(3)y ＝4x －2x＋1.知识点二 指数型不等式的解法 3．若0.72x －1≤0.7x2－4，则x 的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 4．(1)解不等式：(12 )3x －1≤2；(2)已知x x2－3x ＋1<a x ＋6(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．知识点三 指数型函数的单调性5．若函数f (x )＝(13 )|x －2|，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 6．若函数y ＝2－x2＋xx －1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．7．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －23x ＋1 (a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在R 上的单调性，并证明你的结论； (3)求函数f (x )在R 上的值域．关键能力综合练1．函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3，0]B ．(－3，1]C.(－∞，－3)∪(－3，0] D ．(－∞，－3)∪(－3，1]2．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 －x 2＋4x 的值域为( ) A ．[81，＋∞) B．⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－181 D ．(－∞，－81]3．函数f (x )＝(15)x2＋xx在区间[1，2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－4B ．a ≤－2C ．a ≥－2D ．a >－44．已知集合A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ，B ＝{}y |y ＝e x＋a (a ∈R )，若A ∩B ＝∅，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)5．函数f (x )＝(18)|x ＋2|的部分图象大致为( )6．(易错题)函数y ＝(14 )x ＋(12)x＋1的值域为( )A ．[34 ，＋∞) B．(34 ，＋∞)C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞)7．不等式(13)x －4>3－2x的解集是________．8．若函数y ＝|2x－1|在(－∞，m ]上单调递减，则m 的取值范围是________． 9．(探究题)已知函数f (x )＝(13)xx2－4x ＋3(a ∈R ).(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最大值为3，求a 的值； (3)若f (x )的值域为(0，＋∞)，求a 的值．核心素养升级练1．(多选题)已知函数f (x )＝3x－(13 )x ，则f (x )( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在R 上是增函数D ．在R 上是减函数2．(学科素养—逻辑推理与数学运算)已知函数f (x )＝4x－a ·2x＋4. (1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>0； (2)当x ∈[0，1]时，求f (x )的最小值g (a ).第2课时 指数函数的图象和性质的应用必备知识基础练1．答案：C解析：由2x－1≥0，得2x≥1，∴x ≥0.选C. 2．解析：(1)由5x －1≥0，得x ≥15 ，所以所求函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥15 . 由5x －1 ≥0，得y ≥1，所以所求函数的值域为[1，＋∞). (2)定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴(12)x2－2x －3≤(12 )－4＝16. 又∵(12)x2－2x －3>0，∴函数y ＝(12)x2－2x －3的值域为(0，16].(3)函数的定义域为R .y ＝(2x )2－2x ＋1＝(2x －12 )2＋34，∵2x >0，∴当2x＝12 ，即x ＝－1时，y 取最小值34 ，∴函数的值域为[34 ，＋∞).3．答案：A解析：∵函数y ＝0.7x在R 上为减函数， 且0.72x －1≤0.7x2－4，∴2x －1≥x 2－4，即x 2－2x －3≤0. 解得－1≤x ≤3，故选A.4．解析：(1)∵2＝(12)－1，∴原不等式可以转化为(12 )3x －1≤(12 )－1.∵y ＝(12 )x在R 上是减函数，∴3x －1≥－1，∴x ≥0. 故原不等式的解集是{x |x ≥0}． (2)分情况讨论：①当0<a <1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是减函数，∴x 2－3x ＋1>x ＋6，∴x2－4x －5>0，解得x <－1或x >5；②当a >1时，函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在R 上是增函数，∴x 2－3x ＋1<x ＋6，∴x 2－4x －5<0，解得－1<x <5.综上所述，当0<a <1时，x <－1或x >5；当a >1时，－1<x <5.5．答案：B解析：因为f (x )＝(13 )|x －2|为复合函数，则f (u )＝(13 )u，u (x )＝|x －2|，f (u )对u 是减函数，u (x )在[2，＋∞)为增函数，在(－∞，2]为减函数，由复合函数知，f (x )的单调递减区间是[2，＋∞).6．答案：a ≥6 解析：y ＝2－x2＋xx －1在(－∞，3)上单调递增，即二次函数y ＝－x 2＋ax －1在(－∞，3)上单调递增，因此需要对称轴x ＝a2≥3，解得a ≥6.7．解析：(1)若存在实数a 使函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－23x ＋1.∵f (－x )＝1－23－x ＋1 ＝1－2·3x1＋3x ＝1－2（3x＋1）－21＋3x ＝－1＋21＋3x ＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．∴存在实数a ＝1，使函数f (x )为R 上的奇函数． (2)f (x )在R 上是增函数．证明如下：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝23x 2＋1－23x 1＋1＝2(3x 1−3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)∵y ＝3x在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴3x 1<3x 2且(3x 1＋1)( 3x 2＋1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )是R 上的增函数．(3)f (x )＝1－23x ＋1 中，3x＋1∈(1，＋∞)，∴23x＋1∈(0，2). ∴f (x )的值域为(－1，1).关键能力综合练1．答案：A解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3>0， 解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3，0].故选A.2．答案：B解析：二次函数y ＝－x 2＋4x 开口向下， 当x ＝2时，最大值为4，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 t是单调递减函数，所以f (x )＝(13)－x 2+4x 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫181，＋∞ .故选B.3．答案：C解析：记u (x )＝x 2＋ax ＝(x ＋a2 )2－a 24，其图象为抛物线，开口向上，对称轴为直线x＝－a 2.∵函数f (x )＝(15)x 2+xx 在区间[1，2]上是减函数，∴函数u (x )在区间[1，2]上是增函数． 而u (x )在[－a2 ，＋∞)上单调递增，∴－a2 ≤1，解得a ≥－2，故选C.4．答案：D解析：由已知，集合A 即函数y ＝3＋2x －x 2的定义域， 由不等式3＋2x －x 2≥0，即x 2－2x －3≤0，解得－1≤x ≤3，∴A ＝{}x |y ＝3＋2x －x 2 ＝{x |－1≤x ≤3}＝[－1，3]，集合B 即函数y ＝e x ＋a 的值域，因为指数函数y ＝e x的值域为(0，＋∞)，所以函数y ＝e x＋a 的值域为(a ，＋∞)，∴B ＝{}y |y ＝e x＋a ＝(a ，＋∞)，∵A ∩B ＝∅，∴a 的取值范围是[3，＋∞).故选D. 5．答案：B解析：令x ＝－2，得f (－2)＝1，排除C 、D ；令x ＝0，得f (0)＝164 ，排除A.故选B.6．答案：C解析：令t ＝(12 )x ，t ∈(0，＋∞)，则原函数可化为y ＝t 2＋t ＋1＝(t ＋12 )2＋34 .因为函数y ＝(t ＋12 )2＋34 在(0，＋∞)上是增函数，所以y >(0＋12 )2＋34＝1，即原函数的值域是(1，＋∞).故选C. 7．答案：(－4，＋∞) 解析：∵3－2x＝(13 )2x ，∴(13 )x －4>(13 )2x .又函数y ＝(13)x 是单调递减函数，∴x －4<2x ，∴x >－4.故不等式的解集为(－4，＋∞).8．答案：(－∞，0]解析：在平面直角坐标系中作出y ＝2x的图象，把图象沿y 轴向下平移1个单位得到y ＝2x－1的图象，再把y ＝2x－1的图象在x 轴下方的部分关于x 轴翻折，其余部分不变，如图实线部分，得到y ＝|2x－1|的图象．由图可知y ＝|2x－1|在(－∞，0]上单调递减，∴m ∈(－∞，0].9．解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x2－4x ＋3，令h (x )＝－x 2－4x ＋3，由于h (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13 )t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2). (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13 )g (x )，由于f (x )的最大值为3，所以g (x )的最小值为－1，当a ＝0时，f (x )＝(13)－4x ＋3，无最大值；当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞03a －4a＝－1 ，解得a ＝1，所以当f (x )的最大值为3时，a 的值为1.(3)由指数函数的性质，知要使y ＝(13 )g (x )的值域为(0，＋∞).应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，当a ＝0时，g (x )＝－4x ＋3，值域为R ，符合题意． 当a ≠0时，g (x )为二次函数，其值域不为R ，不符合题意． 故f (x )的值域是(0，＋∞)时，a 的值为0.核心素养升级练1．答案：AC解析：∵f (x )＝3x－(13)x ，x ∈R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，因此函数f (x )为奇函数．又y 1＝3x，y 2＝－(13 )x 均为R上的增函数，∴函数f (x )＝3x－(13)x 在R 上是增函数．故选AC.2．解析：(1)当a ＝5时，f (x )＝4x －5·2x ＋4，令t ＝2x >0，h (t )＝t 2－5t ＋4. 由t 2－5t ＋4>0，可得t >4或t <1，即x >2或x <0，故解集为(－∞，0)∪(2，＋∞). (2)令2x＝t ∈[1，2]，φ(t )＝t 2－at ＋4，对称轴：t ＝a2 .①当a2<1，即a <2时，g (a )＝φ(1)＝5－a ；②当1≤a 2≤2，即2≤a ≤4时，g (a )＝φ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 ＝－a 24＋4；③当a2>2，即a >4时，g (a )＝φ(2)＝8－2a ；综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧5－a ，a <2－a24＋4，2≤a ≤48－2a ，a >4.。

北师大版高中数学必修第一册《指数函数》评课稿一、引言《指数函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容，该章主要介绍了指数及指数函数的基本概念、性质、运算法则以及在实际问题中的应用。

本评课稿旨在对该章进行细致的评价，分析其教学内容的合理性和教学方法的有效性，以及对学生的学习效果评估。

二、教学内容细化2.1 指数的引入指数作为数学中的重要概念，是介于代数与分析之间的一门科学。

《指数函数》一章开篇首先引入了指数，通过对指数的简单解释和示例，激发学生对指数的兴趣，为后续学习打下了基础。

2.2 指数的性质和运算法则本节主要介绍了指数的性质和运算法则，包括：指数的定义、同底数幂的比较、指数幂的运算法则等。

通过对性质和法则的详细解释与演示，帮助学生理解和掌握指数的运算规律，为后续学习指数函数奠定基础。

2.3 指数函数的定义与性质指数函数作为本章的核心内容，该节主要介绍了指数函数的概念、定义及其一些基本性质。

通过具体的例子和图表，引导学生理解指数函数的特点和变化规律，以及指数函数与指数的关系。

2.4 指数函数的图像与性质本节通过图像展示，详细介绍了指数函数的图像特征和性质，包括：图像的增减性、图像的性态及其变化规律等。

通过图像的观察和分析，帮助学生直观理解指数函数的特点，加深对指数函数的认识。

2.5 指数函数的应用该节主要介绍了指数函数在实际问题中的应用，包括：指数函数在增长问题中的应用、指数函数在减衰问题中的应用等。

通过实例分析和解决问题的过程，培养学生运用指数函数解决实际问题的能力和思维方法。

三、教学方法评价3.1 运用启发式教学方法在《指数函数》这一章的教学过程中，教师广泛运用了启发式教学方法。

通过引导学生思考问题、发现规律、探索解题思路，激发学生的主动学习兴趣，培养学生的创新思维和问题解决能力。

3.2 利用多媒体教学辅助教师在教学过程中巧妙地运用多媒体教学辅助工具，如使用投影仪展示指数函数的图像、演示指数函数的性质和变化规律等。

高一年级班第组学生姓名组评：编写时间：年月日授课时间：年月日共第课时课题：3.2.2 指数的运算性质主备人审核人学习目标熟记指数幂的运算性质学习重难点熟练运用指数的运算性质课时安排1课时教学用具教学过程师生笔记学习流程学习内容自主学习自主预习学案实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈R)．无理数指数幂的运算法则：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s都是无理数)．②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s都是无理数)．③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r是无理数)．[来源:学科探究交流例1 在实数范围内，对比(ab)n＝a n b n和()n nbanba=(其中a＞0，b＞0，b≠0)，说明后者可以归入前者．例2 已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β，10α－β，10－2α例3 计算：(1)614＋3338＋40.062 5＋(5π)0－2－1；训练达标1．以下各式中成立且结果为最简根式的是()．A.a·5a3a·10a7＝10a4； B.3xy2(xy)2＝y3x2C.a2bb3aab3＝8a7b15；D．(35－125)3＝5＋125125－235·1252、式子x－2x－1＝x－2x－1成立的充要条件是()．A.x－2x－1≥0 B．x≠1 C．x＜1 D．x≥2 3、化简b－(2b－1)(1＜b＜2)．课内小结(1)无理数指数幂的意义．一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．(2)实数指数幂的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．②(a r)s＝a rs(a＞0，r，s∈R)．③(a·b)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈R)．作业布置习题3—2A组6、8教学反思备注。

指数函数及其性质的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．(多选)设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，若f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (－2)>f (2)D ．f (－4)>f (3)AD [由f (2)＝a －2＝4得a ＝12，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |，故f (－2)>f (－1)，f (－2)＝f (2)，f (－4)＝f (4)>f (3)，所以AD 正确．]2．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是( )A ．6B ．1C ．3D ．32C [函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是增函数，当x ＝1时，y max ＝3.]3．设a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a<a bB ．b a <b bC ．a a<b aD ．b b<a bC [由于y ＝a x与y ＝b x为减函数， 故A 、B 错误； 因为b a>1，a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a a>1， 所以a a<b a； 因为b a>1，b >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a b>1， 所以a b<b b； 故选C.]4．函数y ＝|2x－1|的大致图象是( )A BC DC[如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.]5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝a t，有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等．其中正确的是( )A．①②③B．①②③④C．②③④D．①②D[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，，故③错误；2t＋1＝2，故④错误．]2t二、填空题6．解方程：52x －6×5x＋5＝0的解集为________. {0,1} [令t ＝5x ，则原方程可化为t 2－6t ＋5＝0， 所以t ＝5或t ＝1，即5x ＝5或5x＝1， 所以x ＝1或x ＝0.] 7．函数f (x )＝3－x 2＋2ax在(－∞，1)内单调递增，则a 的取值范围是________.[1，＋∞) [设u ＝－x 2＋2ax ，则y ＝3u是R 上的增函数，而原函数在(－∞，1)内单调递增，所以u ＝－x 2＋2ax 在(－∞，1)也是增函数，而u ＝－x 2＋2ax 的单调增区间为(－∞，a )，所以a ≥1.]8．若关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋m ＝0有实数解，则实数m 的取值范围是________． [－1,0) [法一：∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1， ∴m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋m ≤m ＋1. 要使方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋m ＝0有解，只要m <0≤m ＋1， 解得－1≤m <0，故实数m 的取值范围是[－1,0)．法二：令y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋m ，作函数图象，如图，依题意，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋m 的图象与x 轴有交点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋1≥0，解得－1≤m <0，即m ∈[－1,0)．]三、解答题9．已知指数函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19.(1)求函数f (x )的解析式；(2)已知f (|x |)>f (1)，求x 的取值范围． [解] (1)设f (x )＝a x(a >0且a ≠1)． 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，19代入得19＝a 2.解得a ＝13.故f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x. (2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然f (x )在R 上是减函数， 又f (|x |)>f (1)， 所以|x |<1，解得－1<x <1. 即x 的取值范围为(－1,1)． 10．已知f (x )＝2－1x－12－1x＋1. (1)讨论f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性． [解] (1)f (x )的定义域为R ， 又f (－x )＝2－1－x－12－1－x＋1＝1－2－1x 1＋2－1x＝－2－1x－12－1x＋1＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数． (2)f (x )＝2－1x－12－1x＋1＝1－22－1x＋1， 又y ＝(2－1)x是减函数，且y >0， 所以y ＝22－1x＋1是增函数， 所以f (x )是减函数．11．已知函数f (x )＝a 2－x()a >0，a ≠1，当x >2时，f (x )>1，则f (x )在R 上()A ．是增函数B ．是减函数C ．当x >2时是增函数，当x <2时是减函数D ．当x >2时是减函数，当x <2时是增函数A [因为当x >2时，2－x <0.f (x )>1，所以0<a <1，所以f (x )在R 上是增函数，故选A.]12．已知实数a ，b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，给出下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b .其中，不可能成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示．当x <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a <b <0； 当x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a >b >0； 当x ＝0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，则有a ＝b ＝0. 所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]13．已知函数f (x )＝2x－1，对于满足0<x 1<x 2的任意x 1，x 2，给出下列结论： (1)(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； (2)x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； (3)f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； (4)f x 1＋f x 22>f (x 1＋x 22)．其中正确结论的序号是________．(2)(4) [由题知，函数f (x )单调递增，这与(1)所描述的单调性相反，故(1)错误；(2)中的式子可化为f x 1－0x 1－0<f x 2－0x 2－0，其表示点(x 1，f (x 1))与原点连线的斜率小于点(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率，由函数f (x )图象的性质可知(2)正确；(3)表示过图象上两点的直线的斜率大于1，由函数f (x )的图象可知这个结论不一定正确；(4)描述了函数图象的下凹性，由函数图象可知正确．综上，可判断只有(2)(4)正确．]14．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12||x －1，则函数f (x )的单调递增区间是________.(－∞，1] [令u ＝|x －1|，因为f (x )＝y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u在R 上单调递减，故要求f (x )的单调递增区间，只需求u ＝|x －1|的单调递减区间，为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．]15．定义：对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”．若f (x )＝2x＋m 是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．[解] f (x )＝2x ＋m ，f (－x )＝－f (x )可化为2x ＋2－x＋2m ＝0， 因为f (x )的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m ＝0在[－1,1]内有解，令t ＝2x，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，故－2m ＝t ＋1t，设g (t )＝t ＋1t，则在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，所以当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，g (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52， 即－2m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52， 所以m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1.。

2.1.2 指数函数及其性质（2）从容说课指数函数是在学生系统的学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究.指数函数对学生来说是完全陌生的一类函数，对于这样的函数应该怎样进行较为系统的研究是学生面临的重要问题.所以，从指数函数性质的应用过程中去研究指数函数固然重要，但更为重要的是要让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到对其他函数的研究中去.本课是在学习了指数函数的定义、图象、性质之后，重点运用指数函数的图象和性质来解决的一些问题.因此，在教学过程中，首先要组织学生回顾一下指数函数的性质，进一步加深对指数函数概念的理解.在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质以及解决与指数函数有关的实际应用问题，是本节教材的重点，关键在于弄清楚底数a对于函数值变化的影响.对于a＞1与0＜a＜1时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点，为此，必须利用图象，数形结合.数形结合是研究函数的重要思想方法，通过数与形之间的相互转化，借助形的直观性，使问题得以解决.本节课的教学中要注意培养学生对数学思想方法的认识，结合数形结合思想、分类讨论思想、化归的思想以及函数与方程的思想.譬如比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小，这种思想是构造函数的思想；对于a＞1与0＜a＜1的不同情况是分类讨论的思想；有时我们把两数值看作两个函数后，又在相应的图象上描出函数值的对应点，再由图象的位置关系决定对应点的纵坐标（即函数值）的大小，这种思想是数形结合的思想.可见，注重对数学思想方法的理解和运用，才能提高分析问题和解决问题的能力.三维目标一、知识与技能1.加深对指数函数性质的理解与掌握.2.掌握对指数函数性质的灵活应用.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生的协作精神.2.通过探索函数性质的应用，培养学生的科学探索精神.3.通过探究、思考，把生活实际问题转化为数学问题，从而培养学生理性思维能力、观察能力、判断能力.三、情感态度与价值观1.通过指数函数性质的应用，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生间的相互交流，确立具体函数模型，解决生活中的实际问题，增强学生数学交流能力，使学生明确指数函数是一种描述客观世界变化规律的重要数学模型，进一步认识数学在生活中的巨大作用.教学重点指数函数的性质的理解与应用.教学难点指数函数的性质的具体应用. 教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业. 教学过程一、回顾旧知，引入新课师：我们上节课学习了指数函数的图象和性质，请同学们回顾一下有关知识.例题讲解【例1】 已知指数函数f （x ）=a x （a ＞0，且a ≠1）的图象经过点（3，π），求f （0），f （1），f （3）的值.师：要求f （0），f （1），f （3）的值，我们先要知道指数函数f （x ）=a x 的解析式，也就是先要求出a 的值，如何求?生：通过指数函数f （x ）=a x 的图象经过点（3，π），求出a 的值. 解：因为f （x ）=a x 的图象经过点（3，π），所以f （3）=π，即a 3=π.解得a =π31，于是f （x ）=π3x ，所以f （0）=π0=1，f （1）=π31=3π，f （3）=π－1=π1. 方法引导：这是渗透了函数与方程的思想方法. 【例2】 将下列各数从小到大排列起来：（32）31，（53）21，332，（52）21，（23）32，（65）0，（－2）3，（35）31. 师：在很多数比较大小的时候，应该先将他们分类，按什么进行分类呢? 生：按一些特殊的中间值.师：指数式中特殊的中间值有哪些? 生：0，1等.师：分完之后呢，要通过什么来比较? 生：函数的单调性.解：（65）0=1，将其余的数分成三类：（1）负数：（－2）3；（2）大于0小于1的数：（53）21，（52）21，（35）31-=（53）31； （3）大于1的数：（32）31-=（23）31，332，（23）32.然后将各类中的数比较大小：在（2）中（53）21＞（52）21，（53）21＜（53）31；在（3）中（32）31-=（23）31＜（23）32，（23）32＜332.由此可得（－2）3＜（52）21＜（53）21＜（35）31-＜（65）0＜（32）31-＜（23）32＜332.方法引导：比较两数值的大小，常可以归结为比较两函数值的大小，所以需要我们能够恰当地构造函数，使两数值为同一函数的两个函数值，然后根据函数的单调性来比较大小.【例3】 解不等式：（1）9x ＞3x －2；（2）3×4x －2×6x ＞0.师：你觉得要解决以上问题需要哪些知识？该题的本质是考查哪些知识？ （生讨论，师总结）解：（1）∵9x ＞3x －2，∴32x ＞3x －2. 又∵y =3x 在定义域R 上是增函数， ∴原不等式等价于2x ＞x －2， 解之得x ＞－2.∴原不等式的解集为{x |x ＞－2}.（2）3×4x －2×6x ＞0可以整理为3×4x ＞2×6x ， ∵4x ＞0，6x ＞0，∴x x 64＞32，即（32）x ＞（32）1.又∵y =（32）x在定义域R 上是减函数，∴x ＜1. 故原不等式的解集为{x |x ＜1}.方法引导：本题的本质是利用函数的单调性求参数的范围.首先要根据题中的具体要求，确定相应的目标函数，进而利用函数的单调性得出自变量之间的关系.（2）式形式比较复杂，可先根据幂的运算法则进行化简，为能找到一个目标函数作好准备.【例4】 求下列函数的定义域和值域：（1）y =xa -1；（2）y =（21）31+x .（生讨论，师总结） 解：（1）要使函数有意义，必须1－a x ≥0，即a x ≤1. 当a ＞1时，x ≤0；当0＜a ＜1时，x ≥0.∴当a ＞1时，函数的定义域为{x |x ≤0}；当0＜a ＜1时，函数的定义域为{x |x ≥0}. ∵a x ＞0，∴0≤a x －1＜1. ∴值域为{y |0≤y ＜1}.（2）要使函数有意义，必须x +3≠0，即x ≠－3. ∴函数的定义域为{x |x ≠－3}. ∵31+x ≠0， ∴y =（21）31+x ≠（21）0=1.又∵y ＞0，∴值域为{y |y ＞0，且y ≠1}.方法引导：结合第一章中函数的定义域与值域来求解指数函数的复合函数的定义域与值域.（1）中还涉及了分类讨论的思想方法.在解决值域的过程中可采用数形结合的思想方法.【例5】 截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少?（精确到亿）（师生共同讨论，假设、找关系，明确自变量的取值范围） 解：先求出函数关系式：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿. 经过1年，人口数y =13×（1+1%）（亿）； 经过2年，人口数y =13×（1+1%）2（亿）； ……经过x 年，人口数y =13×（1+1%）x =13×1.01x （亿）. 当x =20时，y =13×1.0120≈16（亿）.所以，经过20年后，我国的人口数最多为16亿.方法引导：在解决实际应用问题时，首先要根据题目要求进行恰当假设，通过恰当假设，进而求得结论.为了更有助于学生理解关系式，在推导关系式时可以从自变量许可的范围内多取几个数值，运用归纳法得出所求关系式.在实际问题中，经常会遇到类似的指数增长模型：设原有量为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后的总量可以用y =N （1+p ）x 表示.我们把形如y =ka x （k ∈R ，a ＞0，且a ≠1）的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型.合作探究：你是如何看待我国的计划生育政策的?为什么?说明：本例中函数的定义域是时间，故只能取非负实数；而且在解决实际问题时往往用到从函数图象上找出某一自变量对应的函数值.知识拓展：在解决应用问题时，其关键是能正确理解题意，从而建立目标函数，进而将生活实际问题转化为数学问题.同时要结合具体问题的实际意义确定函数的定义域.三、巩固练习1.函数y =a x +2－1（a ＞0，a ≠1）的图象过定点________.2.函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （222x x -）的定义域为________.3.求y =4x －2x －1+1的最小值以及取得最小值时的x 的值.4.一片树林中现有木材30000 m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x 、y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000 m 3.（结果保留一个有效数字）解答：1.（－2，0） 2.（－∞，0）∪（2，+∞） 3.当x =－2时，y 的最小值为1615. 4.函数关系式为y =30000（1+5%）x （x ≥0）.当y =40000时，得34=（1+5%）x =1.05x ，∴画出y =1.05x （x ≥0）的图象，从图象上找到与y =4≈1.33对应的x 值即可.列出下表：由图象可知，与y =34≈1.33对应的x 值约为6. 答：约经过6年，木材可以增加到40000 m 3. 四、课堂小结本节课中主要渗透了数学的思想方法：分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想，数学的思想方法是数学学习的主轴线.五、布置作业课本P 70习题2.1A 组第12题，B 组第1、3、4题. 板书设计2.1.2 指数函数及其性质（2）一、函数性质的复习 二、例题解析与学生训练 三、课堂小结 四、布置作业。

课堂练习(十五) 指数函数的图像和性质的应用(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}B [由12<2x ＋1<4，得2－1<2x ＋1<22，∴－1<x ＋1<2，∴－2<x <1，∴N ＝{x |－2<x <1，x ∈Z }＝{－1,0}， ∴M ∩N ＝{－1}．]2．下列判断正确的是( ) A ．2.52.5>2.53B ．0.82<0.83C ．π2<π 2D ．0.90.3>0.90.5[答案] D3．f (x )＝9x＋13x 的图像( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称B [∵f (－x )＝9－x＋13－x ＝1＋9x3x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，∴f (x )的图像关于y 轴对称．]4．函数y ＝a x ＋1－1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是( )[答案] D5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(4,8)C ．[4,8)D ．(1,8)C[依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，解得4≤a <8.] 二、填空题 6．函数f (x )＝2－|x |的递增区间是________．(－∞，0] [令u ＝－|x |，则u 的递增区间是(－∞，0]，又y ＝2u在R 上单调递增，所以，f (x )的递增区间是(－∞，0]．]7．若4a＝2a ＋2，则a ＝________. 2 [由4a ＝2a ＋2，得22a＝2a ＋2，∴2a ＝a ＋2，∴a ＝2.]8．若4x>32x，则x 的取值范围是________．x <0 [由4x >32x ，得22x >32x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫232x>1， ∴2x <0，∴x <0.] 三、解答题 9．画出函数y ＝2|x ＋1|的图像，并根据图像指出它的单调区间．[解] 变换作图，y ＝2x ―――――→右留且右向左翻折y ＝2|x |――――――→向左平移1个单位长度y ＝2|x ＋1|如图．由图可知函数y ＝2|x ＋1|在(－∞，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．10．已知函数f (x )＝ax 2－1(a >0，且a ≠1)． (1)若函数f (x )的图像经过点P (3，4)，求a 的值； (2)判断并证明函数f (x )的奇偶性；(3)比较f (－2)与f (－2.1)的大小，并说明理由．[解] (1)因为函数f (x )的图像经过点P (3，4)，所以f (3)＝a 2＝4，所以a ＝2. (2)函数f (x )为偶函数．因为函数f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝a (－x )2－1＝ax 2－1＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数．(3)因为y ＝x 2－1在(－∞，0)上是递减的， 所以当a >1时，f (x )在(－∞，0)上是递减的， 所以f (－2)<f (－2.1)；当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上是递增的， 所以f (－2)>f (－2.1)．[等级过关练]1．已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <bA [a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，又y ＝16x是增函数，y ＝x 13也是增函数．则b <a <c .]2．已知函数f (x )＝|2x－1|，a <b <c ，且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( )A ．a <0，b <0，c <0B ．a <0，b ≥0，c >0C ．2－a<2cD ．2a＋2c<2D [作出函数f (x )＝|2x－1|的图像，如图．结合图像知，a <0，c >0由f (a )>f (c )，得|2a－1|>|2c－1| ∴1－2a>2c－1 ∴2a＋2c <2.] 3．已知f (x )＝n ·3x －23x＋1是R 上的奇函数，则n ＝________.2 [由f (0)＝0，得n －2＝0，∴n ＝2.]4．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32[分情况讨论： ①当0<a <1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝a 1＝a ，最小值f (x )min ＝f (2)＝a 2，所以a －a 2＝a 2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)；②当a >1时，函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值f (x )max ＝f (2)＝a 2，最小值f (x )min ＝f (1)＝a 1＝a ，所以a 2－a ＝a 2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或a ＝32.]5．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值，且最大值为3，求a 的值．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3，则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以，f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)． (2)令u ＝ax 2－4x ＋3.由于f (x )有最大值，且最大值为3， 所以u 有最小值，且最小值为－1.所以，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值，且最大值为3时，a 的值为1.。

最新（新课标）北师大版高中数学必修一习题课课时目标1.提高学生对指数与指数幂的运算能力.2.进一步加深对指数函数及其性质的理解.3.提高对指数函数及其性质的应用能力．1．下列函数中，指数函数的个数是( )①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3.A ．0B ．1C ．2D ．32．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．对于每一个实数x ，f(x)是y ＝2x与y ＝－x ＋1这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值是( )A ．1B ．0C ．－1D ．无最大值 4．将22化成指数式为________．5．已知a ＝40.2，b ＝80.1，c ＝(12)－0.5，则a ，b ，c 的大小顺序为________．6．已知12x ＋12x ＝3，求x ＋1x的值．一、选择题 1．()1222-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为( )A. 2 B ．－ 2 C.22 D ．－222．化简3(a －b )3＋(a －2b )2的结果是( )A ．3b －2aB ．2a －3bC ．b 或2a －3bD ．b3．若0<x<1，则2x ，(12)x ，(0.2)x之间的大小关系是( )A ．2x <(0.2)x <(12)xB ．2x <(12)x<(0.2)xC ．(12)x <(0.2)x <2xD ．(0.2)x<(12)x <2x4．若函数则f(－3)的值为( ) A.18 B.12 C ．2 D ．85．函数f(x)＝a x －b的图像如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a>1，b>0B ．a>1，b<0C ．0<a<1，b>0D ．0<a<1，b<06．函数f(x)＝4x＋12x 的图像( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称二、填空题7．计算：130.064-－(－14)0＋160.75＋120.01＝________________.8．已知10m ＝4,10n＝9，则3210m n -＝________.9．函数y ＝1－3x(x ∈[－1,2])的值域是________． 三、解答题10．比较下列各组中两个数的大小： (1)0.63.5和0.63.7；(2)(2)－1.2和(2)－1.4；(3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭和2332⎛⎫ ⎪⎝⎭；(4)π－2和(13)－1.3.11．函数f(x)＝a x(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．能力提升12．已知f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(a>0且a≠1)，讨论f(x)的单调性．13．根据函数y＝|2x－1|的图像，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？习题课双基演练1．B [只有③中y ＝3x是指数函数．]2．A [因f(x)为定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0， 即1＋b ＝0，b ＝－1.所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.]3．A [当x ≤0时，f(x)＝2x； 当x>0时，f(x)＝－x ＋1. 显然，其最大值是1.] 4．342 解析22＝122×11222⎛⎫ ⎪⎝⎭＝122×142＝342.5．b<a<c解析 a ＝20.4，b ＝20.3，c ＝20.5.又指数函数y ＝2x在R 上是增函数， ∴b<a<c. 6．解 由12x ＋12x -＝3得(12x ＋12x-)2＝9，即x ＋21122x-＋x －1＝9，则x ＋x －1＝7，即x ＋1x ＝7.作业设计 1．C [原式＝122-＝12＝22.] 2．C [原式＝(a －b)＋|a －2b|＝⎩⎨⎧b ， a ≤2b ，2a －3b ， a>2b.]3．D [当0<x<1时，2x>1，(12)x<1，对于(12)x ，(0.2)x不妨令x ＝12，则有0.5>0.2.]4．A [f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)＝f(1＋2)＝f(3)＝2－3＝18.]5．D [f(x)＝a x －b的图像是由y ＝a x的图像左右平移|b|个单位得到的，由图像可知f(x)在R 上是递减函数，所以0<a<1，由y ＝a x 过点(0,1)得知y ＝a x的图像向左平移|b|个单位得f(x)的图像，所以b<0.]6．D [∵f(－x)＝4－x ＋12－x ＝1＋4x 2x ＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图像关于y 轴对称．]7.485 解析 原式＝()1330.4-－1＋()3442＋()1220.1＝0.4－1－1＋23＋0.1＝52－1＋8＋110＝485.8.83解析 因为10m＝4,10n＝9，所以3210m n-＝103m －n＝103m ÷10n ＝43÷9＝83.9．[－8，23]解析 因为y ＝3x是R 上的单调增函数，所以当x ∈[－1,2]时，3x∈[3－1,32]，即－3x∈[－9，－13]，所以y ＝1－3x∈[－8，23]．10．解 (1)考察函数y ＝0.6x.因为0<0.6<1，所以函数y ＝0.6x在实数集R 上是单调减函数．又因为3.5<3.7，所以0.63.5>0.63.7. (2)考察函数y ＝(2)x.因为2>1，所以函数y ＝(2)x在实数集R 上是单调增函数． 又因为－1.2>－1.4， 所以(2)－1.2>(2)－1.4.(3)考察函数y ＝(32)x .因为32>1，所以函数y ＝(32)x 在实数集R 上是单调增函数．又因为13<23，所以1332⎛⎫⎪⎝⎭<2332⎛⎫ ⎪⎝⎭. (4)∵π－2＝(1π)2<1，(13)－1.3＝31.3>1，∴π－2<(13)－1.3.11．解 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减，∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.12．解 ∵f(x)＝a a 2－1(a x－1a x )，∴函数定义域为R ，设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝a a 2－1(1x a －11x a －2x a ＋21x a) ＝a a 2－1(1x a －2xa ＋21x a －11x a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a ＋1212x x x x a a a a ) ＝a a 2－1(1x a －2x a )(1＋121x x a a) ∵1＋121x x a a>0，∴当a>1时，1x a <2x a ，a a 2－1>0， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，f(x)为增函数，当0<a<1时，1xa >2x a ，a a 2－1<0，∴f(x 1)－f(x 2)<0，f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)为增函数． 综上，f(x)在R 上为增函数． 13.解 函数y ＝|2x－1|的图像可由指数函数y ＝2x的图像先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图像是与x 轴平行的直线，观察两图像的关系可知：当m<0时，两函数图像没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图像只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解；当0<m<1时，两函数图像有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．。