平面与平面垂直的判定导学案

2.3.2平面与平面垂直的判定一、课时目标1.了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法．(重点)3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题．(难点)二、自主学习1、知识点（一）概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为．从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的图示平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于的射线，则这两条射线构成的叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角.图示2、知识点（二）(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作．(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直．如图所示．(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，⇒α⊥β作用判断两个平面三、课堂练习1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC2．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()A．2B.3C. 2 D．13．如图2－3－21所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B－PA－C的大小等于________．图2－3－214．如图2－3－22所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.图2－3－22。

《§2.3.2 平面与平面垂直的判定》导学案编写：赵刚审稿人：高一数学组编写时间：2013年8月18日班级组别组名姓名【学习目标】:1. 能说出二面角的有关概念，会作二面角的平面角，2. 能说出面面垂直的定义，能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.【学习重、难点】学习重点:：能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；能求简单二面角平面角的大小；学习难点：会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小，初步学会用定理证明垂直关系；【学法指导及要求】:1、认真研读教材P67---P69页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。

【知识链接】1、⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________.2、⑴什么是直线与平面所成的角?⑵直线与平面所成的角的范围为_____________.【学习过程】探究1：二面角的有关概念问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么?1、二面角的定义及相关概念半平面：二面角：二面角的表示：如右图二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法探究2：二面角的大小怎么确定呢？二面角的平面角：如图，叫做二面角的平面角。

直二面角：叫直二面角.反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角? 它们的平面角的大小有什么关系？⑵二面角的大小范围是多少？⑶二面角的平面角必须满足哪几个条件？（4）二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究3：两个平面垂直的定义，画法问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？定义; 两个平面互相垂直：两个互相垂直的平面画法：平面α与β垂直，记作：探究4：两个平面垂直的判定问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？平面与平面垂直的判定定理：符号语言： 证明:典型例题例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC.例2 如图，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）. .例3. 如图在空间四边形SABC 中，ASC ∠=90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==， ⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.【归纳小结】【达标训练】1. 以下四个命题，正确的是（ ）.A.两个平面所成的二面角只有一个B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A 、,//,//m n m n αβ⊥ B 、,,m n m n αβα⊥=⊂C 、//,,m n n m βα⊥⊂D 、//,,m n m n αβ⊥⊥3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）. A.相交不垂直 B.相交成60°角 C.互相垂直 D.互相平行4. 二面角的大小范围是________________.5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______. .【学习反思】【课后作业】.1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=2. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）3. 二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)。

第二章直线、平面垂直的判定及性质§2.3.4 平面与平面垂直的性质一、学习目标1.掌握平面与平面垂直的定理.2.学会对定理的应用.【重点、难点】教学重点：掌握并理解平面与平面垂直的定理.教学难点：学会应用平面与平面垂直的定理.二、学习过程【情景创设】问题：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的平面与对面之间具有什么位置关系？【导入新课】①定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（面面垂直 线面垂直）探究：两个平面垂直，过其中一个平面内一点作另一个平面的垂线有且仅有一条.②练习：两个平面互相垂直，下列命题正确的是（）A、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B、一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C、一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面D、过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.三、典例分析：例1.已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AD⊥BC,D为垂足,以AD为折痕,将△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论:○1BD⊥CD;②BD⊥AC;③AD⊥平面BCD;④△ABC是等边三角形.其中正确的结论的序号为________.例2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。

四、总结反思1.直线、平面垂直的性质定理及其应用.2.在解题过程中对于面面垂直的条件,要利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.五、随堂检测（一）选择题1.平面α∩平面β=l,平面γ⊥α,γ⊥β,则( )A.l∥γB.l⊂γC.l与γ斜交D.l⊥γ2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EF⊥A1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是 ( )A.平行B.EF⊂平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直3.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.AC⊥β4.已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列说法中正确的是( )A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥nB.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥nC.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n5.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面,垂足为A,连接PB,PC,PD,AC,BD,则互相垂直的平面有( )A.5对B.6对C.7对D.8对6.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为( )A.23B.27C.43D.47（二）填空题7.若α⊥β,α∩β=AB,a∥α,a⊥AB,则a与β的关系为____________.8.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点.①AB与PD所在的直线垂直;②平面PBC与平面ABCD垂直;③△PCD的面积大于△PAB的面积;④直线AE与直线BF是异面直线.则以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)（三）简答题9.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°,求证:平面PEF⊥平面PBC.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面PAD.(2)求证:AD⊥PB.(3)若E为BC边的中点,能否在PC上找出一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?。

平面与平面垂直的判定一、教学目标：1、掌握二面角及其平面角的相关知识2．掌握面面垂直的定义和判定定理；并用来解决相关知识二、教学重难点平面与平面垂直的判定；三、教法指导:1、阅读教材，查阅资料。

四、知识链接:1、二面角的定义：__________________________________________________，下图中的二面角可记作： ；也可记作： 。

如果将棱记作l ，那么这个二面角记作： 或 。

2、二面角的大小由 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

例1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求： （ⅰ）二面角C-BB 1-A 的大小（必做） （ⅱ）二面角C-BD-B 1的大小（必做）五、教学过程: (一) 二面角问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？ACBB 1A 1DC 1D 1问题3、二面角的有关概念角二面角图形A边顶点 O B边Aβ棱lB α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线表示∠AOB问题5（二）平面与平面垂直的定义及其判定定理定义定理三种语言知识小结：平面与平面垂直的判定方法有哪些？（三）例题分析题型一、面面垂直的定义及判定定理的应用例1 如图，在四面体ABCD中，2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a 求证：平面ABD⊥平面BCD.练习：如图，在三棱锥V ABC -中，90oVAB VAC ABC ∠=∠=∠=，试判断平面VBA 与平面VBC 之间的位置关系，并说明理由。

题型二 二面角的求法例2已知:如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值. 思路分析：解答求二面角问题的关键是根据已知条件先找出或作出平面角.练习：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）二面角A 1-AB-D 的大小为：（2）二面角D 1-AB-D 的大小为： （3）二面角D 1-BC-D 的大小为题型三 二面角的定义及面面垂直判定定理的内容 例3 判断是非:（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角.（ ）（2）异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补.（ ）（3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角.（ ） （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.（ ） （5）若平面α⊥平面β,则α内的所有直线都与β垂直.（ ）（6）若平面α和平面β不垂直，则平面α内所有直线与β都不垂直.（ ）VABC变式：过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则此二射线夹角和二面角的平面角的大小是（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 六、当堂检测1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连结,,,,PB PC PD AC BD ，则互相垂直的平面有（ ）()A 5对 ()B 6对 ()C 7对 ()D 8对2．若三个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β （ ）()A 垂直 ()B 平行()C 相交 ()D 以上三种可能都有3．在四面体ABCD 中，3,2AB AC AD ===，且60DAC BAC BAD ∠=∠=∠=， 求证：平面BCD ⊥平面ADC4．如图，四棱锥P ABCD -是的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD的中点，又二面角P CD B --的大小为45， （1）求证：//AF 面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ； （3）设2,AD CD ==A 到平面PEC 的距离；A BCDPEFBADC5．三棱锥P ABC -中，,PB PC AB AC ==，点D 为BC 中点，AH PD ⊥于H 点，连BH ， 求证：平面ABH ⊥平面PBCCAD BPH。