2.3.2平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)

2.3.2平面和平面垂直的判定和性质一、教学目标（一）核心素养（1）通过本节教学，提高学生空间想象能力．（2）通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识．（3）进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．（二）学习目标（1）两个平面互相垂直的判定．（2）两个平面互相垂直的性质．（三）学习重点两个平面垂直的判定、性质．（四）学习难点（1）两个平面垂直的判定定理、性质定理运用．（2）正确作出符合题意的空间图形．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第67页到第69页，填空：二面角的定义：平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（2）平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．（3）判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直⎭⎬⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎬⎫α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α1．直线a⊥直线b，a⊥平面β，则b与β的位置关系是（）A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β【解题过程】由垂直和平行的有关性质可知b⊂β或b∥β，故选D.【答案】D2.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解题过程】若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.故选A.【答案】A3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α.B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α.C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α.D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.【解题过程】A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．【答案】C(二)课堂设计1．知识回顾（1）直线和平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α（2）直线和平面垂直的判定的另外一种判定方法文字语言图形语言符号语言判定方法如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．ba//，α⊥a．则α⊥b（3）直线和平面垂直的性质定理性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⎭⎬⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．问题探究探究一实例引领，认识平面和平面垂直的概念★●活动①简单类比，引出定义两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形．教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的．两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的．请同学思考两个平面互相垂直的定义.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直．那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图．平面α和β垂直，记作α⊥β．●活动②实例引领，思维激活实例：如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时,只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是否和这个面密合就可以了,这是为什么?曲尺的一边在一面内转动即为形成一个平面,而另一边与此平面垂直,且又紧靠在另一平面上,即垂线在另一平面内．所以我们得到面面垂直的判定定理．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．）下面我们一起给出分析，证明：已知：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α．【解题过程】要证α⊥β，需证α 和β 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角．证明：设α∩β＝CD，则由AB⊂α知，AB、CD共面．∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD，垂足为点B．在平面β内过点B作直线BE⊥CD．则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角．又AB⊥BE，即二面角α-CD-β是直二面角．∴α⊥β．现在同学们明确了面面垂直的判定定理，请思考：建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？［学生］依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线．［老师］从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直⇒面面垂直请同学们接着思考如下问题：在所给正方体中，下式是否正确：①平面ADD1A1⊥平面ABCD；②D1A⊥AB；③D1A⊥面ABCD．［学生］①∵AB⊥面ADD1A1，AB⊂面ABCD．∴平面ABCD⊥平面ADD1A1．②∵AB⊥面ADD1A1，D1A⊂面ADD1A1∴AB⊥D1A③∵AA1⊥面ABCD，∴AD1与平面ABCD不垂直．平面ADD1A1⊥面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，A是平面ADD1A1内一点．过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直．从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直．也给了我们以后证明问题的一种思想方法．下面我们一起来完成证明.证明过程如下：已知：α⊥β、α∩β＝a，AB⊂α，AB⊥a于B．【解题过程】：在平面β内作BE⊥a垂足为B，则∠ABE就是二面角α-a-β的平面角．由α⊥β可知，AB⊥BE．又AB⊥a，BE与a是β内两条相交直线，∴AB⊥β．证明的难点在于“作BE⊥a”．为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的.【设计意图】构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力．【答案】见解题过程.探究二层层深化，掌握平面和平面垂直的判定定理和性质定理．●活动①互动交流，初步实践例1 求证：（1）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；（2）如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直．【知识点】平面和平面垂直的判定.【数学思想】化归思想.【解题过程】（1）已知：l∥α，l⊥β，求证：α⊥β.证明：在平面α内任取一点P．∵l ∥α，∴P ∉l ．P 、l 可确定一平面γ．设α∩γ＝l ′则l ∥l ′．⎪⎭⎪⎬⎫⊂'⊥'⇒⎭⎬⎫'⊥αββl l l l l //⇒α⊥β［该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形．］ (2)已知：α⊥β，β∥γ．求证：α⊥γ证明：过β 内一点P 作直线l ，使l ⊥α则l ⊂β． l 与γ内任一点Q 确定平面δ，设δ∩γ＝l ′，则l ∥l ′． l ′⊥α，因此γ⊥α．【思路点拨】题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决．由此我们又多了两个判断面面垂直的结论. 【答案】见解题过程. ●活动②巩固基础，检查反馈例2 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上异于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC ．【知识点】平面和平面垂直的判定 【数学思想】化归思想【解题过程】证明：因为AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上的点，所以有BC ⊥AC ①．因为P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则P A ⊥BC ②． 由①②及AC ∩PA ＝A ，得BC ⊥平面P AC ．因为BC⊂平面PBC，有平面P AC⊥平面PBC．【思路点拨】低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．【答案】见解题过程.例3 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且P A⊥平面ABC，平面P AC⊥平面PBC，求证：BC⊥AC．【知识点】平面和平面垂直的判断和性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】证明：在平面P AC内作AD⊥PC，交PC于D．因为平面P AC⊥平面PBC于PC，AD⊂平面P AC，且AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．又因为BC⊂平面PBC，于是有AD⊥BC①．另外P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以P A ⊥BC．由①②及AC∩PA＝A，可知BC⊥平面P AC．因为AC⊂平面P AC，所以BC⊥AC．【思路点拨】在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须作到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】见解题过程.例4 P为120°角α-a-β内一点，P到α和β的距离均为10，求点P到棱a的距离．【知识点】二面角的概念，距离.【数学思想】化归思想.【解题过程】如图，过点P 作P A ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，设相交直线P A 、PB 确定的平面为γ，a ∩γ＝O ，则α∩γ＝OA ，β∩γ＝OB 连结PO ，则AP =BP =10∵P A ⊥α，PB ⊥β，∴a ⊥γ，而PO ⊂平面γ，∴a ⊥PO ， ∴PO 的长即为点P 到直线a 的距离． 又∵a ⊥γ，γ⊂OA ，γ⊂OB∴∠AOB 是二面角α-a -β的平面角，即∠AOB =120°．而四边形AOBP 为一圆内接四边形，且PO 为该四边形的外接圆直径． ∵四边形AOBP 的外接圆半径等于由A 、B 、O 、P 中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO 的长可利用△APB ． 在△APB 中，AP =BP =10，∠APB =60°，∴AB =10． 由正弦定理：332060sin 2=︒==AB R PO ． 【思路点拨】(1)该题寻找120°的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，若题目可找到与棱垂直的平面，用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法．（2）充分借助于四边形P AOB 为一圆内接四边形，∵P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵PO 即为其外接圆直径，然后借助于四边形的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理帮助解决了问题．【答案】.3320活动③ 强化提升，灵活应用例5.过点S 引三条不共面的直线SA 、SB 、SC ，如图，∠BSC =90°，∠ASC =∠ASB =60°，若截取SA =SB =SC =a .(1)求证：平面ABC ⊥平面BSC ； (2)求S 到平面ABC 的距离．【知识点】面面垂直的证明，距离. 【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：∵SA =SB =SC =a ， 又∠ASC =∠ASB =60°，∴△ASB 和△ASC 都是等边三角形，∴AB =AC =a ， 取BC 的中点H ，连结AH ，∴AH ⊥BC ． 在Rt △BSC 中，BS =CS =a ， ∴SH ⊥BC ，a BC 2=，∴2)22(222222a a a CH AC AH =-=-=，∴222a SH =． 在△SHA 中，∴222a AH =，222a SH =，22a SA =， ∴222HA SH SA +=，∴AH ⊥SH ，∴AH ⊥平面SBC ．∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ． 或：∵SA =AC =AB ，∴顶点A 在平面BSC 内的射影H 为△BSC 的外心， 又△BSC 为Rt △，∴H 在斜边BC 上，又△BSC 为等腰直角三角形，∴H 为BC 的中点，∴AH ⊥平面BSC ． ∵AH ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BSC ．(2)由前所证：SH ⊥AH ，SH ⊥BC ，∴SH ⊥平面ABC ，∴SH 的长即为点S 到平面ABC 的距离，a BC SH 222==，∴点S到平面ABC的距离为a22．【思路点拨】（1）要证明平面ABC⊥平面BSC，根据面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线；（2）外心为三角形外接圆的圆心，即三条中垂线的交点.【答案】（1）见解题过程；（2）a22．同类训练如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥B C.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】(1)证明：在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF 平面ACE，∴DF∥平面ACE.又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.(2)线段BE上存在点G，且BG＝13BE，使得平面DFG⊥平面CDE.证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD、GF，∵CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC⇒DE⊥EF.由CF⊥平面DEF⇒CF⊥DE.又CF ∩EF ＝F ，∴DE ⊥平面BEF ，∴DE ⊥GF .GF CE GF DE GF CDE CE DE E ⎫⎪⇒⎬⎪⎭⊥⊥⊥平面＝.又GF ⊂平面DFG ，∴平面DFG ⊥平面CDE .此时，如平面图所示，∵O 为CE 的中点，EF ＝CF ＝2BC ，由平面几何知识易证△HOC ≌△FOE ，∴HB ＝BC ＝12EF .由△HGB ∽△FGE 可知12BG GE =，即13BG BE =. 【思路点拨】“探索性问题”的规律方法：一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．【答案】（1）见解题过程；（2）线段BE 上存在点G ，且13BG BE =，使得平面DFG ⊥平面CDE .3. 课堂总结知识梳理（1）证明面面垂直的方法（2）重难点归纳空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直最终达到目的，其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．（三）课后作业基础型 自主突破一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.【思路点拨】由题意，画出满足条件的图形，依据面面垂直的性质以及线面平行的性质等知识解答.【答案】D.2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是（）A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．【思路点拨】A.根据面面平行的定义和性质判断；B.利用面面垂直的性质和定义判断；C.根据线面垂直的性质判断；D.根据线面平行的性质判断.【答案】B．3.设直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，（）A．若m∥α，则l∥m B．若α∥β，则l⊥mC．若l⊥m，则α∥β D．若α⊥β，则l∥m【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中直线l与m互相垂直，不正确；B中根据两个平面平行的性质知是正确的；C中的α与β也可能相交；D中l与m也可能异面，也可能相交，故选B.【思路点拨】通过线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理即可判断A；由一直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，结合线面垂直的性质定理即可判断B；举反例，由线面垂直的性质定理即可判断C；举反例，结合线面垂直和面面垂直的性质定理即可判断D.【答案】B.4．设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D 中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．【思路点拨】通过线面垂直的性质定理判断A；通过面面平行的性质和线面垂直的性质判断B；通过面面平行的性质和线面垂直的定义判断C；由线面平行的性质和面面垂直的性质判断D.【答案】C.5.如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是（）A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE【知识点】面面垂直的判定.【解题过程】因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE ，所以选C.【思路点拨】缺少【答案】C.6.在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出正确结论是：“设三棱锥A -BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直”，则______．【解题过程】此题是突破以往高考命题模式的又一典范，丰富的想象和联想是增强创新意识的利器，本题如果能联想构造一长方体，用一平面去截长方体易得满足条件的棱锥A -BCD ，进而易证结论：“2222ABC ACD ADB BCD SS S S ++=．” 【答案】2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=．7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD (只要填写一个你认为正确的条件即可)．【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明.【解题过程】∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥P C.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD ⊥平面PC D.【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)8.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD ＝DE＝2AB，F为CD的中点．求证：(1)AF∥平面BCE；(2)平面BCE⊥平面CDE.【知识点】线面平行的判定，面面垂直的证明。

2.3.2 平面与平面垂直的判定一、教材分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种超级重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的概念是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面彼此垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培育学生的创新精神.二、教学目标1．知识与技术（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面彼此垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．进程与方式（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的气宇方式及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭露概念的形成、发展和应有和进程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生踊跃思维，培育学生的观察、分析、解决问题能力.三、教学重点与难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.四、课时安排1课时五、教学设计（一）温习两平面的位置关系：（1）若是两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）若是两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝牢固耐用必需使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成必然的角度.为此，咱们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，如何描述这种转变呢？今天咱们一路来探讨两个平面所成角问题.（三）推动新课、新知探讨、提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方式.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的概念.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的概念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常常利用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生一路动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方式：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱之外的半平脸部份）别离取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3若是棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内别离作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内别离作l 的垂线O ′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边别离平行且方向相同, 即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：依照上述方式作出的角的大小，与角的极点在棱上的位置无关. 由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内别离作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的概念.二面角的大小可以用它的平面角来气宇，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是彼此垂直的.两个平面彼此垂直的概念和平面几何里两条直线彼此垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来概念，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角. 两个平面彼此垂直的概念可表述为：若是两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面彼此垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.若是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面彼此垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β组成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB⊥β，CD ⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.（四）应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC ⊂α,∴PA⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt△ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD⊥平面ABC ； （2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC⊥平面ABD.∴OC⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos∠OEC=33=CE OE .点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精准到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设C E=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF⊥AB，垂足为F ，并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE⊥AB 于E ，连接CE ，则CE⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角， 即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO⊥OE，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO⊥DO,∴sin∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常常利用的方式是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一进程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD⊥平面PAC ； （2）求点A 到平面PBD 的距离； （3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面PAC.(2)解：作AE⊥PO 于点E,∵平面PBD⊥平面PAC,∴AE⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==•PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212. 3）解：作AF⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE⊥平面PBD,∴AE⊥PB. ∴PB⊥平面AEF,PB⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt△AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin∠AFE=742=AF AE ,cos∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 别离是AB 、PC 的中点.（1）求证：MN∥平面PAD ； （2）求证：MN⊥CD；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD. （2）∵PA⊥平面ABCD ，∴PA⊥CD. 又∵CD⊥AD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD⊥AQ. 又∵AQ∥MN,∴MN⊥CD.（3）由（2）知，CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AD,CD⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD.∴AQ⊥PD. 又∵MN∥AQ,∴MN⊥CD.又∵MN⊥PD,∴MN⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF∥平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1,∴BD⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD⊥AC 1. ∵BD∥NA，∴AC 1⊥NA.又由BD⊥AC,可知NA⊥AC，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt△C 1AC 中，tan∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC =30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练 如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围. （1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD,∴BC⊥面SDC. ∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22.（五）知能训练讲义本节练习.（六）拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD∥BC,B C ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD∥MN.∴MN∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD,∴AD⊥面PBE.∴AD⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN⊥PB.∴PB⊥面ADMN. ∴平面PBC⊥平面ADMN.（3）解：作EF⊥AB，连接PF ，∵PE⊥平面ABCD,∴AB⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt△AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan∠PFE=233=EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.（七）课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方式总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.（八）作业讲义习题2.3 A组一、二、3.。

2.3.4 平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言性质定理若去掉“一个平面内(a⊂α)”，定理是否成立？提示：不一定成立，如图a⊥α，这时也有a⊥l，但a与β不垂直．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．( ×) 提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．(2)若α⊥β，则α内的直线必垂直于β内的无数条直线. ( √)提示：若设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线．(3)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.( √)提示：设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a ⊥m，b⊥n.因为γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.所以a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，l⊄γ，所以l⊥γ.故正确．(4)若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线在另一个平面内．( ×) 提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，所以a∥l. 所以l∥β或l⊂β，即直线l与平面β平行或在平面β内．2．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )A．平行B．相交C．异面且垂直D．异面且不垂直【解析】选C.如图所示，在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝CD.所以BD⊥AC. 因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥CC1.3.如图所示，三棱锥P­ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．【解析】设P在平面ABC上的射影为O，因为平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以O∈AB.因为PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心，且是AB的中点，所以△ABC是直角三角形．答案：直角类型一用面面垂直的性质定理解证明问题(逻辑推理、直观想象) 【典例】如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.【思路导引】面面垂直→线面垂直→线线垂直【证明】如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，所以AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC.又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又因为PA∩AD＝A，所以BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，所以BC⊥AB.1．应用面面垂直的性质定理的一个意识和三个注意点(1)一个意识若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直．(2)三个注意点：①两个平面垂直，是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．2．证明线面垂直的常用方法(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面).如图，在三棱台ABC­DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2.求证：BF⊥平面ACFD.【证明】延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.又CK∩AC＝C，CK，AC⊂平面ACFD，所以BF⊥平面ACFD.【补偿训练】如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.【证明】(1)因为E，F分别为AC，BC的中点，所以EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)因为PA＝PC，E为AC的中点，所以PE⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC，所以PE⊥平面ABC，所以PE⊥BC.又因为F为BC的中点，所以EF∥AB.因为∠ABC＝90°，所以BC⊥EF.因为EF∩PE＝E，所以BC⊥平面PEF.又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PEF.类型二用面面垂直的性质定理解计算问题(逻辑推理，直观想象)角度1 求空间角【典例】如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求EC与平面ABE所成角的正切值．【思路导引】(1)由正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直可得BC⊥平面ACDE，可得AM⊥平面EBC；(2)根据面面垂直的性质定理作出线面角，在三角形中求出其正切值．【解析】(1)因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面ACDE.又AM⊂平面ACDE，所以BC⊥AM.因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.(2)取AB的中点F，连接CF，EF.因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，所以EA⊥平面ABC，因为CF⊂平面ABC，所以EA⊥CF.又AC＝BC，所以CF⊥AB.因为EA∩AB＝A，所以CF⊥平面AEB，所以∠CEF即为EC与平面ABE所成的角．在Rt△CFE中，CF＝ 2 ，FE＝ 6 ，tan ∠CEF＝26＝33.角度2 求体积【典例】如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝23DA，求三棱锥Q­ABP的体积．【思路导引】(1)转化为证明AB⊥平面ACD.(2)过Q作AC的垂线，得三棱锥Q­ABP底面ABP上的高．【解析】(1)由已知可得，∠BAC＝90°，则BA⊥AC.又BA⊥AD，AD∩AC＝A，所以AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3 2 .又BP＝DQ＝23DA，所以BP＝2 2 .作QE⊥AC，垂足为E，则QE＝13DC＝1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，因此，三棱锥Q ­ABP的体积为VQ­ABP ＝13×QE×S△ABP＝13×1×12×3×2 2 sin 45°＝1. 计算问题的解决方法(1)求角、求距离等计算问题一般在三角形中求解．所给条件中的面面垂直首先转化为线面垂直，然后转化为线线垂直．往往把计算问题归结为一个直角三角形中的计算问题．(2)求几何体的体积时要注意应用转换顶点法，求线段的长度或点到平面的距离时往往也应用几何体中的转换顶点(等体积)法．1．如图，α⊥β，AB⊂α，AC⊂β，∠BAD＝∠CAD＝45°，则∠BAC＝( )A.90° B．60° C．45° D．30°【解析】选B.在AB上任意找一点F，过点F作AD的垂线EF，垂足为E，再过点E作EG⊥AD，EG交AC于点G.如图所示．因为∠BAD＝∠CAD＝45°，EF⊥AE，EG⊥AD，所以EF＝AE＝EG，所以根据三角形的勾股定理可知，AF2＝AE2＋FE2，FG2＝FE2＋EG2，AG2＝AE2＋EG2，所以AF＝AG＝FG，所以△AFG是等边三角形，则∠BAC＝60°.2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.O为AB的中点．(1)证明：AB⊥平面A1OC.(2)若AB＝CB＝2，平面ABC⊥平面A1ABB1，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．【解析】 (1)连接A1B.，因为CA＝CB，OA＝OB，所以OC⊥AB，因为AB＝AA1，∠BAA1＝60°，所以三角形AA1B为等边三角形，所以AA1＝A1B，又OA＝OB，所以OA1⊥AB，又OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面A1OC.(2)由题可知，△ABC与△AA1B是边长为2的等边三角形，得OA1＝ 3 ，因为平面ABC⊥平面A 1ABB1，平面ABC∩平面A1ABB1＝AB，由(1)OA1⊥AB，OA1⊂平面A1ABB1，所以OA1⊥面ABC，所以OA1是三棱柱ABC­A1B1C1的高，所以VABC­A1B1C1＝S△ABC×OA1＝3.类型三折叠问题(逻辑推理、直观想象)【典例】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD 于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54，OD′＝2 2 ，求五棱锥D′­ABCFE的体积．【思路导引】(1)HD、HD′与EF的位置关系是不变的；(2)证明OD′是五棱锥D′­ABCFE的高是关键．【解析】(1)由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AEAD＝CFCD，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，故EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)由EF∥AC得OHDO＝AEAD＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH. 由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由EFAC＝DHDO得EF＝92.五边形ABCFE的面积S＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D′­ABCFE的体积V＝13×69 4×2 2 ＝2322.解决折叠问题的策略(1)抓住折叠前后的变量与不变量，一般情况下，在折线同侧的量，折叠前后不变，“跨过”折线的量，折叠前后可能会发生变化，这是解决这类问题的关键．(2)在解题时仔细审视从平面图形到立体图形的几何特征的变化情况，注意相应的点、直线、平面间的位置关系，线段的长度，角度的变化情况．如图1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2所示．(1)求证：A1F⊥BE；(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解析】(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，又因为DC∩DA1＝D，所以DE⊥平面A1DC.由于A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，QE，PD，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP. 由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.【补偿训练】如图，在矩形ABCD中，AB＝3 3 ，BC＝3，沿对角线BD把△BCD折起，使C移到C′，且C′在平面ABD内的射影O恰好落在AB上．(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值．(3)求二面角C′­BD­A的正切值．【解析】(1)由题意，知C′O⊥平面ABD，因为C′O⊂平面ABC′，所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB，平面ABC′∩平面ABD＝AB，所以AD⊥平面ABC′. 所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D，AD∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D，BC′⊂平面BC′D，所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H，则AH⊥平面BC′D，连接BH，则BH为AB在平面BC′D上的射影，所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角．又在Rt△AC′D中，C′D＝3 3 ，AD＝3，所以AC′＝3 2 .所以AH＝ 6 .所以sin ∠ABH＝AHAB＝23，即AB与平面BC′D所成角的正弦值为23 .(3)过O作OG⊥BD于G，连接C′G，则C′G⊥BD，则∠C′GO为二面角C′­BD­A的平面角．在Rt△AC′B中，C′O＝AC′·BC′AB＝ 6 ，在Rt△BC′D中，C′G＝BC′·C′DBD＝332.所以OG＝C′G2－C′O2＝32 .所以tan∠C′GO＝C′OOG＝2 2 ，即二面角C′­BD­A的正切值为2 2 .。

高中数学必修 2 知识点总结 （2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。

分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。

（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。