平面与平面垂直的判定定理(课件)
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直线与平面垂直的判定与性质(共26张PPT)
直线与平面垂直的判定与性 质(共26张ppt)
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
目 录
• 直线与平面垂直的判定 • 直线与平面垂直的性质 • 直线与平面垂直的证明 • 直线与平面垂直的应用 • 总结与展望 • 参考文献
01
直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的定义
01
直线与平面垂直是指直线与平面 内的任意一条直线都垂直。
02
如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则这条直线与该 平面垂直。
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面垂直的应用非常重要， 如确定建筑物的垂直度和水平面等。
机械制造
在机械制造中，直线与平面垂直的应用可以帮助 制造出精确的机械部件。
道路建设
在道路建设中，直线与平面垂直的应用可以帮助 确保道路的平直度和坡度等。
05
总结与展望
总结直线与平面垂直的判定与性质
判定方法 通过直线与平面内两条相交直线垂直来判定直线与平面垂直。
通过直线与平面内无数条直线垂直来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
• 通过直线与平面垂直的性质定理来判定直线与平面垂直。
总结直线与平面垂直的判定与性质
01
性质定理
02
03
04
直线与平面垂直，则该直线与 平面内任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直，则该直线所 在的所有直线都与该平面垂直
证明
假设有一条直线l与平面α垂直，那么直线l与平面α内的任意一条直线m都垂直。 由于直线l与平面α内的直线m都垂直，所以它们之间的夹角为90°，即直线l与平 面α内的任意一条直线都垂直。
直线与平面垂直的性质推论
推论1
证明
推论2
证明
如果一条直线与平面内的两 条相交直线都垂直，那么这
人教版高中数学必修2《平面与平面垂直的性质》PPT课件
3，∴h＝
3 2.
在△BCD 中，BF＝BD·cos 60°＝2×12＝1，DF＝BD·sin 60°＝ 3，∴DC＝2 3，
故 S△BCD＝12BF·DC＝12×1×2 3＝ 3.
∴VD-BCG＝VG-BCD＝13S△BCD·h＝13× 3× 23＝12.
[方法技巧] (1)在有关垂直问题的证明过程中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的 相互转化．因此，判定定理与性质定理的合理应用是证明垂直问题的关键． (2)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则．解题时， 要通过几何图形自身的特点，如等腰(等边)三角形的“三线合一”、中位线定理、 菱形的对角线互相垂直等，得出一些题目所需要的条件．对于一些较复杂的问 题，注意应用转化思想解决问题．
【对点练清】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB⊥平面 ABCD，BC∥平 面 PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝ 22AB.求证： (1)AD∥平面 PBC； (2)平面 PBC⊥平面 PAD. 证明：(1)∵BC∥平面 PAD，BC⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 PAD＝AD， ∴BC∥AD. ∵AD⊄平面 PBC，BC⊂平面 PBC，∴AD∥平面 PBC.
若①m⊥n，③n⊥β，④m⊥α 成立，则②α⊥β 一定成立； 若②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α 成立，则①m⊥n 一定成立． ∴①③④⇒②(或②③④⇒①)． 答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)
• 题型二 垂直关系的综合应用
• [探究发现]
• 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关 系．
提示：在线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化中．每一种垂直的
判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
8.6.3平面与平面垂直(性质)PPT课件(人教版)
∴BC⊥PA.
又PA∩AD=A，∴BC⊥平面
B
PAB.
【悟】
面面垂直的性质定理的应用
() () ()
3 于直 它线 们必 的须 交垂 线直
2 中直 一线 个必 平须 面在 内其
1
用面
要面
两 个
注垂
平
意直
面
以的
垂
下性
直
三质
点定
理
应
面面垂直的性质定理的应用
【练1】 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2. 将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC. 求证：BC⊥平面ACD.
二面角的有关概念
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面角的大小就是二面角的大小，范围是[00,1800]。
• ∠AOB即为二面角α-AB-β的 平面角
二面角的平面角的三个特征:
6.平面角是直角的二面角叫做直二面角
(1)顶点在棱上；
∴V 四棱锥 C－ABFE＝13·S 正方形 ABFE·CF＝43， V 三棱锥 A－CDE＝13·S△CDE·AE＝43，∴V 六面体 ABCDEF＝43＋43＝83.
巩固练习
巩固练习
1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，平面A1BC1⊥平面BCC1B1.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.
b a
a / /b
a
a / /
a b
b
面面垂直的综合应用
例5.如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB BC，BC / / AD，AD＝2AB＝4，BC＝3，E为AD的中点，EF BC, 垂足为F .沿EF 将四边形ABFE折起，连接AD，AC，BC，得到如图②所示的六面体ABCDEF .若折起后AB的 中点M 到点D的距离为3,
【数学课件】两个平面垂直的判定和性质
两个平面垂直的判定和性质
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
面面垂直
线面垂直
两个平面平行的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条
垂线，那么这两个平面相互垂直。
β A
B
α
a
？ 思考题
已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC， 问：图中所示的7个平面中，共有多少个平面互相平行？
1.平面SAD⊥平面ABCD 2.平面SBD⊥平面ABCD 3.平面SCD⊥平面ABCD 4.平面SAD⊥平面SCD 5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
S
D O
A
C B
两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么在第一个平 面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个 平面的直线。
β
A
B
α
a
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α. 证明：设α ∩ β= c，过点P在平面α内 作直线b⊥ c，根据上面的定理有b⊥β.
因为经过一点只能有
一条直线与平面β垂直，
所以直线a应与b直线
重合.
β
所以a α.
α
P
a
b
c
例1已知： α⊥β，P∈α，P∈a, a⊥β.
求证：a α.
如果两个平面垂直，那么经过 第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线，再第一个平面 。
α
P
a
β
例2 求证：垂直于同一平面的两平面 的交线垂直于这个平面。 已知：α⊥γ，β ⊥γ,α ∩ β= а, 求证： a⊥γ.
证法三：
设α⊥γ于b，β ⊥γ于c.
在α内作 b′ ⊥ b, 所以 b′ ⊥ γ.
同理在β内作c′ ⊥ c,有c ′ ⊥ γ,
《面面垂直的判定》人教版高中数学必修二PPT课件(第2.3.2课时)
新知探究
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成 的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)日常生活中平面与平面垂直的例子? 为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
新知探究
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB α
∪ ∪
∪
求证：α⊥β.
α
A
C
B
D
人教版高中数学必修二
第2章 关系 点、直线、平面之间的位置关系
感谢你的凝听
MENTAL HEALTH COUNSELING PPT
讲授人： 时间：20XX.6.1
A
新知探究
练习： 指出下列各图中的二面角的平面角：
A, B l
AC
BD
AC⊥l BD ⊥l
Bl
C
D
AO
二面角 --l--
D’
C’
A
A’ D
A
B’ O
CB B
D
O
E
C
二面角B--B’C--A
二面角A--BC-D
新知探究
二面角的计算： 1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、说明此角即为所求二面角的平面角 4、 求出此角的大小 5、回答此角的大小
平面与平面垂直的判定 课件
[解析] 如图，连接AC、BC，∵AB是⊙O的直径，则BC⊥AC．
又 PA ⊥ 平 面 A B C ， B C ⊂ 平 面 A B C ， ∴ PA ⊥ B C ， 而 PA ∩ A C ＝ A ， ∴ B C ⊥ 平 面 PA C ， 又 B C ⊂ 平 面 P B C ， ∴ 平 面 PA C ⊥ 面 P B C ．
『规律方法』 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角 为直角．
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂 直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面面垂直．
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”．
又 AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面 PBC． 又 BC⊂平面 PBC，∴AP⊥BC． 又 AC⊥BC，AP∩AC＝A，∴BC⊥平面 PAC． 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 PAC⊥平面 ABC．
(2)∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角． 由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝BPCB＝25．
( 3 ) 因 为 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 A B ⊥ PA ， A C ⊥ PA ． 所 以 ∠ B A C 为 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角．
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°． 所 以 二 面 角 B － PA － C 的 平 面 角 的 度 数 为 4 5 ° ． (4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图．由题意知 △PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE． 所以∠DEP＝∠BEP＝90°， 且BE＝DE． 所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角． 又 PA ⊥ 平 面 A B C D ， 所 以 PA ⊥ B C ． 又 A B ⊥ B C ， PA ∩ A B ＝ A ，
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
平面与平面垂直的判定课件
ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
两平面垂直(好课件)
A B C P
l
你能证明吗？
二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小； （2）平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
（４）求二面角C1-BD-B1的大小。
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
例3、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADC A
B O C
D
例4、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD； （2）平面PMC ⊥平面PDC P Q
两平面垂直
知识回顾
什么是二面角？
如何度量二面角的大小？
两平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作：
B
A C
l
你能举出生活中的例 子吗？
观 察 生 活
你发现了什么？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面垂
直于它们交线的直线垂直于另一个平面
l
练 才 是 硬 道 理
判断下列命题是否正确 1 2 3
若 , , 则 // 若 , , 则 // 若 // 1 , // 1 , 且 , 则1 1
l
你能证明吗？
二、例题
1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中， 求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小； （2）平面C1BD与面ABCD所成的角的大小；（3） 二面角A-B1D1-C的大小.
（４）求二面角C1-BD-B1的大小。
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面 内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
例3、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2， ∠ DAC = ∠ BAC = ∠ BAD = 600，
求证：平面 BCD ⊥平面ADC A
B O C
D
例4、已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = ＡD，M、N分别是AB、PC的中点， 求证：（1）MN // 平面PAD； （2）平面PMC ⊥平面PDC P Q
两平面垂直
知识回顾
什么是二面角？
如何度量二面角的大小？
两平面互相垂直
定义：一般地，如果两个平面相交，且其所 成二面角为直二面角，则两个平面垂直。 记作：
B
A C
l
你能举出生活中的例 子吗？
观 察 生 活
你发现了什么？
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
面面垂直的性质定理
如果两个平面垂直,那么在一个平面垂
直于它们交线的直线垂直于另一个平面
l
练 才 是 硬 道 理
判断下列命题是否正确 1 2 3
若 , , 则 // 若 , , 则 // 若 // 1 , // 1 , 且 , 则1 1
平面与平面垂直的判定定理ppt课件
2.3.2 平面与平面垂直的判定定理
最新版整理ppt
1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
最新版整理ppt
C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
最新版整理ppt
12
例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
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1
复习引入
1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' //a， b'// b，我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异面 直线所成的角. 范围：( 0o, 90o ]． 2.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？
(3) 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 ①平卧式： 二面角－ l－
l
点1－棱－点2
l
②直立式： A
二面角－AB－
B
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C 二面角C－AB－ D
B D
A
6
1.二面角的概念
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
分 析 : 由 直 二 面 角 的 定 义 可 知 , BDC
A
为直角 , 就是这个直二面角的平面角.所
以 BDCD .
若设 AD a ,则 BD CD a ,即可求得:
AB AC BC 2a ， 那么 BAC 为等边三角形,
D C
即有BAC 600.
B
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例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底 线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?
如图，OAl,OBl ，则∠AOB成为二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
A'
A
二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上
l
O' O
两个平面垂直的判定和性质(一)课件
两个平面垂直的判定和性 质(一)ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
CATALOGUE
两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
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• 两个平面垂直的判定定理 • 两个平面垂直的性质 • 两个平面垂直的判定和性质的关联 • 两个平面垂直的判定和性质的实例
分析
01
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两个平面垂直的判定定理
判定定理的内容
两个平面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
证明过程
首先，设$a perp beta$，$b perp beta$。由于$a$、$b$是平面$alpha$内的两条相交直线，根据直线与平面 垂直的性质，我们可以得出$a perp alpha$和$b perp alpha$。因此，平面$alpha$内的任意直线都与平面 $beta$垂直。所以，我们证明了如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直。
实例的分析和解答
分析1
高楼大厦的垂直关系 - 通过几何定理 和三角函数，分析高楼大厦的垂直关 系。
分析2
桌子的平面和地面 - 利用直角三角形 的性质，证明桌子平面与地面的垂直 关系。
实例的总结和反思
总结
通过以上两个实例，我们了解到两个平面垂直的判定和性质在实际生活中的应用。在分 析过程中，我们运用了多种数学工具和方法，如几何定理、三角函数和直角三角形的性
THANKS
感谢观看
质等。这些工具和方法为我们提供了解决问题的有效途径。
反思
在实例分析中，我们发现两个平面垂直的判定和性质在实际应用中具有广泛性。这不仅 限于高楼大厦和桌子，还可以应用于其他许多场景，如建筑、机械、工程等。因此，深 入学习和掌握这一知识点对于拓宽我们的数学应用能力和解决实际问题具有重要意义。
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那么判定两平面互相 垂直（面面垂直）， 除了定义外，还有其 他方的判定方法吗？
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
故在RtΔABO和RtΔBCO中,BO= 2 ，
所以 AO=OC=
2 2
2
B
O
D
又因为ΔAOC中，有 AC 2 1 AO2 CO2，
所以AO⊥CO; 又CO、BD都在平面BCD,且交于点O C
所以AO⊥平面BCD;又因为AO在平面ABD中，
从而得到平面ABD⊥平面BCD
符号表示：l l
α β
αβ
A
lB CD
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
定理的理解
一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（× ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ × ）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 的两条相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
证明：
P
因为PO⊥平面ABCD ,则可知CO、AO分别是
PC和PA在平面ABCD中的射影，
EБайду номын сангаас
又知正方形ABCD,则有CO⊥BD、AO⊥BD. 所以BD⊥PC,BD⊥PA; 又PA,PB都在平面PAC中，且相交，
D
C
A
O B
BD⊥平面PAC,又BD在平面BDE中.
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
分析：
思路一：两平面的二面角是直二面角
，AB=AD=CB=CD=AC=1，
A B
B
D
思路二：线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 ，AB=AD=CB=CD=AC=1，
求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
证明： 取BD的中点为O，连接AO、CO.
因为AB=AD=1、CB=CB=1,
D C
知识小结
1．判定面面垂直的两种方法：
（1）利用定义；证明两平面所成的二面角为直二面角
（2）利用判定定理．即
l l
α β
αβ
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
面面垂直
线面垂直
线线垂直
课后探究及作业
课后探究 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么? 那么如果在已知这些面面垂直的条件下，又能得到哪些结论？
铅垂线——模拟铅垂线
墙面——书本
地面——桌面
做模拟小实验
? 结论：
问题探究
将实际问题转化成数学模型，解释该生活实例中蕴含 的数学原理：
铅垂线——直线CD 墙面——平面α 地面——平面β
转化成几何图形
α
C
B
β
D
E
A
获得新知
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
A
课后作业 学法P117-118
B
D
C
定理的应用
跟踪训练2 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
解： 因为AB⊥面BCD，AB在平面ABC和平面ABD， A 则有平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面BCD；
由AB⊥面BCD,可知AB⊥CD; 又BC⊥CD，且BC是AC在平面BCD内的射影， B 可得CD⊥平面ABC;又因为CD在平面ACD中， 所以平面ACD⊥平面ABC.
2.3.2平面与平面 垂直的l 判定
l
复习回顾
1、平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
复习回顾
2、利用定义法证明两个平面垂直的步骤：
（1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）求出这个角是90。.
问题探究
问题：观察建筑工地，我们常看到建筑师傅通常用一 条系有重物的线（铅垂线）来检测所砌的墙和地面是 否垂直，如图所示，建筑师傅只用这样一条线来检测 所砌的墙面和地面垂直，可靠吗？这样砌得的墙真的 与地面垂直吗？为什么？
AB为⊙O的直径，所以,∠BCA＝90°,
即BC⊥CA.
C
又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条 A
相交直线，所以，BC⊥平面PAC，
O
B
又因为BC在平面PBC内，
所以平面PAC⊥平面PBC.
定理的应用
跟踪训练1 已知 ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥平面
ABCD ， E是PC的中点，求证：平面PAC⊥平面BDE.
4.若m⊥α，m ，则α⊥β.( √ )
定理的理解
二、填空题：
1.过平面α的一条垂线可作_无__数__个平面 与平面α垂直.
2.过一点可作无__数__个平面与已知平面垂直. 3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
面与平面α垂直. 4.过平面α的一条平行线可作_一___个平
面与α垂直.
定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于 ⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A, B 的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
分析：
线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
A
O
B
定理的应用
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件， PA⊥α，BC在α内，所以，PA⊥BC，
因为，点C是圆周上不同于A,B的任意一点P，
A
所以AO⊥BD、CO⊥BD;
B
故在RtΔABO和RtΔBCO中,BO= 2 ，
所以 AO=OC=
2 2
2
B
O
D
又因为ΔAOC中，有 AC 2 1 AO2 CO2，
所以AO⊥CO; 又CO、BD都在平面BCD,且交于点O C
所以AO⊥平面BCD;又因为AO在平面ABD中，
从而得到平面ABD⊥平面BCD
符号表示：l l
α β
αβ
A
lB CD
线线 垂直
线面 垂直
面面 垂直
定理的理解
一、判断： 1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β.（× ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β.（ × ）
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内 的两条相交直线, 则α⊥β.（ √ ）
证明：
P
因为PO⊥平面ABCD ,则可知CO、AO分别是
PC和PA在平面ABCD中的射影，
EБайду номын сангаас
又知正方形ABCD,则有CO⊥BD、AO⊥BD. 所以BD⊥PC,BD⊥PA; 又PA,PB都在平面PAC中，且相交，
D
C
A
O B
BD⊥平面PAC,又BD在平面BDE中.
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
分析：
思路一：两平面的二面角是直二面角
，AB=AD=CB=CD=AC=1，
A B
B
D
思路二：线线垂直→ 线面垂直 →面面垂直
C
定理的应用
跟踪训练2 在四面体 ABCD 中，BD= 2 ，AB=AD=CB=CD=AC=1，
求证：平面 ABD⊥平面 BCD.
证明： 取BD的中点为O，连接AO、CO.
因为AB=AD=1、CB=CB=1,
D C
知识小结
1．判定面面垂直的两种方法：
（1）利用定义；证明两平面所成的二面角为直二面角
（2）利用判定定理．即
l l
α β
αβ
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
面面垂直
线面垂直
线线垂直
课后探究及作业
课后探究 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么? 那么如果在已知这些面面垂直的条件下，又能得到哪些结论？
铅垂线——模拟铅垂线
墙面——书本
地面——桌面
做模拟小实验
? 结论：
问题探究
将实际问题转化成数学模型，解释该生活实例中蕴含 的数学原理：
铅垂线——直线CD 墙面——平面α 地面——平面β
转化成几何图形
α
C
B
β
D
E
A
获得新知
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
A
课后作业 学法P117-118
B
D
C
定理的应用
跟踪训练2 已知AB 面BCD，BC CD, 请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
解： 因为AB⊥面BCD，AB在平面ABC和平面ABD， A 则有平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面BCD；
由AB⊥面BCD,可知AB⊥CD; 又BC⊥CD，且BC是AC在平面BCD内的射影， B 可得CD⊥平面ABC;又因为CD在平面ACD中， 所以平面ACD⊥平面ABC.
2.3.2平面与平面 垂直的l 判定
l
复习回顾
1、平面与平面垂直定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，
就说这两个平面互相垂直. 平面与垂直，记作⊥.
复习回顾
2、利用定义法证明两个平面垂直的步骤：
（1）找出或作出二面角的平面角； （2）证明其符合定义(垂直于棱)； （3）求出这个角是90。.