《平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)

《平面与平面垂直的判定定理》教学设计一、本节内容分析本节内容按照直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的研究过程展开.对于直线与直线的垂直,首先定义异面直线所成的角,两条直线垂直包括共面垂直与异面垂直对于直线与平面的垂直、平面与平面的垂直主要研究它们的判定定理和性质定理.直线与平面垂直的判定定理是指一条直线与构成该平面的基本元素—直线满足什么条件才能使此直线与该平面垂直,而平面与平面垂直的判定定理是指构成其中一个平面的直线与另平面或这个平面内的直线具备什么条件才能使两个平面垂直,实际上是在寻找平面与平面垂直的充分条件.性质是指直线与平面垂直、平面与平面垂直时,其基本构成要素具有怎样的确定不变的关系,实际上是必要条件,性质和判定之间具有互逆的关系,这也是我们研究问题的一个自然的起点.本节内容的处理继续遵循“直观感知—操作确认—思辨论证”的认识过程展开.通过本节课的学习与研究,可进步完善学生的知识结构,更好地培养学生观察记忆、空间想象及推测解释能力,使其体会由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想,提升直观想象、数学运算和逻辑推理核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析上一节,我们研究了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,本节在上一节基础上研究空间直线、平面间的另一特殊位置关系——垂直.由于学生的知识积累、解决问题的方法都已较为丰富,所以本节内容的学习既要继续加强从“一般观念”上的引导,让学生明确“什么是空间直线、平面的垂直”以及“空间直线、平面垂直时,其要素(直线、平面)有什么确定的不变关系”;又要充分类比对空间直线、平面平行关系的研究方式,引导学生研究空间直线、平面之间的垂直关系.研究的对象尽量由学生去提出,研究的内容要学生去确定,研究的方法启发学生去寻找.学情补充:____________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 三、教学活动准备【任务专题设计】1.平面与平面垂直【教学目标设计】1.通过实例直观感知“二面角”概念的形成过程,理解二面角的概念,掌握二面角的作法,理解并掌握两个平面互相垂直的概念,两个平面垂直的判定定理及其应用方法.2.发展学生的推测解释能力、观察记忆能力和空间想象力,培养学生的质疑思辨、创新的精神.【教学策略设计】1.在平面与平面垂直的实际教学中,建议采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法,使学生形成“直观感知—操作确认—数学抽象—归纳猜想—严谨证明—灵活应用”的探究式学习方法,从而达到以学生为主体、教师为主导、师生共同发展的课堂教学效果.【教学方法建议】启发教学法、探究教学法、情境教学法,还有________________________________【教学重点难点】重点1.直观感知、操作确认,概括出平面与平面垂直的判定定理难点3.平面与平面垂直的判定定理的应用.【教学材料准备】1.常用材料:多媒体课件、计算机、实物模型、__________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入探究1 平面与平面垂直的判定定理师:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,如果系有铅锤的细线紧贴墙面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直.为什么线要紧贴墙面?生:为了说明细线在墙面内,细线与地面垂直,墙面就和地面垂直.师:满足什么条件的时候,才能使平面与平面互相垂直?【师生活动】教师组织学生思考、讨论,归纳出下面的结论.生:如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面,则这两个平面垂直.师:如何用图形语言和符号语言描述平面与平面垂直的判定定理.【师生活动】教师指导学生画出图形并将文字语言转化成符号语言,并出示多媒体.【推测解释能力】通过对实际问题观察和理解,使学生形成面面垂直的判定定理,通过学生交流讨论,把实际问题抽象成数学符号的表达方式,培养学生严谨的数学思维习惯【要点知识】平面与平面垂直的判定定理⊥⎫lα【教师总结】这个定理说明,可以由直线与平面垂直,证明平面与平面垂直.师:门所在平面与地面始终垂直吗?大家将课本打开,直立放在桌面上,每页纸张与桌面是否垂直?为什么?【师生活动】教师组织学生讨论、交流,用面面垂直判定定理来解释现象.师:下面请看如何利用平面与平面垂直的判定定理来解决实际问题.【活动学习】通过用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般,再到特殊的知识认知过程,促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握“降维”的转化与化归的数学思想方法【说明论证能力】通过学生尝试用定理解决问题,从而加强对面面垂直判定定理的理解和掌握,巩固所学知识,进一步体会由证明面面垂直转化为证明线面垂直,提升学生的逻辑思维和分析问题、解决问題的说明论证能力【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例1 如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面A'BD⊥平面ACC'A'【师生活动】教师出示多媒体并读题,引导学生分析题意,梳理解题思路,得到要用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直,关键是找到一个平面内有一条直线垂直于另一个平面.学生独立完成例题证明,教师巡视课堂,并适时给予学生指导,教师出示规范解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证平面A'BD ⊥平面ACC'A',根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面A'BD 经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC,BD 是正方形ABCD 的对角线.证明:ABCD-A'B'C'D'是正方体,AA'⊥平面ABCD ,AA'BD ⊥又BD AC ⊥,AA'AC=A ⋂，∴BD ⊥平面ACC'A',又BD ⊂平面A'BD ,平面A'BD ⊥平面ACC'A'.师:请看下一道例题.【意义学习】通过教师对证明过程进行规范、完整的板书,引导学生注意证明过程的规范性和严谨性,帮助学生养成良好的学习习惯【典型例题】平面与平面垂直的判定定理的应用例2 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上不同于,A B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC .【师生活动】教师引导学生分析解题思路,鼓励学生交流、讨论,并请学生做板演,教师对学生的解答过程做评价,随后教师给出规范性解答.【典例解析】平面与平面垂直的判定定理的应用分析:要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直.在本题中,由题意可知BC AC ⊥,,BC PA AC PA A ⊥⋂=,从而BC ⊥平面PAC ,进而平面PAC ⊥平面PBC .证明:∵PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面,ABC PA BC ∴⊥.∵点C 是圆周上不同于,A B 的任意一点,AB 是O 的直径,∴90BCA ∠=︒,即BC AC ⊥. 又∵,PA AC A PA ⋂=⊂平面,PAC AC ⊂平面,PAC BC ∴⊥平面PAC .又∵BC ⊂平面,PBC ∴平面PAC ⊥平面PBC .【深度学习】通过教师引导学生分析解题思路,使学生掌握判断面面垂直有两种方法:一种是定义法(证二面角的平面角是直角),一种是判定定理法(证一个平面过另个平面的一条垂线),深化学生对两种方法的掌握能力【说明论证能力】通过例题巩固所学知识,使学生能够熟练应用知识解决说明论证的问题【教师总结】从本节的讨论可以看到,由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直;由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直;而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直,这进一步揭示了直线平面之间的位置关系可以相互转化.师:通过这节课的学习,同学们都学到了哪些知识?【师生活动】教师引导学生归纳总结、完善本节课所学知识.【整体学习】引导学生学习直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系,进一步体会空间中直线与平面的位置关系之间的相互转化,培养学生对转化与化归数学思想方法的理解,发展学生的逻辑推理学科核心素养【课堂小结】平面与平面垂直1.判定平面与平面垂直的方法有哪些?判定平面与平面垂直的方法体现了什么数学思想?2.平面与平面垂直的判定定理是什么?能够解决哪些问题?3.如何实现空间垂直关系的相互转化?请指出下面图中空间垂直关系转化的依据.【设计意图】通过理解和掌握面面垂直的判定和性质,能够证明面面垂直和线面垂直,培养学生的推测解释、说明论证能力,提升逻辑推理核心素养【课后作业】教材P235练习3、4题教学评价垂直关系的相互转化:线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互联系的,能够相互转化,转化的纽带是对应的定义、判定定理和性质定理在解决问题时,可以从条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论探求所需的关系,从而架起条件与结论的桥梁.空间平行、垂直关系之间的转化:【设计意图】引导学生对线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质探究分析,帮助学生体会知识的生成、发展、完善的过程.通过具体知识点的演练,让学生在运用课程教学过程中所学到的学科能力(概括理解、推理解释、说明论证、猜想探究等)分析问题、解决问题,从而达到直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养目标要求【以学定教】根据学情,因材施教,以人为本,以生为本,根据学生逐步掌握的知识点和定理,依据生活实例和模型,采取不同探究式教学法,让学生逐步掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直的知识教学反思本节的知识(直线与直线的垂直关系、直线与平面的垂直关系、平面与平面的垂直关系)与学生学习的生活联系密切,教师一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,教师引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程本节课教师特别注重数学中的文字语言与符号语言的相互转化,将空间问题向平面问题转化,有效地体现了转化与化归的数学思想.在判定定理的教学中,遵循了“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程,学生通过观察分析、自主探究,在教师的引导下,进行适当推理而归纳出判定定理关于判定和性质定理的应用,教师没有简单直接讲解,而是由学生先行自主探究,教师适时点拨,以增强学生自主学习的意识,再通过实物投影,来规范学生的解答过程,提高学生数学表达能力.【以学论教】对教学活动整个过程的学习情况进行追踪,根据学生实际学习情况和课堂效果使学生通过观察分析、自主探究学习和掌握空间线面的垂直关系。

课 题：平面与平面垂直的判定【学情分析】平面与平面垂直的判定是立体几何中点、线、面的位置关系最后一节内容，在此之前，学生已经研究过线面、面面平行的判定和性质以及线面垂直的判定，能够较熟练地运用相关定理对线线、线面、面面的平行的判定和性质、线面垂直的判定进行研究与论证。

【教学目标】知识技能目标1．结合实际问题使学生了解二面角及二面角的平面角的定义； 2．学生通过具体情境分析、探索平面与平面垂直的判定定理；3．利用判定定理判定或证明简单的平面与平面垂直问题，初步掌握平面与平面垂直的判定方法。

能力目标1．结合情境，通过自主探究逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，着重培养学生的认知能力；2．引导学生从日常生活中发现判定定理，培养学生的发现意识和能力。

【教学重点、难点】 判定定理的证明及应用． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】一、复习旧知，温故知新师:初中我们学过角的概念是什么？生：由一点引两条射线所组成的几何图形叫做角。

记作：AOB ∠师:什么是斜线与平面所成的角？生：斜线与斜线在平面内的射影所成的角。

师: 也就是说将线面角转化为线线角。

BAO〖设计意图〗复习旧知识，为新知识学习埋下伏笔。

二、创设情境，引入新课师:取一张纸，任意一折，这样一个平面就变成两个…… 生：相交平面师:此时这两个平面就成一定的…… 生：角度师:为此，我们需要引进二面角的概念，研究两个平面所成的角。

〖设计意图〗从现实生活中，学生所熟悉的简单直观的实际问题引入，使学生易于接受。

三、类比知新，了解概念师:如何定义两个平面所成的角呢？（引导学生类比初中学的角的定义） 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面。

记作：二面角βα--l 、二面角βα--AB 或者二面角D BC A -- 师:生活中有许多的二面角，你能举出一些实例吗？ 生：折纸，书打开，门打开等。

平面与平面垂直的判定》教学设计(优质课)叫做二面角的平面角，记作∠POQ。

二面角的大小等于其平面角的大小，即二面角的大小为∠POQ.二、两个平面互相垂直的判定1．判定定理两个平面互相垂直的充分必要条件是它们的法线互相垂直.2．应用举例1）判定两个平面垂直的方法：求出两个平面的法向量，判断法向量是否垂直即可.2）应用：在空间直角坐标系中，判定两个平面是否垂直，可以通过求出两个平面的法向量，然后判断法向量是否垂直来确定.3．注意事项1）两个平面垂直不一定相交；2）两个平面相交不一定垂直.三、教学反思本节课主要介绍了平面与平面垂直的判定，以及二面角的概念和求法.在教学过程中，我采用了实物观察、类比归纳、语言表达等多种教学方法，让学生通过实例感知概念的形成过程，通过类比已学知识，归纳出二面角的度量方法及两个平面垂直的判定定理.同时，也通过实验等方式激发学生的研究兴趣和探索意识，培养学生的观察、分析、解决问题能力.在教学中，我还注意到了两个平面垂直不一定相交，两个平面相交不一定垂直的注意事项，让学生在实际问题中更好地应用所学知识.P-AB-Q，若棱记作l，则二面角大小等于棱l的大小。

记作α-l-β或P-AB-Q。

若改变点O的位置，l-Q，则二面角的大小不变。

二面角的平面角定义为在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。

该平面角的大小与O点位置无关，范围为[0.180°]，平面角为直角的二面角叫做直二面角。

平面与平面垂直的定义是，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直。

一般地，两个互相垂直的平面通常画成一个平面过另一个平面的垂线。

平面α与β垂直，记作α⊥β。

两个平面互相垂直的判定定理是，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

例如，在图中，平面PAC⊥平面PBC，因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，且AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC。

平面与平面垂直的判定的教案
本教案旨在介绍平面与平面垂直的判定方法，通过理论讲解和实例演练，帮助学生掌握该知识点。

首先，教师将介绍平面与平面垂直的定义和
特征，以及相关的数学概念和定理。

然后，教师
将详细解释具体的判定方法，包括利用向量、斜率、坡角等几种常见的方法。

教师在讲解过程中
可以使用图示和实例，以便学生更好地理解。

二、实例演练
接下来，学生将进行实例演练，通过给定的几道题目来判定平
面与平面是否垂直。

教师可以设计不同难度的题目，逐步引导学生
掌握解题方法。

在演练过程中，教师可以与学生进行互动，解答学
生的疑问，并及时纠正他们的错误。

三、巩固与拓展
最后，学生将进行一些巩固练，巩固所学的知识。

教师可以提
供一些额外的拓展题目，以便对能力较强的学生进行挑战。

同时，
教师还可以引导学生思考实际生活中平面与平面垂直的应用情景，
培养学生的应用能力和创造力。

最后，学生将进行一些巩固练习，巩固所学的知识。

教师可以
提供一些额外的拓展题目，以便对能力较强的学生进行挑战。

同时，教师还可以引导学生思考实际生活中平面与平面垂直的应用情景，
培养学生的应用能力和创造力。

《平面与平面垂直的判定》教学设计1.教学任务分析：通过教学活动，(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：a.二面角的大小是用平面角来度量的.b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所确定的平面和二面角的棱垂直.(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.2.教学难点、重点：(1)重点：确定二面角，面面垂直判定定理的应用.(2)难点：各种情景下确定二面角的平面角.3.教学方式与手段：采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.借助多媒体电脑平台.4.教学基本流程(总体设计)：从生活实例让学生感性认识二面角↓二面角的概念↓二面角的平面角↓定义两平面垂直↓面面垂直的判定↓应用、探究↓课堂小结、作业5.页面设计(相应内容逐步演示):课题:平面与平面垂直的判定1.二面角概念2.确定二面角的平面角的方法αβl O BA3.平面与平面垂直的定义4.平面与平面垂直的判定定理5.应用举例6.小结与作业 6.教学情景设计:引言:通过前面的学习,同学们已经知道:空间几何问题一般从两方面去研究:(1)从“形”去研究，即图形中点、线、面位置关系;(2)从“数量”去研究位置关系，即空间角与距离.这节课我们从“数”去研究两平面的位置关系.课题:平面与平面垂直的判定(电脑屏幕显示课题)问题 设计意图 师生活动1．利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.(借助多媒体动态演示) 1.从实际背景出发，增加学生对二面角的感性认识. 2.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣. 教师通过结合问题1的两个例子，实际上就是水坝面与水平面所成的角，卫星轨道平面与地球赤道平面所成的角.给我们两个平面成一个“角”的形象，让学生在此基础上再举一些平面成角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度；书本翻开的过程中，两张纸面呈一定的角度等.如何定义“二面角”，组织学生思考、讨论，注意引导学生从实际背景“两个面相交成一定角度”出发来分析、归纳“二面角”,顺便得到“半平面”和棱的概念.2．二面角反映了两个平面相交的位置关系，如何度量二面角的大小呢？让学生回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发，能否用“平面角”来度量“二面角”?说明“唯一性”时,利用多媒体动态演示,必须使OA ,OB 垂直棱l .拖动点O ,说明AOB ∠的大小与棱上点O 的位置无关.引导学生用“平面化”的思想来思考问题.教师通过提问的方式引导学生讨论： ① 前面学的两条异面直线所成的角的定义，角的顶点位置的选择是否影响到角的大小（即考虑“唯一性”）？ ② 当我们选择某种方式度量一个量时，必须考虑“唯一性”问题.用什么样的平面角来度量才能保证唯一性呢？如果在二面角的棱上任找一点，从这点出发分别在两个半平面内任作一条射线，虽然它们可构成一个平面角，但这样的角的大小会由于所作的射线的位置不同而改变，因而不具有“唯一性”.③ 那么，从二面角的棱上任一点出发分别在两个半平面内作一条射线，射线与棱如何时，所作的“平面角”才具有“唯一性”？（垂直具有唯一性）3.如何定义二面角的平面角? 学生数学表达、归纳能力. 由学生归纳出二面角的平面角的定义:在二面角l αβ--的棱上任取一点O ,以点O 为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱lβαβαOPA BC的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.4.观察教室里相邻两个墙面与地面可以构成几个二面角?指出其中一个二面角的面、棱、平面角及其度数. ①认识实际情景中二面角的面、棱、平面角、直二面角.②为了引出平面与平面垂直的定义.学生合作、讨论、交流后,由学生代表发言,教师归纳,引出平面与平面垂直的定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.两个平面垂直的画法如下：5.如何判定两个平面垂直? ①如何用定义判定平面与平面垂直.②为了引出平面与平面垂直的判定定理.在教师指导下,学生合作、讨论、探究：①定义法：即要证明两个平面所成的二面角是直二面角——作平面角——求证平面角是90——需知平面角所在的三角形的几何量的数据或边角的大小关系，否则难以判定.②教师引导学生观察教室的相邻两块墙面的位置关系.③让学生动手:将书脊所在直线固定与桌面垂直,把书本打开,观察每页书所在的平面与桌面的关系(或课室门的转动,门所在的平面与底面的位置关系).由学生小结,教师讲解时抓住“线(书脊)与面(桌面)垂直固定,每页书所在的平面与桌面垂直”,引出面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个垂直.这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直,即“线面垂直”→“面面垂直”.6.例题教学(启发式、讲授结合)(应用判定定理解决数学内部问题,及探究确定二面角的平面角的方法) 例3.如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点.求证:平面PAC⊥平面PBC.分析:(1)目标:面面垂直,关键是找什么?(线面垂直)(2)在其中一个平面找另一个平面的垂线,图中哪条直线?(3)如何证明此直线于平面垂直?(逐步由学生回答,教师纠正)证明:设在⊙O所在平面为α,由已知条件,PAα⊥,BC在α中,所以PA BC⊥.因为C是圆周上不同于A,B的任意一点,AB是⊙O的直径, 所以BCA∠是直角,即BC AC⊥.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线,所以,BC ⊥平面PAC , 又因为BC 在平面PBC 内, 所以, 平面PAC ⊥平面PBC .解题方法小结(师生共同完成):①明确目标(即化归为何种问题);②面面垂直转化为线面垂直,关键是证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直. 引伸探究:(1)若E 在PB 上,AE PB ⊥,F 在PC 上,AF PC ⊥.证明面PBC ⊥面AEF .(2)若2PA AC ==,4AB =,求二面角A PB C --的正弦值和二面角P BC A --的大小.(3)证明P ,A ,B ,C 四点在同一球面上.7．课堂小结：教师提出下列问题让学生思考： （1） 请归纳确定二面角的平面角的方法.（2）平面与平面垂直的判定定理体现的数学思想是什么？应用定理的关键是找什么？师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见. 8．作业：课本77P 习题2.3A 组：2、3、6题.。

教学设计——2.3.2平面与平面垂直的判定山东省青岛市黄岛区第一中学姜世彩一、教学内容解析：1.教材的地位与作用：本节课是人教A版必修2第2章第3节的第2课时，是在前面学习了线面垂直的判定、线面角的基础上按照直观感知、操作确认的方式得出二面角及其平面角的概念、面面垂直的定义、画法及判定定理，是为解决空间中证明面面垂直的问题而设置的，为后面研究面面垂直的性质奠定了基础.2.教学重点、难点：重点：平面与平面垂直的判定定理及应用.难点：(1)二面角的大小的度量.(2)平面的垂线的确定.二、教学目标设置：1.知识与技能：通过生活实例直观感知、理解二面角及其平面角.通过观察和思考归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直联系.2.过程与方法：通过例题及探究掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力,体会化归思想.3.情感态度价值观：通过小组交流，合作探究，提高学生学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用培养学生严谨规范的学习品质.该目标贯穿于整节课的教学,并根据该目标给学生设计了课堂自我评价表格，引导学生进行自主评价，自主反思.三、学生学情分析：1.学生课前已经预习了课本内容.2.个别同学存在一些小问题:例如，张涛、王红、李向阳同学的空间想象能力不够好，立体几何作图时经常虚实不分；陈冲、王伟明、赵小龙、刘玉同学在寻找立体几何证明思路时有困难，思维及书写步骤不规范，经常漏掉应用定理所必需的条件. 采取我课下单独辅导、纠正及小组成员互帮互助两个策略帮助他们尽快弥补自身的不足.3.大部分同学已经具备了学习本节内容的知识基础，并且具备了很好的空间想象能力、立体几何解题技巧及思维、书写的规范性.因此，本节课的教学重点定位在引导学生小组合作，主动探究二面角及面面垂直的判定定理，以导学案为载体，采用发现问题、解决问题、加深理解、学以致用的方式帮助学生掌握学习立体几何的方法.4.经过高一一年的小组合作模式学习，绝大多数同学能够积极主动地参与到课堂探究、讨论活动中.在知识建构的过程中，各小组能够很快形成自己的看法并主动推选出代表发言.小组间既有竞争又有合作，能够实现“生本愉悦课堂”，保证课堂的高效.四、教学策略分析：我采用启发引导、分组合作、讲练结合的教学方法，使学生形成“自主探究—归纳总结—灵活应用”的探究式学习方法，从而达到以学生为主体，教师为主导，师生共同发展的课堂教学效果.为充分实现我的想法，我采用了如下手段：1.导学案——引领学生展开课堂探究，保证学生学习的规范性，达成课堂的高效.2.实物投影——现场投影学生作答，及时发现问题、解决问题，充分体现问题来自于学生、解决于学生，最终提高了学生.3.教具——自制教具、现场演示书本、门，尊重学生由直观到抽象的认知规律，充分体现数学源于生活又高于生活.4.各种制图软件的综合利用——巧妙地将几何画板及录屏软件结合使用，实现二面角的动态转动效果及面面垂直时其中一个面的转动效果，既满足了学生直观感知的需要，又保证了立体几何图形的严谨规范.五、教学过程：（二）探究新知——二面角.附：学案高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成2.3.2 平面与平面垂直的判定班级：___________ 姓名：__________ 学习目标1. 通过生活实例,直观感知二面角及其平面角.通过观察、思考，归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直联系.2. 通过例题及探究,掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养空间想象能力,体会化归思想.3. 通过小组交流、合作探究，提高学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用，培养严谨规范的学习品质.学习重点平面与平面垂直的判定定理及其应用.学习/反思/笔记探究新知一．二面角及其平面角【直观感知】生活中有哪些与二面角有关的实例?【概念生成】1.半平面、二面角的定义是什么?请指出图中二面角的棱、面.2.练习：二面角指的是（）A．从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.B．过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角.C．两个平面相交时，两个平面所夹的锐角.D．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.【观察画图】1.你能画出下列各图所体现的二面角吗?2.反思：画二面角的时候应该注意什么问题?【学会表示】1二面角的表示：___________ ____________ ___________高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成2.练习:图中的二面角可以如何表示?【如何刻画】1.二面角的平面角的定义：______________________________________________________________________________________________________________________________________.2.二面角的平面角的特征：(1)___________.(2)___________.(3)__________.【学会度量】二面角的大小可以用其__________来度量,二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是_______的二面角叫做直二面角.二、平面与平面垂直的判定定理【定义】两个平面互相垂直：_______________________________________________画法：记作：___________【直观感知】1.你身边有哪些面面垂直的例子？2.观察教具及动画演示.【归纳定理】两个平面垂直的判定定理：____________________________________________________________________________________________________.符号语言：讨论：定理的本质和关键是什么?【加深理解】练习：（1）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β. （2）如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. 学习/反思/笔记αβl高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成（3）如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则α⊥β. （4）若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β. 【学以致用】例题：如图,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A ,B 的任意一点, 求证:平面PAC ⊥平面PBC .小结：线线垂直 线面垂直 面面垂直 探究：已知AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥ （1）有哪些线线垂直关系? （2）有哪些线面垂直关系? （3）有哪些面面垂直关系?巩固训练.1111111BD A A ACC D C B A ABCD 平面中，求证：平面在正方体⊥-学习/反思/笔记DCBA高中数学◆学案◆必修2 有志者事竟成课堂总结课堂评价学习目标分值目标达成优秀良好合格1. 通过生活实例,直观感知二面角及其平面角.通过观察、思考，归纳面面垂直的判定定理，明确面面垂直与线面垂直的联系.10 8 62. 通过例题及探究，掌握并灵活应用面面垂直的判定定理,培养空间想象能力,体会转化思想.10 8 63. 通过小组交流、合作探究，提高学习的主动性和团队合作意识.通过定理及其应用，培养严谨规范的学习品质.10 8 6课后作业必做：完成练习1，习题A组1. 2 选做：习题B组1。

《平面与平面垂直的性质》教学设计（5篇范文）第一篇：《平面与平面垂直的性质》教学设计《平面与平面垂直的性质》教学设计一、教材分析：直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

二、学情分析：1.学生思维活跃，参与意识和自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学方法；通过一系列的问题及层层递进的的教学活动，引导学生进行主动的思考、探究。

帮助学生实现从具体到抽象、从特殊到一般的过度，从而完成定义的建构和定理的发现。

2.学生抽象概括能力和空间想象能力有待提高，故采用多媒体辅助教学。

让学生在认知过程中，着重掌握原认知过程，使学生把独立思考与多向交流相结合。

三、根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,结合学生身心发展的合理需要,确定了以下教学目标:（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.（2）过程与方法目标：①了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.②通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力。

③发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）情感、态度与价值观目标：让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.四、教学重点与难点：（1）教学重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。

（2）教学难点：运用性质定理解决实际问题。

五、教学设计思路：1、复习导入：（1）线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.（2）面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.2、探究发现：（1）创设情境：已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！设计说明：感知在相邻的两个相互垂直的平面内，有哪些特殊的直线和平面关系，然后通过操作，确定两个平面垂直的性质定理的合理性，引导学生通过模型观察，讨论在两个平面相互垂直的情况下，能够推出一些什么样的结论。

2．3.2 平面与平面垂直的判定教材分析在空间，平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范．空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点．使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神．教材目标1．探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力．2．掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力．3．引导学生总结求二面角的方法，培养学生归纳问题的能力．重点难点教学重点：平面与平面垂直的判定．教学难点：平面与平面垂直的判定和求二面角．教学过程复习两平面的位置关系：(1)如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β＝∅，则α∥β.(2)如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β＝AB，则α与β相交．两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角．思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题．推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念暍画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理棳并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里?讨论结果：①二面角的有关概念．二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面．二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2(教师和学生共同动手)．直立式：平卧式：图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角αAB β.有时为了方便也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ.教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识（四）作业1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

《平面与平面垂直的判定》教学设计一．教学目标1．教材分析⑴教学内容《平面与平面垂直的判定》〉普通高中课程标准实验教科书（必修2·人民教育出版社）“§2.3 直线、平面垂直判定及其性质”的第二节课，主要内容是，二面角的概念和平面与平面垂直的判定定理的归纳与应用。

⑵地位与作用本节课学习平台是学生已掌握了求异面直线所成角，直线与平面所成角，直线与直线垂直，直线与平面垂直判定等相关知识．对“平面与平面垂直的判定”的研究，是对已学知识的运用与巩固。

2．学情分析根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高，空间结构刚刚建立，空间想象能力还需完善。

3.学法分析二面角是空间角，概念与度量严谨而抽象；判定定理内容不要求证明，要做到抽象概括确实有很大困难，因此本课采用类比发现式教学法，即展现大量的实例，让学生通过直观感知，操作确认，归纳数学原理，并作一定的应用。

4．教学目标依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标．⑴知识技能①体会二面角的概念与度量②归纳两个平面垂直的判定定理内容③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题⑵数学思考①通过二面角的概念的探索和推导过程，渗透类比迁移的思想；②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，训练并提高学生抽象概括能力③通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的思想．⑶解决问题通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；⑷情感态度直观感知，操作确认数学定理，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．二．教学重点、难点1．教学重点⑴两个平面垂直的判定定理及应用；2．教学难点二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括环节教师活动学生活动意图说明类比思新创设情境：（1）判定平面与平面平行的思路是怎样的。

（2）能否借用这种方法（化归）考虑平面与平面垂直？教师：先不作任何评价，故做悬念，引发兴趣。

课堂教学设计评选2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计高一数学徐坡2.3.2平面与平面垂直的判定的教学设计普通高中课程标准实验教科书学2必修人民教育出版社A版【授课教师】徐坡【教学目标】知识与技能①体会二面角的概念与度量；②归纳两个平面垂直的判定定理；③应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.过程与方法①通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；②通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；③通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想.情感态度与价值观直观感知，操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.教学重点：两个平面垂直的判定定理及应用；教学难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括.【学法与教学用具】学法：实物观察，直观感知，操作确认，类比归纳，语言表达.教学用一:二面角模型长方体模型折叠纸，多媒体软硬件设备等.【教学基本流程（总体设计）】从人类生产实践的需要引入二面角的有关概念!构建二面角的的平面角概念!二面角的平面角!探究平面与平面垂直的判定方法!平面与平面垂直的判定定理的应用!课堂梳理!布置作业【教学情景设计】角的平面角的概念吗？在二面角。

一1—6的棱l上任取一点O,以点O为垂足，在半平面。

和B内分别作垂直于棱1的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的NAOB叫做二面角的平面角。

4.提高学生数学表达、归纳能力.问题4：二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系？注：（1）二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。

（2）平面角是直角的二面角叫做直二面角。

探究两个平面垂直的判定定理观察：教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.问题1：类比线线垂直的定义，如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义？（用多媒体展示线线垂直的定义）引导学生归纳面面垂直的定义。

空间直线、平面的垂直第4课时平面与平面垂直的判定（一）教学内容二面角及相关概念、两个平面互相垂直的定义、判定定理．（二）教学目标1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小．2.理解两平面垂直的定义，掌握两平面垂直的判定定理；并能用文字、符号和图形语言描述定理，并能运用其证明有关的垂直问题．3.在发现、推导和应用两个平面垂直的判定定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．（三）教学重点与难点教学重点：两平面垂直的判定定理．教学难点：两平面垂直的判定定理的应用．（四）教学过程设计一、引入新课情境：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．设计意图：通过实际的问题背景，让学生感知研究两个平面所成的角的必要性，为讲解新知铺垫．二、课堂探究问题1：如何刻画两个平面所形成的角呢？答案：引入二面角的概念．一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．如图，以直线AB为棱、半平面α，β为面的二面角，记作二面角α−AB−β．有时为了方便，也可以在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P−AB−Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α−l−β，P−l−Q．问题2：日常生活中，我们常说：“把门开大一些”是指哪个角大一些？答案：通过观察可以得到，随着门开口的增大，∠POQ在逐渐的增大，当二面角α−AB−β确定时，∠POQ也随之确定．追问1：受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？答案：在二面角α−l−β的棱l上任取一点O，以点O垂足，在半平面α，β内分别作垂直于棱l的射线OA，OB，则射线OA，OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．追问2：∠AOB的大小与点O在直线l上的位置有关吗？为什么？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，在l上任取异于O的点O′，分别作A′O′和B′O′与l垂直．∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关．追问3：二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？答案：如图，∠AOB是二面角α−l−β的平面角，∴AO⊥l，BO⊥l，又AO∩BO=O，AO⊂α，BO⊂β，∴l⊥平面ABO．追问4：二面角的平面角的取值范围是多少？答案：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是0°≤α≤180°．当平面角为0°时，两半平面重合；当平面角为180°时，两半平面共面，组成整个平面．说一说：教室的墙面与地面构成二面角，分别指出构成二面角的面、棱、平面角及其度数．答案：二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，∠AOB；∠AOB的度数：90°．一般地，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β．注意：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成互相垂直的．设计意图：结合实际场景，引出二面角的概念，并进一步讨论二面角的平面角及其取值范围，并用二面角的平面角定义两个平面互相垂直．问题3：除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？探究：建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？答案：这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在长方体中发现，如上图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，平面ABB′A′经过平面ABCD的一条垂线AA′，此时，平面ABB′A′垂直于平面ABCD．由此，我们就得到了：两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号语言：若l⊥α，l⊂β，则α⊥β．这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．追问：你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直．设计意图：通过观察生活实例及常见的长方体，让学生理解两个平面互相垂直的判定定理，并用其解释生活中的现象，加深理解．三、知识应用例1 如图，在正方体ABCD − A′B′C′D′中，求证：平面A′BD⊥平面ACC′A′．分析：要证平面A′BD⊥平面ACC′A′，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明平面A′BD经过平面ACC′A′的一条垂线即可，这需要利用AC，BD是正方形ABCD的对角线．例2 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC．分析：要证明两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理，只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面．而由直线和平面垂直的判定定理，还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直，在本题中，由题意可知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC．证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⊙O的直径，∴∠BCA =90°，即BC⊥AC．又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC．又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．总结：证明平面与平面垂直的两种常用方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：①定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线；②证线面：选择恰当的方法证明线面垂直；③证面面：根据面面垂直的判定定理证明．设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理的应用，加深对知识的理解．四、课堂练习1.如图，在正方体ABCD−A′B′C′D′中：（1）求二面角D′−AB−D的大小；（2）求二面角A′−AB−D的大小．2.如图，在四棱锥P­ABCD中，若P A⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形．求证：平面P AC⊥平面PBD．3.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证：（1）P A∥平面BDE；（2）平面P AC⊥平面PBD．参考答案：1.解：（1）在正方体ABCD−A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD．因此，∠D′AD为二面角D′−AB−D的平面角．在Rt△D′AD中，∠D′AD=45°，所以二面角D′−AB−D的大小为45°．（2）同理，∠A′AD为二面角A′−AB−D的平面角．因为∠A′AD=90°，所以二面角A′−AB−D的大小为90°．2.证明：∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥P A．∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．又BD⊂平面PBD，∴平面P AC⊥平面PBD．3.（1）连接AC、OE．∵底面ABCD是正方形，∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点．又点E是PC的中点，∴OE∥AP．又OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥AC．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又AC⊂平面P AC，PO⊂平面P AC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面P AC．又BD⊂平面PBD，∴平面P AC⊥平面PBD．五、归纳总结回顾本节课的内容，你都学到了什么？1.两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．2.判定两个平面垂直的方法：①利用定义，证明二面角为直角；②利用判定定理．。

平面与平面垂直第1课时 平面与平面垂直的判定本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习二面角，平面垂直的定义，平面与平面垂直的判定定理及其应用。

两个平面垂直的判定定理是平面与平面位置关系的重要内容通过这节的学习可以发现:直线与直线垂直、直线与平面垂直及平面与平面垂直的判定和性质定理形成了套完整的证明体系,而且可以实现利用低维位置关系推导高维位置关系,利用高维位置关系也能推导低维位置关系,充分体现了转化思想在立体几何中的重要地位。

这节课的重点是判定定理,难点是定理的发现及证明。

平面与平面的垂直是两个平面的一种重要的位置关系是继教材直线与直线的垂直、直线与平面的垂直之后的迁移与拓展这一节的学习对理顺学生的知识架构体系、提高学生的綜合能力起着重要的作用1教学重点：面面垂直的判定定理；2教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。

多媒体一、复习回顾，温故知新1异面直线所成的角”是怎样定义的？【答案】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a' 2在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？【答案】平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角二、探索新知问题：在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？1二面角的概念1 半平面的定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．2 二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．3 二面角的画法和记法：面1－棱－面2 点1－棱－点2二面角βα--l 二面角Q l P --思考：我们常说“把门开大些”，是指哪个角开大一些， 你认为应该怎么刻画二面角的大小？ （4） 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角如图，l OB l OA ⊥⊥,，则∠AOB 成为二面角βα--l 的平面角 它的大小与点O 的选取无关 二面角的平面角必须满足： ①角的顶点在棱上 ②角的两边分别在两个面内 ③角的边都要垂直于二面角的棱观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构 这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

平面与平面垂直的判定（2）[课题] 平面与平面垂直的判定[教学目标]（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用[教学重点] 平面与平面垂直的判定；二面角的平面角。

[教学难点] 判定定理的应用；如何度量二面角的大小。

[教学突破点]两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况，通过引导学生观察教室相邻的两个墙面与地面构成的二面角的大小，从而引出两个平面垂直的位置关系。

[教学学法设计]教学环节教学活动设计意图（一）创设情景，揭示课题问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

在复习所学过的知识的基础上，从实际背景出发，直观感知面与面所成角的有关情形。

（二）研探新知1、二面角的有关概念上问老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）角二面角图形A通过比较角与二面角的概念，使学生对二面角有一个清晰的认识平面与平面垂直的判定练习与测试（特色班）一。

选择题（共6小题，每小题6分，共36分）1．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角 （ ） 相等 互补 关系无法确定 D 。

相等和互补.A .B .C 2．对于直线和平面，能得出的一个条件是（）,m n ,αβαβ⊥ .A ,//,//m n m n αβ⊥.B ,,m n m n αβα⊥=⊂D 。

“平面与平面垂直的判定”（第一课时）教学设计教学目标知识目标：使学生正确理解“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并掌握二面角的平面角的作法及计算．能力目标：通过组织引导学生参与“二面角”、“二面角的平面角”概念的发现、形成和发展过程，培养学生观察分析的能力、探究能力及空间想象、猜想证明的能力，并能解决有关简单的二面角问题．情感目标：激发学生学习数学的热情，培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神．教学重点二面角的平面角的概念及作法．教学难点二面角的平面角概念的形成过程以及如何根据条件作出二面角的平面角．教学方法引导发现法、类比探索法．教学过程一、创设情境，形成概念前面讨论了两个平面平行的问题，下面将要研究两个相交平面的位置关系．在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，例如修筑水坝时，为了使水坝坚固，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球赤道平面成一定的角度．（教师用多媒体显示模型）再如，公路上的坡面与水平面，打开的门与门框所在的平面等．它们中的两个面成一定的角度．为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角．那么，怎么定义两个平面所成的角呢？（设计意图：从学生所熟悉的实际问题引入，使学生了解数学来源于实际；同时由于多媒体的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．然后引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力．）这就是今天我们研究的主题——二面角（板书）教师：平面几何中“角”是怎样定义的？(教师用多媒体演示角的形成)学生：从平面一点出发的两条射线所组成的图形叫做角．学生：一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角．教师：那么它是由什么构成的？又如何表示？师生共同总结归纳：由射线——点（顶点）——射线构成，表示为∠AOB．再引导学生思考：一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线．（设计意图：通过复习，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为它与我们的生活密不可分，激发学生的求知欲．）类比得出概念：半平面：一个平面的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面．（课件展示） 有了这些，你能根据这个"角"的定义类比出二面角的有关概念吗？半平面——直线——半平面 即：面——棱——面学生：从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱，两个平面叫二面角的面.(教师用课件演示,并出示二面角的定义)（设计意图：创设问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间．教师让学生充分思考，在结合电脑演示，启发学生通过角的定义用类比的方法给二面角下定义）二、讲授新课，展现目标1．二面角的概念：(与平面角类比)从空间一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．（课件展示）（设计意图：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构．）（1）二面角的画法：分直立式与平卧式两种．①直立式②平卧式（设计意图：教师用几何画板演示，课件意在说明二面角的两种常见的画法及其它们的位置特点）（2）二面角的记法：“面1—棱—面2”①以直线l为棱，以α、β为半平面的二面角记作：α—l—β；②以直线l为棱，以平面ABCD、平面A1B1C1D1为半平面的二面角记作：面ABCD—l—面A1B1C1D1或“A—l—A1，等等；③以直线AB为棱，平面CAB、平面DAB为半平面的二面角记作：C—AB—D，等等．（设计意图：另外，教师用课件演示平面的“角”与空间的“二面角”的联系与区别）三、提出问题 探索问题2．二面角的平面角教师提出问题：平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样，一个二面角也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成的，也是一个旋转量（用多媒体演示）．这说明二面角不仅有大小．而且其大小是惟一确定的．那么，如何确定这个旋转量？如何去度量二面角的大小呢？（设计意图：教师提出问题，激发学生的探索欲望，从而培养学生的创造性思维．）让学生主动动手操作并与同学讨论交流，尝试找到度量二面角大小的方法．引导学生思考：异面直线所成角、直线和平面所成角的定义都是以两相交直线所成角度量的，那么用哪个角可以来度量二面角的大小呢？师生共同做实验：找一个角∠AOB 将它放入二面角，把角的顶点O 放在棱上，角的两边分别紧贴在两个面上，能不能用平面的角∠AOB 来度量二面角的大小呢？学生：不能，因为能OA 和OB 都可能绕着点O 在它们所在的半平面旋转，∠AOB 就可能由0゜变化到180゜，这样二面角的大小就不能唯一确定了．（投影几何画板显示实验过程）（设计意图：通过实验，说明在不规定度量方法的情况下，无法确定二面角的大小，这样既激发了兴趣，又培养了学生的动手能力，进一步启疑导思，创设问题情境）教师：如何规定一个简明且便于应用的度量方法来确定其半平面的旋转量，使二面角的大小完全确定下来呢？也就是在二面角如何找出一个平面的角使它能正确反映二面角的大小呢？学生：在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，在α过O 作OA⊥l ，在β过O 作OB⊥l ，射线OA 和OB 组成∠AOB，在棱l 上另取一点O ，按同样方法作∠AOB，由等角定理知'''A O B ∠=∠AOB，可见∠AOB 的大小与O 在棱上的位置无关．β lB A 'O ''p（设计意图：通过实验找到二面角的平面角，既解决了问题，也激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力． 最后教师再利用课件把刚才的实验通过电脑演示出来，以加深同学的印象．）现给出二面角的平面角的定义：（课件出示定义）二面角的平面角---以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．（师生共同总结归纳）二面角的平面角必须具备三个条件：（1）角的顶点在棱上（2）角的两边分别在两个半平面（3）角的两边分别与棱垂直．（设计意图：①学生在参与探讨度量二面角大小方法过程中，生生之间、师生之间互相交流，共同讨论，变单向传递为多向交流，这样既发挥了学生主体作用，又有利于学生协作意识形成和创新能力培养．②通过学生充分参与活动，酝酿议论，画图，归纳，指导学生在归纳的基础上升华．经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义和二面角的度量方法，而且懂得了为什么要这样定义，今后如何给数学概念下定义．）紧接着,教师强调：1.二面角的平面角的围是 []0180︒︒，，当两个半平面重合时，平面角为0︒；当两个半平面合成一个平面时，平面角为180︒．2.直二面角：当二面角的平面角为直角时，二面角叫做直二面角，此时两平面垂直．（课件出示）四、例题讲解，知识深化例1．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求:（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）平面C 1BD 与面ABCD 所成的角的大小；（3）二面角A-B 1D 1-C 的大小．（设计意图：教师用几何画板演示例1几何图形，增强立体感，加强直观，然后学生思考）例2.已知在一个60°的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角度两个面，且垂直于AB 的线段，又知AB ＝4cm ，AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，求CD 的长．（详细见课件）1（例1图） （例2图）（设计意图：两道例题由浅入深，由易到难，既体现了教学的巩固性原则，又兼顾了因材施教的原则．） 引导学生总结求二面角大小的步骤为：（1） 找出或作出二面角的平面角；（2）证明其符合定义；（3）计算.五、课堂练习 巩固知识1、如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点，则二面角P-BC-A 的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是； （答案：B ）2．如图，三棱锥P-ABC 的顶点P 在底面ABC 上的射影是底面Rt △ABC 斜边AC 的中点O ，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C 的正切值． (答案：60 )（第1题） （第2题）六、课堂小结 在学习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统． 同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法．（详见课件）A B CP O A BP C七、课外作业见教材八、教学反思二面角的平面角是学生比较难接受的概念，同时又是本节课的重点容之一，教学中注意应用建构主义的数学学习理论，引导认知主体积极参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，使课堂教学成为学生亲自参与的充满丰富生动的数学思维活动的场所．伴随着学生对知识的产生、发展、应用的全过程，学生进行了一次有意义的再创造活动，形成了一个优化和发展的知识结构，体验到了创造的快乐．在教学过程中，教师从知识的传授转变为知识的“助产士”，使教与学的活动有机地结合在一起．。

平面与平面垂直的判定教案
一、教学目标：
1.理解平面与平面垂直的概念；
2.掌握判断平面与平面垂直的基本方法；
3.能够应用所学知识解决相关问题。

二、教学重难点：
1.掌握平面与平面垂直的判定方法；
2.理解垂直平面间的特点；
3.掌握将垂直平面相关知识运用于实际问题的能力。

三、教学过程：
步骤一：导入与激发学生兴趣（5分钟）
1.引入平面与平面垂直的概念：请学生说出自己了解的平面与平面垂直的特点和判断条件。

2.引导学生思考问题：为什么需要判断平面与平面是否垂直？在哪些实际问题中会用到这个概念？
3.引入本课的主要内容：本课将学习平面与平面垂直的判断方法及其应用。

步骤二：教学内容展示（25分钟）
1.定义：平面与平面垂直是指两个平面的法向量相互垂直，即两个平面法向量的内积为0。

2.公式表示：假设平面1的法向量为n1，平面2的法向量为n2
3.实例演示：通过数学演算，展示平面与平面垂直的判定过程。

4.注意事项：在判断平面与平面垂直时，需要注意法向量的方向是否正确，正负号是否考虑周全。

步骤三：小组讨论与练习（20分钟）
1.分为小组进行讨论：每个小组选择一个实际问题，并结合判断平面与平面垂直的方法进行分析与解决。

2.小组展示与交流：每个小组选派一位代表进行展示，并与全班进行交流与讨论，分享解决问题的思路和方法。

步骤四：拓展与扩展（10分钟）。

平面与平面垂直的判定和性质第三课时教学目标：1．巩固复习二面角的有关概念，进一步培养求二面角的平面角的能力．2．巩固复习面面垂直的定义，熟练掌握面面垂直的判定与性质定理．教具准备：三角板．教学过程：［复习回忆］1．二面角的有关概念．2．作二面角的平面角的一般方法．3．两个平面垂直的判定定理．4．两个平面垂直的性质定理（两个）．［探索研究］例1 在平面四边形中，已知，，ABCD a CD BC AB === 90=∠ABC ，沿将四边形折成直二面角．135=∠BCD AC D AC B --（1）求证：平面平面；⊥ABC BCD （2）求平面与平面所成的角．ABD ACD图1解：如图1，其中（1）是平面四边形，（2）是折后的立体图．（1）证明：∵平面平面，交线为，⊥ABC ACD AC 又∵，，BC AB = 90=∠ABC ∴，．90=∠ACD AC CD ⊥∴⎭⎬⎫⊂⊥BCD CD ABC CD 平面平面平面平面．⇒⊥ABC BCD （2）过点作，为垂足，则平面．又过点在平面B AC BE ⊥E ⊥BE ACD E ACD 内作，为垂足，连结．由三垂线定理可知．∴是二面AD EF ⊥F BF AD BF ⊥BFE ∠角的平面角．C AD B --∵点为中点，∴．E AC a AC BE 2221==又，33sin ==∠AD CD DAC AE EF 33=∴．a a EF 663322=⋅=．3tan ==∠EFBE BFE ∴．即平面与平面所成的二面角为．60=∠BFE ABD ACD 60点评：折叠问题要特别重视线与线的位置关系，有的在折叠前后保持不变，关于它们的计算，可以在平面图形中求得，如本题中在折叠前后不变，四边形90=∠=∠ACD B 的四条边的长也不变．所以，、均可在平面四边形中求得，但有些量折叠BE DAC ∠sin 前后会发生变化，如折叠后不再是，点和点间的距离折叠后也变短了，BCD ∠ 135B D 已经变化了的量切不可用折叠前的数据进行计算．例2 如图2，在立体图中，底面，，垂直平分ABC S -⊥SA ABC BC AB ⊥DE 且分别交、于、，又，，求以为棱，以与SC AC SC D E AB SA =BC SB =BD BDE 为面的二面角的平面角的度数．BDC图2分析：由已给出的线面垂直关系及线线垂直关系，很容易发现平面，∴⊥BD SAC 就是所求二面角的平面角．EDC ∠解：由于，且是的中点，因此是等腰△的底边的中线，BC SB =E SC BE BSC SC 所以．BE SC ⊥又已知，，DE SC ⊥E DE BE = ∴面，∴．⊥SC BDE BD SC ⊥又∵底面，底面，⊥SA ABC ⊂BD ABC ∴，而．BD SA ⊥S SA SC = ∴平面．⊥BD SAC ∵平面平面，=DE SAC BDE ∴，．DE BD ⊥DC BD ⊥∴是所求二面角的平面角．EDC ∠∵底面，∴，．⊥SA ABC AB SA ⊥AC SA ⊥设，则，．a SA =a AB =a SB BC 2==又因为，所以．BC AB ⊥a AC 3=在△中，，Rt SAC 33tan ==∠AC SA ACS ∴，∴，即二面角的平面角的度数为．30=∠ACS 60=∠EDC C BD E -- 60例3 如图3，在底面是直角梯形的立体图中，，面ABCD S - 90=∠ABC ⊥SA ，，，求面与面所成的二面角的平面角的ABCD 1===BC AB SA 21=AD SCD SBA 正切值．图3分析：这是一道求“二面角”的问题，常将两个平面的交线找出，再设法画出所求二面角的平面角．解：延长、相交于点，连结，则是所求二面角的棱BA CD E SE SE ∵，，BC AD //AD BC 2=∴，∴．SA AB EA ==SB SE ⊥∵面，得面面，是交线．⊥SA ABCD ⊥SEB EBC EB 又，∴面，故是在面上的射影，∴，∴EB BC ⊥⊥BC SEB SB CS SEB SE CS ⊥是所求的二面角的平面角．BSC ∠∵，，，222=+=AB SA SB 1=BC SB BC ⊥∴．22tan ==∠SB BC BSC 即所求二面角的平面角的正切值为．22［演练反馈］1．如图4，△的边在平面内，顶点，设△的面积为，它ABC BC αα∉A ABC S在平面内射影的面积为，且平面与△所在平面所成的二面角的平面角为（α1S αABC θ）．求证：． 900<<θθcos 1S S =图42．如图5，矩形中，，沿将△折起后，使点在平面ABCD BC AB <BD ABD A 上的射影恰好是的中点，求二面角的大小．BCD BC E C BD A --图53．已知正方体中，是的中点，求平面与底面D C B A ABCD 111-M 1AA 1MDB 所成二面角的平面角的正弦值（图3）．ABCD图6［参考答案］1．提示：作于点，则就是△的面积，作于点，连α⊥'A A A '1S BC A 'BC AH ⊥H 结，证，，．H A 'BC H A ⊥'θ='∠A AH θcos 1='=AHH A S S 2．提示：作于点，连结，证明，为所求．BD EH ⊥H AH BD AH ⊥AHE ∠，．HAHE AHE =∠cos EH CG AH 2==3．分析：延长交的延长线于，连结，∵，∴M B 1BA G DG AD AB GA ==90=∠GDB 解法一：∵，，AC B B ⊥1DB GD ⊥由三垂线定理，得．1DB GD ⊥为二面角的平面角．DB B 1∠解得．33sin 1=∠DB B 另介绍用射影面积公式解．如果△所在平面与平面所成的二面角的平面角为，且△在平面ABC αβθABC β内的射影为△，则有C B A '''．ABCC B A S S ∆'''∆=θcos 解法二：△在底面上的射影是△，设正方体的棱长为2，则1MDB ABCD DAB ，，设所求的平面角为，则，∴．61=∆MD B S 2=∆ABD S α62cos =α33sin =α［总结提炼］处理折叠问题，关键是认清折叠前后的不变量，当一个二面角的棱在图形中未显示时，那么求这个二面角的首要任务便是找到棱，这往往要用到公理1或公理2，利用来求二面角的平面角的方法很特殊，对于有些问题相当方便，请大家注意记SS '=θcos 忆．布置作业：1．课本习题 11，12，13，14．2．一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，与所成的cm 2AB αβAB α角为，与所成角为，且，，，、是垂足．求平45β 30l =βαl AC ⊥l BD ⊥C D 面与平面所成的角．ABD ABC ［参考答案］1．略．2．解：如图7．图7连结、，可证，，∴，．BC AD β⊥AC α⊥BD 30=∠ABC 45=∠BAD 在△中，，在△中，Rt ACB 330cos == AB BC Rt ADB ．245sin == AB BD 在△中，可求出．Rt BCD 1=CD 又作于，作，交于，则就是二面角AB DE ⊥E AB EF ⊥BC F DEF ∠C AB D --的平面角，由平面，得．⊥AB DEF DF AB ⊥又，∴平面．DF AC ⊥⊥DF ABC ∴．EF DF ⊥∴即为所求二面角的平面角．DEF ∠在△中，，Rt DAB 1=⋅=ABDB DA DE 在△中，，Rt DBC 36=⋅=BC DB DC DF 在△中，，Rt DFE 36sin ==∠DE DF DEF ∴，即平面与平面所成的角为或36arcsin =∠DEF ABD ABC 36arcsin ．36arcsin -π板书设计：1．例13．例32．例2 4．练习。