平面与平面垂直的判定定理

证明两个平面垂直的判定定理一、引言在几何学中，平面垂直是一个基本的概念。

两个平面垂直是指它们的法向量垂直。

本文将证明两个平面垂直的判定定理。

二、定义和符号说明1. 平面：由无限多条互不相交的直线组成的集合。

2. 法向量：与平面垂直且长度为1的向量。

3. 垂直：两个向量夹角为90度。

三、定理陈述若两个平面的法向量相互垂直，则这两个平面是垂直的。

四、证明设平面$P_1$和$P_2$分别由点集合$S_1$和$S_2$上所有点组成，它们的法向量分别为$\vec{n_1}$和$\vec{n_2}$，且$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直。

首先证明，对于任意一个在平面$P_1$上的点$A\in S_1$，其到平面$P_2$上任意一点距离$d(A,P_2)$等于该点到平面$P_2$上任意一点距离$d(B,P_2)$（其中B为在平面上任意取得一个点）。

假设存在一个在平面上任意取得的点B，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

则连接$A$和$B$的线段与平面$P_1$的交点为点$C$，连接$A$和$B$的线段与平面$P_2$的交点为点$D$。

由于$\vec{n_1}$与$\vec{n_2}$相互垂直，则向量$\vec{CD}$在平面上任意取得一条向量$\vec{v}$都与$\vec{n_1}$垂直。

又由于向量$\vec{AB}$在平面上任意取得一条向量$\vec{w}$都在平面内，则向量$\vec{w}$与$\vec{n_1}$垂直。

因此，向量$\vec{v}+\vec{w}$也在平面内且与$\vec{n_1}$垂直。

但是，向量$(\vec{v}+\vec{w})\cdot\cos(\angle ACB)$显然不是法向量。

这与假设矛盾，因此$d(A,P_2)=d(B,P_2)$。

接下来证明，对于任意一个在平面上的点A和B，它们到另一个平面的距离相等。

假设存在一个在平面上任意取得的点C，使得$d(A,P_2)\neqd(B,P_2)$。

两个平面垂直的判定定理
在向量空间中，如果a，b两个平面两两垂直，那么a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交，则称a，b两个平面垂直是满足的。

定理：
令a，b两个平面的法向量分别为n1，n2，则a，b两个平面垂直的充分必要条件是n1n2=0.
证明：
设a，b两个平面垂直，则a，b两个平面对应的法向量n1，n2正交。

取a，b两个法向量n1，n2任意一组，据定理可知，n1n2=0，即可证明a，b两个平面垂直。

反之，设n1n2=0，则n1，n2两个向量无法构建一个正交系统，因此n1，n2不能构成正交标准基；而正交标准基是构建空间的基本单位，因此不存在两个平面两两垂直，从而证明n1n2=0是a，b两个平面垂直的充分必要条件。

综上所述，故以上结论成立，两个平面垂直的判定定理正确。

扩展：
根据以上两个平面垂直的判定定理，可以进行多维空间中任意平面垂直的判定，平行的判定和平面的->.定。

在多维空间中，例如三维空间中，若x，y两个平面垂直，则前提条件必须满足的是：平面的法向量x，y满足n1n2=0。

若两个平面x，y平行，则n1=kn2，其中k是不等于零的实数，
这里n1，n2分别为平面x，y的法向量。

若 x，y 两个平面平行且垂直于 z面，则 n1n2=0且 n1n3（n3为z平面的法向量）=0。

由此可见，通过求解平面的法向量点积，可以确定几个平面之间的垂直或平行关系，从而验证多维空间中任意两个平面垂直的判定定理。

结论：
以《两个平面垂直的判定定理》为标题，本文研究了该定理的定义与证明，并且讨论了该定理在多维空间中的广泛运用。

综上所述，两个平面垂直的判定定理正确。

两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理是解析几何中的基本原理，它可以用来判断两个平面是否垂直。

下面我将以人类的视角，用简练的语言来描述这个定理。

我们先来了解一下什么是平面。

平面是一个无限扩展的二维空间，可以用一个平面上的点和法向量来唯一确定。

垂直是指两个物体或者事物之间的夹角为90度，即呈直角。

而两个平面的垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。

具体来说，设有两个平面A和B，它们的法向量分别为n1和n2。

如果向量n1和向量n2的点积为0，即n1·n2=0，那么平面A和平面B就是垂直的。

这是因为两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而当夹角为90度时，余弦值为0。

这个定理在解析几何中有着广泛的应用。

例如，在空间几何中，我们可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。

在物理学中，我们可以利用这个定理来解决力的合成和分解问题。

在工程学中，我们可以利用这个定理来设计建筑物的结构。

总结起来，两个平面垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。

这个定理在解析几何中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题。

希望通过这篇文章
的描述，读者能够更好地理解和应用这个定理。

2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.1列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直．A．0B．1 C．2 D．32．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D．若a⊥b，b⊥α，则a∥α3如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.6.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是()A. 5 B．25C．3 5 D．459.)正方体ABCD－A1B1C1D1中，面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．10.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为点N.求证：AN⊥平面PBM.11如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角．13．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.14．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：AC⊥B1D；(2)求三棱锥C－BDB1的体积．17.如图，P A⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面P AD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.19.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心.21..在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则( )A.MN ∥C 1D 1B.MN ⊥BC 1C.MN ⊥平面ACD 1D.MN ⊥平面ACC 122.如图，已知P A ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数为________.23.如图所示，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥AD B ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°24.直角三角形ABC 所在平面外有一点S ，且SA ＝SB ＝SC ，点D 为斜边AC 的中点．(1)求证：SD ⊥平面ABC ；(2)若AB ＝BC ，求证：BD ⊥平面SAC ..平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言： ⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝la ⊂αa ⊥l ⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直；②作面的垂线． 特征：线面垂直⇒面面垂直要点四：求点线、点面、线面距离的方法(1)若P 是平面α外一点，a 是平面α内的一条直线，过P 作平面α的垂线PO ，O 为垂足，过O 作OA ⊥a ，连接PA ，则以PA ⊥a ．则线段PA 的长即为P 点到直线a 的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．1．三棱锥S -ABC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝60°，∠ASC ＝60°，SA ＝SB ＝SC ．求证：平面ABC ⊥平面SBC ．2.如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面四边形ABCD 是平行四边形，SC ⊥平面ABCD ，E 为SA 的中点．求证：平面EBD ⊥平面ABCD ．3.．如下图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AC=BC ，D 是AB 的中点。

面面垂直的性质定理
性质定理∶如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。

一、面面垂直
（一）定义
若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。

（二）性质定理
1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。

3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。

4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。

（判定定理推论1的逆定理）
二、线面垂直
（一）定义
如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。

是将“三维”问题转化为“二
维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。

在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的"桥梁"。

（二）判定定理
直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）∶一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

推论1∶如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

推论2∶如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。