量子力学 一维无限深方势阱,线性谐振子,势垒贯穿

第二章 波函数与薛定谔方程（2）

一、填空题

1、一维谐振子处于其能量本征态n,则其动能的平均值为__________；势能的平均值为___________________。

2、一维线性谐振子的量子数取n的波函数为ψn(x)，其定态薛定谔方程为 ，与ψn(x)相对应的能量为 。

3、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 ，体系能量最低的态称为 。

4、线性谐振子的xxdxdH22222212ˆ，α为实数，则其能nE= 。

5、粒子处在ax0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 ，第一激发态的波函数为 。

6、基态是指 的状态，一维线性谐振子的基态波函数为 。

7、一维线性谐振子的第一激发态的能量为 、第一激发态的波函数为 。

8、t=0时体系的状态为xxx300,，其中xn为一维线性谐振子的定态波函数，则tx, 。

9、 称为隧道效应。

答案：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象

10、 的状态称为束缚态，其能量一般为 谱。

10、处于第3激发态的线性谐振子的经典禁区为 。

二、选择题

1、在一维无限深势阱Uxxaxa(),,022中运动的质量为的粒子的能级为

A.22224na B.22228na C.222216na D.222232na.

三、简答题

1、简述德布罗意假设？

答：具有能量E和动量P的自由粒子与一个频率为、波长为的平面波相联系。hphE,。

2、Bohr的原子量子论中，两个极为重要的假定是什么？

答：原子具有离散能量的定态概念；

两个定态之间的量子跃迁和频率条件。

3、德布罗意提出物质波的假定，即具有一定能量E和动量p的实物粒子相联系的波的频率和波长分别为多少？

答：,hEhp

4、德布罗意关系

答：德布罗意关系：粒子的能量和动量与波的频率和波长之间的关系，正象光子和光波的关系一样。,hEhpnk。

5、简述德布洛意物质波假设的内容。设目前肉眼能够看到的最小粒子（设其直径d=10-4厘米）的质量μ=10-12克，速度v=0.1厘米/秒，试计算该粒子的物质波波长（保留三位有效数字），并以此为例说明实物粒子的波动性为何一直未被发现（物理学常数：3410626.6h焦耳·秒）。

答：1923年，德布洛意根据物质世界普遍存在的对称性，认为既然光具有波粒二象性，那么对有质量的粒子也有类似的性质，于是提出了物质波的假设：以能量E，动量p运动的实物粒子表现为频率hE，波长ph的波。

对质量μ=10-12克、速度v=0.1厘米/秒的实物粒子，其物质波波长mmvhph162312341063.6101.010101063.6。

光作为波的主要特征表现在衍射和干涉上。但是光的衍射和干涉却是有条件的，如果光的波长远远小于小孔的直径或双窄缝的间距，则光的小孔衍射和双窄缝干涉现象就不会发生，波的特征就显示不出来。对物质波来说，也应该如此如果。由上面的计算可知，对实物粒子，由于它的物质波波长总是远远小于它的直径，它的波动性显示不出来，在实际中也很难发现实物粒子的波动性。

6、简述德布洛意物质波假设的内容。对电子（直径d≈10-13厘米）其质量μ=9.1×10-28克，若电子经100伏电压加速，试计算此时电子的物质波波长（保留三位有效数字），并以此为例说明，相对于实物粒子，微观粒子为何能表现出明显的波动性。（物理学常数3410626.6h焦耳·秒）。

量子力学课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称、所属专业、课程性质、学分；

课程名称：量子力学

所属专业：物理学专业

课程性质：专业基础课

学 分：4

（二）课程简介、目标与任务；

课程简介：

量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。

本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构，如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。

课程目标与任务：

1.掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法。

2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接；

本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量xL的矩阵元和2xL的矩阵元。

解：depzpyeLrpiyzrpippx)ˆˆ()21()(3

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