经典力学与量子力学中的一维谐振子
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2.7 一维谐振子问题
换言之要求从某一项比如第从某一项比如第n项起以后各项的系数均为零即以后各项的系数均为零即归一化系数55厄密多项式厄密多项式附加有限性条件得到了h的一个多项式该多项式称为厄密多项式记为hn于是总波函数可表示为
一
经典简谐运动 弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
A
x
一维谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题 在经典力学中，简谐振动的定义： 任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
1 V0 k ( x a )2 2
xa
V(x) a 0
V0
x
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
a
x
1 2 V ( x ) kx 2
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基 本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
p p 1 2 2 H V m x 2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
2
2
d 1 2 2 ˆ H m x 2 2m dx 2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
2
2
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
x a
V (a) V0
V x
V 0 0 x a x x a
1 2V V0 2! x 2
一
经典简谐运动 弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
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A
x
一维谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题 在经典力学中，简谐振动的定义： 任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
1 V0 k ( x a )2 2
xa
V(x) a 0
V0
x
取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式：
V(x)
a
x
1 2 V ( x ) kx 2
0
V0
可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往 可以用线性谐振动来近似描述。
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基 本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒 子在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的 普遍概括，而且更是将来场量子化的基础。
经典力学中，一维谐振子的哈密顿
p p 1 2 2 H V m x 2m 2m 2
上式用相应算符代入，得
2
2
d 1 2 2 ˆ H m x 2 2m dx 2
是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。
2
2
————一维谐振子的定态薛定谔方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
x a
V (a) V0
V x
V 0 0 x a x x a
1 2V V0 2! x 2
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
ˆ ˆ H = H ˆ + H ˆ + H
（2）本征方程及其能量本征值
y z
第二章 薛定谔方程
如果系统 Hamilton 量可以写成
x
则必有： 则必有：
E = E x + E y + Ez Ψ = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
因此，设能量本征方程的解为： 因此，设能量本征方程的解为：
E
第二章 薛定谔方程 §8 一维线性谐振子 (ξ)是 项厄密多项式， Hn(ξ)是n项厄密多项式，前4个项厄密多项式分别是
H 0 (ξ ) = 1, H 1 (ξ ) = 2ξ , H 2 (ξ ) = 4ξ − 2,
2
H 3 (ξ ) = 8ξ − 12ξ .
3
ϕ n (ξ ) = (
α π 2 n!
则schrodinger方程可写为第二章薛定谔方程一维线性谐振子取能量单位长度单位取能量单位长度单位此式是一变系数二阶常微分方程设定边界条件束缚态条件意思是谐振设定边界条件束缚态条件意思是谐振子出现在无穷处的概率为零
9.1 坐标空间线性谐振子的哈密顿
（1）何谓谐振子
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
应 用 实 例
=2ξ， 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ， 则根据上述递推关系得出： 则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
从上式出发， 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 厄密多项式的递推关系： dH n = 2nH n −1 (ξ ) dξ H n +1 − 2ξ H n + 2nH n −1 = 0
（2）本征方程及其能量本征值
y z
第二章 薛定谔方程
如果系统 Hamilton 量可以写成
x
则必有： 则必有：
E = E x + E y + Ez Ψ = ψ ( x )ψ ( y )ψ ( z )
因此，设能量本征方程的解为： 因此，设能量本征方程的解为：
E
第二章 薛定谔方程 §8 一维线性谐振子 (ξ)是 项厄密多项式， Hn(ξ)是n项厄密多项式，前4个项厄密多项式分别是
H 0 (ξ ) = 1, H 1 (ξ ) = 2ξ , H 2 (ξ ) = 4ξ − 2,
2
H 3 (ξ ) = 8ξ − 12ξ .
3
ϕ n (ξ ) = (
α π 2 n!
则schrodinger方程可写为第二章薛定谔方程一维线性谐振子取能量单位长度单位取能量单位长度单位此式是一变系数二阶常微分方程设定边界条件束缚态条件意思是谐振设定边界条件束缚态条件意思是谐振子出现在无穷处的概率为零
9.1 坐标空间线性谐振子的哈密顿
（1）何谓谐振子
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系：
应 用 实 例
=2ξ， 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ， 则根据上述递推关系得出： 则根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2
从上式出发， 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 厄密多项式的递推关系： dH n = 2nH n −1 (ξ ) dξ H n +1 − 2ξ H n + 2nH n −1 = 0
量子力学周世勋习题解答第三章
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα2212222p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr ar a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
一维量子谐振子的概率分布.
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子一维量子谐振子波函数量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
一维谐振子与量子力学的简正模
一维谐振子与量子力学的简正模一维谐振子是量子力学中经典物理中的一个重要模型。
它的简正模是量子力学中研究谐振子性质的基本工具之一。
首先，让我们先来回顾一下经典物理中的一维谐振子。
在经典物理中，一维谐振子可以用一个均匀弹性棒和一个固定在一端的质点构成。
弹性棒的弹性系数和质点的质量决定了谐振子的固有频率。
当弹性棒偏离平衡位置时，会受到回复力的作用，使谐振子回到平衡位置，形成周期性的振动。
谐振子的运动可以用振幅、频率和相位等参数来描述。
在量子力学中，一维谐振子的简正模类似于经典物理中的固有频率。
但是，由于量子力学的存在，量子力学中的一维谐振子并不像经典物理中那样，可以处于任意能量状态。
相反，在量子力学中，一维谐振子只能处于一个离散的能量状态，称为简正模。
这些简正模对应于不同的能级，而能级之间的能量差是固定的。
量子力学中的一维谐振子的简正模可以用算符来描述。
算符是量子力学中非常重要的工具，它们用来描述物理量的变换和性质。
对于一维谐振子，位置和动量是两个非常重要的物理量。
对应于位置和动量的算符分别是位置算符和动量算符。
这两个算符满足一些特定的对易关系，这些对易关系决定了一维谐振子的简正模的性质。
例如，位置算符和动量算符之间的对易关系可以写为[x, p] = iħ，其中x表示位置算符，p表示动量算符，[x, p]表示它们的对易子，ħ是普朗克常量除以2π。
这个对易关系表明，位置和动量不能同时精确确定，而是存在一定的不确定性。
这也是著名的海森堡不确定性原理的一个具体体现。
通过求解一维谐振子的定态薛定谔方程，我们可以得到一维谐振子的简正模的波函数形式。
一维谐振子的波函数是一个关于位置的函数，它描述了粒子在不同位置的概率分布。
一维谐振子的简正模的波函数是驻波形式的，也就是说，它在空间中有固定的振动模式。
简正模的波函数是离散的，而且对应的能量也是离散的。
这些简正模的波函数的形式和特性可以用波函数的正交性和归一化条件来求解。
量子力学3.3一维谐振子
量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法，通过观察粒子穿越障碍 物的现象，可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中，粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒，这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布，来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法，通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象，可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中，粒子通过两个相距较近的 障碍物后，会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质，并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验，通过观察电子通过双缝后的干涉 现象，可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中，电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹，类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质，其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中，一维谐振子通常由弹簧和质点组 成，其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比，当能 量增加时，振幅也会增加，导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中，一维谐振子的运动轨迹是确定的 ，可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE
一维谐振子基态和激发态的波函数
标题：深度探讨一维谐振子基态和激发态的波函数一、引言一维谐振子是量子力学中的经典问题之一，它的波函数描述了粒子在谐振势场中的运动状态。
在本文中，我们将深入探讨一维谐振子的基态和激发态的波函数，分析其数学形式和物理意义，以帮助读者更好地理解这一重要概念。
二、基态的波函数让我们来分析一维谐振子的基态波函数。
基态对应能量最低的状态，其波函数通常用Ψ₁(x)来表示。
在一维谐振子中，基态波函数可以用简单的数学形式进行描述：Ψ₁(x) = (mω/πħ)^(1/4) * e^(-mωx²/2ħ)其中，m是粒子的质量，ω是振子的角频率，ħ是约化普朗克常数。
这个波函数描述了基态下粒子在空间中的分布情况，通过对波函数的形式和特性进行分析，我们可以了解到粒子在基态下的基本运动状态和概率分布规律。
在基态下，粒子处于能量最低的状态，波函数的峰值对应着粒子最有可能出现的位置。
基态波函数的特性还可以通过数学手段进行分析，例如计算平均位置、动量期望值等，这些都能帮助我们更好地理解基态下粒子的运动规律和物理性质。
三、激发态的波函数接下来，我们将讨论一维谐振子的激发态波函数。
激发态对应能量高于基态的状态，其波函数通常用Ψ₂(x)来表示。
在一维谐振子中，激发态波函数的数学形式相对复杂一些，但通过分析和理解其特性，我们同样可以获得丰富的物理信息。
激发态波函数通常包含更多的波峰和波谷，描述了粒子在激发状态下的空间分布情况。
通过比较基态和激发态波函数的形式和特性，我们可以发现它们之间的微妙差别，并据此推断粒子在不同能级状态下的运动规律和行为。
激发态波函数的数学性质也具有重要意义，例如其振幅、波长、频率等特征参数都可以提供宝贵的信息。
通过对激发态波函数进行分析，我们可以更全面地理解粒子在谐振势场中的非基态运动状态，为进一步研究和应用提供重要的参考依据。
四、总结与展望通过本文的深度探讨，我们对一维谐振子的基态和激发态波函数有了全面的理解。
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院物理学[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。
本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。
该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。
在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。
普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。
在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。
另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。
因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。
应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。
从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。
因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
谐振子在经典力学与量子力学中的比较
谐振子在经典力学与量子力学中的比较阿丽娅.阿力木 李曜 陆能超 （数理信息学院 物理082）【摘要】谐振子问题既是经典力学，又是量子力学中的一个基本问题。
本文主要介绍了 在Heisenberg 表象中，对于x 、p 、T 、V 和H 的期望值的计算并同经典谐振子的相应力学量进行了比较。
推出经典谐振子动量-位置不确定关系，并且与量子谐振子的不确定关系之间进行比较。
【关键词】经典 量子 谐振子 期望值 不确定关系1、引言经典力学中，一个谐振子乃一个系统，当其从平衡位置位移，会感受到一个恢复力F 正比于位移x ，并遵守胡克定律：F=kx ，其中k 是一个正值常数。
如果F 是系统仅受的力，则系统称作简谐振子（简单和谐振子）。
而其进行简谐运动——正中央为平衡点的正弦或余弦的振动，且振幅与频率都是常数（频率不与振幅相依）。
若同时存在一摩擦力正比于速度，则会存在阻尼现象，称这谐振子为阻尼振子。
在这样的情形，振动频率小于无阻尼情形，且振幅随着时间减小。
若同时存在一与时间相依的外力，谐振子则称作是受驱振子。
力学上的例子包括了单摆（限于小角度位移之近似）、连接到弹簧的质量体，以及声学系统。
其他的相类系统包括了电学谐振子在量子力学里，量子谐振子是经典谐振子的延伸。
其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者，因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。
此外，其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。
量子谐振子可用来近似描述分子振动。
2、经典力学中的谐振子2.1坐标和动量的期望值)sin(cos sin 00ϕωωωωω+-=><+><-=><t A m t p t x m p t（1）式中：2020)()(ωm p x A ><+><= （2）0tan ><><-=x m p ωϕ （3）2.2势能和动能的期望值})]([)(cos {212222t x t A m E t p ∆++=><ϕωω （4） }])([)(sin {212222ωϕωωm t p t A m E t k ∆++=>< （5）其中：0222])()([)()]([>><-=<>><-=<∆t p t p p p t p t t （6） 02022])()([)()]([>><-=<>><-=<∆t x t x x x t x t t （7）2.3哈密顿量的期望值}])([)]({[212122222ωωωm t p t x m A m H t ∆+∆+=>< （8）3、量子中的谐振子3.1升降算符+a 与-a 的引入一维谐振子的Hamilton 量为2222121x m mH pω+= （9） 令+a 、-a 、x 、p 和H 间有如下关系)(21x m ip m a ωω+-=+ （10）)(21x m ip m a ωω++=- （11）)()2(21-++=a a m x ω（12）)()2(21-+-=a a m i p ω （13）)21(2121222+=+=-+a a x m mH pω ω （14） 则有1],[=+-a a ,ω --=a H a ],[,ω ++-=a H a ],[ （15）3.2谐振子在Heisenberg 表象//)(iHt iHt de e t a --= (16)//)(iH t iH t dea et a -++= (17)式(16)对t 求导，并利用对易式(15)，即得方程)(],[)(//t a i e a H e i t a dt d iHt iHt ----==ω（18） 解为ti t i de e a t a ωω----==)0()( （19） 取其共轭，即得ti e a t a ω++=)( （20） 将式(12)、(13)换成Heisenbeg 表象，即得tm pt x e a de m t a t a m t x t i t i ωωωωωωωsin cos )()2()]()([)2()(2121+=+=+=+-+- （21）txm t p de e a m i t a t a m i t p t i t i ωωωωωωωsin cos )()2()]()([)2()(2121-=-=-=-+-+ （22）即中x 即x=(t=0)，P 即P(t= 0)，(21)、(22)在经典力学中也是成立的。
16-4 一维谐振子问题
粒子的动量的平均值： 粒子的动量的平均值：
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
量子力学3.3一维谐振子
x 的 n 次多项式，当 n 为奇数时，只存在奇幂次； 因 H n ( x ) 为
当 n 为偶数时，只存在偶幂次。
( 1) n 。 所以： n ( x ) ( 1) n n ( x ) ，即宇称为
(3) n 有 n 1 个极大值，有 n 个零点（与经典分布不同） ，分 布关于 y 0 对称。
1 2 2 x 2 0 ( x) e 3
（偶宇称）
（奇宇称）
5 n 2, 第二激发态 E2 ， 2 1 1/ 2 x 2 2 2 ( x) (2 x 1)e 2 2
2 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
1 E n (n ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
E n E n 1 E n
即能级是等间距的。 1 E （基态能量） (2)存在零点能 0 。 2 在T 0 时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验所
证实，这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导 致的。
§3.3
一维谐振子
引
言
1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 F k x 作 用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d 2x 2 k x x 2 x 0 k dt 其解为 x A cos t 。这种运动称为简谐振动，作这种运
代入方程(4)得u( )所满足的方程 2 d H dH 2 ( 1) H ( ) 0-------- 3 2 d d
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
量子力学中的一维谐振子问题求解
量子力学中的一维谐振子问题求解量子力学是研究微观粒子行为的一门学科，它描述了微观世界中的粒子的运动和相互作用。
谐振子是量子力学中一个经典的模型，它在多个领域中都有广泛的应用，如原子物理、固体物理和量子计算等。
在本文中，我们将探讨一维谐振子问题的求解方法。
一维谐振子是指一个质量为m的粒子在势能为V(x) = 1/2 kx²的势场中运动。
其中，k是弹性系数，x是粒子相对平衡位置的位移。
根据量子力学的原理，我们可以用薛定谔方程来描述一维谐振子的运动。
薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了粒子的波函数随时间的演化。
对于一维谐振子，薛定谔方程可以写成如下形式：Hψ(x) = Eψ(x)其中，H是哈密顿算符，定义为H = -ħ²/2m d²/dx² + 1/2 kx²。
ψ(x)是波函数，描述了粒子在不同位置的概率分布。
E是能量的本征值，对应于不同的能级。
为了求解一维谐振子的薛定谔方程，我们可以使用分离变量法。
假设波函数可以表示为ψ(x) = φ(x)χ(t)，其中φ(x)是位置的波函数，χ(t)是时间的波函数。
将这个形式代入薛定谔方程，可以得到两个方程：-ħ²/2m d²φ(x)/dx² + 1/2 kx²φ(x) = Eφ(x)iħ dχ(t)/dt = Etχ(t)第一个方程是一个关于位置的定态薛定谔方程，它描述了粒子在不同位置的运动。
第二个方程是一个关于时间的薛定谔方程，它描述了波函数随时间的演化。
对于定态薛定谔方程，我们可以使用数学方法求解。
一种常用的方法是使用升降算符。
升降算符是一对算符，可以将波函数的能级提升或降低一个单位。
对于一维谐振子，升降算符定义为a⁺ = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx + iωx)和a = (ħ/mω)^(1/2)(-d/dx - iωx)，其中ω = (k/m)^(1/2)是谐振子的频率。
量子物理2_Schroedinger方程及其应用(谐振子)
分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似 地看作处于以平衡位置为中心的弹性力场中。 例如：双原子分子中两原子 间的势能 U是其间距 r 的函数。 在稳定平衡点r = r0 处，势能有 r0 一极小值U0。在这点附近，U(r) 可以展成( r -r0 )的幂级数。
U ( r ) 0， 由于 r r r0
, m
2 2mx0 E 2E 记 2
d2 2 ( ) ( )( ) 0 2 d
求解此变系数二阶常微分方程，就可获得波函数。
d 2 2 ( ) 0 2 d 考察波函数( )在 时的渐近行为，发 2 2 2 2 现它在 时很接近 e 或 e 。注意到 波函数的标准条件（概率密度必须有限），只会是
Shrö dinger方程的应用（2）：一维谐振子
1.势能函数 在经典力学中，只要某一个实体在其稳定平衡 点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述 它，振子的振动频率为ω 。若振子离开平衡位置位 移了x0 后作简谐振，总能量 E 正比于 x02 。 若选取振动的平衡位置为坐标原点，并选取其 为势能的零点，则振动的势能函数为 2 2 2 1 1 m x U ( x ) kx 2 2 m — 振子质量 ω— 固有频率 x — 位移零点能Fra bibliotek普朗克量子化假设
E0 0 En n 1 1 En ( n ) E 0 量子力学结果 2 2 [电磁场量子化理论获得的结果是 En ( n 1 2) 不是Planck假设的 En n ]
旧量子论中没有零点能的概念，这是由量子力 学给出的新结果。但可以理解，零点能的存在是为 遵守不确定关系必须的最小能量。 如果最小能量为零，则意味着粒子完全静止， 即 r 0 ; p 0 ，不确定关系破坏。 光被晶体散射的实验证实了零点能的存在。
9 一维线性谐振子ppt
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
一维量子谐振子问题
(2)E<U0的情况： 此时方程为：
k 2 0,
k32 0,
x 0 or x a 0xa
其中，k3
2(U0 E) 。在粒子从左方入射时有：
A eikx B eikx ,
x0
( x) F ek3x G ek3x ,
0 xa
C
e
ik
x
,
xa
让 和 在 x=0 和 x=a 处连续,我们得到4个方程，从中可
U1(x a) C11U1(x) C12U2 (x) U2 (x a) C21U1(x) C22U2 (x)
3.设Ψ(x)为周期场中同一能量的任意解:
(x) AU1(x) BU2 (x) (x a) ( AC11 BC21)U1(x) ( AC12 BC22 )U 2 (x)
i
]
k1
|
A |2
JD
k1
| c |2 ,
JR
k1
|
A |2
透射系数与反射系数为：
D
JD J
(k12
4k12k22 k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
R
JR J
(k12
(k12 k22 )2 sin 2 k2a k22 )2 sin 2 k2a 4k12k22
显而易见： D R 1
在周期场中，薛定谔方程的能量本征函数有且仅有两个
独立的解Ψ1和Ψ2 ，并满足下列性质：
1(x a) 11(x)
证明：
2 (x a) 22 (x)
1. 若Ψ(x)为薛定谔方程的能量本征函数,则Ψ(x+a)应为方程 对应于同一能量的解的本征函数。
2. 设U1(X)、U2(X)为薛定谔方程的独立能量本征函数，因二 次方程只有两个独立的解，故有：
量子力学中的谐振子与一维势阱
量子力学中的谐振子与一维势阱量子力学是研究微观粒子行为的一门学科，它的理论基础是量子力学方程。
在量子力学中，谐振子和一维势阱是两个重要的概念，它们在研究原子、分子和固体物理等领域起着重要作用。
首先，我们来了解一下谐振子。
谐振子是指在一个势能函数下，粒子的运动方式呈现出周期性的振动。
在量子力学中，谐振子的势能函数可以用简谐振动的形式表示，即V(x) = 1/2kx^2，其中k为弹性系数，x为粒子的位移。
谐振子的特征是能级是等间隔的，且能级间的能量差是常数。
这意味着谐振子的能量是量子化的，只能取特定的值。
谐振子在量子力学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，谐振子模型可以用来描述晶格中原子的振动。
在量子化学中，谐振子模型可以用来描述分子中化学键的振动。
此外，谐振子模型还可以用来描述光子的振动，从而解释光的量子性质。
接下来，我们来了解一维势阱。
一维势阱是指在一个无限深的势阱中，粒子的运动受限于一个有限的空间范围内。
在量子力学中，一维势阱的势能函数可以用矩形势阱的形式表示，即V(x) = 0 (0 < x < a)，V(x) = ∞ (x < 0 或 x > a)，其中a为势阱的宽度。
一维势阱的特征是能级是离散的，且能级间的能量差是不等的。
这意味着一维势阱的能量也是量子化的，只能取特定的值。
一维势阱在量子力学中的应用也非常广泛。
例如，在原子物理中，一维势阱可以用来描述原子中电子的运动。
在凝聚态物理中，一维势阱可以用来描述导电性材料中电子的输运。
此外，一维势阱模型还可以用来描述量子点中的电子行为，从而解释量子点的量子尺寸效应。
谐振子和一维势阱在量子力学中的研究不仅仅限于理论模型，还涉及到实验的验证。
例如，科学家可以利用激光冷却技术将原子冷却到极低的温度，从而实现原子在谐振子势场中的运动。
此外，科学家还可以通过制备纳米结构材料来实现一维势阱的模拟，从而研究一维势阱中粒子的行为。
总结起来，量子力学中的谐振子和一维势阱是两个重要的概念，它们在研究原子、分子和固体物理等领域起着重要作用。
一维谐振子在第一激发态下x的平均值
一维谐振子在第一激发态下x的平均值一维谐振子是量子力学中的一个重要模型，它可以用来解释原子和分子的振动。
在一维谐振子的量子力学模型中，我们可以通过求解薛定谔方程来得到系统的能级和波函数。
本文将探讨一维谐振子在第一激发态下x的平均值，并通过数学推导和物理解释进行详细说明。
一、一维谐振子模型1. 一维谐振子的势能函数在一维谐振子的模型中，势能函数可以表示为V(x)= 1/2 kx^2，其中k为弹簧常数，x为粒子的位移。
2. 薛定谔方程一维谐振子的薛定谔方程可以写作(-h^2/2m) d^2ψ/dx^2 + (1/2kx^2)ψ = Eψ，其中h为普朗克常数，m为粒子的质量，ψ为波函数，E为能量。
二、一维谐振子的波函数1. 解薛定谔方程通过数学方法可以求解一维谐振子的薛定谔方程，得到系统的能级和波函数。
在第一激发态下，波函数可以表示为ψ_1(x)。
2. 计算x的平均值一维谐振子在第一激发态下x的平均值可以表示为<x> =∫x|ψ_1(x)|^2 dx，通过对波函数的模平方与x的乘积进行积分求得。
三、x的平均值的物理意义1. 平衡位置一维谐振子在经典力学中具有平衡位置，即势能函数的最小值对应的位置。
x的平均值可以用来描述量子态下粒子的平均位置，与经典力学中的平衡位置相对应。
2. 对称性一维谐振子在量子力学中具有一定的对称性，x的平均值可以帮助我们理解系统在量子态下的对称性质。
四、数学推导1. 波函数的表达式通过求解薛定谔方程，我们可以得到一维谐振子在第一激发态下的波函数ψ_1(x)的表达式。
2. x的平均值计算将波函数的模平方与x的乘积进行积分，即可计算出x的平均值。
五、物理意义解释1. 平均位置x的平均值可以帮助我们理解谐振子在量子态下的平均位置，这有助于我们对系统的性质进行更深入的理解。
2. 波函数的振动一维谐振子在量子态下具有特定的波函数形式，在第一激发态下，波函数会呈现一定的振动特性。
一维谐振子的归一化
一维谐振子的归一化一维谐振子是量子力学中一个重要的模型，用来描述实物粒子在势能为二次函数形式下的运动规律。
归一化则是在量子力学中一个重要的步骤，用来确定波函数的幅度常数，使得波函数的平方积分为1，以满足概率密度的定义。
在下面的文章中，我将逐步回答关于一维谐振子的归一化问题。
首先，我们需要明确一维谐振子的势能函数。
在经典力学中，一维谐振子的势能函数可以表示为一个二次函数，即V(x) = 0.5kx²，其中k是弹性常数，x是谐振子的位移。
接下来，我们需要写出一维谐振子的薛定谔方程。
根据量子力学的原理，一维谐振子的薛定谔方程可以写为：Hψ(x) = Eψ(x)其中H是一维谐振子的哈密顿算符，ψ(x)是谐振子的波函数，E是谐振子的能量。
哈密顿算符H可以表示为动能算符T和势能算符V的和，即H = T + V。
在一维谐振子中，动能算符T可以表示为T = (-h̅²/2m)∂²/∂x²，其中h̅是约化普朗克常数，m是粒子的质量。
将动能算符和势能函数代入薛定谔方程，我们可以得到：(-h̅²/2m)∂²ψ(x)/∂x²+ V(x)ψ(x) = Eψ(x)接下来，我们假设谐振子的波函数可以用一个未知常数乘以一个函数的形式表示，即ψ(x) = Cφ(x)，其中C是待定的幅度常数，φ(x)是归一化的基态波函数。
将上面的形式代入薛定谔方程中，我们可以得到：(-h̅²/2m)∂²[Cφ(x)]/∂x²+ 0.5kx²Cφ(x) = ECφ(x)化简上面的方程，我们可以得到：(-h̅²/2m)C∂²φ(x)/∂x²+ 0.5kx²Cφ(x) = ECφ(x)接下来，我们可以继续简化方程。
首先，我们可以将C和φ(x)移项，得到：(-h̅²/2m)∂²φ(x)/∂x²+ 0.5kx²φ(x) = ECφ(x)/C由于E和C都是常数，我们可以将它们合并为一个新的常数E'，即E' = EC/C，得到：(-h̅²/2m)∂²φ(x)/∂x²+ 0.5kx²φ(x) = E'φ(x)现在，我们将方程进一步简化为无量纲形式。
证明一维谐振子不确定度
证明一维谐振子不确定度标题：证明一维谐振子不确定度简介：本文将通过详细证明的方式，阐述一维谐振子的不确定度原理，展示其与量子力学的关联及应用。
正文：一维谐振子是量子力学中的一个基本模型，其不确定度原理在解释微观粒子的行为中发挥着重要作用。
下面，我们将通过详细的证明来说明一维谐振子的不确定度。
首先，我们将一维谐振子的波函数表示为Ψ(x)，其中x表示位置。
根据量子力学的原理，位置算符为x，动量算符为p。
我们知道，位置和动量之间存在着不确定度关系，即根据海森堡不确定度原理：ΔxΔp≥ℏ/2其中，Δx表示位置的不确定度，Δp表示动量的不确定度，ℏ是普朗克常数。
接下来，我们将证明一维谐振子的不确定度与其能量的不确定度之间存在着特殊的关系。
首先，我们考虑一维谐振子的能量算符E。
根据量子力学的理论，能量算符E与位置算符x有如下关系：E=-ℏ^2/2m*d^2/dx^2+1/2*kx^2其中，m是质量，k是劲度系数。
现在，我们来计算能量算符E的期望值和平方的期望值。
首先，能量算符E的期望值可以表示为：<E>=∫Ψ*EΨdx其中，Ψ*表示Ψ的共轭。
接下来，我们来计算能量算符E的平方的期望值：<E^2>=∫Ψ*E^2Ψdx通过数学计算，我们可以得到：ΔE^2=<E^2>-<E>^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2继续化简，我们可以得到：ΔE^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=∫Ψ*(E^2-E^2)Ψdx=∫Ψ*(E^2-E^2)Ψdx=∫Ψ*(E^2-E^2)Ψdx=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2 =(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2=(∫Ψ*E^2Ψdx)-(∫Ψ*EΨdx)^2通过以上的计算，我们可以得到能量的不确定度ΔE。
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经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院物理学[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。
本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。
该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。
在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。
普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。
在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。
另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。
因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。
应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。
从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。
因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
一个劲度系数为k 的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m 的物体，就构成一个弹簧振子[1]，如图2.1。
当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以O 表示。
沿弹簧长度方向（取作x 轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在O 点两侧作往复运动。
图2.1 弹簧振子2.1 一维谐振子的运动方程图2.1中的物体可视为一个质点。
设x 代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力kx F -=，其中k 为劲度系数。
负号表示F 与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。
由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：kx xm -= 即 02=+x x ω （2.1.1）这是一个二阶的常系数线性微分方程。
令mk =ω （2.1.2） ω即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。
将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解：iwt iwt Ne Me t x -+=)( （2.1.3）)sin(ϕω+=t A这就是谐振子的运动方程[2]。
其中M 和N 是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。
A 是振幅，ϕ是初相位。
（2.1.3）式表明质点应作简谐振动[2]。
2.2 一维谐振子的能量在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。
因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。
由（2.1.3）式可知，振子的速度为：)cos(ϕωω+==t A dtdx v 振子的动能为：)(cos 21)(212122222ϕωω+===t C m dt dx m mv E k 由（2.1.2）式，有： )(cos 2122ϕω+=t kA E k （2.2.1） 由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为ω2。
振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：2021kx Fdx E xp =-=⎰ 即为：)(sin 2121222ϕω+==t kA kx E p （2.2.2） 由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为ω2。
因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为：221kA E E E p k =+= （2.2.3） 由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒[3]。
（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（m 和k 给定，因而ω给定），总能量与振幅的平方成正比[3]。
振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。
3 量子力学中的一维谐振子在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。
因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。
3.1 用运动方程求解的一维谐振子我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点。
取谐振子的平衡位置0r 为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有0)(0=r E p 。
仅考虑一维情况。
由于kz j y i x r ˆˆˆ+-= 在x 轴方向分振动的谐振子在x 处的势能可以表示为：221)(kx x E p = （3.1.1） 势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图3.1所示：图3.1 一维谐振子的势能一维谐振子的经典哈密顿函数为：22212kx m p H += 设振子的原子质量为μ，则振子的频率为：mk =ω 振子的哈密顿算符可以写为： 22222ˆ212x m dx d m H ω+-= 相应的定态薛定谔方程)(ψψE H = 为：)()()212(22222x E x x m dx d m ψψω=+- （3.1.1） 这是一个二阶线性微分方程。
如果振子的运动不受限制，x 的变化范围为+∞<<∞-x 。
当∞→x 时，（3.1.1）式的解一般为无穷大，表示振子在无穷远处的几率为无穷大。
这不符合物理要求。
但若振子的能量E 取下列特殊值[4]：ω )21(+=n E )2,1,0( =n （3.1.2） 其中 为普朗克常数，ω为经典力学中谐振子的频率。
则对每一个n 值，方程（3.1.1）都有一个在全区间+∞<<∞-x 中有界的解。
而且当∞→x 时，这个解趋于零。
这显然符合对谐振子问题的物理要求。
与（3.1.2）式的能量值相应的关于定态波函数的解为： )()(2x H Ae x n x αψα-= （3.1.3） 其中0>=hkm α，)(ξn H 是E 的一个n 次多项式，称为厄米多项式[4]。
其前四项为：1)(0=ξH ξξ2)(1=H24)(22-=ξξHξξξ128)(33-=H 由于)(x H n α是x 的n 次多项式，且0>α。
因此，当∞→x 时，（3.1.3）式趋于零。
由（3.1.2）式知，在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关，只依赖于振子的固有特性---振子的本征频率ω。
（3.1.2）式还表明[5]，频率为ω的振子其能量的改变只能是能量单元ω 的整数倍。
这一点同普朗克的能量子假设是一致的。
但量子力学中振子的最低能级（基态能量）不再是零而是ω 21，称为零点能[5]。
它充分体现了粒子具有波粒二象性。
3.2 坐标表象中的一维谐振子粒子系统的状态用以空间坐标为自变量，以时间为参量的波函数),(t r 来描述，这种表示形式称为坐标表象[6]。
下面从谐振子的哈密顿算符出发，求解谐振子的能量本征值和定态波函数，并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较，给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。
一维谐振子的哈密顿算符为：22222212x m dx d m H ω+-= 坐标表象中，振子的定态薛定谔方程为：)()()212(22222x E x x m dx d m ψψω=+- 引入没有量纲的变量ξ代替x ，它们的关系是x x m αωξ≡≡ ωαm =ωλ E 2=（3.2.1） 以ω2乘以式（3.1.1），利用式（3.1.2）和式（3.1.3），薛定谔方程可改写为 0)(222=-+ψξλψξd d （3.2.2） 这是一个变系数的二阶常微分方程。
当ξ很大时，λ与2ξ相比可以略去，因而在±∞→ξ时，（3.2.2）式可以写为：ψξξψ222=d d 它的解是ψ～22ξ±e 。
因为波函数的标准条件要求当±∞→ξ时，ψ应为有限，所以对波函数只取指数上的负号：ψ～22ξ-e 。
根据上面的讨论，我们把ψ写成如下形式来求（3.2.2）式的解：)()(22ξξψξH e -= （3.2.3）（3.2.3）式代入（3.2.2）式可得)(ψH 满足方程：0)1(222=-+-H d dH d H d λξξξ（3.2.3） 用级数解法，把H 展开成ξ的幂级数，来求着方程的解。
这个级数必须只含有限项，才能在±∞→ξ时使)(ξψ为有限；而级数只含有限项的条件是λ为奇数：12+=n λ， 2,1,0=n代入（3.2.1）式即可得谐振子的能级为：)21(+=n E n ω ， 2,1,0=n （3.2.4） 可见,谐振子的能量只能取分立值，两相邻能级间隔均为ω ，即：ω =-+n n E E 1在坐标表象中可以明显看出：是描述粒子波动性的波函数)(x ψ受到势能场的约束使能谱分立。
与（3.2.4）式定态能量对应的定态波函数：)()(222x H eN x n x n n αψα-= 式中2121)!2(n N n n πα=是归一化常数，它由归一化条件1)()(*=⎰∞∞-dx x x n n ψψ确定。
图3.2中画出了3,2,1,0=n 的几率密度2n ψ（图中实线），图中虚线是经典谐振子的平均位置密度。
从图3.2可见，经典谐振子不能进入A x >的区域。
而量子谐振子能进入这种区域，但进入以后指数衰减。
可见，量子振子和经典振子完全不同，但当n 增大时，n E E ∆减小，量子振子向经典振子过渡。
图3.2 一维谐振子的位置几率密度分布 3.3 粒子数表象中的谐振子以粒子数算符的本征矢|n 〉为基矢的表象称为占有数表象[7]，又叫粒子数表象。
我们可以通过引入升降算符求解谐振子，求出谐振子的能量本征值以及坐标算符xˆ和动量算符p ˆ的矩阵元。
一维谐振子的经典哈密顿函数为：22212kx p H +=μ （3.3.1） 在量子力学里，谐振子的哈密顿算符具有同一形式：222ˆ21ˆ21x p H μωμ+-= （3.3.2） 将经典泊松括号换成量子泊松括号：[]1ˆ,ˆ-=PB p x → []1ˆ,ˆ-=p x i由xˆ与p ˆ的对易关系： [] i x p p x p x =-=ˆˆˆˆˆ,ˆ （3.3.3）定义两个非厄米算符aˆ和+a ˆ： )ˆ1ˆ(2ˆx pi xa μωμω+=)ˆ1ˆ(2ˆx pi x a μωμω-=+ （3.3.4） 这两个非厄米算符满足如下基本对易关系：][1ˆ,ˆ=+a a （3.3.5） 则（3.3.4）式的逆变换关系为： )ˆˆ(2ˆa a x +=+μω（3.3.6） )ˆˆ(2ˆa ap -=+μω 利用（3.3.6）式，代入（3.3.2）式，并考虑对易关系（3.3.5），哈密顿算符又可表示为：)21ˆˆ(ˆ+=+a a H ω （3.3.7） 由于Hˆ与算符a a ˆˆ+仅仅相差一个常数矩阵，所以只需求解a a ˆˆ+得本征值问题。