经典力学与量子力学中的一维谐振子

经典力学与量子力学中的一维谐振子

[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。

[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布

1 前言

所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。

一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。

本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。

2 经典力学中的一维谐振子

在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规

律，反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。

一个劲度系数为k 的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m 的物体，就构成一个弹簧振子[1]，如图2.1。当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以O 表示。沿弹簧长度方向（取作x 轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在O 点两侧作往复运动。

图2.1 弹簧振子

2.1 一维谐振子的运动方程

图2.1中的物体可视为一个质点。设x 代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力kx F -=，其中k 为劲度系数。负号表示F 与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：

kx x

m -= 即 02=+x x ω （2.1.1）

这是一个二阶的常系数线性微分方程。令

m

k =ω （2.1.2） ω即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解：

iwt iwt Ne Me t x -+=)(

（2.1.3） )sin(ϕω+=t A

这就是谐振子的运动方程[2]。其中M 和N 是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A 是振幅，ϕ是初相位。（2.1.3）式表明质点应作简谐振动[2]。

2.2 一维谐振子的能量

在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以

从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。

由（2.1.3）式可知，振子的速度为：

)cos(ϕωω+==t A dt

dx v 振子的动能为：

)(cos 2

1)(212122222ϕωω+===t C m dt dx m mv E k 由（2.1.2）式，有： )(cos 2122ϕω+=

t kA E k （2.2.1） 由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为ω2。

振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：

202

1kx Fdx E x

p =

-=⎰ 即为：

)(sin 2

121222ϕω+==t kA kx E p （2.2.2） 由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为ω2。

因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为：

22

1kA E E E p k =+= （2.2.3） 由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒[3]。（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（m 和k 给定，因而ω给定），总能量与振幅的平方成正比[3]。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。

3 量子力学中的一维谐振子

在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。

3.1 用运动方程求解的一维谐振子

我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点。

取谐振子的平衡位置0r 为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有

0)(0=r E p 。仅考虑一维情况。由于k

z j y i x r ˆˆˆ+-= 在x 轴方向分振动的谐振子在x 处的势能可以表示为：

221

)(kx x E p =

（3.1.1） 势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图3.1所示：

图3.1 一维谐振子的势能

一维谐振子的经典哈密顿函数为：

22

21

2kx m p H +=

设振子的原子质量为μ，则振子的频率为：

m k

=ω

振子的哈密顿算符可以写为：

22222ˆ21

2x m dx d m H ω+-=

相应的定态薛定谔方程)(ψψE H = 为：

)()()212(2222

2x E x x m dx d m ψψω=+- （

3.1.1）