当前位置：文档之家 › 9 一维线性谐振子ppt

9 一维线性谐振子ppt

  • 格式：ppt
  • 大小：411.00 KB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维谐振子(共22张PPT)

2020年高中物理竞赛-量子力学-波函数：一维谐振子(共22张PPT)

n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
Nn
2020高中物理学 奥林匹克竞赛
量子力学 （基础版）
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
1/
2 2n
n!
1/
2
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 别名 • 母系(母函数) • 仇家(正交性)
§2.5 一维谐振子
厄米多项式的讨论 • 兄弟姊妹(递推关系) • 对称性 • 节点
§2.5 一维谐振子
最低阶的几个厄米多项式及谐振子波函数
§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator

量子力学3.3一维谐振子

量子力学3.3一维谐振子

量子隧道效应实验
总结词
量子隧道效应实验是用来验证量子力学中隧 道效应的实验方法，通过观察粒子穿越障碍 物的现象，可以证明粒子具有穿越障碍物的 能力。
详细描述
在量子隧道效应实验中，粒子在一定能量下 可以穿越高于其自身能量的势垒，这种现象 被称为量子隧道效应。实验中可以通过测量 穿越势垒的粒子数量和能量分布，来验证量 子力学中隧道效应的预测。
子不同。
干涉实验
总结词
干涉实验是用来验证量子力学中波动性 质的另一种实验方法，通过观察粒子在 通过两个相距较近的障碍物后产生的干 涉现象，可以进一步验证量子力学的正 确性。
VS
详细描述
在干涉实验中，粒子通过两个相距较近的 障碍物后，会在屏幕上产生类似于水波通 过两个相距较近的小孔后产生的干涉条纹 。这进一步证明了粒子具有波动性质，并 且其行为方式与经典物理中的粒子不同。
05
CATALOGUE
一维谐振子的实验验证
双缝实验
总结词
双缝实验是用来验证量子力学中波动性质的经典实验，通过观察电子通过双缝后的干涉 现象，可以证明电子具有波动性。
详细描述
在双缝实验中，电子通过双缝后会在屏幕上产生干涉条纹，类似于水波通过两个相距较 近的小孔后产生的干涉现象。这表明电子具有波动性质，其行为方式与经典物理中的粒
经典力学中的一维谐振子
1
在经典力学中，一维谐振子通常由弹簧和质点组 成，其运动方程为 Hooke定律。
2
一维谐振子的能量与其振幅的平方成正比，当能 量增加时，振幅也会增加，导致系统的不稳定性 。
3
在经典力学中，一维谐振子的运动轨迹是确定的 ，可以用经典力学方程进行描述。
02
CATALOGUE

量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)

量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)

则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： 分别满足如下三个方程：
ˆ H xψ n ( x ) = E n ψ n ( x ) 1 1 1 ˆ H yψ n 2 ( y ) = E n 2 ψ n 2 ( y ) ˆ H zψ n 3 ( z ) = E n 3ψ n 3 ( z )
n
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
( x − a)2
x=a
∂2V 其中： k 其中： = 2 ∂x
1 = V0 + k( x − a)2 2
V(x) a 0
V0
x=a
x
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
取新坐标原点为(a, 取新坐标原点为(a, V0)，则势可表示为 标准谐振子势的形式： 标准谐振子势的形式：
V(x) a x
1 2 V( x) = kx 2
∫
若取V 0， 若取V0 = 0，即平衡 位置处于势 V = 0 点，则
1 2 2 V = mω x 2
量子力学中的线性谐振子 就是指在该式所描述的势 场中运动的粒子。 场中运动的粒子。

线性谐振子量子力学课件

线性谐振子量子力学课件

对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。

一维线性谐振子

一维线性谐振子
1
22()p p p ???=-==?? 1()2x p n ???=+h ， 对于基态， 2 x p ???=h 。 2.4 一维谐振子处在基态222 2 ()x i t x αωψ-=，求：
(1)势能的平均值222 1 x U µω= ； (2)动能的平均值µ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 （解法一）： * 22*20 00022 01112221.422V m x dx m dx E x m ψωψψωψα ωω ∞ ∞-∞-∞=??=??===??h h L L L L 或者 222 * 002220221 442 p d T dx m m dx E m ψψαω==-===?h h h （二 ）（1）? ∞ ∞ --== dx e x x U x2 2 22222121α π α µωµω µωµωαµωα παπαµωη?==?=
023(,0)()()()x x x cu x ψ=++， 式中n u 是线性谐振子的第n 个本征函数。 （1）试求c 的数值； （2）写出在t 时刻的波函数； （3）在0t =时谐振子能量的平均值是多少？1t =秒时是多少？ 解：（1
(2 1 )(2)(27 ) (2 1)(222222224222224222 2 2222x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψµωψµωωψψµωψµωµψµµωψµωψαµψµαψµωψµ==+-= +-??=+-=+-=右边）（左边ηηηηηηηηη 只有当ωη2 7 =E 时，左边 = 右边，即 3n =。 )32(3)(3321 2 2x x e dx dxx ααπαψα -= -， 是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ωη27 。 2.7： 0t =时，处于谐振子势2 12 V kx = 中的一粒子波函数波函数

9 一维线性谐振子ppt

9 一维线性谐振子ppt
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标

E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2

1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2

§9-2 一维谐振子

§9-2 一维谐振子 一维谐振子的哈密顿是222221Xm P m H ω+=(9.13)几种不同的方法求它的本征矢量和本征值.直接矢量计算 用X 和P 构造两个辅助算符:A =12m ω(m ωX +i P )(9.14) A †=12m ω(m ωX - i P )(9.15)于是X =2m ω(A †+ A )(9.16) P = i2ωm (A †-A ) (9.17)H =12 ω (A †A +AA †)= ω(A †A +12) (9.18) 用直接矢量计算的代数方法求 H的本征值和本征矢量。

得到谐振子的本征值谱:E n = ω(n +12) , n = 0,1,2,3, (9.26)A †对 |n 〉的作用:111†++=-=n n n A n n n A (9.27)上二式亦可写成nn n A nn n A n n 1110†0++=-=∑∑∞=∞= (9.28)从(9.27)知A (A †)是谐振子本征矢量的下降(上升)算符。

哈密顿H 的本征矢量就是A †A 的本征矢量,它们可以由一个基态 |0〉用A †算出:0)(!1†n A n n = (9.29)有了哈密顿H 的全部本征矢量,可以在希尔伯特空间中建立能量表象,用H 的本征矢量{|n 〉}作为基矢.A ,A †的矩阵元为1+,1,1+1+11n m nm n m n m n n n m n A m A n n n m n A m A δ=〉|+|〈=〉||〈=δ=〉-||〈=〉||〈=- (9.30)矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=03002000010000 , 300002000010†A A(9.31)矩阵的行列序号按0,1,2,3, 次序排列.算符X 和P 在能量表象中的矩阵元如下:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==03003020020100102)+(2†ωωm A A m X (9.32) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-=03003020020100102i )(2i †ωωm A A m P (9.33) 现在利用上面的结果,方便地求出谐振子的哈密顿各本征矢量的位置表象的形式 ψn (x )=〈x |n 〉,以便看出处于各本征态的粒子在物理空间中的概率分布.在位置表象的函数形式中,xP x X ∂∂-== i ˆ ,ˆ 把(9.27)写成位置表象形式:)()()d d (21)(ˆ1x n x x A n n n -=+=ψψξξψ (9.34) )(1)()d d (21)(ˆ1†x n x x A n n n ++=-=ψψξξψ (9.35)式中x mωξ=(9.36) 首先求ψ0(x )=〈x |0〉.由于|0〉满足A |0〉=0,此式的位置表象形式为0)()d d(210=+ξψξξ——一阶微分方程.选用 ξ 代替x 作自变量使运算过程中的常数简化.该方程的解是221410e )(ξωξψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛π= m (9.37) 前面的系数使ψ0(x )归一化.有了ψ0(x ),可以利用(9.35)用上升算符 A†依次求出ψ1,ψ2,有)()ˆ(!1)(0†ξψξψn n A n =)(H e2!122141ξωξn n m n -⎪⎭⎫ ⎝⎛π=(9.38)式中22e d d e)1()(H ξξξξ--=n n n n (9.39)为厄米多项式;而ξ =()m x ω .在能量表象中计算 该方法的要点是, 采用H 表象，把有关的算符关系写成矩阵关系,设法用代数方法求出其矩阵元.采用H 表象的优点是算符H 在自己表象中成为对角矩阵,使矩阵元关系大大简化.推出结果:E i = ω ( i +12) , 0,1,2,i = (9.46)P i ,i +1 =m i ω21+ (9.47)其余的量为:P i ,i -1 =m i ω2X i ,i +1 = i21m i ω+X i ,i -1 = -i2m i ω当j ≠i ±1时X i j 和P i j 的矩阵元均为零.与其它方法的结果一致.在位置表象中计算 在位置表象中,谐振子的定态薛定谔方程是一个二阶微分方程:0)()2(+)(d d 222222=-x x m E x x m ψωψ (9.48)通常用级数解法直接解该方程.ψ(x )必须是束缚态这一条件导致能量E 只能取离散值:E n = ω (n +12) , n = 0,1,2,3, 而相应的本征函数ψn (x )就是(9.38).该解法在初等量子力学中常用.在动量表象中讨论 在动量表象的函数形式中,算符 X和 P 为 p P pX=∂ ∂=ˆ , i +ˆ 谐振子的哈密顿(9.13)式为H m p m p =-12122222ω d d 2若用φ (p )表示动量表象中的波函数,则φ (p )满足的薛定谔方程为)()(d d 212122222y E y p m p m φφω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 改变自变量,令p =m ωy ,则上式成为0)(21+)(d d 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y m E y y m φωφ 发现,动量表象中的薛定谔方程的形式完全同位置表象中的薛定谔方程(9.48)一样.这是谐振子本身的特点,即其哈密顿算符对X 和P 具有对称性所造成的.该方程与(9.48)形式相同,其解可以比照(9.48)的解写出;令α =m ω,则有E n = ω (n +12) , n =0,1,2,3,φn(y )=c n2221e y α-H n (αy )=c n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-p m n p m ωω1H e221(9.49)式中c n 是归一化常数,411!21⎪⎭⎫ ⎝⎛π=ωm n c n n 得知,一维谐振子在其每一个定态中,粒子的动量概率的分布情况与位置概率的分布情况具有相同的性质.。

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。

在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。

谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。

一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。

谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。

波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。

概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。

在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。

通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。

1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。

在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。

谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。

波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。

谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。

波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。

通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。

谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子是一个模型系统，用于描述在一个势场中受到恢复力的一个粒子的运动。

它是一个简化的模型，适用于描述很多实际情况，比如弹簧弹性，分子振动等。

一维线性谐振子的波函数可以通过解薛定谔方程得到。

对于一个无散射（即没有能量损失）的谐振子，其波函数可以表示为一个傅里叶级数的形式。

换句话说，任意一个能量的波函数都可以看作是一系列具有不同振幅和相位的谐波的叠加。

波函数在空间中的分布可以用概率幅表示。

概率幅的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度。

波函数的平方可归一化，即在整个空间上的积分等于1，这意味着粒子必须位于某个位置上。

概率幅的幅角代表了粒子的相位信息。

为了可视化一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以用不同颜色的函数图像来表示波函数的实部和虚部。

我们可以用不同的灰度来表示概率幅的模的平方，较亮的表示概率较大的区域，较暗的表示概率较小的区域。

我们还可以用动态的方式来展示波函数和概率分布随时间的演化。

随着时间的推移，波函数会不断变化，概率分布也会发生变化。

我们可以通过调整时间的参数来改变波函数和概率分布的演化速度。

我们还可以通过调整谐振子的参数来观察波函数和概率分布的变化。

改变势场的强度可以改变谐振子的频率，改变势场的形状可以改变谐振子的波函数的空间分布等等。

通过以上的可视演示，我们可以更直观地理解一维线性谐振子的波函数及概率分布的性质和行为，提升我们对量子力学的理解和认识。

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示

一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 引言概述一维线性谐振子是量子力学中的一个经典模型，它的波函数和概率分布是量子态的基本描述。

谐振子模型是许多物理问题的重要近似，可以用来描述原子振动、分子振动、晶格振动等现象。

通过分析谐振子的波函数和概率分布，我们可以更好地理解量子系统的性质和行为。

在本文中，我们将介绍一维线性谐振子模型的基本原理和数学表达，探讨谐振子的波函数和概率分布的性质，以及它们之间的关系。

通过可视化模拟实验，我们将展示谐振子波函数和概率分布在空间中的变化规律，帮助读者更直观地理解量子态的特性。

通过本文的研究，我们希望能够深入探讨一维线性谐振子的波函数和概率分布，为量子力学的学习和研究提供更清晰的视角。

我们也期待通过可视化演示，帮助读者更好地理解量子态的概念和性质。

1.2 研究背景一维线性谐振子是量子力学中一个重要的模型系统，它具有丰富的物理行为和广泛的应用领域。

研究线性谐振子的波函数和概率分布可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。

在物理学的发展历程中，谐振子模型一直被广泛应用于描述原子、分子、固体物质、振动系统等多种物理系统，因此对一维线性谐振子的波函数和概率分布进行深入研究具有重要的理论意义和实际应用价值。

通过对谐振子波函数和概率分布的分析，可以揭示量子系统的波动性质和粒子分布规律。

研究一维线性谐振子的波函数及概率分布具有重要的科学意义和应用价值，可以促进量子力学理论的深化和应用技术的发展。

1.3 研究目的我们的研究目的是通过对一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示，帮助读者更直观地理解量子力学中的基本概念和现象。

通过对谐振子模型的介绍，波函数和概率分布的分析，以及它们之间关系的探讨，我们希望能够帮助读者建立起对量子力学中波函数和概率分布之间重要关系的深刻理解。

通过可视化模拟实验，我们将展示不同参数对谐振子波函数和概率分布的影响，帮助读者更好地理解量子态的性质。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
N nx ny nz 0,1, 2,3
1 Ei (ni ), 2
• 有
3 E ( N ), 2
• 对于个给定的N ， nx , n y , nz 可以有不同的组合 方式 (n , n , n ) • N 0 ， x y z 只有一种可能（0，0，0） • 本征函数为 000 0 ( x)0 ( y ) 0 ( z ) • 能量本征值 E0 3
2
e
2 2
u ( )
(u u )
d 2 2 2 e [u 2 u ( 2 1)] d 2
u ( ) 满足的方程
u 2 u (2 1)u 0
n 0,1,2,......
• 其解是一个无穷级数。为了满足束缚态条件，该级数必须 中断为多项式。只有当
• 上式三个方括号分别是三个独立坐标变量x, y, z的 函数，它们的和为一个常数E, 因此，三个方括号 必须分别是与坐标变量无关的常数：
•
2 1 2 1 ( ) m 2 x 2 E x 2m x 2 2
2 1 2 1 ( ) m 2 y 2 E y 2m y 2 2
2 1 2n,
或
n (n 1 2)
n 0,1,2,......
• u ( ) 的解为Hermite 多项式 H n ( )
• 9.3谐振子的能量本征值和本征函数
n n
1 2

2
n 0,1, 2,....
2
n ( ) cn e
H n ( )
H n ( ) 满足正交归一条件



H m ( )H n ( )e
2
d 2 n n! mn
• 据此可以得到归一化常数 cn ( 2 n n !) 1 2 • 还原到原来量纲的能量本征值和本征函数 •
En (n 1 ) 2
1 2 1 2 x2 n ( x) ( ) e 2 H n ( x) 2n n !
d 2 (2 2 ) 0 d 2
• A)方程的渐进形式和渐进解 d 2 • 方程的渐进形式 2 • 渐进解 • 舍去 e
e
2

2
d
2 0
2
e
2 2
2
保留
（束缚态）
• B) 在 为有限的区域, 令
d 2 e d
ˆ p2 1 2 2 1 ˆ H m 2 r 2 m 2 r 2 2m 2 2m 2 2 2 2 2 1 ( 2 2 2 ) m 2 ( x 2 y 2 z 2 ) 2m x y z 2
• 定态薛定谔方程 • ˆ (r ) E (r ) H 可以分解为3个一维谐振子的方程。令
N 1
( nx , n y , nz )
• 能量本征值
(三重简并）
• 能量量子数 N，能量本征值 •
E ( N 3 ) 2
f 1 ( N 1)( N 2) 2
• 简并度为
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2

1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2

x m
x

m
•
1 d2 ( 2 2 ) ( ) ( ) ( x) ( ) 方程： 2 d
• 在边界条件 解方程
• 即求解：
, ( ) 0 之下求
1 d2 ( 2 ) ( ) ( ) 2 d 2
2
•
可选为（1，0，0），（0， 1，0），（0，0，1）共三种方式，相应的本征函 数为 100 1 ( x)0 ( y ) 0 ( z ) 010 0 ( x)1 ( y ) 0 ( z ) 001 0 ( x)0 ( y ) 1 ( z )
E1 5 2
2 1 2 1 ( ) m 2 z 2 E z 2m z 2 2
Ex E y Ez E
• •
( x), ( y), ( z)
Ex , E y , Ez
分别是一维谐振子的本征函数， 是本征值。利用前面的结果：
ni 0,1, 2, , i x, y, z
§9 一维线性谐振子
• 9.1 一维线性谐振子的Hamiltonian • 经典力学中，一维谐振子的Hamiltonian
p2 p2 1 H V m 2 x 2 2m 2m 2
• 势场
•
园频率
k m 是弹性系数， 是谐振子震荡
2
2 ˆ ˆ F V m xex kxex
子化的.谐振子能量的本征值有下界而没有上界， ( x) 1 E ，也称零点能，是 它的下界是基态能量 2 一个非零的正值， 没有经典对应。
0
•
B.谐振子的能量的本征函数组成正交、归一的
完全系
m ( x) n ( x)dx mn
• 谐振子的全部本征函数的集合{ n } 组成完全系，即 任何一维坐标变量的函数 （要求它的绝对值的 平方是可以积分的），都可以用{ n } 展开：
（1）
(r ) ( x, y, z) ( x) ( y) ( z)
• 代入（1）
2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( 2 2 2 ) ( x) ( y ) ( z ) m ( x y z ) ( x) ( y ) ( z ) 2m x y z 2 E ( x) ( y ) ( z )
x n ( x)
2
[ n n 1 ( x) n 1 n 1 ( (i )
[ n n 1 ( x) n 1 n 1 ( x)]
• E.本征函数加上相应的时间因子是谐振子的可能状态，
这些可能状态称为定态。定态的叠加不再是定态，但 是仍然是薛定谔波方程的解，仍然是谐振子的可能状 态。 • 如果初始时刻制备在某一个本征态 m ( x，那么任意时 ) i 刻它都将处在这个定态 E t
m ( x, t ) m ( x)e

m
• 如果初始时刻制备在某一个叠加态
( x)
1 2 [ 0 ( x) 1 ( x)]
• 那么t时刻它的状态是
( x, t )
1 2 [ 0 ( x)e
i E0t
1 ( x )e
i E1t
]
• 9.5 三维各向同性谐振子 • 1. 定态schrodinger方程 • Hamiltonian
( x) an n ( x)
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标

E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 V m 2 x 2 2
对应于弹性恢复力
• 量子力学：把x和p都对应为算符。 • 在位置空间中，位置坐标x是相乘算符，而 动量 是对位置坐标的微分算符， p i ˆ x 一维谐振子的Hamiltonian算符
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
• 两端同除以 ( x) ( y) ( z ) ：
2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 [ ( ) m x ] [ ( ) m 2 y 2 ] 2m x 2 2 2m y 2 2 2 1 2 1 [ ( ) m 2 z 2 ] E 2m z 2 2