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一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示一维线性谐振子是量子力学中重要的模型系统之一，它被广泛应用于许多领域，包括原子物理、分子物理和固体物理等。
在本文中，我们将会进行一维线性谐振子的波函数及概率分布的可视演示，通过图像和数学方程式的结合，来帮助读者更直观地理解这一重要模型系统。
一维线性谐振子的哈密顿量可以写成如下形式：\[ \hat{H} = -\frac{\hbar}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} +\frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]m为谐振子的质量，ω为谐振频率，ħ为普朗克常量。
谐振子的能量本征态满足薛定谔方程:\[ \hat{H}\psi(x) = E\psi(x) \]E为能量本征值，ψ(x)为波函数。
下面，我们将通过数学方程式和图像的结合，来展示一维线性谐振子的波函数及概率分布。
我们首先绘制一维线性谐振子的前几个能级的波函数图像。
通过数值计算和图像化技术，我们可以得到一维线性谐振子在不同能级下的波函数的形状。
在这些波函数图像中，我们可以看到波函数在空间中的分布情况，以及不同能级下波函数的节点、振荡等特性。
这样一来，读者可以更直观地理解一维线性谐振子的波函数在空间中的分布规律。
接下来，我们将展示一维线性谐振子的概率分布。
一维线性谐振子的概率分布可以通过波函数的模长的平方来表示:\[ P(x) = |\psi(x)|^2 \]通过绘制一维线性谐振子在不同能级下的概率分布图像，我们可以直观地展示谐振子在空间中的概率分布情况。
这可以帮助读者更加清晰地了解一维线性谐振子的概率分布规律。
通过波函数及概率分布的可视演示，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子模型系统的性质。
通过图像和数学方程式的结合，我们可以直观地看到一维线性谐振子的波函数在空间中的分布情况，以及概率分布的特性。
这样一来，读者可以更加深入地理解一维线性谐振子系统的物理本质。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示【摘要】本文旨在通过可视化演示一维线性谐振子的波函数和概率分布，探讨其量子力学性质。
首先介绍谐振子的波函数表达式和概率分布公式，然后通过可视化模拟展示波函数和概率分布特点。
通过能量本征态的可视演示，读者能够直观理解量子态的离散性质。
展示概率分布的模拟结果，加深对量子力学概念的理解。
本文结论总结了数值模拟结果，展望未来可能的研究方向，为进一步探究量子力学提供参考。
通过本文，读者可以更加直观地理解一维谐振子的波函数和概率分布特性，为量子力学研究提供可视化参考。
【关键词】一维线性谐振子、波函数、概率分布、可视演示、能量本征态、数值模拟、未来研究方向1. 引言1.1 研究背景在量子力学中，谐振子是最简单且最常见的系统之一，它是一种被广泛研究的模型系统。
谐振子在物理、化学、工程等领域都有广泛的应用，包括描述原子、分子的振动、描述晶格中的声子、描述弹簧振子等。
由于谐振子系统的简单性和重要性，人们对谐振子的波函数和概率分布进行深入研究，以揭示系统的性质和行为。
研究谐振子的波函数和概率分布有助于理解系统的量子态，揭示系统的波动性质和运动规律。
通过对谐振子的波函数和概率分布进行分析，人们可以更好地理解系统的状态和演化，从而为实际应用提供指导和支持。
1.2 研究目的研究目的是通过对一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示，深入理解量子力学中谐振子体系的特性。
通过对波函数表达式和概率分布公式的解析，探讨谐振子体系的能量本征态和波函数形式的特点。
通过可视化模拟展示谐振子波函数及概率分布随时间的演化过程，直观地展现谐振子体系的波动性质。
对能量本征态进行可视演示，帮助理解不同能级下的波函数特征。
根据概率分布的模拟结果，分析谐振子系统在不同状态下的概率密度分布，从而得出对谐振子体系行为的深入理解。
通过本研究，旨在为量子力学中谐振子体系的研究提供可视化的工具和直观的展示方式，为未来的研究方向提供参考和启发。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示一维线性谐振子是量子力学中的经典问题之一，在量子力学课程中通常会涉及到。
谐振子模型是一个简单而又具有代表性的量子系统，它是探索量子力学基本原理和方法的理想实验对象。
本文将通过可视化的方式来展示一维线性谐振子的波函数及概率分布，帮助读者更直观地理解这一经典问题。
一维线性谐振子的哈密顿量可以写为：\[ H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2}m\omega^2x^2 \]\(m\) 是谐振子的质量，\(\omega\) 是振子的频率，\(\hbar\) 是普朗克常数除以\(2\pi\)。
一维线性谐振子的波函数满足薛定谔方程：\[H\psi(x) = E\psi(x)\]其中\(n\)为非负整数。
接下来，我们将通过可视化的方法来展示一维线性谐振子的波函数及概率分布。
我们将使用Python中的numpy和matplotlib库来进行数值计算和可视化。
我们定义一维谐振子的波函数：\[\psi_n(x) = \left( \frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n\left( \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m\omegax^2}{2\hbar}}\]\(H_n(x)\)是厄米多项式。
接下来，我们将通过计算得到一维谐振子的波函数及其概率分布，并通过可视化展示出来。
```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport scipy.special as sps# 一维线性谐振子的波函数def wave_function(x, n, m, omega, hbar):prefactor = (m*omega/(np.pi*hbar))**0.25 * 1/np.sqrt(2**n * sps.factorial(n))hermite_poly = sps.eval_hermite(n, np.sqrt(m*omega/hbar)*x)gaussian_factor = np.exp(-m*omega*x**2/(2*hbar))return prefactor * hermite_poly * gaussian_factor# 计算一维谐振子的波函数及概率分布x = np.linspace(-5, 5, 1000)m = 1.0 # 质量omega = 1.0 # 频率hbar = 1.0 # 普朗克常数除以2πn_values = [0, 1, 2] # 前三个能级plt.figure(figsize=(12, 8))# 绘制波函数for n in n_values:psi = wave_function(x, n, m, omega, hbar)plt.plot(x, psi, label=f'n={n}')plt.xlabel('x')plt.ylabel('Psi(x)')plt.title('Wave function of 1D harmonic oscillator')plt.legend()plt.grid(True)plt.show()```通过上述代码，我们得到了一维线性谐振子前三个能级的概率分布，并通过matplotlib库将其可视化展示出来。
量子谐振子的各态概率分布量子谐振子是量子力学中一个重要的模型，它在许多领域中都有广泛的应用。
其概率分布描述了谐振子在不同能级上的可能性，这对于研究量子系统的行为有着重要的意义。
首先，我们来回顾一下谐振子的基本概念。
量子谐振子是一个受束缚的粒子，在一个势能为二次函数形式的势场中运动。
其哈密顿算符可以表示为：$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$$其中，$\hat{p}$表示动量算符，$\hat{x}$表示位置算符，$m$表示质量，$\omega$表示振动频率。
为了研究量子谐振子的概率分布，我们需要解谐振子的定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程可以写成：$$\hat{H}\psi=E\psi$$其中，$\psi$表示波函数，$E$表示能量。
解这个方程可以得到一系列的能级和对应的波函数。
每一个能级对应一个量子数$n$，表示谐振子的激发态。
基态对应$n=0$，第一激发态对应$n=1$，以此类推。
接下来，我们来研究谐振子的概率分布。
概率分布可以通过波函数的模的平方来描述。
对于谐振子的定态，波函数的模的平方可以表示为：$$P(x)=|\psi(x)|^2$$其中，$x$表示位置。
对于谐振子的基态，波函数的模的平方呈现出一个高斯分布的形状。
这是因为基态波函数是一个简单的振动模式，其形状类似于经典谐振子的振动。
高斯分布的峰值位于平衡位置，随着位置的偏离，概率逐渐减小。
对于激发态，波函数的模的平方呈现出多个峰值的分布。
这是因为激发态波函数表示了谐振子在多个能级上的可能性。
每个峰值对应一个能级，随着能级的增加，峰值的数量也增加。
除了位置概率分布，谐振子的动量概率分布也是非常重要的。
动量可以通过位置算符和动量算符之间的关系来计算。
谐振子的动量算符可以表示为：$$\hat{p}=m\omega\hat{x}$$动量概率分布可以通过动量算符在动量本征态上的投影来计算。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示1. 引言1.1 介绍一维线性谐振子概念一维线性谐振子是量子力学中常见的模型之一，它是一种简单但非常重要的系统。
在一维线性谐振子中，质点受到一个与位移成正比的恢复力作用，该系统的势能函数可以表示为一个二次函数。
谐振子是一种能永远保持振动的系统，其运动的频率只取决于系统的质量和弹性常数，而与振幅和初相位无关。
一维线性谐振子在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在分子振动、固体声子、原子力显微镜等领域都有着重要作用。
谐振子模型的基本方程是薛定谔方程，通过求解薛定谔方程可以得到谐振子的波函数和能量本征值。
波函数描述了谐振子在不同位置处的可能性振动状态，它可以用来计算系统的物理量，如位置、动量、能量等。
概率分布是描述粒子在不同位置或状态的可能性的函数，对于一维线性谐振子而言，概率分布可以帮助我们了解系统的稳定性和振动行为。
在量子力学中，概率分布是一个非常重要的概念，它反映了粒子在不同态中的出现可能性，是描述微观粒子行为的关键工具。
通过研究一维线性谐振子的波函数和概率分布，我们可以深入理解量子系统的性质和行为，为进一步的物理研究提供基础和指导。
1.2 谐振子波函数的意义谐振子波函数是描述谐振子系统状态的数学函数。
在量子力学中，波函数是描述微观粒子运动及性质的基本工具，而谐振子波函数则是描述谐振子系统可能状态的函数。
谐振子波函数的意义在于通过波函数的数学表达，我们可以揭示谐振子系统的量子性质，如能级结构、态的叠加等。
波函数的意义还在于它可以用来计算系统的物理量，比如位置、动量、能量等的期望值。
谐振子波函数的意义还体现在其具有很强的几何意义。
波函数的模的平方代表了在空间中找到粒子的概率密度，而相位则含有波函数的相对相位信息。
通过波函数的几何意义，我们可以直观理解谐振子系统的量子态分布规律，如波函数的振幅大小和位置分布的关系等。
谐振子波函数的意义在于提供了描述谐振子系统状态的数学工具，揭示了系统的量子性质和几何结构。
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子一维量子谐振子波函数量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院物理学[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。
本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。
该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。
在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。
普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。
在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。
另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。
因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。
应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。
从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。
因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
一维线性谐振子波函数及概率分布的可视演示
一维线性谐振子是量子力学中的经典问题之一，它的波函数和概率分布在物理学中有着重要的意义。
在本文中，我们将通过可视演示的方式，来展示一维线性谐振子的波函数及其概率分布。
一维线性谐振子是指在一维空间中，受到线性回复力作用的质点。
它的势能函数可以表示为V(x) = 0.5 * k * x^2，其中k为弹簧的弹性系数，x为质点与平衡位置的位移。
让我们来看一维线性谐振子的波函数是怎样的。
根据量子力学的定态方程，一维线性谐振子的波函数可以表示为：
Ψ(x) = A * exp(-0.5 * (m * ω * x^2 / ℏ)) * Hn(m * ω / ℏ)^0.5(x),
其中A为归一化系数，m为质点的质量，ω为振子的频率，ℏ为普朗克常数，Hn为厄米多项式。
通过对波函数的可视化，我们可以看到谐振子波函数在位移x方向上的变化规律，以及不同能级的波函数形态。
P(x) = |Ψ(x)|^2,
通过对概率分布的可视化，我们可以看到不同能级的概率分布形态，以及在不同位置上质点的出现概率。
这有助于我们更直观地理解一维线性谐振子在空间中的分布规律。
除了波函数和概率分布的可视化演示，我们还可以通过改变谐振子的参数（如弹簧的弹性系数、质点的质量、振子的频率等），来观察波函数和概率分布的变化规律。
这有助于我们更深入地理解一维线性谐振子的量子特性。
通过可视演示一维线性谐振子的波函数及其概率分布，我们可以更直观地理解量子力学中的经典问题，有助于我们在学习和研究中更好地理解和运用相关概念。
希望本文能对读者有所帮助，激发对量子力学的兴趣和深入探索。
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子 一维量子谐振子 波函数 量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica 绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过 ，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m 的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k ，物体m 在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m 的质点在做简谐振动的过程中用x 来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
当x 很小时，质点受力为F ，则力F 和x 之间的线性关系为kx F -=，并且可知弹簧的弹性力是线性回复力，弹簧振子作简谐振动，再根据牛顿第二定律：kx dtx d m -=2， 所以得运动微分方程为：x x mkx 2''ω-=-=， 在此中mk=2ω（决定于弹簧的劲度系数和滑块的质量），由此可以得到一个比较普遍的定义。
比如质点运动的动力学方程为0222=+x dtx d ω的形式，也可以将它的解为)cos(φω+=t A x 。
相应的，质点的动量的表达式为i t B i t mA i p i x m p x )sin()sin(φωφωω+-=+-=='=，这里出现的km A B = 。
这个质点的动量的方向为x 方向的分量。
还有一种典型的谐振子，那就是单摆，在研究单摆模型中，要用长度不可变的轻线悬挂一个小球，我们把小球看作为质点，质点所受的的合力为质点的重力和悬挂线拉力的合力，使得质点在竖直的平面内沿圆弧摆动，并且要求摆动相对于悬线竖直位置的夹角很小，把这个夹角记作θ 。
现在分析质点在沿运动方向所受的力为弧线的切线方向，记作F 。
质点的质量为m ，切向力F 的大小为θsin mg ，且当θ=0这个位置时，-+-=!5!3sin 52θθθθ··· ，所以当θ角很小时，就可以略去级数展开式中的高次项，即θθ≈sin ，这样切向力就可写成θmg F -=，从公式中就可以看出来，切向力和角位移反号，使得质点总要返回平衡位置，已知F 力是线性回复力，所以会做简谐振动，可以得出单摆的动力学方程，假设线长为l ，所以：θθmg dt l d m -=22)( ，θθl g dtd -=22 ，令2ω=l g即，可得到：0222=+θωθdtd 这样得到的结果和弹簧振子得到的结果是一样的，所以单摆得到的也是一个简谐振动。
3.量子谐振子比如在一维的系统内粒子的势能m 212ω2x ，其中ω是常量，这种形式的称为线性谐振子。
例如，两原子势能与x 的关系，其中在两原子间距中有一个稳定平衡点，把这一点记作a ，在x=a 处，势能U 具有极小值，即0=∂∂x U ，这样就可以写成U=2)(20a x kU -+，式中的k 和U0是常数，这就是一维线性谐振子的势能，通常情况下，一个体系平衡位置附近的运动都可以用线性谐振子来表示。
谐振子的势能为2221x m ω ，且坐标和时间可表示为)sin(δω+=t a x ，我们把a 作为振幅，δ是初相。
我们选择适合的坐标系，领粒子势能为2221x m ω ，为了更加方便，我们引入了无量纲的变量ξ来代替x ，所以该体系的 薛定谔方程为：0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m其中的关系为x x m αωξ==，其中ωαm =。
令ωλ E2=，以ω2乘方程0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m ， 由 x x m αωξ== 和ωαm =式， 薛定谔方程变化为：0)(222=-+ψξλξψd d 我们当ψ在±∞→ξ时的渐近时，也就是ξ非常大时，可得λ和2ξ相比可略去， 所以在±∞→ξ时，方程可表示为：0)(222=-+ψξλξψd d可以写成为ψξξψ222=d d ，该解为 22ξψ±≈e ，因此这就是方程0)(222=-+ψξλξψd d 的渐近解。
波函数标准的条件是，当±∞→ξ 时，ψ应该为有限的，因此取指数的负号，即22ξψ-≈e。
所以就可以把ψ写成以下形式， 从而求得方程0)(222=-+ψξλξψd d 的解为：)()(22ξξψξH e -= ，从上式中求得的函数)(ξH 在自变量为有限时应有限的，而且当±∞→ξ时，这样就的让)(ξH 必须保证)(ξψ为有限。
将)()(22ξξψξH e-=代入方程0)2(22222=-+ψωψx m E dx d m 先求出)()(22ξξψξH e-=式的二级微商：22)(ξξξξψ-+-=e d dH H d d2222222)2(ξξξξξξψ-++--=ed H d H D dH H d d将上式代入0)(222=-+ψξλξψd d 式中，可得到)(ξH 所能满足的方程：02)1(22=+--ξξξλd Hd d dH H 把H 展成关于ξ的幂级数，而且级数只含有限的项的条件是λ为奇数：12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 将式代入2公式ωλ E 2=后，就可得到线性谐振子的能级为)21(+=n E ω ，n=0,1,2,3··· 因此，两个相邻能级的间隔均为ω ，线性谐振子的基态能量为ω 210=E （n=0），这个被称之为零点能。
这个在量子力学中是特有的，在旧量子论中没有。
4．能量的最小值根据不确定关系（测不准关系）可以的到动量和坐标的关系， 因为i p p x x x =- ， =k于是得到：4)()(222≥∆∆x p x这个就是坐标和动量的关系，2)(x ∆和2)(x p ∆不能同时为零，其中坐标x 的均方偏差越小，那么它的共轭的动量的均方偏差就越大。
对于线性谐振子的零点能，我们可以利用不确定关系：4)()(222≥∆∆x p x其中振子的平均能量是：222212x m m p E ω+= ，得到坐标的期望值是：⎰=+∞∞-∂-∂xdxx H e nnx N x )(2222 ， 该式中积分号下的函数是关于x 的奇函数，动量的期望值：⎰=+∞∞-∂-∂-∂∂dxX H edxd x H en N x nx N ip )]([)(2222222分步积分后：p N ip dxX H edxd x He n N x n x -=⎰-=+∞∞-∂-∂-∂∂)]([)(2222222均方差公式：2222222)()(F F F F F F F F F -=+-=-=∆因为0=x ，0=p ，得到22)(x x =∆ ，22)(p p x =∆ ，将其代入222212x m m p E ω+=得线性谐振子的能量期望值：222)(212)(x m m p E ∆+∆=ω又由于不确定关系使2)(x ∆和2)(x p ∆不能同时为零，所以E 的最小值也就不能为零，并且必须是有限的正值。
为了求得E 的最小值，使得4)()(222≥∆∆x p x 取等号，即可得到：222)(4)(x p x ∆=∆ 将该式代入222)(212)(x m m p E ∆+∆=ω式，得到2222)(21)(18x m x m E ∆+∆=ω 将此式对2)(x ∆求导就得到了E 的最小值，又由ωm x 2)(2=∆ ，得到了E 的最小值为ωm 21。
从以上关系可以看出，线性谐振子的基态能量是由不确定关系所求得的最小值。
5．线性谐振子波函数对于12+=n λ ，且n=0,1,2,3··· 中不同的n 或者不同的λ ，在方程02)1(22=+--ξξξλd Hd d dH H 中有着不同的解)(ξn H ，我们把)(ξn H 称之为厄米多项式，也可以用22)1()(ξξξξ--=e d d eH nn nn 来表示。
其中的)(ξn H 的最高次幂是n ，并且它的系数是n2 ，所以就可以利用22)1()(ξξξξ--=e d d eH nn nn 推出)(21ξξ-=n nnH d dH 0)(2)(2)(11=+--+ξξξξn n n nH H H]2[222)2(]2[!)1(...)2)(1()2()(nn n n n n z n n z n n H ---++--=ξξ式中的⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=2)1(2]2[n nn ，n 为偶数时为2n ，当n 为奇数时为2)1(-n 。
从而得到了几个厄米多项式：10=H ξ21=H2422-=ξH ξξ12833-=H 124816244+-=ξξHξξξ12016032355+-=H 120720480642466-+-=ξξξH ξξξξ38478013441283577-+-=H1680108488280358425624688+-+-=ξξξξH ξξξξξ95043417638064921651235799+-+-=H 3024021427221739214064023040102424681010-+-+-=ξξξξξH由)()(22ξξψξH e-=得到的关于能量n E 的波函数，即)()(22ξξψξn n n H eN -=或)()(222x H eN x n x n n αψα-=式中的n N 是归一化因子，所以利用归一化条件:n n n n dx x x ''+∞∞-=⎰,*)()(δψψ（其中归一化因子2121)!2(n N n n πα=） 。
