二次函数性质的再研究与幂函数练习(学生用)

幂函数与二次函数

目录

第一部分：基础知识.................................................2

第二部分：高考真题回顾.............................................3

第三部分：高频考点一遍过...........................................3

高频考点一：幂函数的定义........................................3

角度1：求幂函数的值..........................................3

角度2：求幂函数的解析式......................................4

角度3：由幂函数求参数........................................4

高频考点二：幂函数的值域........................................6

高频考点三：幂函数图象..........................................8

角度1：判断幂函数图象........................................8

角度2：幂函数图象过定点问题.................................10

高频考点四：幂函数单调性.......................................13

角度1：判断幂函数的单调性...................................13

角度2：由幂函数单调性求参数.................................14

角度3：由幂函数单调性解不等式...............................15

高频考点五：幂函数的奇偶性.....................................18

课时作业(七)　二次函数与幂函数

基础过关组

一、单项选择题

1．已知幂函数f(x)＝(m

2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( )

A．1 B．2

C．1或2 D．3

解析　因为函数f(x)为幂函数，所以m2

－3m＋3＝1，即m2

－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2。

当m＝1时，幂函数f(x)＝x2

为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3

为奇函数，不满足条

件。故选A。

答案　A

2．已知幂函数f(x)的图象过点(

2，1

4)

，则函数g(x)＝f(x)＋x2

4的最小值为( )

A．1 B．2

C．4 D．6

解析　设幂函数f(x)＝xα

。因为f(x)的图象过点(

2，1

4)

，所以2α

＝1

4，解得α＝－2。所以函数f(x)＝

x

－2，其中x≠0。所以函数g(x)＝f(x)＋x2

4＝1

x

2＋x2

4≥

21

x2·x2

4＝1，当且仅当x＝±

2时，g(x)取得最小

值1。

答案　A

3．若函数f(x)＝x

2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为( )

A．－3 B．2

C．－2 D．1

解析　函数f(x)＝x2

－2x＋m图象的对称轴为x＝1<3，二次函数图象的开口向上，所以f(x)在[3，

＋∞)上是增函数，因为函数f(x)＝x2

－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即9－6＋m

＝1，解得m＝－2。故选C。

答案　C

4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax

2＋bx＋c的图象可能是( )

解析　由A，C，D知，f(0)＝c<0。因为abc>0，所以ab<0，所以对称轴x＝－b

2a>0，知A，C

错误，D符合要求。由B知f(0)＝c>0，所以ab>0，所以x＝－b

2a<0，B错误。

答案　D

5．已知函数f(x)＝3x

2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )

A．{0，－3}

B．[－3,0]

C．(－∞，－3]∪[0，＋∞)

D．{0,3}

考点测试8 二次函数与幂函数

高考概览

高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度

考纲研读

1．了解幂函数的概念

2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象，了解它们的变化情况

3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质

4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题

一、基础小题

1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0，3)，则函数的解析式为( )

A．y＝2x2＋x＋3 B．y＝2x2＋3

C．y＝2x2＋x－3 D．y＝2x2－3

答案 B

解析 由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0．又过点(0，3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3．故选B．

2．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则f(8)的值为( )

A．4 B．2 C．22 D．1

答案 C

解析 设f(x)＝xα，由条件知f(4)＝2，所以2＝4α，α＝12，所以f(x)＝x12，f(8)＝812＝22．故选C．

3．已知函数f(x)＝x2－2x＋m，若f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)，则fx1＋x22的值为( )

A．1 B．2 C．m－1 D．m

答案 C

解析 由题意知，函数的对称轴为直线x＝x1＋x22＝1，所以fx1＋x22＝f(1)＝m－1．故选C．

4．函数f(x)＝－2x2＋6x(－2≤x≤2)的值域是( )

A．[－20，4] B．(－20，4)

C．－20，92 D．－20，92

答案 C

解析 由函数f(x)＝－2x2＋6x可知，该二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝32，当－2≤x<32时，函数f(x)单调递增，当32≤x≤2时，函数f(x)单调递减，

∴f(x)max＝f32＝－2×94＋6×32＝92，f(x)min＝min{f(－2)，f(2)}，又f(－2)＝－8－12＝－20，f(2)＝－8＋12＝4，∴函数f(x)的值域为－20，92，故选C．

第4节 幂函数与二次函数

最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

知 识 梳 理

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象(抛物线)

定义域 R

值域 4ac－b24a，＋∞ －∞，4ac－b24a

对称轴 x＝－b2a

顶点坐标 －b2a，4ac－b24a

奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数

单调性 在－∞，－b2a上是减函数；

在－b2a，＋∞上是增函数 在－∞，－b2a上是增函数；

在－b2a，＋∞上是减函数

[微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当a>0，Δ<0时恒有f(x)>0，当a<0，Δ<0时，恒有f(x)<0.

基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)