幂函数与二次函数专题练习

二次函数与幂函数练习题一、题点全面练1．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数解析：选D 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，所以y ＝x 12.故选D. 2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c ＜0，所以排除B ，故选D.3.二次函数f (x )的图象如图所示，则f (x －1)>0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2]D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 根据f (x )的图象可得f (x )>0的解集为{x |－1＜x ＜2}，而f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移一个单位得到的，故f (x －1)>0的解集为(0,3)．故选B.4．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选D ∵y ＝x 23(x >0)是增函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，∴a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，∴b ＜a ＜c .5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4,2)B ．(－2,4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C 依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x ＜－4.6．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，b ＝f (ln π)，c＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c ＜a ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选A 根据题意，m －1＝1，∴m ＝2，∴2n＝8， ∴n ＝3，∴f (x )＝x 3.∵f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数， 又－12＜0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫130＝1＜ln π，∴c ＜a ＜b .7．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4.答案：[0,4]8．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为________．解析：∵函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2的图象的对称轴为直线x ＝1，且f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，∴当a ≥1时，f (a )＝(a －1)2＝4， ∴a ＝－1(舍去)或a ＝3；当a ＋2≤1，即a ≤－1时，f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，∴a ＝1(舍去)或a ＝－3； 当a ＜1＜a ＋2，即－1＜a ＜1时，f (1)＝0≠4. 故a 的取值集合为{－3,3}． 答案：{－3,3}9．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )，可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)， 由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1，a >0， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋ha， ∴|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1,2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . ∴g (x )图象的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x >0，－f x ，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x >0，－x ＋2，x ＜0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题可知，f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，∴－2≤b ≤0，故b 的取值范围是[－2,0]．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为直线x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则－1＜x 1＜x 2＜0，根据图象知，x 1＜p＜x 2，故p ＋1>0，则f (p ＋1)>0.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x 2-3n n(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x －2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2,3]D ．[1,2]解析：选B 由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.4．若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2在区间[－5,5]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ， 因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞)5．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．解析：Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a >0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a >0的解为x ≠a －2， 显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ>0，即a ＜1或a >4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a >0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a >4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]． 答案：(1,5](二)技法专练——活用快得分6．[更换主元法]对于任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B 原题可转化为关于a 的一次函数y ＝a (x －2)＋x 2－4x ＋4>0在[－1,1]上恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧－x －＋x 2－4x ＋4>0，x －＋x 2－4x ＋4>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x ＜2，x >2或x ＜1⇒x ＜1或x >3.故选B.7．[分离参数法]方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－235解析：选C 方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解转化为方程a ＝2－x2x在区间[1,5]上有解，即y ＝a 与y ＝2－x 2x 的图象有交点，又因为y ＝2－x 2x ＝2x－x 在[1,5]上是减函数，所以其值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1，故选C.(三)难点专练——适情自主选8．函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0解析：选C 如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2＜32，当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立，∴1≤g (x )＜32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选C.9．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f b －f ab －a，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，设x 0为均值点，所以f－f －1－－＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2)。

课时作业(七)　二次函数与幂函数基础过关组一、单项选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3解析　因为函数f (x )为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2。

当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件。

故选A 。

答案　A2．已知幂函数f (x )的图象过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析　设幂函数f (x )＝x α。

因为f (x )的图象过点(2，14)，所以2α＝14，解得α＝－2。

所以函数f (x )＝x －2，其中x ≠0。

所以函数g (x )＝f (x )＋x 24＝1x 2＋x24≥21x 2·x 24＝1，当且仅当x ＝±2时，g (x )取得最小值1。

答案　A3．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－2D ．1解析　函数f (x )＝x 2－2x ＋m 图象的对称轴为x ＝1<3，二次函数图象的开口向上，所以f (x )在[3，＋∞)上是增函数，因为函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即9－6＋m ＝1，解得m ＝－2。

故选C 。

答案　C4．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析　由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0。

因为abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b 2a>0，知A ，C错误，D 符合要求。

由B 知f (0)＝c >0，所以ab >0，所以x ＝－b 2a<0，B 错误。

第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第05节 二次函数与幂函数A 基础巩固训练1. 若函数2()f x x bx c =++对任意x ∈R 都有(1)(3)f x f x -=-，则以下结论中正确的是（ ）A ．(0)(2)(5)f f f <-<B ．(2)(5)(0)f f f -<<C ．(2)(0)(5)f f f -<<D ．(0)(5)(2)f f f <<- 【答案】A2. 【2017湖北稳派教育检测】已知 ，当时，的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】B 【解析】取，则.所以.故选B.3. 当时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】对任意，都有，故当时，函数的图象全在直线下方的函数有和 ，而函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，所以选A.4）【答案】A【解析】x ＜0时，3()f x x =是增函数，排除C 、D ，x ≥0B ，选A.5．【2017）A. 0x R ∃∈，使得()0f x <B. ()()0,,0x f x ∀∈+∞≥C. [)12,0,x x ∃∈+∞ D. [)[)120,,0,x x ∀∈+∞∃∈+∞使得()()12f x fx >【答案】BB 能力提升训练1．若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[4,0]-．【解析】∵2)(2-+=x a x x f ，∴⎩⎨⎧<+-≥-+=2,22,2)(22x a ax x x aax x x f ，又∵)(x f 在),0(+∞上单调递增，∴040222≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-a a a ，即实数a 的取值范围是]0,4[-，故填：[4,0]-．2．【2017山东日照二模】函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,+∞单调递增，则()20f x ->的解集为A. {|22}x x -<<B.C. {|04}x x <<D. 【答案】D3．【江西省高三新课程适应性考试理科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x =-，那么当1x >时，()f x 的递增区间是（ ）A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4【答案】C【解析】由(2)()f x f x -=，得函数图像关于直线1x =对称，当1x <时，递减区间是1(,]4-∞，由对称性得，选C.4．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ）18- （C ）14- （D ）0 【答案】A【解析】设[2,1]x ∈--，则2[0,1]x +∈，则2(2)(2)(2)f x x x +=+-+，又(2)f x +=[(1)1]f x ++=2(1)4()f x f x +=，∴21()(324f x x x =++），∴当32x =-时，取到最小值为116-. 5．【2017天津十二重点中学联考】若函数()()()222f x x x xax b =+-++是偶函数，则()f x 的最小值为（ ）【答案】C【解析】由已知()()()()4321222f x x a x a b x b a x b =++++-+--， ()f x 为偶函数，则10{20a b a +=-=，解得1{2a b =-=-，即C ．C 思维拓展训练1．【2017上海南洋模范中学检测】已知二次函数()()22f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞)，则()1f 的最小值为__________． 【答案】4．2．设12,x x 是一元二次方程2260x ax a -++=的两个实根，则()()221211x x -+-的最小值为______________． 【答案】8．【解析】根据题意得()24460a a ∆=-+≥，即260a a --≥，()()320,3a a a ∴-+≥∴≥或2a ≤-，()()221212122,6,11x x a x x a x x +=⋅=+∴-+-()()()222121212121222222x x x x x x x x x x =+-++=+-⋅-++当3a =时，，当2a =-时，()()221211x x ∴-+-的最小值8，故答案为8.3．定义一种运算，令(t 为常数) ,且[]3,3-∈x ，则使函数)(x f 的最大值为3的t 的集合是 ( )A ．{}3,3-B ．{}5,1-C ．{}1,3-D ．{}5,3,1,3-- 【答案】C4．【2018湖南岳阳县第一中学模拟】已知函数f (x )＝有3个零点，则实数a 的取值范围是____． 【答案】(0,1)【解析】根据题意，得到函数的图像如图所示，则⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,函数 有3个零点，须满足解得 即答案为5．已知函数),(21)(2是常数c b c x b x x f ++=和xx x 141)( g +=定义在M=}41|≤≤x x ｛上的函数，对于任意的x M ∈，存在0x M ∈使得()()00(),()f x f x g x g x ≥≥，且00()()f x g x =，则)(x f 在集合M 上的最大值为（ ）（A ）27（B ）5 （C ）6 （D ）8 【答案】B【解析】因为11g ()14x x x =+≥=（当且仅当2x =时，等号是成立的），所以()(2)2212b f c g =++==，所以12b c =-，所以2211()1222b b bf x x c x x x =++=++-，所以322()b x bf x x x x -'=-=，因为()f x 在2x =处有最小值，所以()208f b '=⇒=，所以5c =，所以218()52f x x x=++，328()x f x x -'=，所以()f x 在[]1,2单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()17185,4825522f f =+-==+-=，所以函数()f x 的最小值为5，故选B ．。

训练目标(1)二次函数的概念；(2)二次函数的性质；(3)幂函数的定义及简单应用. 训练题型 (1)求二次函数的解析式；(2)二次函数的单调性、对称性的判定；(3)求二次函数的最值；(4)幂函数的简单应用.解题策略 (1)二次函数解析式的三种形式要灵活运用；(2)结合二次函数的图象讨论性质；(3)二次函数的最值问题的关键是理清对称轴与区间的关系.1．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)＝________.2．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．3．函数y ＝32x 的图象大致是________．4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)，则该函数的解析式y ＝________________.5．二次函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2，a ]且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．6．若函数f (x )＝1－x 2＋6x －5在区间(m ，m ＋1)上是单调减函数，则m 的取值范围是________．7．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是________．(填序号) ①f (a )<f (b )<f (1a)<f (1b )；②f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )； ③f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )；④f (1a )<f (a )<f (1b)<f (b )． 8．已知函数f (x )＝－3x 2＋bx －1，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，则实数b 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是________．10．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋4，若过原点的直线与该二次函数只有一个交点，这样的直线有________条．11．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________．12．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个交点，则实数m 的取值范围是________．13．给出以下结论：①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．则正确结论的序号为________．14．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．答案解析1．6 2.(－∞，40]∪[160，＋∞)3．③ 4.3x 2－12x ＋11 5.(2,3]6．1≤m ≤2解析 设u (x )＝－x 2＋6x －5， 由题意得，函数u (x )＝－x 2＋6x －5在区间(m ，m ＋1)上是单调增函数． 因为u (x )的递增区间是(－∞，3]． 所以m ＋1≤3.所以m ≤2.又u (x )在(m ，m ＋1)上应恒大于0. 所以u (x )＝－x 2＋6x －5>0，所以1<x <5.所以1≤m ≤2.7．③解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故答案为③. 8．[－12，＋∞)解析 函数f (x )＝－3x 2＋bx －1的对称轴为x ＝－b2×(－3)＝b 6， ∴当x ∈(－∞，b 6)时，f (x )单调递增； 当x ∈(b 6，＋∞)时，f (x )单调递减． ∵当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是增函数，∴－2≤b 6，∴b ≥－12. 9．[1,2] 10.3 11.(2－2，2＋2)12．[－1,2)9 13．④14.(－4，－2]。

幂函数与二次函数考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错误. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式. (4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b2a 不在给定定义域内时，最值不是4ac －b 24a，故(4)错误.2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.2答案 C解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22， 所以α＝12，所以k ＋α＝1＋12＝32.3.已知函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋3(0≤m ≤4，0≤x ≤1)的最大值为4，则m 的值为________. 答案 2 2解析 f (x )＝－2x 2＋mx ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫x －m 42＋m 28＋3，∵0≤m ≤4，∴0≤m4≤1，∴当x ＝m4时，f (x )取得最大值，∴m 28＋3＝4，解得m ＝2 2.4.(2021·全国大联考)不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞) B.(－1，4)C.(4，＋∞)D.(－∞，－1)∪(4，＋∞)答案 A解析 不等式(x 2＋1)12>(3x ＋5)12等价于x 2＋1>3x ＋5≥0， 解得－53≤x <－1或x >4.所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫－53，－1∪(4，＋∞). 5.(2020·贵阳质检)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，40]B.[40，64]C.(－∞，40]∪[64，＋∞)D.[64，＋∞)答案 C解析 f (x )图象的对称轴x ＝k8，且f (x )在[5，8]上是单调函数， ∴k 8≥8或k8≤5，解之得k ≥64或k ≤40. 6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 答案 －1解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减， ∴α<0，取α＝－1.考点一 幂函数的图象和性质1.若幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 C解析 设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.2.已知函数f (x )＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －3是幂函数，且在(0，＋∞)上递减，则实数m ＝( )A.2B.－1C.4D.2或－1答案 A解析 依幂函数定义，m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1， 当m ＝2时，f (x )＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，当m ＝－1时，f (x )＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，舍去. ∴m ＝2.3.(2021·衡水中学调研)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <cC.b <c <aD.b <a <c答案 A解析 由于f (x )＝(m －1)x n 为幂函数， 所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n . 又点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝⎛⎭⎫13，则b >c >a .4.(2021·郑州质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2， 当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2.感悟升华 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.3.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴. 考点二 二次函数的解析式【例1】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.解 法一 (利用“一般式”) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.感悟升华 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练1】 (1)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0，0)和(－2，0)，且有最小值－1，则f (x )＝________.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 答案 (1)x 2＋2x (2)x 2－4x ＋3解析 (1)设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ， 由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称.又y ＝f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f (x )与x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f (x )＝a (x －1)(x －3). 又点(4，3)在y ＝f (x )的图象上， 所以3a ＝3，则a ＝1.故f (x )＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 考点三 二次函数的图象和性质角度1 二次函数的图象【例2】 (1)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④C.②③D.①③(2)设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则( ) A.f (m ＋1)≥0 B.f (m ＋1)≤0C.f (m ＋1)>0D.f (m ＋1)<0答案 (1)B (2)C解析 (1)因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0>－12，所以f (m ＋1)>f (0)>0.感悟升华 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.角度2 二次函数的单调性与最值【例3】 (2021·西安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值. 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增.∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上递减.∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上递减. ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.感悟升华 (1)闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.(2)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.角度3 二次函数中的恒成立问题【例4】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0，满足题意；若m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0， 即－4<m <0.∴－4<m ≤0.∴所求m 的取值范围是(－4，0].(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立.就要使m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立. 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]. 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数，∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数，∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0.综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 法二 当x ∈[1，3]时，f (x )<－m ＋5恒成立，即当x ∈[1，3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立.∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又m (x 2－x ＋1)－6<0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，∴只需m <67即可. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，67. 感悟升华 由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练2】 (1)(2021·长春五校联考)已知二次函数f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，若f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，且f (m )≥f (0)恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.[0，6]C.[6，＋∞)D.(－∞，0]∪[6，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.答案 (1)B (2)(－∞，－1)解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)，∵f (3＋x )＝f (3－x )，∴a (3＋x )2＋b (3＋x )＋c ＝a (3－x )2＋b (3－x )＋c ，∴x (6a ＋b )＝0，∴6a ＋b ＝0，∴f (x )＝ax 2－6ax ＋c ＝a (x －3)2－9a ＋c .又∵f (x )在区间[3，＋∞)上单调递减，∴a <0，∴f (x )的图象是以直线x ＝3为对称轴，开口向下的抛物线，∴由f(m)≥f(0)恒成立，得0≤m≤6，∴实数m的取值范围是[0，6].(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上的最小值大于0即可.∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.由－m－1>0，得m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1).(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值.解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.A 级 基础巩固一、选择题1.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.2.(2021·河南名校联考)函数y ＝1－|x －x 2|的图象大致是( )答案 C解析 ∵当0≤x ≤1时，y ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34，又当x >1或x <0时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54，因此，结合图象，选项C 正确. 3.(2020·成都诊断)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 4f (2)的值为( ) A.14B.－14C.2D.－2答案 A解析 设幂函数为f (x )＝x α，由于点⎝⎛⎭⎫12，22在幂函数的图象上，所以22＝⎝⎛⎭⎫12α，解得α＝12，则f (x )＝x 12，故log 4f (2)＝log 4212＝14.4.(2021·西安检测)已知函数f (x )＝x －3，若a ＝f (0.60.6)，b ＝f (0.60.4)，c ＝f (0.40.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <c <bB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 B解析 ∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y ＝f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，∴b <a <c .5.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]答案 B解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ，又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2.又t ≥1，∴1≤t ≤ 2.6.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b ＝( )A.0B.1C.12D.2 答案 A解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0. 二、填空题7.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，则实数a ＝________. 答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12. 因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15. 8.(2021·青岛联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b (a >1)的定义域和值域都为[1，a ]，则b ＝________.答案 5解析 f (x )＝x 2－2ax ＋b 的图象关于x ＝a 对称，所以f (x )在[1，a ]上为减函数，又f (x )的值域为[1，a ]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝1－2a ＋b ＝a ，f （a ）＝a 2－2a 2＋b ＝1. 消去b ，得a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝2(a >1)，从而得b ＝3a －1＝5.9.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 的值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立， 又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x<1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 三、解答题10.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6].(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1， 故k 的取值范围是(－∞，1). B 级 能力提升12.(2021·江南十校调研)已知幂函数f (x )＝mx 1＋n 是定义在区间[－2，n ]上的奇函数，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7，c ＝f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，则( ) A.b <a <cB.c <b <aC.b <c <aD.a <b <c 答案 A解析 根据f (x )＝mx 1＋n 是幂函数，且在区间[－2，n ]上是奇函数，得m ＝1，且－2＋n ＝0，解得n ＝2，∴f (x )＝x 3，且在定义域[－2，2]上是单调增函数.又0<π4<2π7<π2，∴cos 2π7<sin 2π7<1<tan 2π7， ∴f ⎝⎛⎭⎫cos 2π7<f ⎝⎛⎭⎫sin 2π7<f ⎝⎛⎭⎫tan 2π7，即b <a <c . 13.(2019·上海春招)如图，正方形OABC 的边长为a (a >1)，函数y ＝3x 2的图象交AB 于点Q ，函数y ＝x －12的图象交BC 于点P ，则当|AQ |＋|CP |最小时，a 的值为________.答案 3解析 依题意得Q ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，P ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，则|AQ |＋|CP |＝a 3＋1a ＝a 3＋1a ，记a ＝t (t >1)，f (t )＝|AQ |＋|CP |，则f (t )＝t 3＋1t ，所以f (t )＝t 3＋1t ≥213， 当且仅当t 3＝1t ，即t 2＝3时取等号，此时a ＝ 3. 14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).。

高考数学总复习---《幂函数与二次函数》综合运用练习题（含答案解析）一、若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)A[不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.]二、如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③B[因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．]三、已知y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈[－2，－12]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈[－2，－12]，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.]四、已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]，对称轴为x ＝－32∈[－2，3]， ∴f (x )min ＝f (－32)＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为[－214，15]． (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－13，满足题意；②当－2a－12＞1，即a＜－12时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．综上可知，a＝－13或－1.五、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．(－94，－2][由题意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y＝m与y ＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像如图所示，结合图像可知，当x∈[2，3]时，y＝x2－5x＋4∈[－94，－2]，故当m∈(－94，－2]时，函数y＝m与y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的图像有两个交点．]六、是否存在实数a∈[－2，1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1，1]时，值域为[－2，2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．[解]f(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a＜－1时，f(x)在[－1，1]上为增函数，∴由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （1）＝2，得a ＝－1； 当0＜a ≤1时，由⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝－2，f （－1）＝2，得a 不存在； 综上可得，存在实数a 满足题目条件，a ＝－1.七、选择题1．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( )A ．1B ．2C ．1或2D ．3A [∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件；当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件，故选A.]2．已知幂函数f (x )的图像过点(2，14)，则函数g (x )＝f (x )＋x 24的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．6A [设幂函数f (x )＝x α.∵f (x )的图像过点(2，14)，∴2α＝14，解得α＝－2. ∴函数f (x )＝x －2，其中x ≠0.∴函数g(x)＝f(x)＋x24＝x－2＋x24＝1x2＋x24≥21x2·x24＝1，当且仅当x＝±2时，g(x)取得最小值1.]3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是( )A B C DC[若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b2a＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.]4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，则( ) A．a＞0，4a＋b＝0 B．a＜0，4a＋b＝0C．a＞0，2a＋b＝0 D．a＜0，2a＋b＝0A[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图像的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先减后增，于是a＞0，故选A.] 5．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为( )A．x＜z＜y B．y＜x＜zC．y＜z＜x D．z＜y＜xA[由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y＞z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x＜z.所以x＜z＜y.]八、填空题1．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．(－∞，－6]∪[4，＋∞)[由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.]2．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为(－32，49)，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．f(x)＝－4x2－12x＋40[设f(x)＝a(x＋32)2＋49(a≠0)，方程a(x＋32)2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝14－1a＝7，所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.]3．已知函数f(x)＝a2x＋3a x－2(a＞1)，若在区间[－1，1]上f(x)≤8 恒成立，则a的最大值为________．2 [令a x ＝t ，因为a ＞1，x ∈[－1，1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t)＝t 2＋3t －2，显然g (t)在[1a，a ]上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t)max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a ＞1，所以a 的最大值为2.]九、解答题1．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1，1]上的最大值．[解] 函数f (x )＝－(x －a2)2＋a 24的图像的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a2≤1，a 2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (1)当a ＜－2时，由图①可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)．(2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (a 2)＝a 24. (3)当a ＞2时，由图③可知f (x )在[－1，1]上的最大值为f (1)＝a －1.图① 图② 图③综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1），a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.2．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围．[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.(2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方，所以在[－1，1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立，即x2－3x＋1＞m在区间[－1，1]上恒成立．所以令g(x)＝x2－3x＋1＝(x－32)2－54，因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1，所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．本课结束。

§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝2＋＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝2＋＋c(a>0)f(x)＝2＋＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递减在x∈上单调递增对称性函数的图象关于x＝－对称(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较特征函数y＝x y＝x2y＝x3y＝y＝x－1性质定义域R R R[0，＋∞){∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝2＋＋c，x∈[a，b]的最值一定是. (×)(2)二次函数y＝2＋＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(4)当n>0时，幂函数y＝是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±. (×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)＝f(0)＝5，f(x)＝f(3)＝2. (×) 2．(2013·重庆)(－6≤a≤3)的最大值为() A．9 C．3答案 B解析因为＝＝，所以当a＝－时，的值最大，最大值为.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上() A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案 D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴＝f(0)＝3，＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，＝f(0)＝3.当m>2时，＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为．答案1或2解析由错误!，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.题型一二次函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f()的单调区间．思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f()＝x2＋2＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝错误!，∴f()的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是．答案y＝(x－2)2－1(2)若函数f(x)＝2x2＋－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是_ ．答案(－∞，－3]解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2已知函数f(x)＝2＋＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．思维启迪利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决．解(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)＝g(－1)＝1.∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋2＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三 幂函数的图象和性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为 ( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2(2)若(2m ＋1)21 >(m 2＋m －1) 21，则实数m 的取值范围是( )C ．(－1,2)思维启迪 (1)由幂函数的定义可得n 2＋2n －2＝1，再利用f (x )的单调性、对称性求n ；(2)构造函数y ＝x 21，利用函数单调性求m 范围． 答案 (1)B (2)D解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. (2)因为函数y ＝x 21的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数， 所以不等式等价于错误! 解2m ＋1≥0，得m ≥－； 解m 2＋m －1≥0，得m ≤或m ≥. 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2， 综上≤m <2.思维升华 (1)幂函数解析式一定要设为y ＝x α (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，)， ∴＝2(m 2＋m )－1，即221＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋mm ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 21.由f(2－a)>f(a－1)得错误!解得1≤a<.∴a的取值范围为[1，)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)＝2－＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．思维启迪(1)因f(x)的表达式中含，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a∈R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．规范解答解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－＋1＝错误!.[3分]作图(如右图所示)[5分](2)当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x＋2a－1.[6分]若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.[7分]若a≠0，则f(x)＝2＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.当a<0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝＝2a－－1.当>2，即0<a<时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.[11分]综上可得，g(a)＝错误![12分]温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论.方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．失误与防范1．对于函数y＝2＋＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练一、选择题1．若f(x)＝x2－＋1有负值，则实数a的取值范围是() A．a≤－2 B．－2<a<2C．a>2或a<－2 D．1<a<3答案 C解析∵f(x)＝x2－＋1有负值，∴Δ＝a2－4>0，则a>2或a<－2.2．一次函数y＝＋b与二次函数y＝2＋＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案 C解析 若a >0，则一次函数y ＝＋b 为增函数，二次函数y ＝2＋＋c 的开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝＋b 为减函数，二次函数y ＝2＋＋c 开口向下，故可排除D ； 对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，因此选C.3．如果函数f (x )＝x 2＋＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么 ( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2) 答案 D解析 由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于x ＝对称， 又抛物线开口向上，结合图象(图略)可知f (0)<f (2)<f (－2)．4．设二次函数f (x )＝2－2＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]答案 D解析 二次函数f (x )＝2－2＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 5．已知f (x )＝x 21，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是 ( )A ．f (a )<f (b )<f ()<f ()B ．f ()<f ()<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ()<f ()D ．f ()<f (a )<f ()<f (b ) 答案 C解析 因为函数f (x )＝x 21在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <<，故选C.二、填空题6．若函数y＝2＋x＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是．答案0≤m≤解析m＝0时，函数在给定区间上是增函数；m≠0时，函数是二次函数，对称轴为x＝－≤－2，由题意知m>0，∴0<m≤.综上0≤m≤.7．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是．答案0<a≤解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a.结合图象有错误!，∴0<a≤错误!.8．当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第象限．答案二、四解析当α＝－1、1、3时，y＝xα的图象经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图象经过第一象限．三、解答题9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的根，求f(x)的单调区间．解∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，∴f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0得2－(2＋4a)x＋9a＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1.将a＝－代入①式得f(x)＝－x2－x－＝－(x＋3)2＋，∴函数f(x)的单调增区间是(－∞，－3]，单调减区间是[－3，＋∞)．10．已知函数f(x)＝－x2＋2＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解函数f(x)＝－x2＋2＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝(舍)．(3)当a>1时，f(x)＝f(1)＝a，∴a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.B组专项能力提升1．设函数f(x)＝错误!若f(a)<1，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析当a<0时，()a－7<1，即2－a<23，∴a>－3，∴－3<a<0.当a≥0时，<1，∴0≤a<1.故－3<a<1.2．已知函数f(x)＝2＋＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，集合A＝{(m)<0}，则() A．∀m∈A，都有f(m＋3)>0B．∀m∈A，都有f(m＋3)<0C．∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0D．∃m0∈A，使得f(m0＋3)<0答案 A解析由a>b>c，a＋b＋c＝0可知a>0，c<0，且f(1)＝0，f(0)＝c<0，即1是方程2＋＋c＝0的一个根，当x>1时，f(x)>0.由a>b，得1>，设方程2＋＋c＝0的另一个根为x1，则x1＋1＝－>－1，即x1>－2，由f(m)<0可得－2<m<1，所以1<m＋3<4，由抛物线的图象可知，f(m＋3)>0，选A.3．已知函数f(x)＝x2－2＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值域为．答案－1或3解析由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，所以f(x)＝1且Δ<0.∴－＋1<a<＋1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，当x∈R时，f(x)＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.4．已知函数f(x)＝32＋2＋c，a＋b＋c＝0，且f(0)·f(1)>0.(1)求证：－2<<－1；(2)若x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，求1－x2|的取值范围．(1)证明当a＝0时，f(0)＝c，f(1)＝2b＋c，又b＋c＝0，则f(0)·f(1)＝c(2b＋c)＝－c2<0与已知矛盾，因而a≠0，则f(0)·f(1)＝c(3a＋2b＋c)＝－(a＋b)(2a＋b)>0即(＋1)(＋2)<0，从而－2<<－1.(2)解x1、x2是方程f(x)＝0的两个实根，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，那么(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－)2＋4×＝·()2＋＋＝(＋)2＋.∵－2<<－1，∴≤(x1－x2)2<，∴≤1－x2|<，即1－x2|的取值范围是[，)．5．已知函数f(x)＝2＋＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(x)＝错误!求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b的取值范围．解(1)由已知c＝1，a－b＋c＝0，且－＝－1，解得a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.∴F(x)＝错误!∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f(x)＝x2＋，原命题等价于－1≤x2＋≤1在(0,1]上恒成立，即b≤－x且b≥－－x在(0,1]上恒成立．又－x的最小值为0，－－x的最大值为－2.∴－2≤b≤0.故b的取值范围是[－2,0]．11 / 11。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习专题10 幂函数与二次函数一、选择题1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=- B ．23y x =- C ．13y x =-D ．3y x -=【答案】B【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增； C: 13y x =-为奇函数，故排除； D: 3y x -=为奇函数，故排除. 故选:B.2．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D.3．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C错误. 故选：C.4.（2019·河北武邑中学高三月考（文））已知幂函数y =f(x)的图象通过点(2,2√2)，则该函数的解析式为（ ）A ．y =2x 12B ．y =x 12C ．y =x 32D ．y =12x 52【答案】C【解析】设幂函数的解析式为y =x a .∵幂函数y =f(x)的图象过点(2,2√2) ∴2√2=2a ∴a =32∴该函数的解析式为y =x 32故选C.5.（2019·福建高三期中（文））已知a =245，b =2515，c =427，则( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．c <b <a D ．c <a <b【答案】D【解析】a =245=[(2)4]15=1615，b =2515，y =x 15在(0,+∞)递增，则a <b ，又a =245，c =427=247，y =2x 在R 上递增且45>47，则a >c ，所以c <a <b ，故选D.6．（2019·安徽省合肥一中高三其他（文））已知幂函数()nf x x =的图象过点18,4⎛⎫⎪⎝⎭，且()()13f a f +<，则a 的取值范围是（ ）A ．()4,2-B ．()(),42,-∞-+∞C ．(),4-∞-D ．2,【答案】B【解析】已知幂函数()n f x x =的图象过点18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则184n=，则812log 43n ==-，故幂函数()f x 的解析式为()23f x x -=，若()()13f a f +<，则13a +>，解得4a或2a >.故选：B.7．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B【解析】设()f x x α=，依题意可得1()42α=，解得2α=-， 所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==， 所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.8．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（ ）A ．4B ．2C ．2D ．12【答案】A【解析】依题意得1()22α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.9.（2019·石嘴山市第三中学高三高考模拟（文））已知点(2,8)在幂函数f(x)=x n 的图象上，设a =f (√33),b =f(lnπ),c =f (√22)，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b【答案】D【解析】由题可得：8=2n ，解得：n =3所以f (x )=x 3因为√33<1，√22<1，ln π>lne =1.又√33−√22=2√3−3√26=√12−√186<0，所以√33<√22<lnπ由f (x )=x 3在R 上递增，可得：f (√33)<f (√22)<f (lnπ).所以a <c <b .故选：D10．（2020·上海高三专题练习）设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A ．当0a <时，12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时，12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时，12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时，12120,0x x y y +>+>【答案】B【解析】令()()f x g x =,可得21ax b x=+． 设21(),F x y ax b x ==+ 根据题意()F x 与直线y ax b =+只有两个交点，不妨设12x x <，结合图形可知，当0a >时如右图，y ax b =+与()F x 左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得12||x x >，即120x x ->>，此时120x x +<，21122111,0y y y y x x =>=-∴+>-， 同理可得，当0a <时如左图，120x x +>，120y y +<故选：B ．二、多选题11．（2019·福建省厦门双十中学高一期中）黄同学在研究幂函数时，发现有的具有以下三个性质：①奇函数；②值域是{|,0}y y R y ∈≠且；③在(),0-∞上是减函数.则以下幂函数符合这三个性质的有（ ）A ．2()f x x =B ．()f x x =C ．1()f x x -=D ．13()f x x -=E.23()f x x -= 【答案】CD【解析】A. 2()f x x =，为偶函数，排除；B. ()f x x =，值域为R ，排除；C. 1()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；D. 13()f x x -=，为奇函数，值域为{|,0}y y R y ∈≠且，在(),0-∞上是减函数，满足；E. 23()f x x -=，为偶函数，排除； 故选：CD .12．（2020·全国高一课时练习）已知实数a ，b 满足等式1132a b =，则下列五个关系式中可能成立的是（ ）A ．01b a <<<B ．10a b -<<<C ．1a b <<D ．10b a -<<<E.a b =【答案】ACE【解析】画出12y x =与13y x =的图象（如图），设1132a b m ==，作直线y m =.从图象知，若0m =或1，则a b =；若01m <<，则01b a <<<；若1m ；则1a b <<.故其中可能成立的是ACE .故选：ACE13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α. 所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.14．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】BCD【解析】当1x >,4()4f x x a a x=++≥+,当且仅当2x =时,等号成立；当1x ≤时,2()29f x x ax =-+为二次函数,要想在1x =处取最小,则对称轴要满足1x a =≥,且(1)4f a ≤+, 即1294a a -+≤+,解得2a ≥, 故选:BCD三、填空题15．（2020·上海高一课时练习）若0,m n k Q <<∈且k 0<，则1km ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1kn ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系是_________．【答案】11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】因为0m n <<所以110m n>>由因为函数k y x =，(),0k Q k ∈<在()0,∞+上单调递减，所以11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11kkm n ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．（2018·山西康杰中学高考模拟（文））幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝_______.【答案】2【解析】函数f （x ）=（m 2﹣3m+3）x m是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，解得m=1或m=2；当m=1时，函数y=x 的图象不关于y 轴对称，舍去；当m=2时，函数y=x 2的图象关于y 轴对称；∴实数m=2．故答案为：2．17.（2020·上海高三二模）已知1112,1,,,,1,2,3232 α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭.若函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，则α=________.【答案】2-【解析】由题可知，1112,1,,,,1,2,3232α⎧⎫⎨∈--⎩-⎬⎭，且函数()f x x α=在()0,∞+上递减且为偶函数，可知0α<，所以α的可能值为2-，1-，12-，当2α=-时，函数()()2210f x x x x-==≠， 由于()()()2211f x f x x x -===-，则()f x 为偶函数，符合题意； 当1α=-时，函数()()110f x x x x-==≠，由于()()()11f x f x x x-==-=--，则()f x 奇函数，不符合题意； 当12α=-时，函数()12f x x -==，此时()f x 的定义域()0,∞+，所以()f x 为非奇非偶函数，不符合题意；综上可知，满足题意的2α=-. 故答案为：2-.18．（2020·浙江省高三其他）已知幂函数()y f x =的图象过点3,3⎛ ⎝⎭，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．【答案】()12f x x -= (0,)+∞ 【解析】设()f x x α=，代入⎛ ⎝⎭得()33f α==，解得12α=-，所以此函数的解析式为()12f x x -=．函数()y f x =在定义域内单调递减，故单调递减区间为(0,)+∞．故答案为：()12f x x -=；(0,)+∞.19．（2015·浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是 ．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.20．（2019·北京高三二模（理））已知函数2221,30,()2,0 3.x x a x f x x x a x ⎧++--≤≤=⎨-+-<≤⎩当0a =时，()f x 的最小值等于____；若对于定义域内的任意x ，()f x x ≤恒成立，则实数a 的取值范围是____．【答案】3- 1[,1]4【解析】当0a =时，2221,30,()2,0 3.x x x f x x x x ⎧+--≤≤=⎨-+<≤⎩，－3≤x≤0时，f(x)＝（x ＋1）2－2，得：当x ＝－1时，f （x ）有最小值为－2，0＜x≤3时，f(x)＝－（x －1）2＋1，得：当x ＝3时，f （x ）有最小值为－3，所以，当0a =时，()f x 的最小值等于－3，定义域内的任意,()||x f x x ≤恒成立，①－3≤x≤0时，有221x x a x ++-≤-， 即：231a x x ≤--+恒成立， 令2()31g x x x =--+＝2313()24x -++， 在－3≤x≤0时，g （x ）有最小值：g （0）＝g （－3）＝1，所以，1a ≤，②0＜x≤3时，有22x x a x -+-≤， 即：2a x x ≥-+恒成立，令2()h x x x =-+21124x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 在0＜x≤3时，g （x ）有最大值：g （12）＝14，所以，14a ≥， 实数a 的取值范围是1[,1]421．已知函数()21f x ax bx =++（a 、b 为实数， 0a ≠， x ∈R ），若()10f -=，且函数()f x 的值域为()0,∞+，则()f x 的表达式=__________．当[]2,2x ∈-时， ()()g x f x kx =-是单调函数，则实数k 的取值范围是__________．【答案】()221f x x x =++ ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞【解析】∵()()210f x ax bx a =++≠， ()101a b f -+==-，∴1a b =-①，又∵()222122b b b f x a x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22122b b a x a a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，()2min104b f x a=-=②，联立①②解出1a =， 2b =，∴()221f x x x =++．(2)因为g （x ）=f （x ）-kx=x 2+2x+1-kx=x 2-（k-2）x+1=（()22222)12242k k k x ----+-∴≥或2262k k -≤-∴≥或2k ≤- 故答案为(1). ()221f x x x =++ (2). ])(,2?[6,?-∞-⋃+∞ 四、解答题22．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数f(x)=ax +b(a ≠0)满足3f(x −1)−2f(x +1)=2x −6.（1）求a ，b 的值；（2）求函数g(x)=x[f(x)−6]在区间[0,2]上的最值.【答案】（1）a =2,b =4 ； （2）最小值−12，最大值4． 【解析】（1）因为f(x −1)=a(x −1)+b,f(x +1)=a(x +1)+b ．所以3f(x −1)−2f(x +1)=3[a(x −1)+b]−2[a(x +1)+b] =ax −5a +b =2x −6，所以{a =2 ，−5a +b =−6解得{a =2 ，b =4 （2）由（1）可知：f(x)=2x +4．所以g(x)=x[f(x)−6]=x(2x +4−6)=2(x 2−x)=2[(x −12)2−14]=2(x −12)2−12．当x =12时，g(x)取最小值−12 ； 当x =2时， g(x)取最大值4．23．（2019·河南省高三月考（理））已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x12m-在（0，+∞）上单调递增，g（x）＝x2﹣4x+t.（1）求实数m的值；（2）当x∈[1，9]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.【答案】（1）m＝1（2）﹣42≤t≤5【解析】(1)∵f(x)=(3m2﹣2m)x12m-为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增;∴232112m mm⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m=1;(2)由(1)可得12()f x x=,当x∈[1,9]时,f(x)值域为:[1,3],g(x)=x2﹣4x+t的值域为:[t﹣4,t+45],∴A=[1,3],B=[t﹣4,t+45];∵命题p:x∈A,命题q:x∈B,且命题q是命题p的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.24．（2019·江苏省金陵中学高一期中）若函数()()22kk f x x k N -++=∈满足()()23f f <.（1）求k 的值及()f x 的解析式；（2）试判断是否存在正数q ，使函数()()()121g x qf x q x =-+-在区间[]1,2- 上的取值范围为区间174,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ?若存在，求出正数q 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）0k =或1k =，()2f x x =；（2）存在2q.【解析】(1)∵()()23f f <，∴22213k k -++⎛⎫< ⎪⎝⎭．故220k k -++>，解得12k -<<. 又∵k Z ∈，∴0k =或1k =.当0k =或1k =时，222k k -++=，∴()2f x x =.(2) 存在2q ，求解如下：假设存在0q >满足题设，由(1)知，()()[]2211,1,2g x qx q x x =-+-+∈-，∵()21g =-，∴两个最值点只能在1x =-和212q x q-=处取得， ()123g q -=-，2214124q q g q q ⎛⎫-+=⎪⎝⎭， 而()()224121411230244q q q g g q q q q -⎛⎫-+--=-+=≥ ⎪⎝⎭， ∴()()min 1234g x g q =-=-=-，即2q ，此时()2max411748q g x q +==，故2q 符合题意．25．（2020·金华市曙光学校高一月考）设函数2()3||()=-+f x ax x a ，其中a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的值域；（2）若对任意[,1]∈+x a a ，恒有()1f x ≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）[]1,0-. 【解析】（1）当1a =时，()2251,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨-+->⎩，（i ）当0x ≤时，()252124f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，此时()21,4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦， （ii ）当0x >时，()21324f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，此时()3,4f x ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦， 由（i ）(ii)得()f x 的值域为21,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）因为对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，()()111f a f a ⎧≥-⎪∴⎨+≥-⎪⎩，即()()22234131211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤， 下面证明，当[]1,0a ∈-时，对任意[],1x a a ∈+恒有()1f x ≥-，（i ）当0a x ≤≤时，()()()222,01f x x ax a f a f a =-+-==-≥-，故()()(){}min ,01f x f a f ≥≥-成立；（ii ）当01x a ≤≤+时，()225f x x ax a =---，()()217711,01f a a a f +=---≥-≥-，故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立， 此时，对任意[],1x a a ∈+，恒有()1f x ≥-， 所以实数a 的取值范围是[]1,0-.26．（2019·广东省增城中学高二期中）已知113a ≤≤， 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ，最小值为()N a ， 令()()()g a M a N a =-.（1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩；（2）实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】(1)()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1分∵113a ≤≤，∴113a≤≤①当112a ≤≤，即112a ≤≤时，则3x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=196a a+-3分②当123a <≤，即1132a ≤<时，则1x =时，函数()f x 取得最大值;1x a=时，函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. 5分综上，得()1112,321196,12a a a g a a a a ⎧+-<⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩（2）任取，且12a a <()()1212121a a a a a a --=，∵，且12a a <120a a ∴-<，120a a >，1210a a -<；∴()()12121210a a a a a a -->，即()()120g a g a ->∴∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减 ，任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <340a a ∴-<，340a a >，34910a a ->；∴()()343434910a a a a a a --<，即()()340g a g a -<∴()()34g a g a <∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ，当12a =时，()g a 取得最小值，其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12又13g ⎛⎫=⎪⎝⎭43，()1g =4 ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解 ∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域，∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2020·全国高一）已知点A （t ，1）为函数y ＝ax 2+bx +4（a ，b 为常数，且a ≠0）与y ＝x 图象的交点．（1）求t ；（2）若函数y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，求a ，b ； （3）若1≤a ≤2，设当12≤x ≤2时，函数y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ，最小值为n ，求m ﹣n 的最小值．【答案】（1）t ＝1；（2）14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩；（3）98．【解析】（1）把A （t ，1）代入y ＝x 得t ＝1；（2）∵y ＝ax 2+bx +4的图象与x 轴只有一个交点，∴241160a b b a ++⎧⎨∆-⎩＝＝＝，∴14a b =⎧⎨=-⎩或912a b =⎧⎨=-⎩； （3）把A （1，1）代入y ＝ax 2+bx +4得，b ＝﹣3﹣a ，∴y ＝ax 2﹣（a +3）x +4＝a （x ﹣32a a +）2﹣95442a a -+，∴对称轴为直线x ＝32a a+， ∵1≤a ≤2，∴54≤x ＝32a a+≤2， ∵12≤x ≤2，∴当x ＝12时，y ＝ax 2+bx +4的最大值为m ＝542a -+，当x ＝2时，n ＝﹣95442a a -+，∴m ﹣n ＝94a， ∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，m ﹣n 的值最小， 即m ﹣n 的最小值98．。