二次函数与幂函数专题复习

学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质

教学内容

一. 【复习目标】

1.准确理解函数的有关概念.

2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.

一、幂函数

(1)幂函数的定义

形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数

(2)幂函数的图象

函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x

1

2

y＝x－1

定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x

∈(－∞，0]时，减

增增

x∈(－∞，0)时，

减

定点(0,0)，(1,1) (1,1)

例1.下列函数中是幂函数的是（ ）

A ．y ＝2x 2

B ．y ＝1x 2

C ．y ＝x 2＋x

D ．y ＝－1

x

例2. (2011·陕西高考)函数y ＝

13

x

的图象是( )

例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3

B ．0

C ．1

D ．2

练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝

⎛

⎭

⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )

＝g (x )，则x ＝________.

已知点M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )

A ．f (x )＝x 2

B ．f (x )＝x －2

C ．f (x )＝x 1

2

x

D ．f (x )＝

12

x

-

设α

∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫－1，1，1

2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）

A ．1,3

B ．－1,1

C ．－1,3

D ．－1,1,3

对于函数y ＝x 2

，y ＝x 1

2

有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．

其中正确的有________．

二、二次函数

1、二次函数的三种形式【1】

【2】

【3】

2.二次函数的图像和性质

二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。

（1）当0>a 时，抛物线的开口 ，函数在 上递减，在 上递

增，当a

b

x 2-=时，函数有最 值为

（2）当0

a

b

x 2-=时，函数有最 值 为

。

（3）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f

当 时，恒有 ()0.>x f ， 当 时，恒有 ()0.

（4）二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f ，当042>-=∆ac b 时，图像与 x 轴有两个交点，.),0,(),0,(21212211a

x x M M x M x M ∆=

-= 练习

(1)画出函数f(x)=∣x 2-2x-3∣的图像，并写出单调区间。

变式:

(2)函数()a ax x x f --=22的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 (3)设二次函数y=f(x)的最大值为13，且f(3)= f(-1)=5，则f(x)=

(4)已知二次函数)(624)(2R x a ax x x f ∈++-=的值域为),0[∞,则实数a =

(5)02<++c bx x 的解集为），则，（3

1

21-=+c b

(6)已知一个二次函数的顶点的坐标为（0，4），且过点（1，5），这个二次函数的解析式为

(7)已知方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，有一个根小于1，则P 的取值为 。

【二次函数例题精讲】

知识点一:二次函数的解析式

例1． 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．

变式: 求下列二次函数的解析式

(1)已知二次函数图像经过点（-1，0），（1，0），（2，3）三点，求解析式 (2)图像顶点的坐标为(2,-1),与y 轴交点坐标为（0，11）； (3)已知函数f(x)满足f(0)=1,且f(x+1)-f(x)=2x ； (4)f (2)=0,f(-1)=0且过点（0，4）求f(x).

知识点二:二次函数的最值问题

(1) 轴定区间定

例2. 求函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最值

变式:已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值