实际问题与二次函数------最大利润问题

4.练习：布置一定数量的练习题，巩固学生对最大利润问题的解决方法。
5.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
6.课后作业：布置与最大利润问题相关的作业，让学生在课后进一步巩固所学知识。
教学评价：
1.课堂表现：关注学生在课堂上的参与程度，积极思考、提问的表现。
2.作业完成情况：评价学生对最大利润问题解决方法的掌握程度。
（2）鼓励学生尝试用不同的方法解决同一问题，提高他们的思维灵活性和创新意识。
3.拓展作业：
（1）引导学生关注生活中的最大利润问题，如超市促销、工厂生产等，要求学生运用所学知识进行分析，并提出解决方案。
（2）鼓励学生查找相关资料，了解二次函数在其他领域的应用，如经济学、管理学等。
4.作业要求：
（1）要求学生在作业本上规范书写，保持卷面整洁。
4.通过对最大利润问题的探讨，培养学生的数感和运用数学知识解决实际问题的能力。
（二）过程与方法
1.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生合作探究、解决问题的能力。
2.引导学生运用数学建模的思想，从实际问题中抽象出数学模型，提高学生的数学思维能力。
3.运用数形结合的方法，让学生在解决最大利润问题的过程中，深入理解二次函数的性质和图像。
（2）新课：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题让学生体会最大利润问题的解决方法。
（3）练习：设计不同难度的练习题，让学生在解决最大利润问题的过程中，巩固所学知识。
（4）总结：对本节课的重点知识进行总结，强调二次函数在实际问题中的应用。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，实施分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点

课前寄语
二次函数是一类最优化问题的数学模型， 能指点我们解决生活中的实际问题。
同学们，认真学习数学吧，因为数学来源 于生活，更能优化我们的生活。
第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数
第2课时 商品利润最大问题
灵宝市秦岭学校 九年级数学组
学
1
能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点）
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
例题精讲
例1：已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，每星期
可卖出300件。市场调查反应：每涨价1元，每星期少卖出10件；
每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，
思考：自变量x的取值范围如何确定？ 涨价，考虑销售量，故300-10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000
即：定价65元时，最大利润是6250元.
知识要点 求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
如何定价才能使每星期利润最大？
降价销售
设：每件降价x元，每星期售出商品的利润y元：
单件利润（元） 销售量（件）
每星期利润（元）
降价销售
20-x
300+18x
y=(20-x)(300+18x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)， 即：y=-18x2+60x+6000.

22.3 实际问题与二次函数——销售最大利润问题一、选择题1、某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（）A. 60元B. 70元C. 80元D. 90元2、某品牌钢笔进价8元，按10元1支出售时每天能卖出20支，市场调查发现如果每支每涨价1元，每天就少卖出2支，为了每天获得最大利润，其售价应定为（）A. 11元B. 12元C. 13元D. 14元3、某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天销售量是50件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x 元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为（）A. y=10x2﹣100x﹣160B. y=﹣10x2+200x﹣360C. y=x2﹣20x+36D. y=﹣10x2+310x﹣23404、某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x元，所获利润为y元，可得函数关系式为（）A. 2y x x10100=-+1011010y x x=-++ B. 2C. 21090100=-++y x x10100110y x x=-++ D. 25、出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售出（6-x）个．当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46、在1～7月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是（）A. 1月份B. 2月份C. 5月份D. 7月份 7、某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，则y 与x 的函数关系式为（ ）A. y ＝（x ﹣40）（500﹣10x ）B. y ＝（x ﹣40）（10x ﹣500）C. y ＝（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]D. y ＝（x ﹣40）[500﹣10（50﹣x ）]8、某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x 元，则可列方程为（ ）A. ()()8020088450x x -+=B. ()()4020088450x x -+=C. ()()40200408450x x -+=D. ()()402008450x x -+=9、某商店经营皮鞋，所获利润y （元）与销售单价x （元）之间的关系为2242956y x x =-++，则获利最多为（ ）A. 3144B. 3100C. 144D. 2956 10、黄山市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式y =﹣n 2+14n ﹣24，则企业停产的月份为（ ）A. 2月和12月B. 2月至12月C. 1月D. 1月、2月和12月11、某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（ ）A. 5000元B. 8000元C. 9000元D. 10000元 12、某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）A. 20%B. 40%C. 18%D. 36%二、填空题13、数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x（x≥100）元，则月销量是______件，销售该运动服的月利润为______元（用含x的式子表示）．14、某商场以30元/件的进价购进一批商品，按50元/件出售，平均每天可以售出100件．经市场调查，单价每降低5元，则平均每天的销售量可增加20件．若该商品想要平均每天获利1400元，则每件应降价多少元？设每件应降价x元，可列方程为______．15、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为______元时，获得的利润最多．16、某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，当x=______时才能使利润最大．17、某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每提高2元的这种变化方法变化下去，每床每日提高______元可获最大利润．18、将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价2元，其日销售量就增加4个，为了获得最大利润，则售价为______元，最大利润为______元．三、解答题19、进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？20、2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准．没有垃圾分类和未指定投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．垃圾分类制度即将在全国范围内实施，很多商家推出售卖垃圾分类桶，某商店经销垃圾分类桶．现有如下信息：信息1：一个垃圾分类桶的售价比进价高12元；信息2：卖3个垃圾分类桶的费用可进货该垃圾分类桶4个；请根据以上信息，解答下列问题：（1）该商品的进价和售价各多少元？（2）商店平均每天卖出垃圾分类桶16个．经调查发现，若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．为了使每天获取更大的利润，垃圾分类桶的售价为多少元时，商店每天获取的利润最大？每天的最大利润是多少？21、某种商品进价为每件60元，售价为每件80元时，每个月可卖出100件；如果每件商品售价每上涨5元，则每个月少卖10件设每件商品的售价为x元（x为正整数，且x ＞80）．（1）若希望每月的利润达到2400元，又让利给消费者，求x的值；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？答案第1页，共6页 参考答案1、【答案】C【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】设销售该商品每月所获总利润为w ，则w =（x –50）（–4x +440）=–4x 2+640x –22000=–4（x –80）2+3600，∴当x =80时，w 取得最大值，最大值为3600，即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，选C ．2、【答案】D【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】设利润为w ，由题意得，每天利润为w =（2+x ）（20–2x ）=–2x 2+16x +40=–2（x –4）2+72．∴当涨价4元（即售价为14元）时，每天利润最大，最大利润为72元．选D ． 3、【答案】B【分析】本题考查了从实际问题中抽象出二次函数关系式，掌握销售问题中的基本数量关系是解决问题的关键．根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可．【解答】根据题意得y =（x ﹣2）[50+10（13﹣x ）]，整理得y =﹣10x 2+200x ﹣360．选B ． 4、【答案】D【分析】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【解答】由题意，得y =（10+x -9）（100-10x ），y =-10x 2+90x +100．选D ．5、【答案】C【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】y=x （6-x ）=-x 2+6x ，x =-2b a =32=3.选C ． 6、【答案】C【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益=每千克售价﹣每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份．【解答】设x 月份出售时，每千克售价为y 1元，每千克成本为y 2元，根据图甲设y 1=kx +b ，∴35,63,k b k b +=⎧⎨+=⎩∴2,37,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴y 1=23-x +7， 根据图乙设y 2=a （x ﹣6）2+1，∴4=a （3﹣6）2+1，∴a =13， ∴y 2=（13x ﹣6）2+1， ∴y =y 1﹣y 2，∴y =23-x +7﹣[13（x ﹣6）2+1]， ∴y =﹣13x 2+103x ﹣6． ∴y =﹣13x 2+103x ﹣6， ∴y =﹣13（x ﹣5）2+73． ∴当x =5时，y 有最大值，即当5月份出售时，每千克收益最大．选C ．7、【答案】C【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润=（售价-进价）⨯销量，列出函数解析式，求最值是解题关键．设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则可以根据成本，求出每千克的利润．以及按照销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，可求出销量．从而得到总利润关系式．【解答】设销售单价为每千克x 元，此时的销售数量为()5001050x --，每千克赚的钱为40x -，则()()405001050y x x =-⎡--⎤⎣⎦．选C ．8、【答案】B【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程．利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，从而列出方程即可．【解答】原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元，∴每件售价降价x 元后，利润为每件（40﹣x ）元．每降价1元，每星期可多卖出8件， ∵每件售价降低x 元，每星期可多卖出8x 件，现在的销量为（200+8x ）．根据题意得（40﹣x ）×（200+8x ）=8450．选B ．9、【答案】B【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】∴利润y （元）与销售的单价x （元）之间的关系为2242956y x x =-++，答案第3页，共6页2(12)3100.y x ∴=--+∴−1＜0，∴当x =12元时，y 最大为3100元，选B ．10、【答案】D【分析】本题考查二次函数的实际应用，判断二次函数y ＞0、y =0、y ＜0，要把二次函数写成交点式，看看图象与x 轴的交点，结合开口分析，进行判断．知道利润y 和月份n 之间函数关系式，求利润y 大于0时x 的取值．【解答】由题意知，利润y 和月份n 之间函数关系式为y =-n 2+14n -24，∴y =-（n -2）（n -12），当n =1时，y ＜0，当n =2时，y =0，当n =12时，y =0， 故停产的月份是1月、2月、12月．选D ．11、【答案】C【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W 关于x 的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．【解答】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为500-10（x -100），单件利润为（x -90），由题意得，W =（x -90）[500-10（x -100）]=-10x 2+2400x -135000=-10（x -120）2+9000， 故可得当x =120时，W 取得最大，为9000元，选C ．12、【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键．可设降价的百分率为x ，第一次降价后的价格为()251x -，第一次降价后的价格为()2251x -，根据题意列方程求解即可．【解答】设降价的百分率为x ，根据题意可列方程为()225116x -=， 解方程得115x =，295x =（舍）， ∴每次降价得百分率为20%，选A ．13、【答案】2400x -+，2252024000x x -+-【分析】本题考查的是二次函数的应用，一次函数的运用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．运用待定系数法求出月销量；根据月利润=每件的利润×月销量列出函数关系式．【解答】设月销量y 与x 的关系式为y =kx +b ，由题意得，100200,110180,k b k b +⎧⎨+⎩＝＝解得2,400,k b -⎧⎨⎩＝＝则y =-2x +400； 由题意得，y =（x -60）（-2x +400）=-2x 2+520x -24000.14、【答案】(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⨯= ⎪⎝⎭【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.利润=单件利润⨯数量，本题中，单件利润=售价-成本单价.【解答】单件利润(50)30x =--5030x =--，数量100205x =+⨯． ∴利润为1400时，单价利润⨯数量1400=，得到(5030)1002014005x x ⎛⎫--+⋅= ⎪⎝⎭． 15、【答案】70【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.【解答】设销售单价定为每千克x 元，获得利润为y 元，则y =（x -40）[500-（x -50）×10]=（x -40）（1000-10x ）=-10x 2+1400x -40000=-10（x -70）2+9000，∴当x =70时，利润最大为9000元．16、【答案】70【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【解答】设获得的利润为w 元，由题意可得w =（x ﹣40）（100﹣x ）=﹣（x ﹣70）2+900，∴当x =70时，w 取得最大值，故答案是70．17、【答案】4或6【分析】根据每日获利=每床每日实际收费×实际租出床位数，建立二次函数关系式，求获利大，就要把函数关系式写成顶点式，才能得出结论．根据题意列出W 与x 的函数解析式，再转化为顶点式，然后利用二次函数的性质解答．【解答】设每床每日提高x 元，每日利润为W ，则W =（10+x ）（100-5x ）=()2551125x --+，根据函数解析式可知：当提高5元时，利润最大，但是每次提高都是2元，则每日提高4元或6元时可以获得最大利润．18、【答案】90 800答案第5页，共6页【分析】本题考查二次函数的应用——销售问题.本题关键理解商品降低的价格和销量之间的关系，一般要求最大利润将利润表示为二次函数的形式，求最值即可．【解答】设降价x 元，利润为y ，y =（100-70-x ）（20+4×2x ） =-2x 2+40x +600=-2（x -10）2+800，当x =10时，y 的最大值为800，即售价为90元时，最大利润为800元．故答案为90，800．19、【答案】（1）y =-5x +350；（2）w =-5x 2+450x -7000（30≤x ≤40）；（3）售价定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）最大，最大利润是3000元．【分析】（1）根据题意可以直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题意可以直接写出w 与x 之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务可以确定x 的取值范围； （3）根据第（2）问中的函数解析式和x 的取值范围，可以解答本题．【解答】（1）由题意可得y =200-（x -30）×5=-5x +350，即周销售量y （包）与售价x （元/包）之间的函数关系式是y =-5x +350；（2）由题意可得w =（x -20）×（-5x +350）=-5x 2+450x -7000（30≤x ≤40），即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）与售价x （元/包）之间的函数关系式是w =-5x 2+450x -7000（30≤x ≤40）； （3）∴w =-5x 2+450x -7000的二次项系数-5＜0，顶点的横坐标为x =-()45025⨯-=45，30≤x ≤40 ∴当x ＜45时，w 随x 的增大而增大，∴x =40时，w 取得最大值，w =-5×402+450×40-7000=3000，即当售价定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）最大，最大利润是3000元．20、【答案】（1）进价为36元，售价为48元；（2）当售价为46元时，商店每天获利最大，最大利润为200元．【分析】本题以二次函数为载体，以二元一次方程组的应用、二次函数的性质及其应用为考查的核心构造而成；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系；灵活运用有关性质来分析、判断、解答．（1）根据题意，设一个垃圾分类桶的进价为x 元，则售价为（x +12）元，列出方程，解方程即可得到答案；（2）根据题意，可设每天获利为w ，当垃圾分类桶的售价为y 元时，每天获利w 最大，然后列出方程，解出方程即可得到答案．【解答】（1）设一个垃圾分类桶的进价为x 元，则售价为（x +12）元，则3124x x ⨯+=，解得36x =，∴售价为36+12=48元．答：一个垃圾分类桶的进价为36元，售价为48元；（2）设每天获利为w ，当一个垃圾分类桶的售价为y 元时，每天获利最大， 则()()3616248w y y ⎡⎤=-⨯+-⎣⎦，整理得()2246200w y =--+； ∴当46y =时，商店每天获利最大，最大利润为200元．21、【答案】（1）90；（2）每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，这是二次函数应用问题中的常见题型，解决问题的关键是根据题意中的数量关系求出函数解析式．（1）直接利用每件利润×销量＝2400，进而得出一元二次方程解出答案即可；（2）利用每件利润×销量＝利润，先用x 表示出每件的利润和销量，进而得出利润关于x 的二次函数解析式，再利用二次函数的性质求最值即可．【解答】（1）由题意可得（x ﹣60）[100﹣2（x ﹣80）]＝2400，整理得x 2﹣190x +9000＝0，解得x 1＝90，x 2＝100（不合题意舍去），答：x 的值为90；（2）设利润为w 元，根据题意可得：w ＝（x ﹣60）[100﹣2（x ﹣80）]＝﹣2x 2+380x ﹣15600＝﹣2（x ﹣95）2+2450，故每件商品的售价定为95元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．。

22.3实际问题与二次函数第2课时二次函数与最大利润问题【知识网络】典案二导学设计一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？。