等差数列二课时

第2课时

一、选择题

1．等差数列{a

n}中，a

6＋a

9＝16，a

4＝1，则a

11＝( )

A．64 B．30

C．31 D．15

[答案]　D

[解析]　解法一：∵，∴，

∴，∴a

11＝a

1＋10d＝15.

解法二：∵6＋9＝4＋11，

∴a

4＋a

11＝a

6＋a

9＝16，∴a

11＝15.

2．如果等差数列{a

n}中，a

3＋a

4＋a

5＝12，那么a

1＋a

2＋…＋a

7＝( )

A．14B．21

C．28D．35

[答案]　C

[解析]　∵a

3＋a

4＋a

5＝3a

4＝12，∴a

4＝4.

又a

1＋a

2＋…＋a

7＝7a

4＝28.

3．已知等差数列{a

n}满足a

1＋a

2＋a

3＋…＋a

101＝0，则有( )

A．a

1＋a

101>0B．a

2＋a

100<0

C．a

3＋a

100≤0D．a

51＝0

[答案]　D

[解析]　由题设a

1＋a

2＋a

3＋…＋a

101＝101a

51＝0，

∴a

51＝0.

4．已知{a

n}为等差数列，a

1＋a

3＋a

5＝105，a

2＋a

4＋a

6＝99，则a

20等于( )

A．－1B．1

C．3D．7

[答案]　B

[解析]　∵{a

n}是等差数列，

∴a

1＋a

3＋a

5＝3a

3＝105，∴a

3＝35，

a

2＋a

4＋a

6＝3a

4＝99，∴a

4＝33，

∴d＝a

4－a

3＝－2，

a

20＝a

4＋16d＝33－32＝1.

15．在a和b之间插入n个数构成一个等差数列，则其公差为( )

A．　B．

C．D．

[答案]　C

[解析]　∵a

1＝a，a

n＋2＝b，

∴公差d＝＝.

6．设{a

n}是公差为正数的等差数列，若a

1＋a

2＋a

3＝15，a

1a

2a

3＝80，则a

11＋a

12＋

a

13等于( )

A．120 B．105

C．90 D．75

[答案]　B

[解析]　∵a

1＋a

2＋a

3＝3a

2＝15，∴a

2＝5，

又∵a

1a

2a

3＝80，∴a

1a

3＝16，即(a

2－d)(a

2＋d)＝16，

∵d>0，∴d＝3.

则a

11＋a

12＋a

13＝3a

12＝3(a

2＋10d)＝105.

二、填空题

7．等差数列{a

n}中，已知a

4．2.1 第二课时 等差数列的性质

[A级 基础巩固]

1．已知等差数列{an}:1,0,－1,－2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an＋bn}是( )

A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列

C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列

详细解析:选D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.

2．在等差数列{an}中,a1＝2,a3＋a5＝10,则a7＝( )

A．5 B．8

C．10 D．14

详细解析:选B 由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10,又因为a1＝2,所以a7＝8.

3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3＋a6＋a10＋a13＝32,若am＝8,则m等于( )

A．8 B．4

C．6 D．12

详细解析:选A 因为a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32,所以a8＝8,即m＝8.

4．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0,则有( )

A．a1＋a101＞0 B．a2＋a101＜0

C．a3＋a99＝0 D．a51＝51

详细解析:选C 根据性质得:a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51,由于a1＋a2＋…＋a101＝0,所以a51＝0,又因为a3＋a99＝2a51＝0,故选C.

5．《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )

A．1升 D．6766升

C.4744升 D．3733升

详细解析:选B 设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有 a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，

即 4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4.解得 a1＝1322，d＝766，则a5＝a1＋4d＝6766,

第

二课时

等差数列前n项和的最值及应用

课标要求 素养要求

能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 通过利用等差数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.

新知探究

公元前二千多年的巴比伦人就提出了等差数列问题，“十兄弟分银子”就是其中之一.有100两银子要分给10个兄弟，按年龄的不同分给不同的数量，老大要比老二多，老二要比老三多，依次类推，都相差一级，每一级相差数都一样，但不知是多少，只知道老八分到的银子是6两.

问题 每一级的差额是多少？

提示 设十兄弟所分得的银子从多到少依次为a1，a2，…，a10，易知其为等差数列，且a8＝6，

由S10＝10a1＋12×9×10d＝100，a8＝a1＋7d＝6，解得a1＝865，d＝－85.

故每一级的差额是85两.

1.前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n.

2.等差数列前n项和的最值 d的符号决定Sn有最大值还是最小值

(1)在等差数列{an}中，

当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≥0，an＋1≤0确定；

当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组an≤0，an＋1≥0确定.

(2)因为Sn＝d2n2＋a1－d2n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值，且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.

拓展深化

[微判断]

1.若等差数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n＝－B2A取得.(×)

提示 只有当－B2A是正整数时才成立.

2.若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(√)

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp＝Sq(p，q∈N*)，则Sn在n＝12(p＋q)处取得最大值或最小值.(×)

2.2等差数列第二课时人教A版必修五

教学目标

1. 知识与技能

在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通

项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的

性质，并用其进行一些相关等差数列的计算.

2.过程与方法

以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进

一 步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法.

3.情感、态度与价值观

在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问

题中体验数学的实际应用价值.

教学重点

（1） 明确等差中项的定义及应用.

（2） 理解并掌握等差数列的性质.

教学难点

理解等差数列的性质的应用.

教辅手段

PPT,多媒体投影幕布

教学过程

一、 复习引入——温故知新

【内容设置与处理方式】

借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识

1. 等差数列的定义

2. 等差数列的通项公式与公差

二、 新知探究

（一） 等差中项

【内容设置与处理方式】

直接给出等差中项的定义：由三个数bAa,,组成的等差数列是最

简单的等差数列，此时A叫做a和b的等差中项.baA2

同样,在等差数列}{

na中,就有

212



nnnaaa成立.

等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.

（二） 等差数列的性质

1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的

关系.

问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，……

数列2： 30，25,20，15,10,5，……

数列3： 8,8,8,8,8,8，……

引导学生观察，得到等差数列的一个性质.

性质1：若数列}{

na是等差数列，公差为d.若d>0,则是}{

na递增

数列；若d<0,则}{

na是递减数列；若d=0,则}{

na是常数列.

2.问题2:在等差数列}{

na中,探究等差数列中任意两项

mnaa,之

间的关系.它们之间的关系可表示为:dmnaa

mn)(

参考证明：由等差数列的通项公式dnaa