江苏省常州市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
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________．
【答案】 2 2
【解析】 【分析】 设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．
【详解】设底面边长为 a，则高 h
SA2
2a 2 2
24 a2 2
，所以体积 V
1 3 a2h
1 24a4 1 a6
3
2，
1 设 y＝24a4 2 a6，则 y′＝96a3﹣3a5，当 y 取最值时，y′＝96a3﹣3a5＝0，解得 a＝0 或
故答案为：8．
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确 定平移了周期整数倍是关键，常考题型．
3 7.已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 3 ，则 cos2α＝________．
5 【答案】－ 3
【解析】
3
1
∵sinα＋cosα＝ 3 ，∴(sinα＋cosα)2＝ 3 ，
解得 c＜-2 或 c＞2 ．
可得 c 的取值范围是 (, 2) (2, )
【点睛】本题考查导数的 运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题 解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．
10.已知在正四棱锥 S ABCD 中，若 SA 2 6 ，则当该棱锥的体积最大时，它的高为
则有﹣1≤x﹣3≤1， 解可得 2≤x≤4， 即 x 的取值范围是[2，4]；
故答案为：[2,4] ．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f（x﹣2）≤1 转化为关
于 x 的不等式．
4.已知在等差数列
an
中，若
a3
a4
a5
15 ，则 a1
a2
a6
a7
________．
【答案】35
2a b=2a 1 b 1 3 2 2a 1b 1 3 4 2 3
则
当且仅当
a+1b+1=4 2 a +1=b+1
即
a b
2
2 1 2 1等号成立
故答案为： 4 2 3
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题
13.已知圆 O 的半径为 2 ，若 PA 、 PB 为该圆的两条切线，其中 A 、 B 为两切点，则 PA PB 的最小值________．
1 2
x
2
.
故 f(log2x)的定
义域为
1 2
,
2
.
3.已知函数 f (x) 在 (, ) 上单调递减，且为奇函数，若 f (1) 1，则满足
1 f (x 3) 1 的 x 的取值范围是________． 【答案】 [2,4]
【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的性质可得 f（﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x﹣3≤1， 解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f（x）为奇函数，若 f（1）＝﹣1，则 f（﹣1）＝1， f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f（x﹣3）≤1，即 f（1）≤f（x﹣3）≤f（﹣1），
【答案】8
【解析】
【分析】
函数图象平移 4 个单位长度后，所得的 图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易
得到结果．
2
【详解】f（x）的周期 T ，函数图象平移 4 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，
说明函数平移整数个周期，
2 所以 4 k• ，k∈Z．令 k＝1，可得 ω＝8．
∵当 0≤x≤1 时，f（x）＝4x（1﹣x），
1
1 1
∴f（ 2 ）＝4 2 （1 2 ） 1 ，
ห้องสมุดไป่ตู้
9 故 f（ 2 ） 1 ， 故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关 键．
6.设函数 f (x) cosx( 0) ，将 y f (x) 的图像向右平移 4 个单位长度后，所得的图像与 原图像重合，则 的最小值等于________．
应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AA1 AB ， D 为 BB1 的中点， E 为
AB1 上的一点，且 AE 3EB1 ．
（1）求证： DE 平面 A1BC ；
（2）求证： DE CD ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【答案】 4
【解析】
【分析】
2k x 2k
利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由 2
42
，k∈Z，得
2k x 3 2k
3
4
4
，k∈Z，取 k＝0，得 f（x）的一个减区间为[ 4 ， 4 ]，结
合已知条件即可求出 a 的最大值．
【详解】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）
等式即可得到 c 的范围．
【详解】f′（x）＝3x2﹣3
＝3（x﹣1）（x+1），
f'（x）＞0⇒x＞1 或 x＜-1；f'（x）＜0⇒-1＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，
∴ f (x)极小极大 f 1 2 c，f (x)
f 1 2 c ，
函数 f（x）恰有一个零点，可得 2 c >0 或 2 c <0，
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的性质求出 a4 的值，代入所求的式子化简求值即可．
【详解】由等差数列的性质得， a3 a4 a5 15=3a4 a4 5 ，
∴ a1 a2 a6 a7 7a4＝35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题．
a＝ 4 2 时，当 a 4 2, y' 0; 0 a 4 2, y' 0 ,则 a＝ 4 2 时，体积最大，
24 a2
此时 h
2 2 2，
故答案为： 2 2 ．
【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键， 是中档题．
11.若 f x cos x sin x 在[a, a] 是减函数，则 a 的最大值是_____.
【详解】
，故函数为奇函数
f ' x ax ax ln a 2 2 axax ln a 2 2 ln a 2 0
又
故函数 f (x) ax ax 2x 为增函数，
x e
0 x e
(x e) f log 1 x 1 0
f
log 1
x 1
f
0
f
log 1
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理得 DE∥A1B 即可证明 （2）作 CF⊥AB，F 为垂足，证明 DE 面 FCD,能证明 DE⊥CD．
【详解】（1）∵几何体 ABC A1B1C1 为直三棱柱，
∴四边形 AA1B1B 为矩形．
PA
•
PB
|
PA
|•|
PB
|cos2α
x2 4 •
x2 4 （1﹣2sin2α）
8
32
＝（x2﹣4）（1 x2 ）＝x2 x2 12≥8 2 12，
∴当且仅当 x2 4 2 时取“＝”，故 PA • PB 的最小值为 8 2 12
故答案为： 12 8 2 ．
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时 也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
2sin
x
4
，
2k x 2k
由2
42
，k∈Z，
2k x 3 2k
得4
4
，k∈Z，
3 取 k＝0，得 f（x）的一个减区间为[ 4 ， 4 ]，
由 f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得
a
a
3 4
4
a
，∴
4
．
则 a 的最大值是 4 ．
故答案为： 4 ．
列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．
9.已知函数 f (x) x3 3x c(x R) ，若函数 f (x) 恰有一个零点，则实数 c 的取值范围是
________．
【答案】 (, 2) (2, )
【解析】
【分析】
求出 f（x）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于 0 或极小值大于 0，解不
2
2
∴2sinαcosα＝－ 3 ，即 sin2α＝－ 3 .
3 ∵α 为第二象限角且 sinα＋cosα＝ 3 >0，
3
3
∴2kπ＋ 2 <α<2kπ＋ 4 π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋ 2 π(k∈Z)，∴2α 为第三象
5 限角，∴cos2α＝－ 1－sin2 2 ＝－ 3
8.已知数列
x 1
f
0
a
等价为 a
或 a
，
解得
x
e或0<x
1 a
，故不等式
(x
e)
f
log 1 a
x
1
0
的解集是
0,
1 a
[e, )
故答案为：
0,
1 a
[e,
)
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题
二、解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时
【答案】 12 8 2
【解析】 【分析】
结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度和夹角，并将 PA • PB 表示成一个关于 x 的函数，然
【答案】 2 2
【解析】 【分析】 设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值．
【详解】设底面边长为 a，则高 h
SA2
2a 2 2
24 a2 2
，所以体积 V
1 3 a2h
1 24a4 1 a6
3
2，
1 设 y＝24a4 2 a6，则 y′＝96a3﹣3a5，当 y 取最值时，y′＝96a3﹣3a5＝0，解得 a＝0 或
故答案为：8．
【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确 定平移了周期整数倍是关键，常考题型．
3 7.已知 α 为第二象限角，sinα＋cosα＝ 3 ，则 cos2α＝________．
5 【答案】－ 3
【解析】
3
1
∵sinα＋cosα＝ 3 ，∴(sinα＋cosα)2＝ 3 ，
解得 c＜-2 或 c＞2 ．
可得 c 的取值范围是 (, 2) (2, )
【点睛】本题考查导数的 运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题 解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．
10.已知在正四棱锥 S ABCD 中，若 SA 2 6 ，则当该棱锥的体积最大时，它的高为
则有﹣1≤x﹣3≤1， 解可得 2≤x≤4， 即 x 的取值范围是[2，4]；
故答案为：[2,4] ．
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f（x﹣2）≤1 转化为关
于 x 的不等式．
4.已知在等差数列
an
中，若
a3
a4
a5
15 ，则 a1
a2
a6
a7
________．
【答案】35
2a b=2a 1 b 1 3 2 2a 1b 1 3 4 2 3
则
当且仅当
a+1b+1=4 2 a +1=b+1
即
a b
2
2 1 2 1等号成立
故答案为： 4 2 3
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题
13.已知圆 O 的半径为 2 ，若 PA 、 PB 为该圆的两条切线，其中 A 、 B 为两切点，则 PA PB 的最小值________．
1 2
x
2
.
故 f(log2x)的定
义域为
1 2
,
2
.
3.已知函数 f (x) 在 (, ) 上单调递减，且为奇函数，若 f (1) 1，则满足
1 f (x 3) 1 的 x 的取值范围是________． 【答案】 [2,4]
【解析】 【分析】 根据题意，由函数奇偶性的性质可得 f（﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x﹣3≤1， 解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f（x）为奇函数，若 f（1）＝﹣1，则 f（﹣1）＝1， f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f（x﹣3）≤1，即 f（1）≤f（x﹣3）≤f（﹣1），
【答案】8
【解析】
【分析】
函数图象平移 4 个单位长度后，所得的 图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易
得到结果．
2
【详解】f（x）的周期 T ，函数图象平移 4 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，
说明函数平移整数个周期，
2 所以 4 k• ，k∈Z．令 k＝1，可得 ω＝8．
∵当 0≤x≤1 时，f（x）＝4x（1﹣x），
1
1 1
∴f（ 2 ）＝4 2 （1 2 ） 1 ，
ห้องสมุดไป่ตู้
9 故 f（ 2 ） 1 ， 故答案为：1
【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关 键．
6.设函数 f (x) cosx( 0) ，将 y f (x) 的图像向右平移 4 个单位长度后，所得的图像与 原图像重合，则 的最小值等于________．
应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC ， AA1 AB ， D 为 BB1 的中点， E 为
AB1 上的一点，且 AE 3EB1 ．
（1）求证： DE 平面 A1BC ；
（2）求证： DE CD ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【答案】 4
【解析】
【分析】
2k x 2k
利用两角和差的正弦公式化简 f（x），由 2
42
，k∈Z，得
2k x 3 2k
3
4
4
，k∈Z，取 k＝0，得 f（x）的一个减区间为[ 4 ， 4 ]，结
合已知条件即可求出 a 的最大值．
【详解】解：f（x）＝cosx﹣sinx＝﹣（sinx﹣cosx）
等式即可得到 c 的范围．
【详解】f′（x）＝3x2﹣3
＝3（x﹣1）（x+1），
f'（x）＞0⇒x＞1 或 x＜-1；f'（x）＜0⇒-1＜x＜1，
∴f（x）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，
∴ f (x)极小极大 f 1 2 c，f (x)
f 1 2 c ，
函数 f（x）恰有一个零点，可得 2 c >0 或 2 c <0，
【解析】
【分析】
根据题意和等差数列的性质求出 a4 的值，代入所求的式子化简求值即可．
【详解】由等差数列的性质得， a3 a4 a5 15=3a4 a4 5 ，
∴ a1 a2 a6 a7 7a4＝35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题．
a＝ 4 2 时，当 a 4 2, y' 0; 0 a 4 2, y' 0 ,则 a＝ 4 2 时，体积最大，
24 a2
此时 h
2 2 2，
故答案为： 2 2 ．
【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键， 是中档题．
11.若 f x cos x sin x 在[a, a] 是减函数，则 a 的最大值是_____.
【详解】
，故函数为奇函数
f ' x ax ax ln a 2 2 axax ln a 2 2 ln a 2 0
又
故函数 f (x) ax ax 2x 为增函数，
x e
0 x e
(x e) f log 1 x 1 0
f
log 1
x 1
f
0
f
log 1
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理得 DE∥A1B 即可证明 （2）作 CF⊥AB，F 为垂足，证明 DE 面 FCD,能证明 DE⊥CD．
【详解】（1）∵几何体 ABC A1B1C1 为直三棱柱，
∴四边形 AA1B1B 为矩形．
PA
•
PB
|
PA
|•|
PB
|cos2α
x2 4 •
x2 4 （1﹣2sin2α）
8
32
＝（x2﹣4）（1 x2 ）＝x2 x2 12≥8 2 12，
∴当且仅当 x2 4 2 时取“＝”，故 PA • PB 的最小值为 8 2 12
故答案为： 12 8 2 ．
【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时 也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．
2sin
x
4
，
2k x 2k
由2
42
，k∈Z，
2k x 3 2k
得4
4
，k∈Z，
3 取 k＝0，得 f（x）的一个减区间为[ 4 ， 4 ]，
由 f（x）在[﹣a，a]是减函数，
得
a
a
3 4
4
a
，∴
4
．
则 a 的最大值是 4 ．
故答案为： 4 ．
列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数．
9.已知函数 f (x) x3 3x c(x R) ，若函数 f (x) 恰有一个零点，则实数 c 的取值范围是
________．
【答案】 (, 2) (2, )
【解析】
【分析】
求出 f（x）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于 0 或极小值大于 0，解不
2
2
∴2sinαcosα＝－ 3 ，即 sin2α＝－ 3 .
3 ∵α 为第二象限角且 sinα＋cosα＝ 3 >0，
3
3
∴2kπ＋ 2 <α<2kπ＋ 4 π(k∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋ 2 π(k∈Z)，∴2α 为第三象
5 限角，∴cos2α＝－ 1－sin2 2 ＝－ 3
8.已知数列
x 1
f
0
a
等价为 a
或 a
，
解得
x
e或0<x
1 a
，故不等式
(x
e)
f
log 1 a
x
1
0
的解集是
0,
1 a
[e, )
故答案为：
0,
1 a
[e,
)
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题
二、解答题：（本大题共 6 小题，共计 90 分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时
【答案】 12 8 2
【解析】 【分析】
结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度和夹角，并将 PA • PB 表示成一个关于 x 的函数，然
