2020-2021高三数学上期中试卷(带答案)

保密★启用前2020－2021学年度第一学期期中考试高三数学试题(B)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集U ＝{x|－1≤x<3}，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，则U A ＝A.{x|－1≤x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|2≤x<3}D.{x|x<－1或x>2}2.己知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则1z z + A.32i + B.12i + C.132i - D.132i + 3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是 A.y ＝x －2B.y ＝2－x C.y ＝|lnx| D.y ＝xsinx4.已知tan α＝2，则sin(α－4π)sin(α＋4π)＝ A.－310 B.－35 C.310 D.35 5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢)。

弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦AB 等于6米，其弧田弧所在圆为圆O ，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72平方米，则sin ∠AOB ＝A.34B.725C.1225D.24256.在△ABC 中，AB AC 2AD +=，AE 2DE 0+=，若EB xAB yAC =+，则A.x ＋2y ＝0B.2x ＋y ＝0C.x －2y ＝0D.2x －y ＝07.函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<2π)的图象如图所示，为了得到f(x)的图象，只需将g(x)＝Asin ωx 图象A.向左平移4π个单位长度 B.向右平移4π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向右平移12π个单位长度 8.定义域为(－2π，2π)的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为f'(x)，当0<x<2π时，有f'(x)cosx ＋f(x)sinx<0成立，则关于x 的不等式2f(4π)·cosx 的解集为 A.(－2π，－4π)∪(4π，2π)B.(4π，2π) C.(－4π，0)∪(0，4π) D.(－4π，0)∪(4π，2π) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京十四中2020-2021学年度第一学期期中检测高三数学测试卷注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.一、选择题（本题共40分，每小题4分，每个题目只有一个选项正确）1. 已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{}|13N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A. {}|2x x <B. {}|12x x <<C. {}|3x x >D. {}|1x x ≤【答案】D 【解析】阴影部分表示的集合为()UMN ，由题{}|1M N x x ⋃=>，所以(){}|1UM N x x ⋃=≤，故选择D.2. 已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=（ ） A. -3 B.13C. 1D. 3【答案】A 【解析】【详解】向量()()12,02a b ==-,,，则()22,6a b -=，若()2//a b c -，则有26λ=-，所以3λ=-.故选：A.3. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A14B.2π C.4π D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =， 又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.4. 已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为 A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x ，的图象都经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得14a log =2，14b =2，解得a ，b即可得出．【详解】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x，的图象都经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，∴14alog =2，14b =2，解得a=12，b=16．则ab=8． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x =-B. 12y x =C. ||2x y =D.3log ()y x =-【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足()()f x f x =-，再根据初等函数的单调性判断在(0,)+∞上是否单调递增，可得出选项.【详解】A 项，对于函数3y x =-，定义域为R ，关于原点对称，()33()()f x x x f x -=--==-，所以函数3y x =-是奇函数，故A 项错误；B 项，对于函数12y x =，定义域为(0,)+∞，定义域不关于原点对称，所以函数12y x =为非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，对于函数||2x y =，定义域为R ，关于原点对称，2()()2x x g x g x --===，所以函数2x y =为偶函数，当0x >时，22x x y ==，利用指数函数知，函数2xy =在区间(0,)+∞上为增函数，故C 正确；D 项，对于函数3log ()y x =-，定义域为(,0)-∞，定义域不关于原点对称，所以函数3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 项错误；故选：C .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，13(*)n n a a n +=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】分析：求出等差数列{}n a 的通项公式，()()111031313n a a n d n n =+-=-+-=-，利用3130n -≥，从而可得当4n =时，n S 取最小值.详解：在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()13*n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是公差为3的等差数列．又110a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列． 由()()1110313130n a a n d n n =+-=-+-=-≥，解得133n ≥． ∵*n N ∈，∴数列{}n a 中从第五项开始为正值． ∴当4n =时，n S 取最小值． 故选B ．点睛：求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 2 5 C. 3D. 22【答案】C 【解析】【分析】由三视图知该几何体是一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由三视图求出几何元素的长度､判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱【详解】根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,AD ⊥AB ､AD //BC ,AD =AB =2､BC =1, P A ⊥底面ABCD ,且P A =2, ∴该四棱锥最长的棱长为222222213PA AC PC +=++=,故答案为:3.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 9. 已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由数列{}n a 单调递增，化简得到2a n n <+，再由2t n n =+的单调性求得a 的范围，然后再由充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若数列{}n a 单调递增 则11a a n n n n++>++， 化简得2a n n <+，令221124t n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上递增， 所以2a <，所以“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件， 故选：A10. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A 77 B. 80 C. 100D. 772【答案】D 【解析】 【分析】 设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD （cm ），∴154tan AD CD xα，77tan BD CDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．二、填空题（本题共25分，每小题5分）11. 角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【答案】12- 【解析】 【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-12. 已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，则AE AC=______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知可知，AE =AB BE +=12AC ，代入即可求解AE AC． 【详解】AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，∴AE =AB BE +=12AC ， 则AEAC =12AC AC=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题． 13. 函数22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，满足()01f x >的0x 的取值范围是____________. 【答案】()()102-+∞，，． 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式得出不等式组00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解之可得答案．【详解】因为22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()01f x >，所以00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解得10x 或0>2x ，所以0x 的取值范围是()()102-+∞，，． 故答案为：()()102-+∞，，． 14. 在ABC ∆中，3,4,AB AC ==若ABC∆的面积为则BC 边的长度为______.【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得角A ，再利用余弦定理，即可求解BC 边的长度，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，3AB =，4AC=，且面积为所以11sin 34sin 22AB AC A A ⋅=⨯⨯=sin A =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=或23A π=， 当3A π=时，1cos 2A =， 由余弦定理，可得222212cos 34234132BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=； 当23A π=时，1cos 2A =-，由余弦定理，可得222212cos 34234()372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，综上，BC 边的长度为13或37.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15. 给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】A 即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ； 对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本题共85分）16. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12381n a a a a +++⋅⋅⋅+=，求n ； （3）求和：13521n b b b b -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）21n a n =-；（2）9n =；（3）312n -【解析】 【分析】（1）利用11a =，2410a a +=，求得数列{}n a 的公差，从而求得{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可求得.（3）利用245b b a =，59a =，求得239b =，由等比数列性质知33b =，即23q =，知数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题可得：24332105a a a a +==⇒=，又11a =，解得112a d =⎧⎨=⎩ ，()1–121n a a n d n ∴=+=-（2）利用等差数列求和可知2123(121)2n n n a a a a n +-+++⋅⋅⋅+==，即281n =，解得：9n =或9n =-（舍去）9n ∴=（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，又2243b b b =，59a =，即239b =，又22310b b q q ==>，解得：33b =或33b =-（舍去）即23q =，所以数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列135211(13)31132n n n b b b b -⨯--∴+++⋅⋅⋅+==- 17. 已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()f α=，求α的值.【答案】（1）2π；（2）函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()f x )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x sin(4)24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈； （3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()f α=，所以()sin(4)244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 18. 已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案．【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x xf x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3．【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，AB AD12CD ，AB AD ⊥，//AB CD ，点M 是PC 的中点.（1）求证：//MB 平面P AD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在，请求出PNPB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（215（3）在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ． 【解析】【分析】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ，推导出四边形ABMH 为平行四边形，由此能证明BM ∥平面P AD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值． （3）设点N （x ，y ，z ），且 [],0,1PNPBλλ=∈，利用向量法求出在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【详解】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ．因为 M 为PC 中点，所以 1//,2HM CD HM CD =． 因为1//,2AB CD AB CD =，所以AB ∥HM 且AB =HM ．所以四边形ABMH 为平行四边形， 所以BM ∥AH ．因为 BM ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ．因为P A =PD ，所以PO ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取BC 中点K ，连结OK ，则OK ∥AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB =2，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --，(2,2,0),(1,2,BC PB =-=，则平面BCD的法向量(0,0OP =，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则(1,1,3)n =．cos ,||||3OP n OP n OP n ⋅<>===⨯由图可知，二面角P ﹣BC ﹣D 是锐二面角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D （3）在线段PB 上是不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．设点(,,)N x y z ，且[],0,1PNPBλλ=∈，则PN PB λ=，所以()(,,3)1,2,3x y z λ-=-．则233.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，所以(,2,33)N λλλ-，(+1,233)DN λλλ=-，． 若 DN ⊥平面PBC ，则//DN n ， 即33123λλλ-+==，此方程无解， 所以在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【点睛】在解决线段上是否存在点，使得满足线面平行或线面垂直等条件的问题，常常采用向量的线性表示，运用λ法，设出点的坐标，表示已知条件，求解方程的解，得出结论． 20. 已知函数()(1)(21)x f x axe a x =-+-.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）32y x =-+（Ⅱ）11a e ≥-． 【解析】试题分析：（1）求出()'4xxf x xe e =+-,求出()0f 的值可得切点坐标，求出()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）首先根据首先()10f ≥，初步判断101a e ≥>-，再证明()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1，且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，函数()f x 的最小值为()()()0000121x f x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221xa e a x +=+，代入上式即可证明.试题解析：（Ⅰ）若1a =，则()()221xf x xe x =--，当0x =时，()2f x =，()'4xxf x xe e =+-，当0x =时，()'3f x =-， 所以所求切线方程为32y x =-+ （Ⅱ）由条件可得，首先()10f ≥，得101a e ≥>-， 而()()()'121xf x a x e a =+-+，令其为()h x ，()()'2xh x a x e =+恒为正数，所以()h x 即()'f x 单调递增，而()'020f a =--<，()'12220f ea a =--≥，所以()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1， 且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()()()0000121xf x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221x a e a x +=+，代入上式可得()()()200001211a x x f x x +-++=+(]00,1x ∈ 200210x x ∴-++≥,即：()00f x ≥恒成立，所以11a e ≥-． 21. 已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中01a =，12,,a a ,{0,1}k a ⋅⋅⋅∈，*k N ∈.对于*n N ∈，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =，如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =. （1）写出数列{}n b 的前8项；（2）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值.（结论不要求证明）【答案】（1）1,1,0,1,0,0,1,1； （2）证明见解析； （3）2051n =或2052n =.. 【解析】 【分析】（1）由题意，1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由1001222k k k m a a a -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，分01a =且12,,,k a a a 中无0和当01a =且12,,,k a a a 中有0，两种情况，即可证明； （3）由（2），即可求得n 的值.【详解】（1）由1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，根据数列{}n b 满足：当01,,,ka a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0nb =；否则1n b =， 所以数列{}n b 的前8项为1,1,0,1,0,0,1,1.（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，当01a =且12,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++⋅⋅⋅++，所以110112020202k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，110212020212k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，所以121,1,0m m m b b b ++===，此时连续2项为1， 当01a =且12,,,k a a a 中有0时，①若0k a =，则11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅， 则11001122212k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，因为12,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续I 项为1.②若1k a =，即1101122202k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ， 则1101122212k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ，11011222202k k sk m a a a --+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+110020212(1)02s is -⨯++⨯+⨯-连续个乘以（其中i N ∈），如果s 为奇数，那么120,0m m b b ++==，此时连续2项为1， 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项为1m b =， 综上所述，连续为1的项不超过2项.（3）由（2）可得，满足1026n S =，可得2051n =或2052n =. 【点睛】有关数列新定义问题特点与解题思路：1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg （x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（ ）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）2.（单选题.4分）已知a.b∈R .则“a ＞|b|”是“|a|＞|b|”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.34.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ） A.B.C.D.5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f(x)=√3sin(x2+π3)B. f(x)=√3sin(x2+2π3)C. f(x)=32sin(x+π3)D. f(x)=32sin(x+2π3)6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.47.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x2-2x8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a1.a2.a3.a4）.且满足a2-a1≥3.a3-a2≥4.a4-a3≥5.则这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是（）A. C84B. C114C. C144D. C1649.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √510.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α11.（填空题.6分）已知复数z 满足z （3-i ）=10.则复数z 的虚部等于___ .复数z 的模等于___ ．12.（填空题.6分）在二项式 (x 2−1x )5 的展开式中.二项式系数之和是___ .含x 4的项的系数是___ ．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109 .则p=___ ；P （X=1）=___ ．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ． 17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b 3 +xlna.若存在x 0∈[ a 3.b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 b a 的取值范围为___ ．18.（问答题.14分）在△ABC 中.内角A.B.C 所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B ；（2）若角B 为锐角.sin A 2 = √6−√24 .BC 边上中线长AD= √7 .求△ABC 的面积．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD 为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E 为BC 中点.C′在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．（1）求证：BD⊥A′H ；（2）求直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值．20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n}的前n项和为S n.且满足a1=4.a n+1=3S n+4（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；．（2）设数列{b n}满足a n b n=log2a n.数列{b n}的前n项和为T n.求证：T n＜8921.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、时.|AB|=8．B两点.当直线l的倾斜角为π4（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．.g（x）=ax+b．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；图象的切线.求a+b的最小值；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}.B={x||x|＜2}.则A∩B=（）A.（-2.0）B.（0.2）C.（-1.2）D.（-2.-1）【正确答案】：C【解析】：求解对数型函数的定义域化简集合A.然后直接利用交集运算求解．【解答】：解：由x+1＞0.得x＞-1∴A=（-1.+∞）.B={x||x|＜2}=（-2.2）∴A∩B=（-1.2）．故选：C．【点评】：本题考查了交集及其运算.考查了对数函数的定义域.是基础题．2.（单选题.4分）已知a.b∈R.则“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.再利用充分必要条件的定义分析即可．【解答】：解：|a|＞|b|⇔a＞|b|或-a＞|b|.∴由a＞|b|可推出|a|＞|b|.由|a|＞|b|推不出a＞|b|.故“a＞|b|”是“|a|＞|b|”的充分不必要条件．故选：A ．【点评】：本题考查了充分必要条件的定义及绝对值的含义.属于基础题．3.（单选题.4分）已知实数x.y 满足 {y ≥0x −y ≥1x +2y ≤4.则该不等式组所表示的平面区域的面积为（ ） A. 12 B. 32C.2D.3【正确答案】：B【解析】：利用约束条件画出可行域.通过可行域求解顶点坐标.然后求解可行域的面积．【解答】：解：根据题中所给的约束条件.画出其对应的区域如下图所示.其为阴影部分的三角区.解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为（1.0）.（2.1）.（4.0）.根据三角形的面积公式可以求得S= 12×(4−1)×1 = 32 ．故选：B ．【点评】：本题主要考查线性规划的应用.通过数形结合是解决本题的关键.是中档题．4.（单选题.4分）设函数f （x ）=xln 1+x 1−x .则函数f （x ）的图象可能为（ ）A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数.再求出f（12）.则答案可求．【解答】：解：函数f（x）=xln 1+x1−x的定义域为（-1.1）.由f（-x）=-xln 1−x1+x =xln 1+x1−x=f（x）.得f（x）为偶函数.排除A.C；又f（12）= 12ln1+121−12=12ln3＞0.排除D．故选：B．【点评】：本题考查函数的图象与图象变换.考查函数奇偶性的应用.是中档题．5.（单选题.4分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的部分图象如图所示.则（）A. f (x )=√3sin (x 2+π3) B. f (x )=√3sin (x 2+2π3) C. f (x )=32sin (x +π3)D. f (x )=32sin (x +2π3) 【正确答案】：B【解析】：由函数f （x ）的部分图象求出A 、φ和ω的值.即可求出f （x ）的解析式．【解答】：解：由函数f （x ）=Asin （ωx+φ）的部分图象知.A= √3 ；又f （0）= √3 sinφ= 32 .解得sinφ= √32 ；又0＜φ＜π.所以φ= π3 .或 2π3 ；当φ= π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 710 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 710 .没有选项满足题意；当φ= 2π3 时.f （ 5π3 ）= √3 sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=- √3 .即sin （ 5π3 ω+ 2π3 ）=-1.解得 5π3 ω+ 2π3 = 3π2 +2kπ.k∈Z ；即ω= 12 + 65 k.k∈Z ；k=0时.ω= 12 .f （x ）= √3 sin （ x 2 + 2π3 ）.选项B 满足题意．故选：B ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了数形结合思想.是基础题．6.（单选题.4分）如图为一个几何体的三视图.则该几何体中任意两个顶点间的最大值为（）A. √17B. √15C. √13D.4【正确答案】：A【解析】：画出几何体的直观图.判断两点间的最大值的位置.求解即可．【解答】：解：由题意可知几何体是直观图如图.是长方体的一部分.该几何体中任意两个顶点间的最大值应该是EB.AF.BD中的一个.EB= √ED2+AD2+AB2 = √4+4+9 = √17．AF= √AD2+DE2+EF2 = √4+4+4 = √12 .BD= √22+32 = √13．故选：A．【点评】：本题考查三视图的直观图的应用.判断棱长以及计算求解是解题的关键．7.（单选题.4分）设函数f（x）的定义域为D.如果对任意的x∈D.存在y∈D.使得f（x）=-f（y）成立.则称函数f（x）为“H函数”.下列为“H函数”的是（）A.y=sinxcosx+cos2xB.y=lnx+e xC.y=2xD.y=x 2-2x 【正确答案】：B【解析】：运用二倍角公式和辅助角公式化简函数y.取x= π8 .可判断A ；由函数的单调性和值域.可判断B ；由指数函数的值域即可判断C ；运用配方法.可取x=3可判断D ．【解答】：解：由y=sinxcosx+cos 2x= 12 sin2x+ 1+cos2x2= 12+ √22sin （2x+ π4）.由f （x ）+f （y ）=1+ √22sin （2x+ π4）+ √22sin （2y+ π4）=0. 取x= π8 .可得sin （2y+ π4 ）=-1- √2 ＜-1.y 不存在.故A 不为“H 函数”； 由y=lnx+e x .且f （x ）+f （y ）=lnx+e x +lny+e y =0. 由于y=lnx+e x 递增.且x→0.y→-∞；x→+∞.y→+∞.即有任一个x （x ＞0）.可得唯一的y.使得f （x ）=-f （y ）.故B 为“H 函数”； 由y=2x 可得2x ＞0.2x +2y =0不成立.故C 不为“H 函数”；由y=x 2-2x.若f （x ）+f （y ）=x 2-2x+y 2-2y=（x-1）2+（y-1）2-2=0. 可取x=3.可得y 无解.故D 不为“H 函数”． 故选：B ．【点评】：本题主要考查函数与方程之间的关系.将条件转化为f （x ）+f （y ）=0是解决本题的关键．8.（单选题.4分）从.1.2.3….20中选取四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）.且满足a 2-a 1≥3.a 3-a 2≥4.a 4-a 3≥5.则这样的四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数是（ ）A. C 84B. C 114C. C 144D. C 164【正确答案】：B【解析】：将a 1连同其右边的2个空位捆绑.a 2连同其右边的3个空位捆绑.a 3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a 1.a 2.a 3.a 4）的个数相当于从11个元素中选取4个.【解答】：解：将a1连同其右边的2个空位捆绑.a2连同其右边的3个空位捆绑.a3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素.四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数相当于从11个元素中选取4个.故这样的四元数组（a1.a2.a3.a4）的个数是C114．故选：B．【点评】：本题考查了计数原理.组合数的原理.考查了捆绑法的使用．属于中档题．9.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R.使得f（x）在[2.b]上恰有两个零点.则实数b的最小值为（）A.2 √5B. √3C.2+2 √3D.2+2 √5【正确答案】：C【解析】：由函数在[2.b]上恰好有2个零点可得.可得零点必在区间的端点.讨论零点为2和b 时.解得a的值.将a的值代入使得函数值f（b）=0求出b的值即可．【解答】：解：因为函数f（x））=|x2+ax-2|-6在[2.b]上恰有两个零点.所以必在x=2与x=b 时恰好取到零点的最小值和最大值.若x=2.f（x）的零点满足f（2）=|22+2a-2|-6=0.解得a=2.或a=-4.当a=2.f（x）=|x2+2x-2|-6.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2+2b-2|-6=0.且b＞2.解得b=2（舍）或b=-4（舍）.当a=-4时.f（x）=|x2-4x-2|-6且b＞2.满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点.则f（b）=|b2-4b-2|-6=0.b＞2.所以|b2-4b-2|=6.即b2-4b-2=-6整理b2-4b+4=0.解得b=2（舍）.或b2-4b-8=0解得：b=2-2 √3（舍）或b=2+2 √3 .综上所述.当b=2+2 √3时满足f（x）在[2.b]上恰好有2个零点．故答案为：2+2 √3．故选：C．【点评】：本题考查函数的零点和方程根的关系.属于中档题．10.（单选题.4分）在正方体ABCD-A'B'C'D'中.点E.F分别是棱CD.BC上的动点.且BF=2CE．当三棱锥C-C′EF的体积取得最大值时.记二面角C-EF-C′.C′-EF-A′.A′-EF-A的平面角分别为α.β.γ.则（）A.α＞β＞γB.α＞γ＞βC.β＞α＞γD.β＞γ＞α 【正确答案】：A【解析】：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a.三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时.△CEF 的面积最大.由 S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 .得a= 12 时.△CEF 的面积最大.利用向量法能求出结果．【解答】：解：以D 为原点.DA 为x 轴.DC 为y 轴.DD′为z 轴.建立空间直角坐标系. 设正方体ABCD-A'B'C'D'中棱长为2.CE=a.则CF=2-2a. 三棱锥C-C′EF 的体积取得最大值时. △CEF 的面积最大.S △CEF =12×a ×(2−2a ) =a-a 2=-（a- 12 ）2+ 14 . ∴a= 12 时.△CEF 的面积最大.此时.A （2.0.0）.C （0.2.0）.E （0.1.0）.F （1.2.0）.A′（2.0.2）.C′（0.2.2）. EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.1.0）. EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.0）. EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2.-1.2）. EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.0）. EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.1.2）. 平面EFC 的法向量和平面EFA 的法向量都是 m ⃗⃗ =（0.0.1）. 设平面EFC′的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •EF⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ •EC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +2z =0 .取z=1.得 n ⃗ =（2.-2.1）.∴cosα= |n ⃗ •m ⃗⃗⃗ ||n ⃗ |•|m ⃗⃗⃗ |= 13 ≈0.333. 设平面EFA′的法向量 p =（x.y.z ）.则 {p •EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0p •EA′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −y +2z =0 .取x=2.得 p =（2.-2.-3）.∴cosβ= |n ⃗ •p ||n ⃗ |•|p |= 3√17. cosγ= |m ⃗⃗⃗ •p ||m ⃗⃗⃗ |•|p | = √17. ∴α＞β＞γ． 故选：A ．【点评】：本题考查二面角的大小的判断.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识.考查运算求解能力.是中档题．11.（填空题.6分）已知复数z满足z（3-i）=10.则复数z的虚部等于___ .复数z的模等于___ ．【正确答案】：[1]1; [2] √10【解析】：根据复数的基本运算法则求出复数z.从而得到复数z的虚部和模长．【解答】：解：∵z（3-i）=10.∴ z=103−i=3+i.∴|z|= √32+12=√10 .∴复数z的虚部等于1.复数z的模等于√10 .故答案为：1. √10．【点评】：本题主要考查复数的概念.考查了复数模长的计算.比较基础．12.（填空题.6分）在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是___ .含x4的项的系数是___ ．【正确答案】：[1]32; [2]10【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于4.求出r的值.即可求得含x4的项的系数．【解答】：解：在二项式(x2−1x )5的展开式中.二项式系数之和是 25=32.通项公式为 T r+1= C5r•（-1）r•x10-3r.令10-3r=4.求得r=2.可得含x4的项的系数是C52 =10.故答案为：32；10．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．13.（填空题.6分）已知随机变量X 服从二项分布B （n.p ）.若E （X ）= 53 .D （X ）= 109.则p=___ ；P （X=1）=___ ． 【正确答案】：[1] 13 ; [2] 80243【解析】：利用二项分布的期望与方差.求出n.p.然后求解P （X=1）即可．【解答】：解：随机变量X 服从二项分布B （n.p ）. E （X ）= 53.D （X ）= 109 . 则np= 53 .np （1-p ）= 109 . 解得p= 13 .n=5.P （X=1）=C 51（ 13 ）•（ 23 ）4= 80243 ． 故答案为： 13 . 80243．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列的期望与方差的求法.二项分布的应用.考查计算能力．14.（填空题.6分）已知数列{a n }满足n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.则a 1=___ ；设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意的n∈N*.当n≠5时.都有S n ＜S 5.则S 5的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]2; [2]（5.6）【解析】：先由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.当n=1.得a 2.再由 {na n −(n −1)a n+1=2(n +1)a n+1−na n+2=2可得：a n +a n+2=2a n+1.即可得数列{a n }为等差数列.结合当n≠5时.都有S n ＜S 5.即可求得S 5的取值范围．【解答】：解：∵n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）. ∴当n=1时.得a 1=2.又由n•a n -（n-1）•a n+1=2（n∈N*）.可得：（n+1）a n+1-na n+2=2. 两式相减整理得：a n +a n+2=2a n+1. ∴数列{a n }为等差数列. 又∵a 1=2＞0.S 5最大. ∴公差d ＜0.a 5＞0.a 6＜0. 即 {2+4d ＞02+5d ＜0⇒- 12 ＜d ＜- 25 .又S 5=5a 3=5（2+2d ）=10（d+1）.∴S 5∈（5.6）.故答案为：2；（5.6）．【点评】：本题主要考查等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及数列的单调性的应用.属于基础题．15.（填空题.4分）设b ＞0.a-b 2=1.则 4a + a 22b 的最小值为___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：首先对关系式进行变换.进一步利用不等式的应用和均值不等式的应用求出结果．【解答】：解：设b ＞0.a-b 2=1.则a=1+b 2.所以a 2=（1+b 2）2 所以 1a = 11+b 2 .则： 4a + a 22b = 41+b 2 + (1+b 2)22b≥2 √41+b 2×(1+b 2)22b=2 √2(1+b 2)b. 由于b ＞0. 所以2(1+b 2)b=2（ 1b +b ）≥2×2 √1b×b =4.（当且仅当b=1时.等号成立）当b=1时. 41+b 2 = (1+b 2)22b =2.故 √2(1+b 2)b≥2. 所以 4a + a 22b 的最小值为2×2=4． 故答案为：4．【点评】：本题考查的知识要点：函数的关系式的变换.基本不等式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题．16.（填空题.4分）如图.在四边形ABCD 中.AB=CD=1.点M.N 分别是边AD.BC 的中点.延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同的两点P.Q.则 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 的值为___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：建立坐标系.设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.求出 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.即可得出结论．【解答】：解：设∠ABC=α.BC=a.∠BCD=β.则A （cosα.sinα）. B （0.0）.C （a.0）.D （a-cosβ.sinβ）. ∴M （a+cosα−cosβ2 . sinα+sinβ2 ）.N （ a2.0）. ∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ cosα−cosβ2. sinα+sinβ2）. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα.-sinα）. DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（cosβ.-sinβ）. ∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-cosα-cosβ.-sinα+sinβ）.∴ NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =- 12 （cos 2α-cos 2β）+ 12 （sin 2β-sin 2α）=- 12 （cos 2α+sin 2α）+ 12 （cos 2β+sin 2β）=0. 又 PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ || NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ PQ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =0. 故答案为：0．【点评】：本题考查了平面向量的数量积运算.建立坐标系可使运算较简单．17.（填空题.4分）设a.b 是正实数.函数f （x ）=xlnx.g （x ）=- b3 +xlna.若存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.则 ba 的取值范围为___ ． 【正确答案】：[1]（ 13 . 3e ]【解析】：设h （x ）=f （x ）-g （x ）.由f （x 0）≤g （x 0）.结合函数的单调性.分类讨论.最后综合讨论结果.可得 ba 的取值范围．【解答】：解：设h （x ）=f （x ）-g （x ）=xlnx+ b3 -xlna.存在x 0∈[ a3 .b].使f （x 0）≤g （x 0）成立.∴ a3 ＜b.a ＞0.即 ba ＞13 . ∵h′（x ）=lnx+1-lna=ln xa +1. ∵x 0∈[ a3 .b]. ∴x 0≥ a 3 . x0a ≥ 13 .令ln xa +1＞0.即当x＞ae时.h（x）单调递增.当a3＜x＜ae时.h′（x）＜0.h（x）单调递减.若b≤ ae .即ba∈（13. 1e]时.h（x）在[ a3.b）上单调递减.∴h（x）min=h（b）=bln ba + b3≤0.对ba∈（13. 1e]恒成立.若当a3＜ae＜b.即ba∈（1e.+∞）时.h（x）在[ a3.b]上先减后增.∴h（x）min=h（ae ）= aeln ae- aelna+ b3≤0.∴- ae + b3≤0. ba≤ 3e.即1e ＜ba≤ 3e.综上所述. ba 的取值范围为（13. 3e].故答案为：（13 . 3e ]．【点评】：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性.函数恒成立问题.熟练掌握导数法求函数的单调性和最值的方法和步骤是解答的关键.属于难题．18.（问答题.14分）在△ABC中.内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.且满足acosC+ccosA-2bsinB=0．（1）求角B；（2）若角B为锐角.sin A2 = √6−√24.BC边上中线长AD= √7 .求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.两角和的正弦公式化简已知等式可得sinB（1-2sinB）=0.结合sinB≠0.可求sinB= 12.结合B为三角形内角.可求B的值．（2）由已知及（1）可得B= π6 .利用二倍角公式可求cosA= √32.结合范围A ∈(0，5π6) .可求A= π6 .C= 2π3.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理解得x的值.可得AC=BC=2.利用三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：（1）因为acosC+ccosA-2bsinB=0.所以由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA-2sinBsinB=0.所以sin（A+C）-2sinBsinB=0.可得sinB（1-2sinB）=0. 又因为sinB≠0.所以sinB= 12.因为B为三角形内角.所以B= π6 .或5π6．（2）若角B为锐角.由（1）可得B= π6.因为cosA=1-2sin2A2 =1-2（√6−√24）2= √32.因为A ∈(0，5π6) .所以A= π6.所以△ABC为等腰三角形.且C= 2π3.在△ABC中.设AC=BC=2x.在△ADC中.由余弦定理可得AD2=AC2+DC2-2AC•DC•cos 2π3=7x2=7.解得x=1.所以AC=BC=2.所以S△ABC= 12AC•BC•sinC= √3 .所以三角形的面积为√3．【点评】：本题主要考查了正弦定理.两角和的正弦公式.二倍角公式.余弦定理.三角形的面积公式在解三角形中的应用.考查了计算能力和转化思想.属于中档题．19.（问答题.15分）已知四棱柱ABCD-A′B′C′D′中.底面ABCD为菱形.AB=2.AA′=4.∠BAD=60°.E为BC中点.C′在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A′H；（2）求直线BD与平面BCC′B′所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）证明BD⊥平面A′C′H 即可得出BD⊥A′H ；（2）计算C′H .建立空间直角坐标系.求出平面BCC′B′的法向量 n ⃗ .计算 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和 n ⃗ 的夹角得出线面角大小．【解答】：（1）证明：连接A′C′. ∵AA′ || CC′.AA′=CC′.∴四边形ACC′A′是平行四边形.∴AC || A′C′. ∵四边形ABCD 是菱形.∴BD⊥AC . ∴BD⊥A′C′.∵C′H⊥平面ABCD.∴C′H⊥BD . 又C′H∩A′C′=C′.∴BD⊥平面A′C′H .又A′H⊂平面A′C′H . ∴BD⊥A′H ．（2）解：∵E 是BC 的中点.∴BE=CE . ∵AB || CH .∴∠CHE=∠BAE .又∠CEB=∠BEA . ∴△ABE≌△BCE .∴BC=AB=2. 又CC′=4.C′H⊥CH .∴C′H= √CC′2−CH 2 =2 √3 .以H 为原点.以HD 为x 轴.以HC′为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz.如图所示. 则D （4.0.0）.C （2.0.0）.B （3. √3 .0）.C′（0.0.2 √3 ）. ∴ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1.- √3 .0）. BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.- √3 .0）. CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2.0.2 √3 ）.设平面BCC′B′的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •CC′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {−x −√3y =0−2x +2√3z =0 . 令x= √3 可得 n ⃗ =（ √3 .-1.1）. ∴cos ＜ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . n ⃗ ＞= BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |= 2√32×√5 = √155. ∴直线BD 与平面BCC′B′所成角的正弦值为 √155．【点评】：本题考查了线面垂直的判定.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.15分）已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n .且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足a n b n =log 2a n .数列{b n }的前n 项和为T n .求证：T n ＜ 89 ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式.求出新数列的通项公式.进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】：解：（1）各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n . 且满足a 1=4.a n+1=3S n +4（n∈N *） ① ． 则：a n =3S n-1+4 ② . ① - ② 得：a n+1=4a n .即：a n+1a n=4 .当n=1时.解得：a1=4.所以：a n=4•4n−1=4n．证明：（2）数列{b n}满足a n b n=log2a n.所以：b n=2n4n.T n=241+442+…+ 2n4n① .则：14T n=242+443+…+ 2n4n+1② .① - ② 得：34T n=2(14+142+⋯+14n)−2n4n+1.= 2(14(1−14n)1−14)−2n4n+1.解得：T n=89−6n+89•4n＜89．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.乘公比错位相减法在数列求和中的应用．21.（问答题.15分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F.直线l过点F且与C相交于A、B两点.当直线l的倾斜角为π4时.|AB|=8．（1）求C的方程；（2）若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点.且A、M、B、N四点在同一圆上.求l的方程．【正确答案】：【解析】：（1）设直线l的方程为y=x- p2.代入抛物线的方程.运用韦达定理和弦长公式.可得p.进而得到抛物线的方程；（2）可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.求得|AB|.D的坐标；直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3.代入抛物线的方程.运用韦达定理和中点坐标公式和弦长公式.可得E和|MN|.A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.运用直角三角形的勾股定理.解方程可得所求直线方程．【解答】：解：（1）设直线l的方程为y=x- p2代入y2=2px.可得x2-3px+ p24=0.于是|AB|=x1+x2+p=4p=8.可得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x；（2）由题意可得l与坐标轴不垂直.所以可设直线l的方程为x=my+1（m≠0）. 代入y2=4x.可得y2-4my-4=0.设A（x1.y1）.B（x2.y2）.则y1+y2=4m.y1y2=-4.所以AB的中点为D（2m2+1.2m）.|AB|=4m2+4.又直线l'的斜率为-m.所以直线l'的方程为x=- 1my+2m2+3．将上式代入y2=4x.整理可得y2+ 4my-4（2m2+3）=0.设M（x3.y3）.N（x4.y4）.则y3+y4=- 4m.y3y4=-4（2m2+3）.则MN的中点E的纵坐标为- 2m.所以MN的中点E（2m2+ 2m2 +3.- 2m）.|MN|= √1+1m2 |y3-y4|= √1+1m2• √(−4m)2+16(2m2+3) = 4(m2+1)√2m2+1m2.由于MN垂直平分AB.所以A.M.B.N四点在同一个圆上等价于|AE|=|BE|= 12|MN|.从而14 |AB|2+|DE|2= 14|MN|2.即4（m2+1）2+（2m+ 2m）2+（2m2+2）2= 4(m2+1)2(2m2+1)m4.化简可得m2-1=0.解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．【点评】：本题考查抛物线的方程和性质.以及直线和抛物线的位置关系.注意联立直线方程和抛物线的方程.考查方程思想和运算能力.属于中档题．22.（问答题.15分）函数f(x)=lnx−1x.g（x）=ax+b．（1）若函数h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.求实数a的取值范围；（2）若直线g（x）=ax+b是函数f(x)=lnx−1x图象的切线.求a+b的最小值；（3）当b=0时.若f（x）与g（x）的图象有两个交点A（x1.y1）.B（x2.y2）.试比较x1x2与2e2的大小．（取e为2.8.取ln2为0.7.取√2为1.4）【正确答案】：【解析】：（1）把f（x）和g（x）代入h（x）=f（x）-g（x）.求其导函数.结合h（x）在（0.+∞）上单调递增.可得对∀x＞0.都有h′（x）≥0.得到a≤ 1x + 1x2.即可得到a的取值范围；（2）设切点（x0.lnx0- 1x0）.可得a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.利用导数求其最小值；（3）先判断lnx1x2-2× x1+x2x1x2 = x1+x2x2−x1ln x2x1＞2.令令G（x）=lnx- 2x.再由导数确定G（x）在（0.+∞）上单调递增.然后结合又ln √2 e-√2e = 12ln2+1- √2e≈0.85＜1.即x1x2＞2e2．【解答】：解：（1）：h（x）=f（x）-g（x）=lnx- 1x-ax-b.则h′（x）= 1x + 1x2-a.∵h（x）=f（x）-g（x）在（0.+∞）上单调递增.∴对∀x＞0.都有h′（x）= 1x + 1x2-a≥0.即对∀x＞0.都有a≤ 1x + 1x2.∵ 1 x + 1x2＞0.∴a≤0.故实数a的取值范围是（-∞.0]；（2）：设切点（x0.lnx0- 1x0）.则切线方程为y-（lnx0- 1x0）=（1x0+ 1x02）（x-x0）.即y=（1x0+1 x02）x-（1x0+ 1x02）x0+（lnx0- 1x0）.亦即y=（1x0 + 1x02）x+（lnx0- 2x0-1）.令1x0=t.由题意得a=t+t2.b=-lnt-2t-1.令a+b=φ（t）=-lnt+t2-t-1.则φ′（x）=- 1t +2t-1= (2t+1)(t−1)t.当t∈（0.1）时.φ'（t）＜0.φ（t）在（0.1）上单调递减；当t∈（1.+∞）时.φ'（t）＞0.φ（t）在（1.+∞）上单调递增. ∴a+b=φ（t）≥φ（1）=-1.故a+b的最小值为-1；（Ⅲ）：由题意知lnx1- 1x1 =ax1.lnx2- 1x2=ax2.两式相加得lnx1x2- x1+x2x1x2=a（x1+x2）.两式相减得ln x2x1 - x1−x2x1x2=a（x2-x1）.即ln x2x1x2−x1+ 1x1x2=a.∴lnx 1x 2- x 1+x 2x 1x 2 =（ ln x2x1x 2−x 1 + 1x 1x 2）（x 1+x 2）.即lnx 1x 2-2× x 1+x 2x 1x 2= x 1+x2x 2−x 1ln x2x1. 不妨令0＜x 1＜x 2.记t= x2x 1＞1.令F （t ）=lnt- 2(t−1)t+1（t ＞1）.则F′（t ）= (t−1)2t (t+1) ＞0.∴F （t ）=lnt-2(t−1)t+1在（1.+∞）上单调递增. 则F （t ）＞F （1）=0. ∴lnt ＞2(t−1)t+1.则ln x 2x 1 ＞2(x 2−x 1)x 1+x 2. ∴lnx 1x 2-2×x 1+x 2x 1x 2 = x 1+x 2x 2−x 1 ln x2x 1 ＞2. ∴lnx 1x 2-2× x 1+x2x 1x2＜lnx 1x 2- 4√x 1x2x 1x 2=√x x =2ln √x 1x 2 - √x x . ∴2ln √x 1x 2 - √x x 2.即ln √x 1x 2 - √x x ＞1令G （x ）=lnx- 2x .则x ＞0时.G′（x ）= 1x + 2x 2 ＞0. ∴G （x ）在（0.+∞）上单调递增. 又ln √2 e-√2e= 12 ln2+1- √2e ≈0.85＜1. ∴G （ √x 1x 2 ）=ln √x 1x 2 - √x x 1＞ln √2 e- √2e . 则 √x 1x 2 ＞e. 即x 1x 2＞2e 2．【点评】：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程.考查了利用导数求函数的最值.体现了数学转化思想方法和函数构造法.本题综合考查了学生的逻辑思维能力和灵活应变能力.难度较大．。

山东省菏泽市2021届高三数学上学期期中试题(A)本试卷共4页，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷 选择题（60分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ＝｛x ｜x 2≤4},B ＝｛x ｜2x <1},则A ∩B 等于A 。

［－2,1) B.[－2，0） C.（1,2] D.[－2，＋∞)2.已知i 为虚数单位，若m 2i1i+-是纯虚数，则实数m 的值为A.12 B 。

－12C 。

2D 。

－23.在△ABC 中,角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，则“a ＝b ”是“cos cos a A b B =”的 A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分又不必要条件4.如果向量a ,b 的夹角为θ，我们就称a ×b 为向量a 与b 的“向量积"，a ×b 还是一个向量，它的长度为｜a ×b |＝｜a ｜·｜b ｜sinθ，如果｜a |＝10，｜b ｜＝2，a ·b ＝－12，则|a ×b ｜＝ A 。

－16 B.8 C 。

16 D.205。

中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝Wlog 2（1＋SN ），它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ )(附：lg2≈0.3010） A.20％ B 。

23％ C 。

28% D.50％6。

已知函数y ＝f （x ）的图象如图所示，则此函数可能是A.f （x ）＝sin 622xxx -- B.f(x ）＝sin 622xxx -- C.f(x ）＝cos 622xxx-- D 。