江苏省常州市2019届高三数学期中试卷(理)

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……2019学年度第一学期期中考试高三数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】求解不等式可得：，则集合.本题选择A选项.2. 已知函数，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】 ,选D.3. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由条件得所以 ,选B.4. 等差数列的前项和为，且，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得所以 ,选A.5. 已知锐角的内角的对边分别为中，，且满足，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：，△ABC为锐角三角形，则，由余弦定理有：，整理可得：，边长为正数，则.本题选择C选项.6. 函数的零点的个数是( )A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】B【解析】当时,由函数图像可知有两个交点;当时,有一个零点,所以共有3个零点,选B.7. 若变量，且满足线性约束条件，则目标函数的最大值等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的可行域如图所示，观察可得，目标函数在点处取得最大值.本题选择C选项.8. 已知函数的周期为若将其图像沿轴向右平移个单位（），所得图象关于原点对称，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数的解析式即：，结合最小正周期公式有：将其图像沿轴向右平移个单位所得函数解析式为，该函数图像关于坐标原点对称，则当时：，故，取可得：.本题选择D选项.9. 用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是A. B. C. D.【答案】D【解析】等式的左边为等式的左边为所以需要增乘的代数式是,选D.10. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以,选A.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．11. 已知命题：“若，则”的命题是“若，则”；函数，则“是偶函数”是“的充分不必要条件”则下述命题①；② ；③ ；④ ，其中的真命题是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【答案】C【解析】为真命题；因为函数时“是偶函数”是“的必要不充分条件，所以为假命题，因此为真命题，选C.点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可.12. 在所在平面上有三点，满足,则的面积与的面积之比是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，为线段的一个三等分点，同理可得的位置，的面积为的面积减去三个小三角形面积，，∴面积比为,故选B．考点：1、向量的运算法则；2、向量共线的充要条件；3、相似三角形的面积关系．【方法点晴】本题主要考查向量的运算法则、向量共线的充要条件和相似三角形的面积关系，涉及数形结合思想和一般与特殊思想，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题型．首先将已知向量等式变形，利用向量的运算法则化简得到，利用向量共线的充要条件得到为线段的一个三等分点，同理可得的位置；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量与的夹角为，则等于__________.【答案】【解析】由题意可得：，则：，据此有：.14. 若，则的由小到大的顺序关系是__________.【答案】【解析】 , ,所以15. 将正整数排成如图所示，其中第行，第列的那个数记为，则数表中的应记为__________.【答案】【解析】因为前n行共有所以数表中的应记为16. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】作函数图可知，，所以实数的取值范围是点睛：对于方程整数解的问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 函数,部分图像如图所示，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为第三象限的角，，试求的值.【答案】(Ⅰ),，；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合三角函数的性质可得,，；(Ⅱ)由（Ⅰ）知，，据此可得，结合同角三角函数基本关系有试题解析：（Ⅰ）由题中图可知,周期，，由图知，,，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即，又为第三象限的角，18. 已知数列的前项和为，（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）设数列的首项，其前项和为，且点在直线上，求数列的前项和【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系转化为项之间递推关系，再整理成等比数列形式，最后根据等比数列定义给予证明（2）先根据等差数列定义求通项公式，得，再根据和项与通项关系求数列通项公式，最后利用错位相减法求试题解析：（Ⅰ）由，①得，②①-②，得，，由①得是以为首项，公比为的等比数列，（Ⅱ）由（Ⅰ）得，点在直线上，，是以为首项，公差为的等差数列，当时，，又满足上式，，，③，④③-④，得，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19. 已知分别是内角的对边，且依次成等差数列.（Ⅰ）若,试判断的形状；（Ⅱ）若为钝角三角形，且，试求的取值范围.【答案】(Ⅰ)正三角形；(Ⅱ)【解析】试题分析：（1）先由正弦定理将角的关系得边的关系，再根据，利用余弦定理得，解得，从而确定三角形形状（2）先根据二倍角公式以及配角公式将代数式转化为基本三角函数，再根据钝角条件确定自变量范围，最后根据正弦函数形状确定取值范围试题解析：（Ⅰ）由正弦定理及，得三内角成等差数列，，由余弦定理，得，，又为正三角形，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，中由题意，知，所求代数式的取值范围是20. 我市某矿山企业生产某产品的年固定成本为万元，每生产千件该产品需另投入万元，设该企业年内共生产此种产品千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为万元，且（Ⅰ）写出年利润（万元）关于产品年产量（千件）的函数关系式；（Ⅱ）问：年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？注：年利润=年销售收入-年总成本.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)当年产量为千件时，该企业生产的此产品所获年利润最大.（2）对x进行分类讨论，分当和当两种情况进行讨论，根据导数在求函数最值中的应用，即可求出结果．试题解析：解：（1）当时，。

常州市北郊中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ） A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度2． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）A.32- B.1-C.D.【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 3． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.4． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 5． 函数2(44)xy a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．16． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A ．2B ．C ．D ．37． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-8． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-B ．32163π-C ．1683π-D ．3283π-【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 9． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.10．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．711．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为24316π同一球面上，则PA =（ ）A ．3B ．72 C ． D ．92【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力． 12．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2D 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．14．等差数列{}n a 的前项和为n S ，若37116a a a ++=，则13S 等于_________.15．已知向量,满足42=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 16．在正方形ABCD 中，2==AD AB ,N M ,分别是边CD BC ,上的动点，当4AM AN ⋅=时，则MN 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查平面向量数量积、点到直线距离公式等基础知识，意在考查坐标法思想、数形结合思想和基本运算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

江苏省常州市2019年高三上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合若，则实数a的取值范围（）A .B .C .D .2. （2分）下列四个命题中，真命题是（）A . 和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线B . 和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线C . 和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线D . 若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线3. （2分） (2017高二下·伊春期末) 若，则角的终边在第几象限（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知向量，且，则实数（）A . 3B . 1C . 4D . 25. （2分） (2016高三上·莆田期中) 若f（x）= ，且f（f（e））=10，则m的值为（）A . 2B . ﹣1C . 1D . ﹣26. （2分）在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A . 24B . 39C . 52D . 1047. （2分）在等差数列3,7,11 …中,第5项为（）A . 15B . 18C . 19D . 238. （2分） (2017高三上·定州开学考) 已知函数，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A . （1，10）B . （5，6）C . （10，12）D . （20，24）9. （2分）(2015·岳阳模拟) 若变量x，y满足不等式组，且z=3x﹣y的最大值为7，则实数a 的值为（）A . 1B . 7C . ﹣1D . ﹣710. （2分）当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（）A .B .C .D .11. （2分）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能（）A . 不能作出这样的三角形B . 作出一个锐角三角形C . 作出一个直角三角形D . 作出一个钝角三角形12. （2分）(2018·台州模拟) 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·临沂模拟) 设，则二项式展开式中x2项的系数为________ （用数字作答）．14. （1分） (2018高二下·泰州月考) 定义在上的函数满足 ,当时,，则函数在上的零点个数是________.15. （1分）函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，则a+b的值为________16. （1分）(2017·石景山模拟) 如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=________三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2018高二下·长春月考) 已知：实数满足，其中，：实数满足（1）当，且为真时，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18. （5分）在△A BC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA+bsinB﹣csinC=bsinA．（Ⅰ）求∠C的度数；（Ⅱ）若c=2，求AB边上的高CD的最大值．19. （5分） (2017高三上·石景山期末) 2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18﹣36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从北京市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率0至5个006至10个300.311至15个300.316至20个a c20个以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；（Ⅲ）以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望EX．20. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．21. （10分） (2018高二下·中山月考) 已知函数（为常数，且），当时有极大值.（1）求的值；（2）若曲线有斜率为的切线，求此切线方程.22. （5分） (2017高二上·临淄期末) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0．（Ⅰ）说明C是哪种曲线？并将C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）直线l与C交于A，B两点，|AB|= ，求l的斜率．23. （10分） (2018高二下·定远期末) 已知函数 .（1）若函数的最小值是，且，，求的值；（2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、第11 页共11 页。

江苏省常州高级中学高三年级第一学期期中测试卷1. 已知集合}{4321、、、=A ，}{6420、、、=B ,则=⋂B A2. 若复数z 满足i*z=1+2i(其中i 为虚数单位),则z 的模为3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn ,若11S =13，3086=+a a ，则1a 的值为4. 上图是一个算法的流程图，则输出的n 为5. 如图，已知长方体棱长为1，点P 在1AA 上任意一点，则四棱锥P -11B BDD 的体积为6. 已知实数0,>y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，则z=y x +2的最大值为 7. 在平行四边形ABCD 中，AB=3,AD=1,∠BAD=60°，若CE ⋅则2的值为 8. k ,4,9)2(3122则实数两点，若相交于）圆（直线==-+-+=AB B A y x kx y9. []_______2121-,4)()()32sin(2)(的最大值为，则π，π且，若π已知x x x f x f x x f -∈-=⋅-=10. _____2201010)6,0(程为切于原点的圆的标准方且与圆：过点=+++y x y x A11. ___________2a )()()()(=-+==则只有一个零点，上单调函数，若函数是已知奇函数x a f x f x g R x f y12. 的最大值为，则若的对边分别为中，在△A C b a c b a C B A ABC tan 0cos 3,,,,,=+,,,0442:13_______22成等比数列，则满足：内的点圆的中点为轴截得的弦被、已知圆PB PN PA P C N AB x y x y x C ⋅=-+-+的取值范围个不同实数解，则实数有且仅有的方程、若关于3)2(22142x x e x ae x a x -=---二、解答题1、(本题满分14分)的值求为垂足，若）设（的大小求角且的对边分别为中，在△AC AD c b D BC AD A B b c A b c b a C B A ABC ⋅==⊥-=,3,2,2).1(.tan )2(tan ,,,,,16、(本题满分14分)ABCCEF CC BB EF AB C A F E AC A C C AA ABC C C AA ABC C B A 平面平面平面的中点，求证、分别是，是菱形，侧面底面中，侧面如图，斜三棱柱⊥︒=∠⊥-)2(//)1(;.60,11111111111117、(本题满分14分)如图，某市有一天东西走向的公路l 现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ，在施工过程中发现在O 处的正北方向1百米的A 处有一汉代古迹，为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区，为了连通公路，l 、m 欲在建一条公路PQ ，Q P ,分别在公路的l 、m 上（点Q P ,分别在点O 的正东、正北方向），且要求PQ 与圆A 相切。

2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. 已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{−2, −1, 0, 2}，则A∩B＝________．【答案】{−1, 0}【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−2<x<2}，B＝{−2, −1, 0, 2}，∴A∩B＝{−1, 0}．2. 函数y＝log2(7+6x−x2)的定义域是________．【答案】(−1, 7)【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数y的解析式，列不等式求出解集即可．【解答】函数y＝log2(7+6x−x2)中，7+6x−x2>0，即x2−6x−7<0，可化为(x+1)(x−7)<0，解得−1<x<7，所以y的定义域是(−1, 7)．3. 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6=________．【答案】3√3【考点】圆内接多边形的性质与判定【解析】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题．【解答】解：将正六边形分割为6个等边三角形，则S6=6×(12×1×sin60)∘=3√32 3√34. 设曲线y ＝ax −ln(x +1)在点(0, 0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝________． 【答案】 3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】根据导数的几何意义，即f′(x 0)表示曲线f(x)在x ＝x 0处的切线斜率，再代入计算． 【解答】y ＝ax −ln(x +1)的导数 y ′=a −1x+1，由在点(0, 0)处的切线方程为y ＝2x ， 得a −10+1=2， 则a ＝3．5. 已知点A(1, 3)，B(4, −1)，则与向量AB →同方向的单位向量的坐标是________． 【答案】(35,−45) 【考点】向量的概念与向量的模 【解析】由点A 、B 的坐标算出AB →=(3, −4)，从而得到|AB →|＝5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案． 【解答】∵ 点A(1, 3)，B(4, −1)，∴ AB →=(3, −4)，可得|AB →|=√32+(−4)2=5，因此，与向量AB →同方向的单位向量为：e →=1|AB →|⋅AB →=15(3, −4)=(35,−45)6. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)＝−e ax ．若f(ln3)＝9，则a ＝________． 【答案】 −2【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据f(x)是奇函数，且x <0时，f(x)＝−e ax ，并且ln3>0，从而得出f(ln3)=−f(ln 13)=ealn13=9，从而可求出a ．【解答】∴ f(ln3)=−f(−ln3)=−f(ln 13)=ealn13=eln(13)a=(13)a =9，∴ 3−a ＝32，即−a ＝2， ∴ a ＝−2．7. 已知关于x 的不等式ax−1x+1<0的解集是(−∞,−1)∪(−12,+∞)，则实数a 的值为________． 【答案】 −2【考点】其他不等式的解法 【解析】不等式ax−1x+1<0⇔(x +1)(ax −1)<0，由于其解集是(−∞, −1)∪(−12, +∞)，可知：−12，−1是一元二次不等式ax 2+(a −1)x −1＝0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出． 【解答】不等式ax−1x+1<0⇔(x +1)(ax −1)<0， 由于其解集是(−∞, −1)∪(−12, +∞)，∴ −12，−1是一元二次不等式ax 2+(a −1)x −1＝0的两个实数根， ∴ −12×(−1)=−1a，解得a ＝−2．8. 已知a →，b →为单位向量，且a →⋅b →=0，若c →=√5a →+2b →，则cos⟨a →,c →〉＝________．【答案】√53【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据条件求出a →⋅c →=√5，|c →|＝3，结合数量积公式即可求到结果． 【解答】根据条件，可知a →⋅c →=a →⋅(√5a →+2b →)=√5|a →|2+2a →⋅b →=√5|a →|2=√5，|a →|＝1，|c →|=√(√5a →+2b →)2=√5+4=3， 则cos <a →，c →>=a →⋅c→|a →|⋅|c →|=√53．9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周对应的函数为g(x)．若g(π3)=√3，则f(3π8)=________．【答案】√2【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】首先求出函数的关系式，进一步利用函数的图象的变换的应用求出函数的值．【解答】解：函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)是奇函数，则φ=0，由于f(x)的最小正周期为π，所以ω=2.将y=f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g(x)=Asinx．若g(π3)=√3，所以Asinπ3=√3，解得A=2，所以f(x)=2sin2x.所以f(3π8)=2sin3π4=√2．故答案为：√2.10. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且对∀x1<x2≤1，满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0．若f(2)＝1，则不等式f(log2x)<1的解集为________．【答案】(1, 4)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由f(x+1)为R上的偶函数，结合函数图象的平移可知f(x)关于直线x＝1对称，结合已知可得函数f(x)在x≤1时的f(x)单调递减，由f(2)＝f(0)＝1，即可求解．【解答】∵f(x+1)为R上的偶函数，∴函数f(x)关于直线x＝1对称，对∀x1<x2≤1，满足满足f(x2)−f(x1)x2−x1<0，等价于∀x1<x2≤1，f(x2)<f(x1)，即函数f(x)在x≤1时，函数f(x)单调递减．∵f(2)＝1，∴f(0)＝1，由f(log2x)<1可得，0<log2x<2，解得，1<x<411. 已知正实数x，y满足xy−x−2y＝1，则x+2y的最小值为________．【答案】4+2√6【考点】基本不等式及其应用由基本不等式可得，xy =12x ⋅(2y)≤12(x+2y 2)2，从而有x +2y +1≤12(x+2y 2)2，解不等式可求．【解答】正实数x ，y 满足xy −x −2y ＝1，xy ＝x +2y +1， 由基本不等式可得，xy =12x ⋅(2y)≤12(x+2y 2)2，当且仅当x ＝2y 时取等号， ∴ x +2y +1≤12(x+2y 2)2， ∵ x +2y >0解不等式可得，x +2y ≥4+2√612. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，AD →=DC →，AE →=12EB →，若BD →⋅AC →=5，则CE →⋅AB →=________．【答案】 6【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】将BD →=AD →−AB →代入BD →⋅AC →得2−AB →⋅AC →=5，所以AB →⋅AC →=−3，根据平面向量基本定理CE →⋅AB →=(13AB →−AC →)⋅AB →，代入计算即可．【解答】因为BD →=AD →−AB →=12AC →−AB →，所以BD →⋅AC →=(12AC →−AB →)⋅AC →=12|AC →|2−AB →⋅AC →=2−AB →⋅AC →=5，所以AB →⋅AC →=−3，因为CE →=AE →−AC →，又因为AE →=12EB →，所以AE →=13AB →，所以CE →⋅AB →=(13AB →−AC →)⋅AB →=13|AB →|2−AC →⋅AB →=13×9−(−3)=6．13. 已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，若3tanA +tanB ＝0，则角C 的取值范围为________． 【答案】 π【考点】 解三角形三角形的面积公式 【解析】通过tanC ＝tan[π−(A +B)]利用公式展开，把3tanA +tanB ＝0代入，整理后利用基本不等式求得tanC 的最大值，结合正切函数的性质即可求解． 【解答】∵ 由已知可得tanB ＝−3tanA ，∴ tanC ＝tan(π−A −B)＝−tan(A +B)=tanA+tanB tanAtanB−1=−2tanA −3tan 2A−1=2tanA1+3tan 2A =21tanA+3tanA ，∵ A 、B 、C 为△ABC 的内角，若A 为钝角，则tanA <0，tanC =21tanA+3tanA <0，C 也为钝角，矛盾，∴ A 为锐角，tanA >0，可得tanC =21tanA+3tanA >0，C 也为锐角，∵ 1tanA +3tanA ≥2√3，当且仅当1tanA =3tanA 时，取“＝”号，即tanA =√33，∴ tanC =21tanA+3tanA ≤2√3=√33，∵ C ∈(0, π6]．14. 若对任意的x ∈[1, e 2]，都有3alnx ≤(a +1)x 恒成立，则实数a 的取值范围是________e3−e ] ． 【答案】 [−1， 【考点】函数恒成立问题 【解析】构造新函数，f(x)=lnx x，讨论f(x)在x ∈[1, e 2]的最值情况，从而求解实数a 的取值范围． 【解答】 当a >0时，可得lnx x≤a+13a由f(x)=lnx x， 得f ′(x)=1−lnx x 2令f′(x)＝0，可得x ＝e ，∵ x ∈(0, e)，f′(x)<0，∴ 在f(x)在区间(0, e)单调递增（1）∵ x ∈(e, +∞)，f′(x)>0，∴ 在f(x)在区间(e, +∞)单调递减（2）∴ x ＝e 时函数f(x)取得最大值为1∴a+13a ≥1e，解得：a≤3−ee，∴0≤a≤3−ee (3)当a<0时，可得lnxx≥a+13a，∵f(1)＝0，f(e2)=2e2>0，∴x＝1时函数f(x)取得最小值为0，可得a+13a≤0，∵a<0，∴a+1≥0，得−1≤a<0综上得实数a的取值范围是[−1, e3−e]．故答案为：[−1, e3−e]．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数f(x)=√3sin2x+2sin2x．（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）求f(x)在区间[0,π2]上的最大值．【答案】f(x)=√3sin2x+2sin2x=√3sin2x+1−cos2x=2(√32sin2x−12cos2x)+1=2sin(2x−π6)+1．∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k∈Z；x∈[0, π2]时，2x−π6∈[−π6,5π6]，sin(2x−π6)∈[−12,1]，∴f(x)在区间[0, π2]上的最大值为3．【考点】两角和与差的三角函数三角函数的最值（1）利用三角函数的诱导公式化简f(x)，由周期公式计算得f(x)的最小正周期，由2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z 可解得函数f(x)的单调增区间；（2）由x 的范围求出2x −π6的范围，进一步求出sin(2x −π6)的范围，则答案可求． 【解答】f(x)=√3sin2x +2sin 2x =√3sin2x +1−cos2x =2(√32sin2x −12cos2x)+1=2sin(2x −π6)+1． ∴ f(x)的最小正周期T =2π2=π，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，k ∈Z ， 得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ，∴ f(x)的单调递增区间为[kπ−π6, kπ+π3]，k ∈Z ； x ∈[0, π2]时，2x −π6∈[−π6,5π6]，sin(2x −π6)∈[−12,1]，∴ f(x)在区间[0, π2]上的最大值为3．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． （1）求∠A ；（2）若a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，求△ABC 的面积． 【答案】b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． 由于cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得a 2−c 2−b 2+bc ＝0， 所以cosA =12，由于A ∈(0, π)，所以A =π3． 由于a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，所以AB →⋅AC →=|AB →||AC|→cosA =(AD →+DB →)⋅(AD →−DB →)=9−4=5， 则：|AB →||AD →|=5cosA =10，所以S △ABC =12|AB →||AD →|⋅sinA =5√32．余弦定理 【解析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果．（2）利用向量的数量积和三家形的面积的应用求出结果． 【解答】b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且acosB +12b ＝c ． 由于cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得a 2−c 2−b 2+bc ＝0， 所以cosA =12，由于A ∈(0, π)，所以A =π3． 由于a ＝4，D 是BC 中点，AD ＝3，所以AB →⋅AC →=|AB →||AC|→cosA =(AD →+DB →)⋅(AD →−DB →)=9−4=5， 则：|AB →||AD →|=5cosA =10，所以S △ABC =12|AB →||AD →|⋅sinA =5√32．某超市销售某种商品，据统计，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克，其中4≤x ≤15）满足：当4≤x ≤9时，y ＝a(x −9)2+bx−3（a ，b 为常数）；当9≤x ≤15时，y ＝−5x +85，已知当销售价格为6元/千克时，每日售出该商品170千克．（1）求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大． 【答案】因为x ＝6时，y ＝170；又x ＝9时，y ＝−5×9+85＝40， ∴ {9a +b3=170b 6=40，解得a ＝10，b ＝240；故每日销售量y ={10(x −9)2+240x−3,4≤x <9−5x +85,9≤x ≤15．由（1）知，当4≤x <9时，每日销售利润f(x)＝[10(x −9)2+240x−3](x −3)， 即f(x)＝10(x −9)2(x −3)+240＝10(x 3−21x 2+135x −243)+240； ∴ f ′(x)＝10(3x 2−42x +135)＝30(x −5)(x −9)； 当4≤x <5时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当5<x <9时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； ∴ x ＝5是函数f(x)在(4, 9)上的唯一极大值点； f(x)max ＝f(5)＝10×42×2+240＝560；∴ f(x)max ＝f(10)＝245．∴ 560>245，∴ 销售价格为5元/千克时，每日利润最大． 【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）由题意，代入数据求出a ，b ；从而求出函数的解析式；（2）由于是分段函数，讨论其各部分的最大值，从而求函数的最大值点． 【解答】因为x ＝6时，y ＝170；又x ＝9时，y ＝−5×9+85＝40， ∴ {9a +b3=170b 6=40 ，解得a ＝10，b ＝240；故每日销售量y ={10(x −9)2+240x−3,4≤x <9−5x +85,9≤x ≤15．由（1）知，当4≤x <9时，每日销售利润f(x)＝[10(x −9)2+240x−3](x −3)，即f(x)＝10(x −9)2(x −3)+240＝10(x 3−21x 2+135x −243)+240； ∴ f ′(x)＝10(3x 2−42x +135)＝30(x −5)(x −9)； 当4≤x <5时，f ′(x)>0，f(x)单调递增； 当5<x <9时，f ′(x)<0，f(x)单调递减； ∴ x ＝5是函数f(x)在(4, 9)上的唯一极大值点； f(x)max ＝f(5)＝10×42×2+240＝560；当9≤x ≤15时，每日销售利润f(x)＝(−5x +85)(x −3)＝−5(x −10)2+245； ∴ f(x)max ＝f(10)＝245．∴ 560>245，∴ 销售价格为5元/千克时，每日利润最大．已知点A(−1, 0)，B(0, −1)，倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的部分交于点P ，PA 与y 轴交于点N ，PB 与x 轴交于点M ．（1）设PN →=nPA →，PM →=mPB →，试用θ表示m 与n ；（2）设PO →=xPM →+yPN →(x, y ∈R)，试用θ表示x +y ；（3）求x +y 的最小值．【答案】由题意知点P 为倾斜角为θ的直线OP 与单位圆在第一象限的交点， 所以P(cosθ, sinθ)，θ∈(0, π2)；由PN→=nPA→，PM→=mPB→，且A(−1, 0)，B(0, −1)，所以m=sinθ1+sinθ，n=cosθ1+cosθ；由PO→=xPM→+yPN→=xPM→+ynPA→，由A、O、M三点共线，所以x+yn＝1，即x+y⋅cosθ1+cosθ=1，…①同理PO→=xPM→+yPN→=xmPB→+yPN→，由B、O、N三点共线，所以x⋅sinθ1+sinθ+y＝1，…②由①×(1+cosθ)+②×(1+sinθ)得，(1+cosθ+sinθ)x+(1+cosθ+sinθ)y＝1+cosθ+1+sinθ，从而得x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ；由x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=1+11+cosθ+sinθ=11+√2sin(θ+π4)，当θ=π4时，x+y取得最小值为1+1+√2=√2．【考点】平面向量的综合题【解析】（1）由题意知点P的坐标为P(cosθ, sinθ)，利用坐标表示PN→=nPA→，PM→=mPB→，得出m、n的表达式；（2）由PO→=xPM→+yPN→，利用A、O、M三点共线得出x+yn＝1，B、O、N三点共线得出x⋅m+y＝1；联立方程组求得x+y的解析式；（3）由x+y的解析式，利用三角函数的性质求出x+y的最小值．【解答】由题意知点P为倾斜角为θ的直线OP与单位圆在第一象限的交点，所以P(cosθ, sinθ)，θ∈(0, π2)；又因为PA与y轴交于点N，PB与x轴交于点M，由PN→=nPA→，PM→=mPB→，且A(−1, 0)，B(0, −1)，所以m=sinθ1+sinθ，n=cosθ1+cosθ；由PO→=xPM→+yPN→=xPM→+ynPA→，由A、O、M三点共线，所以x+yn＝1，即x+y⋅cosθ1+cosθ=1，…①同理PO→=xPM→+yPN→=xmPB→+yPN→，由B、O、N三点共线，所以x⋅sinθ1+sinθ+y＝1，…②由①×(1+cosθ)+②×(1+sinθ)得，(1+cosθ+sinθ)x+(1+cosθ+sinθ)y＝1+cosθ+1+sinθ，从而得x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ；由x+y=2+cosθ+sinθ1+cosθ+sinθ=1+11+cosθ+sinθ=11+√2sin(θ+π4)，当θ=π4时，x+y取得最小值为1+1+√2=√2．已知：定义在R上的函数f(x)=2x−mx2+2的极大值为12．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式f2(x)−(2a−2)f(x)+a2−2a>0有且只有一个整数解，求实数a的取值范围．【答案】f′(x)=2(x2+2)−(2x−m)⋅2x(x+2)=−2(x2−mx−2)(x+2)；因为方程x2−mx−2＝0的△＝m2+8>0；所以方程x2−mx−2＝0有两个不等的实数根x1，x2；设x1<x2；则函数f(x)在(−∞, x1)上单调递减，在(x1, x2)上单调递增，在(x2, +∞)上单调递减；则函数f(x)在x＝x2处取得极大值；因为定义在R上的函数f(x)=2x−mx2+2的极大值为12；所以{f(x2)=12f′(x2)=0，即{2x2−mx22+2=12x22−mx2−2=0；则x2＝2，m＝1；由（1）可知f(x)=2x−1x2+2；又当x<12时，f(x)<0；当x>12时，f(x)>0；函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减，在(−1, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减； 又f(2)=12，f(1)=13，f(3)=511>f(1)，f(−1)＝−1，f(0)=−12，f(−2)=−56<f(0)；函数f(x)的大致图象如下：由不等式f 2(x)−(2a −2)f(x)+a 2−2a >0有且只有一个整数解； 则f(x)>a 或f(x)<a −2有且只有一个整数解； 则 {f(2)>a f(3)≤af(−1)≥a −2 或{f(−1)<a −2f(−2)≥a −2f(2)≤a 得511≤a <12 或1<a ≤76；故实数a 的取值范围得 511≤a <12 或1<a ≤76． 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）先求出f(x)的导数，分析单调性，根据极大值为12，对应的导数为0，求出m 的值； （2）根据（1）得出函数的单调性，可以作出函数的图象，再根据条件有f(x)>a ，或f(x)<a −2，然后根据图象找条件求出a 的范围； 【解答】 f′(x)=2(x 2+2)−(2x−m)⋅2x(x +2)=−2(x 2−mx−2)(x +2)；因为方程x 2−mx −2＝0 的△＝m 2+8>0；所以方程x 2−mx −2＝0有两个不等的实数根x 1，x 2； 设x 1<x 2；则函数f(x)在(−∞, x 1)上单调递减，在(x 1, x 2)上单调递增，在(x 2, +∞)上单调递减； 则函数f(x)在x ＝x 2处取得极大值； 因为定义在R 上的函数f(x)=2x−mx 2+2的极大值为12； 所以{f(x 2)=12f ′(x 2)=0 ，即 {2x 2−mx 22+2=12x 22−mx 2−2=0；则x 2＝2，m ＝1；由（1）可知 f(x)=2x−1x 2+2；又当 x <12时，f(x)<0； 当 x >12时，f(x)>0；函数f(x)在(−∞, −1)上单调递减，在(−1, 2)上单调递增，在(2, +∞)上单调递减； 又f(2)=12，f(1)=13，f(3)=511>f(1)，f(−1)＝−1，f(0)=−12，f(−2)=−56<f(0)；函数f(x)的大致图象如下：由不等式f 2(x)−(2a −2)f(x)+a 2−2a >0有且只有一个整数解； 则f(x)>a 或f(x)<a −2有且只有一个整数解； 则 {f(2)>a f(3)≤af(−1)≥a −2 或{f(−1)<a −2f(−2)≥a −2f(2)≤a 得511≤a <12 或1<a ≤76；故实数a 的取值范围得 511≤a <12 或1<a ≤76．已知函数f(x)＝lnx −xe x +ax(a ∈R)．（1）若函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若a ＝1，求f(x)的最大值． 【答案】由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1, +∞)上恒成立．令令g(x)=1x −(x +1)e x +a ，则g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0， 所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(1)＝2e −1， 所以a ≤2e −1．当a ＝1时，f(x)＝lnx −xe x +x ，则f′(x)=1x −(x +1)e x +1＝(x +1)(1x −e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)＝0，即e x 0=1x 0．当x ∈(0, x 0)，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，m(x)<0，f′(x)<0． 所以f(x)在(0, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减． 所以f(x)max ＝f(x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0，因为e x 0=1x 0，所以x 0＝−lnx 0，所以f(x 0)＝−x 0−1+x 0＝−1，所以f(x)max ＝−1． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）由题意分离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数a 的取值范围；（2）结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值． 【解答】由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1, +∞)上恒成立．令令g(x)=1x −(x +1)e x +a ，则g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0， 所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min ＝g(1)＝2e −1， 所以a ≤2e −1．当a ＝1时，f(x)＝lnx −xe x +x ，则f′(x)=1x −(x +1)e x +1＝(x +1)(1x −e x )， 令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)＝0，即e x 0=1x 0．当x ∈(0, x 0)，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，m(x)<0，f′(x)<0． 所以f(x)在(0, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减． 所以f(x)max ＝f(x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0，因为e x 0=1x 0，所以x 0＝−lnx 0，所以f(x 0)＝−x 0−1+x 0＝−1，所以f(x)max ＝−1．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，每小题0分．请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（选修4-2：矩阵与变换）已知1是矩阵A =[a 12]的一个特征值，求点(1, 2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的【答案】 由题意，可知：矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−a−10λ−2|=(λ−a)(λ−2)， ∵ 1是矩阵A 的一个特征值， ∴ f(1)＝0．即：(1−a)(1−2)＝0． 解得a ＝1，∴ 矩阵A =[1102]．由题意，有矩阵关系式：A [12]=[1102][12]=[34]． ∴ 点(1, 2)在A 对应的作用下得到的点为(3, 4)．【考点】几种特殊的矩阵变换 【解析】本题可先将特征值1代入特征多项式解得a 的值，即可得到矩阵A ，然后根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算可得点(1, 2)在矩阵A 对应的变换作用下得到的点的坐标． 【解答】由题意，可知：矩阵A 的特征多项式为：f(λ)=|λ−a−10λ−2|=(λ−a)(λ−2)， ∵ 1是矩阵A 的一个特征值， ∴ f(1)＝0．即：(1−a)(1−2)＝0． 解得a ＝1，∴ 矩阵A =[1102]．由题意，有矩阵关系式：A [12]=[1102][12]=[34]． ∴ 点(1, 2)在A 对应的作用下得到的点为(3, 4)．（选修4-4：坐标系与参数方程）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是{x =ty =t −3 （t 为参数），圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长． 【答案】直线l 的参数方程{x =ty =t −3 （t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −3＝0．圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即(x −2)2+y 2＝4，表示以(2, 0)为圆心、半径r 等于2的圆． 圆心到直线的距离d =2=√22， ∴ 弦长为2√22−(√22)2=√14．圆的极坐标方程 【解析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长． 【解答】直线l 的参数方程{x =ty =t −3 （t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −3＝0．圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2＝4x ， 即(x −2)2+y 2＝4，表示以(2, 0)为圆心、半径r 等于2的圆． 圆心到直线的距离d =√2=√22， ∴ 弦长为2(√22)=√14．（选修4-5：不等式选讲）对任给的实数a(a ≠0)和b ，不等式|a +b|+|a −b|≥|a|(|x −1|+|x −2|)恒成立，求x 的取值范围． 【答案】[12, 52] 【考点】绝对值三角不等式 不等式恒成立的问题 【解析】由题意可得|x −1|+|x −2|小于或等于|a+b|+|a−b||a|的最小值，而|a+b|+|a−b||a| 的最小值等于2，故x 的范围即为不等式|x −1|+|x −2|≤2的解，根据数轴上的12、52 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，可得不等式的解集． 【解答】由题知，|x −1|+|x −2|≤|a+b|+|a−b||a|恒成立，故|x −1|+|x −2|小于或等于|a+b|+|a−b||a|的最小值．∵ |a +b|+|a −b|≥|a +b +a −b|＝2|a|，当且仅当 (a +b)(a −b)≥0 时取等号， ∴|a+b|+|a−b||a|的最小值等于2，∴ x 的范围即为不等式|x −1|+|x −2|≤2的解．由于|x −1|+|x −2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的12、52 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[12, 52]，六【必做题】第24、25题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望E(X)． 【答案】该同学至多有一门学科获得一等奖是指：四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖， ∴ 该同学至多有一门学科获得一等奖的概率：P ＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)+23(1−12)(1−12)(1−12)+3×12×(1−23)(1−12)(1−12)=14． 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X ＝0)＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(X ＝1)=23×(1−12)×(1−12)×(1−12)+3×(1−23)×12×(1−12)×(1−12)=524， P(X ＝2)＝3×[23×12×(1−12)×(1−12)+(1−23)×12×12×(1−12)]=924， P(X ＝3)＝3×23×(1−12)×12×12+(1−23)×12×12×12=724， P(X ＝4)=23×12×12×12=224， ∴ X 的概率分布列为：数学期望E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）该同学至多有一门学科获得一等奖是指四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖，由此能求出该同学至多有一门学科获得一等奖的概率．（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X 的概率分布列和数学期望E(X)． 【解答】该同学至多有一门学科获得一等奖是指：四门学科均没有获得一等奖或四六学科中恰有一门获得一等奖， ∴ 该同学至多有一门学科获得一等奖的概率：P ＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)+23(1−12)(1−12)(1−12)+3×12×(1−23)(1−12)(1−12)=14． 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4， P(X ＝0)＝(1−23)(1−12)(1−12)(1−12)=124，P(X ＝1)=23×(1−12)×(1−12)×(1−12)+3×(1−23)×12×(1−12)×(1−12)=524， P(X ＝2)＝3×[23×12×(1−12)×(1−12)+(1−23)×12×12×(1−12)]=924， P(X ＝3)＝3×23×(1−12)×12×12+(1−23)×12×12×12=724， P(X ＝4)=23×12×12×12=224， ∴ X 的概率分布列为：数学期望E(X)=0×124+1×524+2×924+3×724+4×224=136．考察1，2，…n 的所有排列，将每种排列视为一个n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )，设n ∈N ∗且n ≥2，设b k 为(a 1, a 2,…,a k )的最大项，其中k ＝1，2，…，n ．记数组(b 1, b 2,…,b n )为B ．例如，A ＝(1, 2, 3)时，B ＝(1, 2, 3)；A ＝(2, 1, 3)时，B ＝(2, 2, 3)．若数组B 中的不同元素个数为2．（1）若n ＝4，求所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数；（2）求所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数． 【答案】因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，3中的的任意一个，即4只能为a 2，或a 3或a 4． 当a 2＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的任意一个排列，总数有A 33=6个；当a 3＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，故A 为(2, 1, 4, 3)或(3, 1, 4, 2)或(3, 2, 4, 1)，总数有3个；当a 4＝4时，则则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，a 1>a 3，故A 为(3, 1, 2, 4)或(3, 2, 1, 4)总数为2个；综上，有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数为6+3+2＝11． 因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，当a 1＝m 时，数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，所以n 只能作a 2，……a m+1出现，当a k+2＝n(0≤k ≤m −1)时，a 1，……，a k+1可以从1，2，……m −1中任选k 个元素的排列，而a k+3，……，a n 则为其余n −2个元素的全排列，所以与a 1＝m ，a k+2＝n 对应的排列个数为：A m−1k (n −k −2)!=(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!，所以所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数记为w ，则w =∑ n−1m=1∑m−1k=0(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)!∑ m−1k=0(n−k−2)!(m−k−1)!(n−m−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！(C n−m−1n−m−1+C n−mn−m−1+⋯⋯+C n−2n−m−1) =∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！C n−1n−m＝(n −1)！(1+12+⋯⋯+1n−1)．【考点】 数列的应用 【解析】（1）数组B 中的不同元素个数为2，故a 1为1，2，3中的的任意一个，根据4的位置讨论即可得到有序实数组A 的个数；（2）数组B 中的不同元素个数为2，a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，则数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，设a k+2＝n(0≤k ≤m −1)，根据计数原理以及排列组合知识即可得到当a 1＝m 时，数组A 的个数，进而当m 从1变化到n 时，即可求出n 元有序实数组A 的全部个数． 【解答】因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，3中的的任意一个，即4只能为a 2，或a 3或a 4． 当a 2＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的任意一个排列，总数有A 33=6个；当a 3＝4时，则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，故A 为(2, 1, 4, 3)或(3, 1, 4, 2)或(3, 2, 4, 1)，总数有3个；当a 4＝4时，则则(a 1, a 2, a 3)为1，2，3的一个排列，且a 1>a 2，a 1>a 3，故A 为(3, 1, 2, 4)或(3, 2, 1, 4)总数为2个；综上，有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数为6+3+2＝11． 因为数组B 中的不同元素个数为2．所以a 1为1，2，……n −1中的的任意一个，当a 1＝m 时，数m +1，m +2……n −1只能在n 之后，而在m 和n 之间只能出现1，2，……m −1中的某些数，所以n 只能作a 2，……a m+1出现，当a k+2＝n(0≤k ≤m −1)时，a 1，……，a k+1可以从1，2，……m −1中任选k 个元素的排列，而a k+3，……，a n 则为其余n −2个元素的全排列，所以与a 1＝m ，a k+2＝n 对应的排列个数为：A m−1k (n −k −2)!=(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!，所以所有n 元有序实数组A ＝(a 1, a 2,…,a n )的个数记为w ，则w =∑ n−1m=1∑m−1k=0(m−1)!(n−k−2)!(m−k−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)!∑ m−1k=0(n−k−2)!(m−k−1)!(n−m−1)!=∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！(C n−m−1n−m−1+C n−mn−m−1+⋯⋯+C n−2n−m−1) =∑ n−1m=1(m −1)！(n −m −1)！C n−1n−m＝(n −1)！(1+12+⋯⋯+1n−1)．。

江苏省常州市2019版高三上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合C={z|z=x﹣y，x∈A，y∈B}中所有元素之和为（）A . ﹣9B . ﹣8C . ﹣7D . ﹣62. （2分）设a∈R．则“”是“|a|＜1”成立的（）A . 充分必要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既非充分也非必要条件3. （2分） (2018高一下·蚌埠期末) 已知，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·浙江) 已知平面α ，直线m ， n满足m α ， n α ，则“m∥n”是“m∥α”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一上·荆门期末) 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥ ，若（λ∈R），则λ的值为（）A .B .C .D . 26. （2分） (2018高一下·珠海月考) 把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A .B .C .D .7. （2分）若函数y=mlnx（m＞0）的图象与函数y=e 的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A . （1，）B . （，e）C . （e，+∞）D . （，+∞）8. （2分）(2017·石家庄模拟) 设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A . 1B . 3C .D . ﹣199. （2分）(2017·凉山模拟) 设函数f（x）= ，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1 ， x2 ，则e •e 的最大值为（）A .B . 2（ln2﹣1）C .D . ln2﹣110. （2分）设函数的导函数为，且，，则下列成立的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）若函数的定义域为，则的定义域为________．12. （1分）定积分________13. （1分） (2016高三上·平罗期中) 在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则的值为________．14. （1分） (2016高二上·会宁期中) 若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则的最小值是________．15. （1分） (2018高二下·大连期末) 已知函数，若在区间上单调，则实数的取值范围为________．三、解答题 (共6题；共40分)16. （5分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=．（1）求角B的大小；（2）若a=2，且，求边c的取值范围．17. （5分） (2018高二下·辽宁期中) 给定命题：对任意实数都有成立；：关于的方程有实数根．如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围．18. （5分） (2015高二下·登封期中) 已知函数f（x）=x2﹣3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．19. （5分）(2017·六安模拟) 已知向量 =（3，﹣1），| |= ， =﹣5， =x +（1﹣x）．（Ⅰ）若，求实数x的值；（Ⅱ）当| |取最小值时，求与的夹角的余弦值．20. （10分） (2016高一上·大名期中) 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）（1）分别求出A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？21. （10分）已知函数f（x）=lnx﹣x+1．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设a≥1，函数g（x）=x2﹣3ax+2a2﹣5，若对于任意x0∈（0，1），总存在x1∈（0，1），使得f（x1）=g（x0）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、。

绝密★启用前江苏省常州市2019-2020学年高三上学期期中数学试题试卷副标题xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 一、填空题1．已知集合{A =，{1,}B m =，若A B A ⋃=，则m =________． 2．已知()f x 的定义域为[]1,1-，则()2log f x 的定义域为________________. 3．已知函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若()11f -=，则满足1(3)1f x -≤-≤的x 的取值范围是________．4．已知在等差数列{}n a 中，若34515a a a ++=，则1267a a a a ++++=________．5．设()f x 是周期为1的偶函数，当01x ≤≤时，()4(1)f x x x =-，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．6．设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移4π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于________． 7．已知α为第二象限角，sinα＋cosαcos2α＝________． 8．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题：…………○…※※请…………○…①数列{}n a 是等比数列；②数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； ③数列(){}2lg na 是等比数列；④数列{}1nn a a+⋅是等比数列．其中正确命题的序号为________．9．已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________．10．已知在正四棱锥S ABCD -中，若SA =，则当该棱锥的体积最大时，它的高为________．11．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是_____. 12．已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________． 13．已知圆O 的半径为2，若PA 、PB 为该圆的两条切线，其中A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值________．14．设函数()2x x f x a a x -=--（a e >且a 为常数，其中e 为自然对数的底数），则不等式1()log 10ax e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是________．二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的中点，E 为1AB 上的一点，且13AE EB =．（1）求证：DE 平面1A BC ； （2）求证：DE CD ⊥．16．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．…………装………○……___________姓名…………装………○……（1）求边AD 的长；（2）若ABC ∆的面积为480，求角C 的值． 17．已知函数()()4232314f x ax a x x =-++．（1）当16a =时，求()f x 的极值； （2）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围．18．已知{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （3）设22n nnc a b =-，记1nn ni S c==∑，证明：26n n S c ≤+<．19．如图，某山地车训练中心有一直角梯形森林区域ABCD ，其四条边均为道路，其中AD BC ∥，90ADC ︒∠=，10AB =千米，16BC =千米，6CD =千米．现有甲、乙两名特训队员进行野外对抗训练，要求同时从A 地出发匀速前往D 地，其中甲的行驶路线是AD ，速度为12千米/小时，乙的行驶路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两名特训队员到达D 地的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围；（2）已知甲、乙两名特训队员携带的无线通讯设备有效联系的最大距离是10千米．若乙先于甲到达D 地，且乙从A 地到D 地的整个过程中始终能用通讯设备对甲保持有效联系，求乙的速度v 的取值范围． 20．设函数1()1x f x e=-，函数()f x '为()f x 的导函数． （1）若x ∀∈R ，都有()()f x mf x n '=+成立（其中,m n ∈R ），求m n +的值；（2）证明：当1x >-时，1()11f x x +≥+；（3）设当0x ≥时，11()(1)f x a ax a+≤+恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．0或3 【解析】 【分析】由两集合的并集为A ，得到B 为A 的子集，可得出m ＝3或m =m 的值．【详解】 ∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，∴m ＝3或m =解得：m ＝0或3或1（舍去）． 故答案为：0或3 【点睛】此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基本题型，注意互异性的检验2．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】因为函数()f x 的定义域为[]1,1-，所以-1≤log 2x≤1，所以122x ≤≤. 故f(log 2x)的定义域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．[2,4] 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质可得f （﹣1）＝1，利用函数的单调性可得﹣1≤x ﹣3≤1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，f （x ）为奇函数，若f （1）＝﹣1，则f （﹣1）＝1，f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且﹣1≤f （x ﹣3）≤1，即f （1）≤f （x ﹣3）≤f （﹣1）， 则有﹣1≤x ﹣3≤1，解可得2≤x ≤4，即x 的取值范围是[2，4]； 故答案为：[2,4]． 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是将﹣1≤f （x ﹣2）≤1转化为关于x 的不等式． 4．35 【解析】 【分析】根据题意和等差数列的性质求出a 4的值，代入所求的式子化简求值即可． 【详解】由等差数列的性质得，3454415=35a a a a a ++=⇒=， ∴1267a a a a ++++=7a 4＝35，故答案为：35． 【点睛】本题考查等差数列的性质的灵活应用，关注下角标的和是关键，属于基础题题． 5．1 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和周期性之间的关系，进行转化即可得到结论． 【详解】∵f （x ）是周期为1的偶函数， ∴f （92-）＝f （92-+4）＝f （12-）＝f （12）， ∵当0≤x ≤1时，f （x ）＝4x （1﹣x ），∴f （12）＝412⨯（112-）1=， 故f （92-）1=，故答案为：1 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键． 6．8 【解析】 【分析】 函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果． 【详解】 f （x ）的周期T 2πω=，函数图象平移4π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期， 所以4π=k •2πω，k ∈Z ．令k ＝1，可得ω＝8．故答案为：8． 【点睛】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，由题确定平移了周期整数倍是关键，常考题型．7．－3【解析】∵sinα＋cosα∴(sinα＋cosα)2＝13，∴2sinαcosα＝－23，即sin2α＝－23.∵α为第二象限角且sinα＋cosα， ∴2kπ＋2π<α<2kπ＋34π(k ∈Z)，∴4kπ＋π<2α<4kπ＋32π(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos2α8．①②④ 【解析】【分析】根据等比数列的判断方法，逐项判断检验即可判断． 【详解】由{a n }是等比数列可得1nn a a -=q （q 为常数，q ≠0）， ①11n nn n a a a a --==|q |为常数，故是等比数列； 11111n n n n a a a q a --==②常数，故是等比数列；③数列a n ＝1是等比数列，但是lga n 2＝0不是等比数列；④1111n n n n n n a a a a a a ++--==q 2为常数，故是等比数列；故答案为：①②④ 【点睛】要判断一个数列是否是等比数列常用的方法，可以利用等比数列的定义只需判断数列的任意一项与它的前一项的比是否是常数即需要验证为常数． 9．(,2)(2,)-∞-+∞【解析】 【分析】求出f （x ）的导数和单调区间，以及极值，由题意可得极大值小于0或极小值大于0，解不等式即可得到c 的范围． 【详解】 f ′（x ）＝3x 2﹣3 ＝3（x ﹣1）（x +1），f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减， ∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，， 函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞ 【点睛】本题考查导数的运用：求单调区和极值，注意运用转化思想，考查函数的零点问题解法，注意运用函数的极值符号，考查运算能力，属于中档题．10．【解析】 【分析】设出底面边长，求出正四棱锥的高，写出体积表达式，利用求导求得最大值时，高的值． 【详解】设底面边长为a ，则高h ==V 13=a 2h=设y ＝24a 412-a 6，则y ′＝96a 3﹣3a 5，当y 取最值时，y ′＝96a 3﹣3a 5＝0，解得a ＝0或a ＝时，当a ''0;00y a y ><<<>,则a ＝此时h ==故答案为： 【点睛】本试题主要考查椎体的体积，考查高次函数的最值问题的求法，准确计算是关键，是中档题． 11．4π【解析】 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f （x ），由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ，得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]，结合已知条件即可求出a 的最大值．【详解】解：f （x ）＝cos x ﹣sin x ＝﹣（sin x ﹣cos x）4x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由22242k x k πππππ-+≤-≤+，k ∈Z ， 得32244k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，取k ＝0，得f （x ）的一个减区间为[4π-，34π]， 由f （x ）在[﹣a ，a ]是减函数，得434a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，∴4a π≤．则a 的最大值是4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 12．3- 【解析】 【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为：3- 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题13．12-+【解析】 【分析】结合切线长定理，设出P A ，PB 的长度和夹角，并将PA •PB 表示成一个关于x 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答． 【详解】如图所示：设OP ＝x （x ＞0），则P A ＝PB ，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，sinα2x=，PA •PB =|PA |•|PB |cos2α=（1﹣2sin 2α）＝（x 2﹣4）（128x -）＝x 2232x +-12，∴当且仅当x 2=“＝”，故PA •PB 的最小值为12故答案为：12-+【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力． 14．10,[,)e a⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，利用单调性解不等式即可 【详解】()()+2=x x f x a a x f x --=--，故函数为奇函数又()()'ln 222ln 20x x fx a a a a -=+-≥=->故函数()2xxf x a a x -=--为增函数，1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭等价为()1log 10a x e f x f ≥⎧⎪⎛⎫⎨-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 或()10log 10a x ef x f <<⎧⎪⎛⎫⎨-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1x e x a≥≤或0<，故不等式1()log 10a x e f x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭的解集是10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦故答案为：10,[,)e a ⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理转化能力，是中档题 15．（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得1DE A B ∥即可证明（2）作CF ⊥AB ，F 为垂足，证明DE ⊥面FCD,能证明DE ⊥CD ． 【详解】（1）∵几何体111ABC A B C -为直三棱柱， ∴四边形11AA B B 为矩形．设11A B AB O ⋂=，则点O 为1AB 的中点， 又∵13AE EB =，∴1111142EB AB OB ==，即点E 为1OB 的中点， 又∵D 为1BB 的中点，∴在1B OB ∆中，由三角形中位线定理得1DE A B ∥ 又∵1A B ⊂平面1A BC ，DE ⊄平面1A BC ， ∴DE 平面1A BC ．（2）作CF ⊥AB ，F 垂足，因为AC BC =，故F 为中点，则1DF A B ∥直三棱柱111ABC A B C -，故面ABC ⊥面ABB 1 A 1， 则CF ⊥面ABB 1 A 1，CF DE ⊥因为ABB 1 A 1为正方形，故A 1B ⊥1A B ，又1DF A B ∥，,DF DE CF FD F DE ∴⊥⋂=∴⊥，面FCD,故DE CD ⊥【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，考查考查线面平行的证明，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 16．（1）25AD =（2）90︒∠=C 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系得4in 5s ADC ∠=，3os 1c 12B =进而求得33sin sin()65BAD ADC B ∠=∠-=，再利用正弦定理求解即可 （2）由正弦定理求52AB =，利用面积求得48BC =，再利用余弦定理和勾股定理求解即可 【详解】（1）由3cos 5ADC ∠=，得4sin 5ADC ∠==由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角，即角B 为锐角，由5sin 13B =，得12cos 13B ==则33sin sin()sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠= 在ADB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，即335331365AD =，解得25AD =， （2）在ADB ∆中，4sin sin()sin 5ADB ADC ADC π∠=-∠=∠=， 由正弦定理得sin sin AB BD ADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB = 由ABC ∆的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =即15DC BC BD =-=由余弦定理得，20AC ==．在ADC ∆中，222625AD AC DC =+=， 则由勾股定理的逆定理可知，90︒∠=C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查同角三角函数基本关系，准确计算是关键，是中档题 17．（1）()f x 的极小值12-；（2）41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）当16a =时，对函数求解，由导数确定函数的单调性，进而可求得函数的极值与极值点；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，则()()()2413310f x x ax ax +'=--≥在(1,1)-上恒成立，从而23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立，即刻求解实数a 的取值范围．试题解析：（1）()()()241331f x x ax ax '=-+-，当16a =时，()()()2221f x x x =+-'，()f x 在(),2-∞-内单调减，在()2,-+∞内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值． 所以()212f -=-是()f x 的极小值．（2）由（1）知，()()()241331f x x ax ax '=-+-，∵()f x 在()1,1-上是增函数，∴()0f x '≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立， ①当0a =时，显然成立，②当0a >时，设()2331g x ax ax =+-，即()()10{10g g -≤≤，即10{610a -≤-≤，解得：16a ≤， 又0a >，∴106a <≤， ③当0a <时，即2133x x a+≥，对任意的()1,1x ∈-恒成立， 即()2min 133x xa +≥，()1,1x ∈-，而当12x =-时，()2min 3334x x +=-， ∴314a -≥，解得：403a -≤<，综上所述，实数a 的取值范围是41,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．考点：利用导数求解函数的极值；利用导数研究函数的单调．【方法点晴】本题主要以函数为载体考查了利用导数研究函数的极值与极值点、利用导数求解函数的单调性及其应用，解答中()f x 在(1,1)-上是增函数，转化为23310ax ax +-≤，对任意的()1,1x ∈-恒成立是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，属于中档试题．18．（1）证明见解析（2）1122n n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，1122nn b n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-两式相加减即可证明 （2）由（1）解方程组得{}n a 和{}n b 的通项公式 （3）利用错位相减求得1nn ni S c==∑，结合数列单调性即可证明【详解】（1）1434n n n a a b +-=+（其中*n N ∈），①1434n n n b b a +-=-（其中*n N ∈），②由①与②相加得()()1142n n n n a b a b +++=+，即1112n n n n a b a b +++=+（其中*n N ∈），又11101a b +=+=，故{}n n a b +是以1为首项12为公比的等比数列由①与②相减得()()11448n n n n a b a b ++-=-+，即()()112n n n n a b a b ++---=（其中*n N ∈），又11101a b +=+=， 则数列{}n n a b -是以1为首项，以2为公差的等差数列．（2）由（1）知，1112n n n a b -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），③1(1)221n n a b n n -=+-⨯=-（其中*n N ∈），④③+④得，11121112222n nn n a n -⎛⎫⨯+- ⎪⎛⎫⎝⎭==+-⎪⎝⎭， 即1111222n nn n b a n -⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（*n N ∈）， （3）()()1221(21)2n n n n n n n n c a b a b a b n -⎛⎫=-=+-=-⋅ ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），1221111111135(23)(21)22222n n nn n i S c n n --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑即1231111111135(23)(21)222222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由上下两式错位相减得123111111112222(21)222222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1221111111(21)22222n nn S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即1111121(21)12212n nn S n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+--⋅ ⎪⎝⎭-，也即31116(21)22n n n S n --⎛⎫⎛⎫=---⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又11(21)2n n c n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，即3162n n n S c -⎛⎫+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈），又因为函数31()62n n n f n S c -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（其中*n N ∈）为单调递增函数，则31(1)662n n n f S c -⎛⎫≤+=-< ⎪⎝⎭，即26n n S c ≤+<【点睛】本题考查递推关系求数列通项公式，考查错位相减求和，考查运算能力和推理能力，是中档题19．（1）乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）（2）3916,2⎛⎤⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（1）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．分别求得甲、乙的运动时间，列不等式求解即可（2）讨论乙运动到AB,BC,CD 时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 的表达式，求函数最值，列不等式求解即可 【详解】（1）如图．过点B 作直线AD 的垂线，垂足为E ．因为四边形ABCD 为直角梯形，所以四边形EBCD 为矩形，则16BC ED ==，6EB CD ==， 又在直角三角形ABE 中，8AE ==，即24AD AE ED =+=则由题意得，甲从A 地出发匀速前往D 地所需时间为24212t ==甲（小时）， 乙从A 地出发匀速前往D 地所需时间为32t v=乙（小时），由题意可知14t t -≤甲乙，即32124v -≤，解得12812897v ≤≤， 所求乙的速度ν的取值范围为128128,97⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（单位千米/小时）．（2）设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为()f t 千米，由于乙先于甲到达D 地，所以3224012v -<，解得16v >， ①当010vt <≤时，即100t v<≤时，222296()(12)()212cos 1445f t t vt t vt BAE v v t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯∠=-+ ⎪⎝⎭因为29614405v v -+>，所以当10t v =时，()f t 取得最大值，且22max109610()1445f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可得222max9610()144105f t v v v ⎛⎫⎛⎫=-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得152v ≥，②当1026vt <≤时，即1026t v v<≤时， 22222()(10812)6(12)3612f t vt t v t v ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪-⎝⎭，因为16v >，所以21012v v <-，则当26t v=时，()f t 取得最大值， 且222max26262()(12)361012f t f v v v v ⎛⎫⎛⎫==--+≤ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤ ③当2632vt <≤时，即2632t v v<≤时， ()2222222()(10166)(81612)(3232=1)(24441)22f t vt t vt v t t v t ⎛⎫-+- =++-+⎪⎝⎭+-=-+-，因为16v >，所以3232216t v =<=， 则函数()f t 在区间2632,v v ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，即当26t v =时，()f t 取得最大值， 且222max261226()(3226)2410f t f v v ⨯⎛⎫⎛⎫==-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得392v ≤， 由①②③同时成立可得153922v ≤≤，又因为16v >，所以39162v <≤ 即所求乙的速度v 的取值范围为3916,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题考查函数模型及应用，考查拟合函数的建立，考查分类讨论思想，正确求得每种情况的解析式是关键，是难题20．（1）0m n +=（2）证明见解析（3）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）求导()xf x e '-=，利用对应项系数相等求即可即可（2）证明1()11f x x +≥+等价证明1x e x ≥+，构造函数求最值即可证明 （3）讨论110,0,0,22a a a a =><≤>，11()(1)f x a ax a +≤+恒成立，转化为证明(1)()x x f x ≤+，构造函数()()()h x axf x f x x =+-，求导求最值，证明当0a <时不成立，当102a <≤时，利用（2）放缩证明h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数即可求解，当12a >时，构造函数，证明不成立即可求解 【详解】（1）()1xf x e -=-，则()x f x e '-=因为x R ∀∈，()()f x mf x n '=+即1x x e me n ---=+恒成立（其中,m n R ∈），则1m =-，1n =，即110m n +=-+=，且()()1f x f x '=-+（2）当1x >-时，要证1()11f x x +≥+即证1x e x ≥+， 令()1x g x e x =--，则()1xg x e '=-，当0x ≥时，()0g x '≥，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 当0x ≤时，()0g x '≤，即()g x 在区间[0,)+∞上是单调递减函数，则当0x =时，min ()(0)0g x g ==，即当x ∈R 时，()(0)g x g ≥，也即1x e x ≥+， 所以当1x >-时，1()11f x x +≥+ （3）当0a =，本题无意义，11()(1)f x a ax a+≤+显然不成立，所以0a =不合题意， 当0a ≠时，11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+， 由题设0x ≥，此时有()0f x ≥， 当0a <时，若1x a >-，则有01x ax <+，此时()1x f x ax ≤+不成立，即11()(1)f x a ax a+≤+不成立，所以0a <不合题意，当0a >时，令()()()h x axf x f x x =+-， 则11()(1)f x a ax a +≤+等价于()1x f x ax ≤+，即当且仅当()0≤h x ， ()()()()1h x af x axf x f x '''=++-，又由（1）得()()1f x f x '=-+，即()1()f x f x '=-，代入上式得：()()()()h x af x axf x ax f x '=-+-，①当102a <≤时，由（2）知1()11f x x +≥+，即(1)()x x f x ≤+， 则()()()()()()(1)()()h x af x axf x ax f x af x axf x a x f x f x '=-+-≤-++-(21)()0a f x =-≤，此时函数h (x )在区间[0,)+∞上是单调递减函数，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

常州市2019届高三上学期期末考试理科数学参考公式：样本数据12,,nx x xL的方差2211()niis x xn==-∑，其中11niix xn==∑.柱体的体积V Sh=，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.已知集合{0,1},{1,1}A B==-，则A B=I________.2.已知复数z满足(1)1z i i+=-（i是虚数单位），则复数z=________.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,,9.2,9.4x，且这5个分数的平均数为9.3，则实数x=________.4.一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1，则输入的实数x的值为________.5. 函数y=________.6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.7. 已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为2，直线20x y++=经过双C的焦点，则双曲线C的渐近线方程为________.8.已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的OP（第8题）体积的比值为________.9. 已知正数,x y 满足1yx x+=，则1x x y +的最小值为________.10. 若直线0kx y k --=与曲线e x y =（e 是自然对数的底数）相切，则实数 k =________.11. 已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈是偶函数，点(1,0)是函数()y f x =图象 的对称中心，则ω最小值为________.12. 平面内不共线的三点,,O A B ，满足||1,||2OA OB ==u u u r u u u r，点C 为线段AB 的中点，AOB ∠的平分线交线段AB 于D ，若|3||OC =u u u r ，则||OD =u u u r ________.13. 过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点A 是该圆与x 轴负半轴的交点，以AQ 为直径的圆与直线l 有异于Q 的交点N ，且直线AN 与直线AP 的斜率之积等于1，那么直线l 的方程为________.14. 数列{},{}n n a b 满足*1(1)()N n n n n b a a n +=+-∈，且数列{}n b 的前n 项和为2n ，已知数列{}n a n -的前2018项和为1，那么数列{}n a 的首项1a =________.二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点M ，N 分别是AB ，CC 1的中点． (1) 求证：CM ∥平面AB 1N ； (2) 求证：平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B .(第15题)16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，且b 2－233bcsinA ＋c 2＝a 2.(1) 求角A 的大小；(2) 若tanBtanC ＝3，且a ＝2，求△ABC 的周长．17. (本小题满分14分)已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b 2＝1上，其中a ＞b ＞0，且点⎝⎛⎭⎫63，63是椭圆C 1，C 2位于第一象限的交点．(1) 求椭圆C 1，C 2的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆C 2相切，与椭圆C 1交于点A ，B ，已知PA →＝35PB →，求直线l的斜率．18. (本小题满分16分)某公园要设计如图(1)所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图(2)中所示的多边形ABCDEFGH )，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴AF ＝BE ＝1.6 m ，两根竖轴CH ＝DG ＝1.2 m ，记景观窗格的外框(图(2)中实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为l m.(1) 若∠ABC ＝2π3，且两根横轴之间的距离为0.6 m ，求景观窗格的外框总长度；(2) 由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m ，当景观窗格的面积(多边形ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中∠ABC 的大小与BC 的长度．图(1)图(2)(第18题)19. (本小题满分16分)已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＋3a n ＋4＝0，n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)已知函数m (x )＝x 2，函数n (x )＝a ln x ＋1(a ∈R )． (1) 若a ＝2，求曲线y ＝n (x )在点(1，n (1))处的切线方程；(2) 若函数f (x )＝m (x )－n (x )有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；(3) 若函数g (x )＝n (x )－1＋e x －e x ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围．(e 是自然对数的底数，e ＝2.718 28…)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换 已知点(1，2)在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2y对应的变换作用下得到点(7，6)． (1) 求矩阵A ；(2) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量．B . 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22t ＋1，y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，求直线l 被曲线C 所截的弦长．C . 选修4-5：不等式选讲已知a >0，b >0，求证：a ＋b ＋1≥ab ＋a ＋b .【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在空间直角坐标系Oxyz 中，已知正四棱锥PABCD 的高OP ＝2，点B ，D 和C ，A 分别在x 轴和y 轴上，且AB ＝2，点M 是棱PC 的中点．(1) 求直线AM 与平面PAB 所成角的正弦值； (2) 求二面角APBC 的余弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)是否存在实数a ，b ，c 使得等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(an2＋bn ＋c)对于一切正整数n 都成立？若存在，求出a ，b ，c 的值；若不存在，请说明理由.江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1. {1}2. －i3. 9.54. 35. (0，e ]6. 357. y ＝±3x 8. 38 9. 4 10. e 211. π2 12. 23 13. y ＝±3x 14. 32(第15题)15. (1) 令AB 1交A 1B 于点O ，连接OM ，ON ，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1，且四边形AA 1B 1B 是平行四边形，所以O 为AB 1的中点，又因为M 为AB 的中点，所以OM ∥BB 1，且OM ＝12BB 1.因为N 为CC 1的中点，CN ＝12CC 1，所以OM ＝CN ，且OM ∥CN ，所以四边形CMON 是平行四边形，(5分)所以CM ∥ON ，又ON ⊂平面AB 1N ，CM ⊄平面AB 1N ，所以CM ∥平面AB 1N.(7分) (2) 在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥CM.(9分)因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ，又由(1)知CM ∥ON ，所以ON ⊥AB ，ON ⊥BB 1.又因为AB ∩BB 1＝B ，AB ，BB 1⊂平面AA 1B 1B ，所以ON ⊥平面AA 1B 1B.(12分)又ON ⊂平面A 1BN ，所以平面A 1BN ⊥平面AA 1B 1B.(14分)16. (1) 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又b 2－233bc sin A ＋c 2＝a 2，所以b 2－2bc cos A ＋c 2＝b 2－233bc sin A ＋c 2，即2bc cos A ＝233bc sin A ，(3分) 从而sin A ＝3cos A ，若cos A ＝0，则sin A ＝0，与sin 2A ＋cos 2A ＝1矛盾，所以cos A ≠0， 所以tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(7分)(2)tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝tan (B ＋C)＝tan (π－A)＝tan 2π3＝－ 3.(9分)又tan B tan C ＝3，所以tan B ＋tan C ＝－3×(－2)＝23，解得tan B ＝tan C ＝ 3.(11分)又B ，C ∈(0，π)，所以B ＝C ＝π3.又因为A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，由a ＝2，得△ABC 的周长为6.(14分)17. (1) 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点坐标为(±c ，0)，代入椭圆C 2的方程有c 2b 2＝1，点P ⎝⎛⎭⎫63，63的坐标代入椭圆C 1，C 2的方程有C 1：23a 2＋23b 2＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c 2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，23a 2＋23b 2＝1，解得a 2＝2，b 2＝c 2＝1，(3分)所以椭圆C 1，C 2的标准方程分别为x 22＋y 2＝1，y 22＋x 2＝1.(5分)(2) 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(0，m)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 22＋x 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得（kx ＋m ）22＋x 2＝1，即⎝⎛⎭⎫1＋k 22x 2＋kmx ＋m22－1＝0， Δ＝k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫1＋k 22⎝⎛⎭⎫m 22－1＝0，即k 2＋2－m 2＝0.(7分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得x 22＋(kx ＋m)2＝1，即⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0，因为直线l 与椭圆C 1相交，有Δ＝4k 2m 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2(m 2－1)＝4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12>0(*)， x 1，2＝－2km±4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2.(9分)因为PA →＝35PB →，即(x 1，y 1－m)＝35(x 2，y 2－m)，则5x 1＝3x 2，所以5－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2或5－2km －4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝3－2km ＋4⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋122⎝⎛⎭⎫12＋k 2化简得，km ＝4k 2－12m 2＋12或km ＝－4k 2－12m 2＋12，即k 2m 2＝16⎝⎛⎭⎫k 2－12m 2＋12.(12分) 又因为k 2＋2－m 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2，m 2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，m 2＝6，符合(*)式，所以直线l 的斜率为±2或±2.(14分)18. (1) 记CH 与AF ，BE 的交点为M ，N ， 由∠ABC ＝2π3，得在△BCN 中，∠CBN ＝π6，其中CN ＝HM ＝12(1.2－0.6)＝0.3 m ，所以BC ＝CN sin ∠CBN＝0.3sin π6＝35m ，BN ＝CN tan ∠CBN＝0.3tan π6＝3310m ，(2分)所以CD ＝BE －2BN ＝1.6－335＝8－335，则 AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋ HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ＝1.2＋16－635＋125＝34－635.(5分) 答：景观窗格的外框总长度为34－635m ．(6分)(2) AB ＋BC ＋CD ＋DE ＋EF ＋FG ＋GH ＋HA ＝2AB ＋2CD ＋4BC ≤5， 设∠CBN ＝α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，BC ＝r ，则CN ＝r sin α，BN ＝r cos α，所以AB ＝CH －2CN ＝1.2－2r sin α， CD ＝BE －2BN ＝1.6－2r cos α， 所以2(1.2－2r sin α)＋2(1.6－2r cos α)＋4r ≤5，即4r(sin α＋cos α－1)≥35.(8分)设景观窗格的面积为S ，有S ＝1.2×1.6－2r 2sin α·cos α≤4825－9sin αcos α200（sin α＋cos α－1）2(当且仅当4r （sin α＋⎭⎫cos α－1）＝35时取等号.(9分)令t ＝sin α＋cos α∈(1，2]，则sin αcos α＝t 2－12，所以S ≤4825－9t 2－12200（t －1）2＝4825－9400·⎝⎛⎭⎫1＋2t －1，其中1＋2t －1≥1＋22－1⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝2，即α＝π4时取等号，(12分)所以S ≤4825－9400⎝⎛⎭⎫1＋2t －1≤4825－9400·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22－1＝4825－9400(3＋22)＝741400－92200， 即S ≤741400－92200⎝⎛当且仅当4r （sin α＋cos α－1）＝35⎭⎫且α＝π4时，取等号，所以当且仅当r ＝3（2＋1）20且α＝π4时，S 取到最大值．(15分)答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中∠ABC ＝3π4且BC ＝3（2＋1）20 m ．(16分)19. (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0，得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1)，n ∈N *，(2分) 其中a 1＝1，所以a 1＋1＝2≠0，可得a n ＋1≠0，n ∈N *，(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3，n ∈N *，所以{a n ＋1}是以2为首项，－3为公比的等比数列，(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1，n ∈N *.(8分)(2) 若数列{a n }中存在三项a m ，a n ，a k (m <n <k )符合题意，其中k －n ，k －m ，n －m 都是正整数，(9分)分以下三种情形：①a m位于中间，则2a m＝a n＋a k，即2[2(－3)m－1－1]＝2(－3)n－1－1＋2 (－3)k－1－1，所以2(－3)m＝(－3)n＋(－3)k，两边同时除以(－3)m，得2＝(－3)n－m＋(－3)k－m是3的倍数，舍去；②a n位于中间，则2a n＝a m＋a k，即2[2(－3)n－1－1]＝2(－3)m－1－1＋2(－3)k－1－1，所以2(－3)n＝(－3)m＋(－3)k，两边同时除以(－3)m，得2(－3)n－m＝1＋(－3)k－m，即1＝2(－3)n－m－(－3)k－m是3的倍数，舍去；③a k位于中间，则2a k＝a m＋a n，即2[2(－3)k－1－1]＝2(－3)m－1－1＋2(－3)n－1－1，所以2(－3)k＝(－3)m＋(－3)n，两边同时除以(－3)m，得2(－3)k－m＝1＋(－3)n－m，1＝2(－3)k－m－(－3)n－m是3的倍数，舍去．(15分)综上可得，数列{a n}中不存在三项满足题意．(16分)20. (1) 当a＝2时，n(x)＝2ln x＋1，所以n′(x)＝2 x，所以n′(1)＝2，又n(1)＝1，所以切线的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(3分)(2) f(x)＝x2－a ln x－1，定义域为(0，＋∞)，其图象是一条不间断的曲线，f′(x)＝2x－ax＝2x2－ax.①若a≤0，则f′(x)>0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，符合题意．②若a>0，令f′(x)＝0，得x＝a2或x＝－a2(舍去)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：1°.若a2>1，即a>2，此时a>a2，则f⎝⎛⎭⎫a2<f(1)＝0，f(a)＝a2－a ln a－1.令F1(a)＝a2－a ln a－1，a≥2，则F1′(a)＝2a－ln a－1，令F 2(a)＝2a －ln a －1，则F 2′(a)＝2－1a>0对a ∈[2，＋∞)恒成立， 所以F 2(a)＝2a －ln a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以F 2(a)≥F 2(2)＝3－ln 2>0，即F 1′(a)>0对a ∈[2，＋∞)恒成立，所以F 1(a)＝a 2－a ln a －1在[2，＋∞)上单调递增，所以F 1(a)≥F 1(2)＝3－2ln 2>0，即f(a)>0，又因为f ⎝⎛⎭⎫a 2<0，且函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上有且只有一个零点， 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递减，且有一个零点x ＝1，故函数f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，不符合题意，舍去．2°.若a 2＝1，即a ＝2， 则函数f (x)在(0，1)上单调递减，所以f(x)>f(1)＝0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)>f(1)＝0，故函数f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点，符合题意．3°.若a 2<1，即0<a<2，此时0<e －1a <e 0＝1，0<a 2<1. 因为函数f(x)在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上单调递增， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2<f(1)＝0， 又f ⎝⎛⎭⎫e －1a ＝e －2a>0，所以函数f(x)在(0，1)内必有零点， 又因为1是函数f(x)的零点，不符合题意，舍去．(9分)综上，a ≤0或a ＝2.(10分)(3) 当x ≥1时，g(x)＝a ln x ＋e x －e x.令G(x)＝e x －e x ，x ≥1，则G′(x)＝e x －e ≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以函数y ＝G(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)＝0.①若a ≥0，则当x ≥1时，ln x ≥0，所以g(x)＝a ln x ＋e x －e x ≥0恒成立，符合题意．(11分)②若a<0，g′(x)＝a x ＋e x －e ，令H(x)＝a x ＋e x －e ，x ≥1，则H′(x)＝e x －a x 2>0恒成立， 所以H(x)＝a x＋e x －e 在[1，＋∞)上单调递增， 且H(1)＝a<0.因为a<0，所以1－a>1，所以G(1－a)>G(1)＝0，即e 1－a >e (1－a)．(12分)所以H(1－a)＝a 1－a ＋e 1－a －e >a 1－a ＋e －e a －e ＝a 1－a －e a ＝11－a＋(1－a)－2－(e －1)a ， 因为a<0，1－a>1，所以11－a＋(1－a)>2，(e －1)a<0， 所以H(1－a)>0，因为H(x)＝a x＋e x －e 在[1，＋∞)上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且H(1)＝a<0，所以存在唯一的x 0∈(1，1－a)，使得H(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0，当x ∈(1，x 0)时，g′(x)<0，所以函数y ＝g(x)在(1，x 0)上单调递减，此时g(x)<g(1)＝0，不符合题意，舍去．(15分)综上，a ≥0.(16分)江苏省常州市2019届高三上学期期末考试数学附加题参考答案及评分标准21. A. (1) 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤76，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ＝7，2＋2y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1322.(3分) (2) f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－3－2λ－2＝(λ－1)(λ－2)－6＝λ2－3λ－4，令f (λ)＝0，得λ2－3λ－4＝0，解得λ1＝－1，λ2＝4.(5分)当λ1＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3y ＝0，－2x －3y ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，所以属于λ1＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2， 当λ2＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧3x －3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(9分)所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4，对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分) B. 直线l 的普通方程为x －2y －1＝0，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，(4分) 所以曲线C 是圆心为C (1，1)，半径为r ＝2的圆，(6分)所以圆心C (1，1)到直线l 的距离为d ＝|1－2－1|1＋（－2）2＝23，(8分) 所以直线l 被曲线C 所截的弦长为2r 2－d 2＝22－23＝433.(10分) C. 因为a >0，b >0，由柯西不等式可得(a ＋b ＋1)(b ＋1＋a )≥(ab ＋a ＋b )2， 当且仅当a b ＝b 1＝1a时取等号，所以(a ＋b ＋1)2≥(ab ＋a ＋b )2. 又因为a ＋b ＋1>0，ab ＋a ＋b >0，所以a ＋b ＋1≥ab ＋a ＋b .(10分)22. (1) 记直线AM 与平面PAB 所成的角为α，A(0，－1，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，1，则AB →＝(1，1，0)，PA →＝(0，－1，－2)，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，1， 设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·P A →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－y －2z ＝0，取n ＝(2，－2，1)， 所以sin α＝||cos 〈n ，AM →〉＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·AM →|n |·|AM →|＝23×132＝41339，(5分) 即直线AM 与平面P AB 所成角的正弦值为41339.(6分) (2) 设平面PBC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，BC →＝(－1，1，0)，PB →＝(1，0，－2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －2z ＝0，取n 1＝(2，2，1)，所以cos 〈n ，n 1〉＝n·n 1|n|·|n 1|＝13×3＝19，(9分) 由图可知二面角APBC 的余弦值为－19.(10分) 23. 在1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(an 2＋bn ＋c)中，令n ＝1，得15＝24(a ＋b ＋c)； 令n ＝2，得63＝64(4a ＋2b ＋c)； 令n ＝3，得168＝124(9a ＋3b ＋c)， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝30，4a ＋2b ＋c ＝42，9a ＋3b ＋c ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝9，c ＝20.(3分) 下面用数学归纳法证明：等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)(n ＋4)＝n （n ＋1）4(n 2＋9n ＋20)对于一切正整数n 都成立．当n ＝1时，等式成立；假设当n ＝k 时，等式成立，即1·3·5＋2·4·6＋…＋k(k ＋2)(k ＋4)＝k （k ＋1）4·(k 2＋9k ＋20)．(4分) 当n ＝k ＋1时，1·3·5＋2·4·6＋…＋k(k ＋2)(k ＋4)＋(k ＋1)(k ＋3)(k ＋5)＝k （k ＋1）4(k 2＋9k ＋20)＋(k ＋1)(k ＋3)·(k ＋5)＝14k(k ＋1)(k ＋4)(k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋3)(k ＋5) ＝14(k ＋1)(k ＋5)(k 2＋8k ＋12) ＝（k ＋1）（k ＋1＋4）4[(k ＋1＋1)(k ＋1＋5)] ＝（k ＋1）[（k ＋1）＋1]4[(k ＋1)2＋9(k ＋1)＋20]， 即等式对n ＝k ＋1也成立．(8分)综上可得，等式1·3·5＋2·4·6＋…＋n(n ＋2)·(n ＋4)＝n （n ＋1）4(n 2＋9n ＋20)对于一切正整数n 都成立．所以存在实数a ，b ，c 符合题意，且⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝9，c ＝20.(10分)。

2019-2020学年江苏省常州市高三（上）期中数学试卷2一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={1,2，9}，B ={1,7}，则A ∩B =______．2. 函数f (x )=lg (x 2+3x −4)的定义域为__________．3. 在△ABC 中，∠A =π3，AB =2，且△ABC 的面积为√32，则边AC 的长为______ ．4. (1)曲线y =−5e x +3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x ，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y =f(x)相切，则直线ι的方程为________．5. 已知点A(−1,2)，B(3,−1)，那么与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为________． 6. 已知f(x +7)是定义在R 上的奇函数，当x <7时，f(x)=−x 2，则当x >7时，f(x)=__________．7. 已知a <0，则关于x 的不等式axx−2>1的解集是________．8. 设向量a ⃗⃗⃗ =(−1,2)，若单位向量b ⃗ 满足a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，则a ⃗ ⋅b⃗ =______． 9. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移π6个单位后，所得图象关于原点对称，则ϕ的值为__________．10. 已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)=x 2−4x.那么，不等式f(x +2)< 5的解集是 ．11. 已知正实数x,y 满足x +2y =4，则y 4x +1y 的最小值为____．12. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．13. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 满足c =acos(A +C)，则tan C 的最大值是________． 14. 任意x ∈[1,e ]，使得x +1+a x>alnx (a >0)成立，则a 的取值范围是_______．二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）15. 已知函数f(x)=cos(2ωx −π6)−cos(2ωx +π6)+1−2sin 2ωx ，(x ∈R,ω>0)的最小正周期为π． (I)求ω的值；(II)求函数f(x)在区间[−π4,π3]上的最大值和最小值．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosC =ab ．(1)求B ；(2)设CM 是角C 的平分线，且CM =1，b =6，求cos∠BCM ．17. 某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1<x ≤12)满足：当1<x ≤4时， y =a(x −3)2+bx−1，(a,b 为常数)；当4<x ≤12时，y =2800x−100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大．(√7≈2.65)18. 已知A (2,1),B (−2,3)，如果点P 和点M 分别满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求点P 和点M 的坐标．19. 已知函数f(x)=x 3−92x 2+6x −a ．(1)对于任意实数x,f ′(x)⩾m 恒成立，求实数m 的最大值； (2)若方程f(x)=0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．20. 已知函数f(x)=aln(x +1)−x −1(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性(2)令函数g(x)=f(x)+e x ，若x ∈[0,+∞)时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．21. 已知矩阵A =[1321]，B =[−2311]，若矩阵M 满足AM =B ，求矩阵M 的特征值．22. 已知直线l 的参数方程为{x =ty =t −a (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ−π4)−2=0(ρ≥0)，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点．若弦长AB =2√2，求实数a 的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|+|2x −5|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥5；(2)当x ∈[a,2a −2]时，不等式f(x)≤|x +4|恒成立，求实数a 的取值范围．24. 某商场在节日期间搞有奖促销活动，凡购买一定数额的商品，就可以摇奖一次．摇奖办法是在摇奖机中装有大小、质地完全一样且分别标有数字1～9的九个小球，一次摇奖将摇出三个小球，规定：摇出三个小球号码是“三连号”(如1、2、3)的获一等奖，奖1000元购物券；若三个小球号码“均是奇数或均是偶数”的获二等奖，奖500元购物券；若三个小球号码中有一个是“8”的获三等奖，奖200元购物券；其他情形则获参与奖，奖50元购物券．所有获奖等第均以最高．．．．．．．．．．奖项兑现．．．．．．.记X表示一次摇奖获得的购物券金额．．．．．，且不重复兑奖(1)求摇奖一次获得一等奖的概率；(2)求X的概率分布列和数学期望．25.如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n.求(Ⅰ)a1，a2，a3，a4；(Ⅱ)a n与a n+1(n≥2)的关系式；(Ⅲ)数列{a n}的通项公式a n，并证明a n≥2n(n∈N∗).-------- 答案与解析 --------1.答案：{1}解析：解：∵A={1,2，9}，B={1,7}；∴A∩B={1}．故答案为：{1}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：(−∞,−4)∪(1,+∞)解析：解析：由题意可知x2+3x−4>0，解得x<−4或x>1，所以函数f(x)的定义域为(−∞,−4)∪(1,+∞).3.答案：1解析：解：∵A=π3，AB=2，且△ABC的面积为√32，∴由三角形面积公式可得：S=12×AB×AC×sinA可得：√32=12×2×AC×sinπ3，∴解得：AC=1．故答案为：1．利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了三角形面积公式的应用，属于基础题．4.答案：(1)5x+y+2=0(2)x−y−1=0解析：(1)【分析】本题考查由导数求函数在某点处的切线方程．先求导数，得切线斜率，再由点斜式求切线方程．【解答】解：∵y=−5e x+3，∴y′=−5e x，∴在点(0,−2)处的切线的斜率为k=y′|x=0=−5，∴在点(0,−2)处的切线方程为y+2=−5x，即5x+y+2=0．故答案为5x+y+2=0．(2)【分析】本题考查导数得几何意义．设切点为(x 0,x 0lnx 0)，由到导数求出切线的斜率，由点斜式得切线方程，再由过点(0,−1)得x 0的值，从而得切线方程． 【解答】解：∵函数f(x)=xln x ， ∴f ′(x)=1+lnx ， 设切点为(x 0,x 0lnx 0)，∴函数在点(x 0,x 0lnx 0)处的切线方程为y −x 0lnx 0=(1+lnx 0)(x −x 0)， ∵切线ι过点(0,−1)，∴−1−x 0lnx 0=(1+lnx 0)(−x 0)， 解得x 0=1，∴切线方程为x −y −1=0． 故答案为x −y −1=0．5.答案：(45,−35)解析： 【分析】本题给出A 、B 两点的坐标，求与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量．着重考查了向量的坐标运算和单位向量的定义等知识，属于基础题．由点A 、B 的坐标算出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−3)，从而得到|AB →|=5，再根据单位向量的定义加以计算，可得答案． 【解答】解：∵点A(−1,2)，B(3,−1)， ∴AB →=(4,−3)，可得|AB →|=5，因此与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为e ⃗ =1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15(4,−3)= (45,−35)． 故答案为 (45,−35)．6.答案：−(x −14)2【分析】本题考查了与奇函数有关函数性质的问题，考查对奇偶性质的理解．【解答】∵f(x+7)是定义在R上的奇函数，∴f(x+7)=−f(−x+7)，∴f(x)=−f(−x+14)，∴当x>7时，−x+14<7，故f(x)=−f(−x+14)=−(−x+14)2=−(x−14)2，故答案为−(x−14)2．,2)7.答案：(21−a解析：【分析】本题考查了一元二次不等式和简单分式不等式的解法，解答的关键是明确二次不等式对应二次方程的两个根的大小及对应二次函数图象的开口方向，是基础题．【解答】>1可化为[(a−1)x+2](x−2)>0,解：不等式axx−2因为a<0，所以a−1<0，,2),所以不等式[(a−1)x+2](x−2)>0的解集为(21−a,2),故原不等式的解集为(21−a,2).故答案为(21−a8.答案：53解析：解：根据题意得，a⃗⋅(a⃗−3b⃗ )=0，∴a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =0，∴3a⃗⋅b⃗ =1+4=5，∴a⃗⋅b⃗ =5，3．故答案为：53运用平面向量的数量积运算可得结果．本题考查平面向量数量积的性质及其运算．9.答案：解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用三角函数的平移和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的对称性求出结果．【解答】解：函数f(x)=sin(x+ϕ)(0<ϕ<π)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到：．再将图象向右平移个单位后，得到：所得图象关于原点对称，则：，0<ϕ<π，则．故答案为．10.答案：(−7,3)解析：【分析】本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题．【解答】解：当x≥0时，f(x)=x2−4x，由f(x)=5⇒x=5，∵函数是偶函数，故f(x+2)<5⇔|x−2|<5解得，−7<x<3．故答案为(−7,3)．11.答案：1解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．=1是解题的关键．将x+2y=4可化为x+2y4【解答】解：x +2y =4可化为x+2y 4=1， 因为x >0，y >0，所以y4x +x+2y 4y=y 4x+x 4y+12≥2√y 4x·x 4y+12=2√116+12=2×14+12=1，当且仅当x =y =43时等号成立， 所以y4x +1y 的最小值为1， 故答案为1．12.答案：−4解析：【解答】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，AC =BC =2，∴AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=2√2×2×(−√22)=−4 故答案为：−4 【分析】由已知得AB =2√2，<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=135∘，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°，代入计算即可得到所求值．本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。

江苏省常州市2019届高三上学期期中考试物理试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共16页，38题（含选考题）。

全卷满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共计18分．每小题只有一个选项符合题意．1.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图象如图所示。

已知两车在t＝30 s时并排行驶，则( )A. 在t＝10 s时，甲车在乙车后B. 在t＝0时，乙车在甲车前100mC. 两车另一次并排行驶的时刻有可能是t＝5 sD. 甲、乙车两次并排行驶之间沿两车的最大距离为200 m【答案】B【解析】【分析】在速度时间图象中，图象与坐标轴围成面积表示位移，根据位移关系分析两车的位置关系。

可结合几何知识分析两车另一次并排行驶的时刻。

两车速度相等时，两车间距最大；根据图像求解最大距离。

2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。

3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.函数y =A.[]1,2B.[)1,2C.1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.下列函数中在区间()1,1-上既是奇函数又是增函数的为 A.1y x =+ B.sin y x =C.22xxy -=+D.ln y x =3.22log sin log cos1212ππ+的值为 A.2-B.1-C.12D.14.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于 A.1D.25.若121sin ,cos a xdx b xdx a b π==⎰⎰，则与的关系是A.a b <B.a b >C.a b =D.0a b +=6.若变量,x y 满足1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，实数z 是2x 和4y -的等差中项，则z 的最大值等于A.1B.2C.3D.47.函数()sin x xy e ex -=-⋅的图象大致是8. 已知集合{}{}(]21561,M x x x N x a x M N b =++-≤=<<⋂=-，，且则b a -=9.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），满足()()20PB PA PB PA PC -⋅+-=uu r uu r uu r uu r uu u r，则△ABC 必定是A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形10.已知方程()sin 0xk x=+∞在，有两个不同的解()αβαβ<，，则下面结论正确的是 A.1tan 41πααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭B.1tan 41πααα-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ C.1tan 41πβββ+⎛⎫+=⎪-⎝⎭D.1tan 41πβββ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.函数()1,02,0x x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则()()0f f 的值为12.已知幂函数()y f x =的图像经过点1,22⎛ ⎝⎭，则()()1215gf gf +=13.不等式4x x>的解集为 14.公差不为零的等差数列{}n a 中，237110a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且7712b a b b =g，则…13b 等于 15.对于下列命题：①若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则()0,1a ∈②已知函数()2log 1a xf x x-=+为奇函数，则实数a 的值为1； ③设201420142014sin ,cos ,tan 333a b c a b c πππ===<<，则；④△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若2,5,6a b A π===，则ABC ∆有两组解；其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知向量)()22,cos ,1,2cos m x x n x =+=，设函数(),.f x m n x R =⋅∈（1）求()f x 的最小正周期与最大值；（2）在△ABC 中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，若()4,1,f A b ABC ==∆的面积为,2a 求的值.已知函数()()sin 0,04f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为3π. （1）若260sin 3125f πααπα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，，求； （2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到()y g x =的图象，若函数()11036y g x k π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦在，上有零点，求实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为112,22n n n S a a S +==+，且. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的各项均为正数，且n b 是2n n n n a a +与的等比中项，求n b 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分） 设函数()()f x x a x b =-+.（1）当2,3a b ==，求函数()y f x =的零点；（2）设2b =-，且对任意[]()1,1,0x f x ∈-<恒成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分13分）某种树苗栽种时高度为A （A 为常数）米，栽种n 年后的高度记为()f n .经研究发现()f n 近似地满足()2392nAf n t a bt-==+，其中，,a b 为常数，(),0.n N f A ∈=已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍.（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍； （2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大.已知函数()()21,x ax f x e x g x x e =--=. （1）求()f x 的最小值； （2）求()g x 的单调区间；（3）当1a =时，对于在()0,1中的任一个常数m ，是否存在正数0x 使得()()002mf xg x >成立？如果存在，求出符合条件的一个0x ；否则说明理由.2019-2020学年高三上数学期中模拟试卷含答案第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2019届第一学期期中考试一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.设集合}{2A x x =?，2{1}B y y x ==-，则A B?______． 【答案】{}21x x-＃ 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，根据函数的值域得到集合B ，然后可得A B Ç．【详解】由题意得}}{2{22A x x x x =?-＃，2{1}{1}B y y x y y ==-=?， 所以{}21A B x x ?-＃． 故答案为：{}21x x -＃．【点睛】本题以集合的运算为载体，考查二次函数的值域和简单的绝对值不等式的解法，属于基础题．2.已知向量(),1a x =，()1,2b =-，若a b ^，则实数x 的值为______．【答案】2【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为零，进而得到关于x 的方程，解方程可得所求．【详解】因为a b ^，所以20a b x ?-=，解得2x =．故答案为2．【点睛】本题考查向量数量积的应用，解题时根据数量积的坐标表示直接求解即可，属于简单题． 3.设x ÎR ，则38x >是2x >的______条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断后可得结论．【详解】由38x >得2x >；由2x >，得2x <-或2x >．所以由“38x >”可得“2x >”，反之不成立，所以“38x >”是“2x >”充分不必要条件．故答案为：充分不必要【点睛】充分、必要条件的判断方法（1）利用定义进行判断，即直接判断“若p ，则q ”，“若q ，则p ”的真假．在判断时，首先要分清条件是什么、结论是什么．（2）从集合的角度判断，利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23108a a a ++=，则9S =______．【答案】24【解析】【分析】由23108a a a ++=可得583a =，然后再根据等差数列的前n 项和公式求解即可． 【详解】因为23108a a a ++=，所以13128a d +=， 所以15843a d a +==， 所以19959()9242a a S a +===． 故答案为24．【点睛】本题考查等差数列的基本运算，解题的关键是得到5a 以及合理运用项的下标和的性质，属于基础题．5.已知()f x ¢是函数()sin cos f x x x =-的导函数，实数a 满足()()3f f a a ¢= ，则tan 2a 的值为______． 【答案】43-【解析】【分析】求导后根据()()3f f a a ¢=得到tan 2a =，然后根据倍角公式得到所求． 【详解】由()sin cos f x x x =-可得'()cos sin f x x x =+， 因为()()3f f a a ¢= 所以cos sin 3(sin cos )a a a a +=-，整理得tan 2a =， 所以22tan 4tan 21tan 3a a a ==--． 故答案为43-． 【点睛】本题考查导数的基本运算和简单的三角变换，解题的关键是正确运用公式，属于基础题． 6.已知(1,)a l =，(2,1)b =，若向量2a b +与(8,6)c =共线，则实数l 的值为______．【答案】1【解析】【分析】先求出2a b +的坐标，然后根据向量的共线得到l 的值．【详解】因为()1,a l =，()2,1b =，所以()24,21a b l +=+.又向量2a b +与()8,6c =共线，所以()82124l +=，解得1l =．故答案为1．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量共线的充要条件，解题的关键是熟知向量运算的坐标表示． 7.已知函数()()()1f x x px q =-+为偶函数，且在()0,+?上单调递减，则不等式()30f x -<的解集为______．【答案】()(),24,-ト+? 【解析】【分析】根据函数为偶函数和函数的单调性可求得函数的解析式，然后再解不等式可得所求的结果．【详解】由题意得()()2()1()f x x px q px q p x q =-+=+--， 因为函数()f x 为偶函数，所以p q =， 所以2()f x px p =-．又()f x 在()0,+?上单调递减， 所以0p <．由()23(3)0f x p x p -=--<，得2(3)10x -->，解得：2x <或4x >，所以不等式的解集为()(),24,-ト+?． 故答案为()(),24,-ト+?．【点睛】本题考查函数性质的应用和二次不等式的解法，解题的关键是得到函数的解析式，然后再根据一元二次不等式的解法可得所求，体现了函数与方程间的关系．8.在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角a 以Ox 为始边，OP 为终边．若tan cos sin a a a <<，则P 所在的圆弧是______．【答案】EF【解析】【分析】根据四段弧所在的位置并结合三角函数线，分别判断出tan ,cos ,sin a a a 的大小关系后可得结果．【详解】（1）当点P 在AB 上时，由于弧的位置在第一象限靠近x 轴的一方，所以cos sin a a >，不合题意；（2）当点P 在CD 上时，由于弧的位置在第一象限靠近y 轴的一方，所以tan 1a >，而0cos sin 1a a <<<，所以不合题意；（3）当点P 在EF 上时，由于弧在第二象限靠近y 轴的一方，所以sin 0,cos 0,tan 0a a a ><<，且tan cos a a <，所以tan cos sin a a a <<，符合题意．（4）当点P 在GH 上时，由于弧在第三象限，所以sin 0,cos 0,tan 0a a a <，所以不合题意． 由以上分析可得点P 所在的圆弧是EF ．故答案为EF ．【点睛】解答本题的关键是根据三角函数线得到各个三角函数值的符号，解题中要注意正弦线、余弦线、正切线分别对应的有向线段，进而得到三角函数值的正负和大小关系，体现了数形结合在解题中的作用．9.函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ¹的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为_______．【答案】3+【解析】试题分析：由题意可知，令x+3=1，则y=-1，即x=-2,y=-1，所以A （-2，-1），可得2m+n=1， 所以()11112233n m m n m n m nm n 骣琪+=++=++?琪桫当且仅当2{21n m m n m n =+=，即2{21m n -==时，等号成立，所以11m n+的最小值为3+考点：本题考查基本不等式求最值点评：解决本题的关键是求出A 点坐标，注意利用基本不等式的条件10.已知l ÎR ，函数()245,1,x x x x f x e x l lì--<ï=í-?ïî，若函数()f x 恰有2个零点，则实数l 的取值范围是______．【答案】(]()1,05,-??【解析】【分析】画出函数的图象，然后结合图象分析后可得所求的范围．【详解】画出函数()f x 的图象，如下图所示．结合图象可得：当1l ?时，函数()f x 有1个零点，即点B 的横坐标；当10l -<?时，函数()f x 恰有2个零点，即点A,B 的横坐标；当05l <?时，函数()f x 有1个零点，即点A 的横坐标；当5l >时，函数恰有2个零点，即点A ，C 的横坐标．综上可得当10l -<?或5l >时，函数有两个零点．所以实数l 的取值范围是(]()1,05,-??．【点睛】已知函数的零点(方程的根)求参数值(取值范围)常用的方法（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 11.在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，2AB =，1AD =，60DAB??，若3BC CE =，AF AB l =，且1AE DF?-，则实数的值为______． 【答案】14 【解析】依题意得AB ∥CD ,2,?1AB AD BC ===，60DAB ABC ??.∵3BC CE = ∴43BE BC =∴442cos120333BE DA BC DA BC DA ??装=- ∵AF AB l =∴444cos120333BE AFBC AB BC AB l l l ??装=- ∵1AE DF ?- ∴42()()21cos12022133AE DF AB BE DA AF AB DA AB AF BE DA BE AF l l ?++=????创??-=-∴14l =故答案为14. 12.已知不等边ABC D （三条边都不相等的三角形）的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()()221cos cos 2a b B c C b c -=-，则A Ð的弧度数为______． 【答案】23p 【解析】【分析】 在()()221cos cos 2a b B c C b c -=-中运用余弦定理并进行变形后得到 222b c a bc +-=-，再根据余弦定理的推论可得角A 的大小．【详解】∵()()221cos cos 2a b B c C b c -=-， ∴222cos 2cos ab B ac C b c -=-， 即222222222222a c b a b c ab ac b c acab +-+-??-， ∴22222222a c b a b c b c b c c b +-+-??-∴2222222222()()()b a c b c a b c bc b c +--+-=-∴22422422()a b b c a c bc b c --+=-整理得222222222()()()()a b c b c b c bc b c --+-=-，由题意得b c ¹，∴222()a b c bc -+=，即222b c a bc +-=-． 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-， 又0A p <<，∴23A p =． 故答案为23p ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用、考查计算能力，由于解题中需要用到大量的化简、计算，所以在解题时要注意运算的合理性和准确性，属于基础题．13.已知定义在R 上的函数()xf x =a ，使得对任意实数x 都有()f x a k -<成立，则实数k 的最小值为______． 【答案】12 【解析】【分析】由题意得()()f x k a k f x -<<+对任意实数x 恒成立，又根据函数()f x 的值域可得()1k f x k k -<-<-，()1k f x k k <+<+，故可得1k k -?，解不等式可得所求．【详解】∵()f x a k -<， ∴()a k f x a k -<<+．由题意得()()f x k a k f x -<<+对任意实数x 恒成立，又()1xf x =-的值域是（0,1） 所以()1k f x k k -<-<-，()1k f x k k <+<+所以由题意得1k k -?，解得12k ³， ∴实数k 的最小值为12． 故答案为12． 【点睛】解决不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法转化为求函数最值的问题，当()a f x >恒成立时，只需max ()a f x >即可，若()f x 的最大值不存在，则利用函数值域的端点值来代替，此时需要注意等号能否成立．14.若正实数x 、y 满足229x xy y -+=，且229x y -<，则xy 的取值范围为______．【答案】(]6,9【解析】【分析】由229x xy y -+=结合重要不等式得到9xy £；由229x y -< 两边平方后变形，再根据重要不等式得到6xy >，进而可得所求的范围．【详解】由229x xy y -+=，得2292xy x y xy +=+?，当且仅当x y =时等号成立，所以9xy £． 由229x y -<，得222()81x y -<，即22222()481x y x y +-<所以222(9)481xy x y +-<即23()188181xy xy -++<，解得6xy >．所以69xy <?．故xy 的取值范围为(]6,9．【点睛】本题考查综合应用不等式知识解决问题，考查变形应用的能力，解题时要根据所求选择合适的不等式，同时要正确判断是将式子进行放大还是进行缩小，特别要注意等号能否成立．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.ABC D 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()sin A B C +8sin sin sin 7B C A +=，7a =.⑴ 求角A 的值； ⑵ 求ABC D 的面积．【答案】（1）23p ；（2 【解析】 【分析】（1）由题意可得()sin sin 2sin 3A B C A A A p骣琪+=-=-=琪桫 23A p =；（2）由8sin sin sin 7B C A +=得到87b c a +=，然后根据余弦定理得到15bc =，于是可得所求的面积．【详解】（1）∵()sin A B C +∴sin A A -∴2sin 3A p骣琪-=琪桫又2333A p p p-<-<， ∴ 33A p p -=， ∴23A p =． （2）由8sin sin sin 7BC A +=及正弦定理得87b c a +=，∵7a =， ∴8b c +=，由余弦定理得22222cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--， 所以4964264bc bc bc =-+=-， ∴15bc =，∴ ABC D 的面积为11sin 152224bc A =创=．【点睛】（1）本题考查正弦定理、余弦定理的应用，解题时注意三角变换的运用，同时还要注意三角形中三内角间的关系．（2）余弦定理常与三角形的面积公式结合在一起考查，解题时注意余弦定理中的变形，如222()2b c b c bc +=+-等．16.已知O 为坐标原点，()cos ,1OA x =，()2cos OB x x =，R x Î，若()f x OA OB =?. ⑴ 求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4p个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在5,1212p p轾-犏犏臌上的最小值． 【答案】（1）,,36k k k Z p pp p 轾-+?犏犏臌；（2）2 【解析】 【分析】（1）由题意得到()2216f x sin x p骣琪=++琪桫，进而可得函数的周期和单调增区间；（2）根据图象变换得到()52112g x sin x p 骣琪=++琪桫，根据x 的范围得到512x p+的取值范围，然后可得()g x 的最小值．【详解】(1)由题意()cos ,1OA x =，()2cos OB x x =， 所以()22cos 3sin2cos23sin212sin 216f x x x x x x p骣琪=+=++=++琪桫， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==， 由222,262k x k k Z p p p p p -???， 得,36k x k k Z p pp p -＃+?， 所以()f x 的单调递增区间为,,36k k k Z p pp p 轾-+?犏犏臌.(2)由(1)得()2sin 216f x x p骣琪=++琪桫， 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数为2sin 16y x p 骣琪=++琪桫；再将得到的图象向左平移4p个单位，得到的图象对应的函数为 52sin 12sin 14612y x x p p p骣骣琪琪=+++=++琪琪桫桫， ∴()52sin 112g x x p骣琪=++琪桫，∵5,1212x p p轾?犏犏臌， ∴55,1236x p p p轾+?犏犏臌， ∴当55126x p p +=，即512x p =时，()g x 有最小值，且()min552sin 12126g x g p p骣琪==+=琪桫， ∴函数()y g x =在5,1212p p轾-犏犏臌上的最小值为2． 【点睛】（1）解决三角函数的有关问题时，一般将所给的函数化为()φy Asin x w =+的形式，然后将φx w +作为一个整体，并结合正弦函数的相关性质进行求解．（2）求函数()φy Asin x w =+在给定区间上的最值或范围时，先由所给的范围得到φx w +的范围，然后结合函数的图象求解．17.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t （单位：分钟）满足220t＃，N t Î．经测算，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t＃时地铁为满载状态，载客量为1200人，当210t ?时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为()p t . ⑴ 求()p t 的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量； ⑵ 若该线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）1040；（2）120 【解析】 【分析】（1）根据题意得到()p t 的解析式即可，然后根据解析式可得当发车时间间隔为6分钟时地铁的载客量；（2）由题意得到净收益为Q 的表达式，然后根据求分段函数最值的方法得到所求的最值．【详解】（1）由题意知()()2120010,2101200,1020k t t p t t ì--?ï=íï＃î，N t Î，（k 为常数），∵()()221200102120064560p k k =--=-=，∴10k =，∴()()2210200200,21012001010,2101200,10201200,1020t t t t t p t t t ìì-++?--?镲==眄＃镲＃îî， ∴()()261200101061040p =-?=，故当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量1040人． （2）由()63360360p t Q t-=-，可得()236610200200336084060,210360,21038403840360,1020360,1020t t t t t t t Q t t t t ìì骣-++-ïï琪-+?-?琪ïï桫==眄镲-＃-＃镲ïîî， ①当210t?时，36840608406012120Q t t骣琪=-+??琪桫，当且仅当6t =时等号成立； ②当1020t＃时，7200336036038436024Q t-=-?=，当10t =时等号成立，∴当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为6t =分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元.【点睛】（1）本题考查分段函数模型在实际中的应用，对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小后可得分段函数的最值．（2）在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．18.已知函数22()ln f x x ax a x =--． ⑴ 讨论()f x 的单调性；⑵ 若()0f x ³恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是0,2a 骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a骣琪-+?琪桫.（2）342e ,1轾犏-犏臌【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导()()()2222x a x a x ax a f x x x-+-=¢-=，定义域为()0,+?，由()0f x ¢=，可得x a =或2ax =-进而讨论导函数的正负得函数单调性即可； （Ⅱ）若()0f x ³恒成立，只需()min0f x ³即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+?，()()()2222x a x a x ax af x x x-+-=¢-=. 由()0f x ¢=，可得x a =或2ax =-， 当0a =时，()0f x ¢>在()0,+?上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()0,+?，没有单调递减区间；当0a >时，()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +?.当0a <时，()(),,x f x f x ¢的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间是0,2a骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a 骣琪-+?琪桫.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a =时，()20f x x =>，符合题意. 当0a >时，()f x 的单调递减区间是()0,a ，单调递增区间是(),a +?，所以()0f x ³恒成立等价于()min0f x³，即()0f a ³，所以222ln 0a a a a --?，所以01a <?. 当0a <时，()f x 的单调递减区间是0,2a骣琪-琪桫，单调递增区间是,2a 骣琪-+?琪桫，所以()0f x ³恒成立等价于()min 0f x³，即02a f 骣琪-?琪桫. 所以222ln 0422a a a a 骣琪+--?琪桫，所以342e 0a -?. 综上所述，实数a 的取值范围是342e ,1轾犏-犏臌.点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max()0f x ?；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值） . 19.设函数()()()3f x x tm x t =---，其中t ，R m Î．⑴ 若1t =，0m =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵ 若9m =，求()f x 的极值；⑶ 若曲线()y f x =与直线()y x t =---有三个互异的公共点，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）31y x =-；（2）见解析；（3）()7,+?【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解可得结果；（2）先根据导函数的符号得到函数()f x 的单调性，进而得到极大值和极小值；（3）由()()f x x t =---()()()3x tm x t x t ---=---象有三个互异公共点的问题转化为方程有三个不同解的问题处理，然后根据函数的单调性、极值求解可得结果．【详解】（1）当1t =，0m =时，()()31f x x =-，∴()()231f x x =¢-，∴()03f ¢=，又()01f =-，∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为13y x +=，即31y x =-．（2）当9m =时，()()()39f x x t x t =---，∴()()(2393f x x tx t x t =--=---¢，令()0f x ¢=，解得x t =x t =-当x 变化时，()f x ¢，()f x 的变化情况如下表：由上表可得，当x t =-时，函数有极大值，且极大值为(((39f t -=--?=当x t =(3f t =-=-（3）由()()f x x t =---()()()3x t m x t x t ---=---∴()()()310x tm x t -+--+=，令u x t =-，可得()310u m u +-+=．设函数()()31g x x m x =+-+则曲线()y f x =与直线()y x t =---()y g x =有三个不同的零点；又()()231g x x m ¢=+-，（ⅰ）当1m £时，()0g x ¢³恒成立，此时()g x 在R 上单调递增，不合题意；（ⅱ）当1m >时，令()0g x ¢=，解得1x =-2x = ∴ ()g x 在()1,x -?上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +?上也单调递增；∴ ()g x 的极大值为()()321109m g x g -=-=+；极小值为()()32219m g x g --==+①若()20g x ³，由()g x 的单调性可知，函数()g x 至多有两个零点，不合题意；②若()20g x <，即()321m ->7m >，2x >，0g =>，且1x -，(()610g m -=--<，从而由()g x 的单调性可知，()y g x =在区间()1x -，()12,x x ，(2x 内各有一个零点，符合题意．综上可得m 的取值范围是()7,+?．【点睛】（1）本题考查导数的应用，解题时注意根据导函数的符号得到函数的单调性，进而可得函数的极值、最值等，然后再结合题意进行求解即可．（2）研究方程根的情况时，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个直观的展现．20.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知()()*623N n n S n a n n =++?，设()()412121n n a c n n -=-+.⑴ 求证：当2n ³时，1n n c c --为常数； ⑵ 求数列{}n a 的通项公式；⑶ 设数列{}n b 是正项等比数列，满足：11b a =，32b a =，求数列{}n n a b 的前n 项的和n T ． 【答案】（1）证明见解析；（2）2n a n =；（3）()22323n n T n n =-+- 【解析】 【分析】（1）由题意求出()()1211223n n n aa n n -+-=?-，然后通过作差可得10nn cc --=，故结论成立；（2）根据（1）中的结论，即{}n c 是常数列且11n c c ==，可得2n a n =；（3）由题意得12n n b -=，所以212n n n a b n -=?，故利用错位相减法求和．【详解】（1）证明：由题意知，当n=1时，1116651S a a ==+， ∴11a =；当2n ³时，()116211n n S n a n --=++-， ∴()()1623211n n n a n a n a -=+-++， ∴()()123211,n n n a n a --=+- ∴()121123n n n aa n -+-=-，∴()()()()11414121212321n n n n a a c c n n n n -----=--+--()()()()()1121141412321212321n n n a a n n n n n --+----=--+-- ()()()()11414123212321n n a a n n n n ----=----- 0=，∴当2n ³时，1n n c c --为常数0. （2）由（1）得，{}n c 是常数列. ∵1141113a c -==´， ∴11n c c ==， ∴()()4112121n n a c n n -==-+，∴2n a n =.（3）由（2）知131,4b b ==， ∵数列{}n b 是正项等比数列， ∴公比为2， ∴12n n b -=．∴2321142921622n n T n -=+???鬃??……③， ∴2322242922n n T n =+??鬃??……④， ③-④得：()231213252722122n n n T n n --=+???鬃?--?，设()2311325272212n n P n -=+???鬃?-……⑤，∴()()2312123252232212n n n P n n -=???鬃?-+-……⑥，⑤-⑥得：()231122222222212n nn P n --=+???鬃??-，()()12121221212n nn --=+?--()()1222212n n n =+--- ()3322n n =-+-，∴()2323n n P n =-+， ∴()()22332222323n n n n T n n n n =-+-+?-+-． 【点睛】用错位相减法求和的注意事项（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．。

-江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A= {1，3，6，7} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，5，7}．点评：本题考查集合的基本运算，补集的定义的应用，考查计算能力．2．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表示两个向量的夹角的知识，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a10= 32 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列{a n}的首项，结合等比数列的通项公式和a4a10=16列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求a10．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1（a1≠0），又公比为2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4．（5分）不等式的解集是{x|x≥3或x=﹣1} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x﹣2≥0求得x的范围或x﹣2＜0且=0，最后分别取交集．解答：解：不等式等价于或解得x≥3或x=﹣1故答案为：{x|x≥3或x=﹣1}点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系．5．（5分）函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可得出．解答：解：∵函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx，由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化为sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π．故函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．故答案为（π，2π）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）若实数x满足log2x+cosθ=2，则|x﹣8|+|x+2|= 10 ．考点：对数的运算性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的等式，求出x的值，由余弦函数的值域得到x的范围，取绝对值后可得结果．解答：解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ，所以，x=22﹣cosθ，因为﹣1≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3，则2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8．则|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10．故答案为10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了余弦函数的值域，训练了取绝对值的方法，是基础题．7．（5分）已知向量满足，．若与垂直，则k= 19 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得向量的数量积为0，代入已知数值可得关于k的方程，解之即可．解答：解：∵与垂直，∴=0化简可得，代入可得5k+（1﹣3k）••﹣3×13=0化简可得解得k=19故答案为：19点评：本题考查向量的垂直，转化为数量积为0是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是[﹣，0] ．考点：函数的零点；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点分段法化简函数的解析式，并画出函数的图象，根据直线y=kx+2过定点A（0，2），数形结合可得满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数==，直线y=kx+2过定点A（0，2），取B（1，2），k AB=0，取C（1，﹣2），k AB=﹣，根据图象可知要使函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则直线斜率满足：[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中画出函数的图象，并利用图象分析出满足条件时参数的范围是解答的关键．9．（5分）等差数列{a n}中，已知a2≤7，a6≥9，则a10的取值范围是[11，+∞）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式a n=a m+（n﹣m）d，结合题意可求得其公差d≥，从而可求得a10的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2≤7，a6≥9，∴﹣a2≥﹣7，设该等差数列的公差为d，则a6=a2+4d≥9，∴4d≥9﹣a2≥2，∴d≥，∴4d≥2，又a6≥9，∴a10=a6+4d≥11．故a10的取值范围是[11，+∞）．故答案为：[11，+∞）．点评：本题考查等差数列的性质，求得其公差d≥是关键，着重考查等差数列的通项公式与不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x ）的表达式为．考点：函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：由三点共线可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f′（1）的值，进而可得解析式．解答：解：∵A、B、C三点共线，且，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0，把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=，故f（x）+x﹣lnx=1，即故答案为：点评：本题考查函数解析式的求解，涉及向量的知识和导数内容，属基础题．11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得出m、n关系式和取值范围，再利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得．∴m+n==4++4=，当且仅当，m＞3，n＞1，，解得，，即当，时，取等号．∴m+n的最小值为．故答案为．点评：正确已知得出m、n关系式和取值范围和熟练掌握利用基本不等式的性质是解题的关键．12．（5分）已知函数若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．考点：特称命题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．解答：解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．①当a=0时，f（x）=满足题意其其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或∴0＜a＜1或a＞2，综合得：a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．点评：本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x ）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（2）（3）（把所有正确的命题序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．分析：从条件A，结论B，看A能否得到B，再看B能否得到A，来判断充要条件；从否定结论入手能否得出与条件矛盾来判断命题的真假；看两个函数是否为同一函数，要先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同；函数图象变化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）．解答：解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函数，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A ＞B＞0，∴sinA＞sinB．反过来若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，∴①×．对②可用反证法证明：假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC为锐角△，∴②√．③中y=+定义域是x∈{1}，两函数定义域、对应法则、值域相同．∴为同一函数，③√．对④中函数y=f（2x﹣1）的图象可由y=f（2x）的图象向左平移个单位得到，∴④×．故答案是②③点评：要正确理解充要条件的含义，掌握判断方法．判断命题的真假可用反证法，14．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前40项和为420 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{a n}是从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列，由此可得结论．解答：解：∵，∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49．∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为10×1+10×5+=420故答案为：420．点评：本题考查数列递推式，考查数列求和，属于中档题．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，试求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得，再根据ϕ的范围求出ϕ的值，即可求得函数的解析式．（2）由，求得sin（α﹣）和cos（α﹣）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得的值．解答：解：（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，…（2分）∵﹣π＜ϕ＜0，∴，…（4分）故…（6分）（2）因为，所以，．…（8分）故=．…（11分）故有=．…（14分）点评：本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．16．（14分）如图，点P在△ABC内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α．（1）试用α表示AP的长；（2）求四边形ABCP的面积的最大值，并写出此时α的值．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（1）在三角形ABC中，由AB，BC及cosB，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC中，由AP，PC及cosP，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC，得到关于AP的方程，整理后可用α表示AP的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC及三角形APC的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP的面积的最大值，以及此时α的值．解答：解：（1）△ABC与△APC中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，由余弦定理得，AC2=22+32﹣2×2×3cosα，①AC2=AP2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②由①②得：AP2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π），解得：AP=3﹣4cosα；（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），∴S四边形ABCP=S△ABC﹣S△APC =×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α）=3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π），则当α=时，S max=2．点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（14分）（•宁波模拟）已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常数，a∈R．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；（2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，令，x∈（0，e]，则，令g′（x）=0，则，当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴，∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．18．（16分）各项均为正数的数列{a n}中，前n 项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由，知，由此得到，由此能能求出a n．（2）由，，结合题设条件能求出k的取值范围．（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，由，能求出数列{b m}的前m项和S m．解答：解：（1）∵，∴，两式相减得，…（2分）整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）又得a1=1，∴a n=2n﹣1．…（5分）（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴…（10分）（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m ，则，而n∈N*，由题意可知，…（12分）于是=，即．…（16分）点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前m项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．19．（16分）定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a2﹣2a﹣9）≤8．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；（2）设0≤x1＜x2，根据当x＞0时，恒有及f（x）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）令x=y=3，则f（6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a2﹣2a﹣9|≤6，解绝对值不等式可得答案．解答：解：（1）解：令x=0，y=1，则f（1）=2f（0）•f（1），∵，∴．…（4分）（2）∵当x＞0时，恒有，又f（x）是偶函数，∴当x＜0时，，又，f（x）＞0恒成立．…（6分）设0≤x1＜x2，则x2﹣x1＞0，，∴f（x2）=2f（x1）f（x2﹣x1）＞f（x1），…（9分）∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）（3）令x=y=3，则f（6）=2f2（3）=8，…（12分）∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6），由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分）即，解得，∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．20．（16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d 是奇函数，且当时，f（x ）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）．（2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n．（3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3﹣3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x ）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．…（5分）（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分）又，故x﹣4为16的正约数，…（9分）所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分）②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i ．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分）ii ．当即0＜t＜1时，h（x ）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．…（16分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。

江苏省常州市高级中学2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2,4A =，{}1,2B =，则集合A B =________.2．已知复数z =(i 为虚数单位)则z z ⋅=________. 3．已知袋中装有大小相同､质地均匀的2个红球和两个白球，从中一次摸出2个球，恰好有1个是红球的概率是________.4．命题：“0x ∀<，2230x x -+≤”的否定是________.5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，则10a =________. 6．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，有下列命题： ①若n αβ=，//m α，//m β，则//n m .②m α⊥，n β⊥，则//αβ ③//m α，n m ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，n m ⊥，则//n α 其中下列命题正确的序号是________.7．已知数列{}n a ，)*n a n N =∈，则在数列{}n a 的前50项中最大项是第________项.8．已知1a =，1=b ，()3,1a b =+，则a b +与a b -的夹角是________.9．设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则实数0x 的取值范围为________.10．已知正数,x y 满足45x y xy ++=，则x y +的最小值是_____________. 11．已知函数()2f x x =，()1g x a x =-，a 为常数，若对于任意1x ，[]20,2x ∈，且12x x <，都有()()()()1212f x f x g x g x -<-则实数a 的取值范围为________.12．若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 65x π⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 212x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭________. 13．已知实数x ，y 满足12x >，12y >，且2445ln 521x x y y x -++-=-，则x y +=________.14．若函数()ln 3f x a x ax =-+在区间1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像上存在两点，使得在该点处的切线相互垂直，则实数a 的取值范围为________.二、解答题15．如图，在ABC 中，3B π=,BC =，点D 边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂足，（1）若BCD CD 的长；（2）若4DE =，求角A 的大小. 16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在边BC 上，1AD C D ⊥.（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；（2）如果点E 是11B C 的中点，求证：1//AE 平面1ADC .17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14x E y +=的左顶点为A ，下顶点为B ，（1）求圆心在y 轴上且过点A ，B 的圆的方程；（2）过点A 作直线l 交椭圆E 于点P ，交y 轴正半轴于点C ，若OAP △与OCP △的面积相等，求直线l 斜率k .18．一件要在展览馆展出的文物类似于圆柱体，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.5立方米，为了保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍，保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元，为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用和保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元. （1）若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用和保险费用之和； （2）为使气体费用和保险费用之和最低，保护罩该如何设计？ 19．已知0a ≠，函数()()222ln f x a x x =-+（1）若函数()f x 在区间[]1,4上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）设函数()()144g x f x a a=-+，[)2,x ∈+∞，且对于任意的2x ≥，有()g x x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.20．设数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：1a a =，11b =，13c =，且对于任意*n N ∈，都有12n n n a c b ++=，12n nn a b c ++=， （1）若数列{}n a ，{}n n b c +都是常数列，求a 的值； （2）求数列{}n n c b -的通项公式；（3）设数列{}n a 是公比为a 的等比数列，数列{}n b ，{}n c 的前n 项和分别为n S ，n T ，若n 1n 522S T +-<对于一切正整数n 均成立，求实数a 的取值范围.21．已知矩阵2134M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（1）求矩阵M 的逆矩阵； （2）求该矩阵的特征值和特征向量.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23x ty t =⎧⎨=⎩(t 为参数)以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， （1）求直线l 的直角坐标方程； （2）求直线l 被曲线C 截得的线段长.23．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上，（1）若点P 为DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成的角的余弦值；（2）若二面角D AP C --的余弦值为3，求PF 的长度. 24．（Ⅰ）设函数22()log (1)log (1)(01)f x x x x x x =+--<<，求()f x 的最小值； （Ⅱ）设正数1232,,,,n p p p p 满足12321n p p p p ++++=，证明121222323222log log log log x n p p p p p p p p n ++++≥-.参考答案1．{1,2,4} 【分析】根据集合的并集的概念可得答案. 【详解】因为{}2,4A =，{}1,2B =， 所以AB ={1,2,4}.故答案为：{1,2,4}. 【点睛】本题考查了集合的并集运算，属于基础题. 2．17【分析】根据复数的除法运算法则求出27z =+，可得27z =，再根据复数的乘法运算法则可得结果. 【详解】因为z ==223477+==++，所以277z i =-，所以22222431()()())77749497z z ⋅=+-=-=+=. 故答案为：17. 【点睛】本题考查了复数的乘除法运算法则，考查了共轭复数的概念，属于基础题. 3．23【分析】根据古典概型的概率公式计算可得结果.所有的摸法共有24C =6种，其中恰好有1个是红球的摸法有12C •12C =4种，故恰好有1个是红球的概率为4263=， 故答案为：23. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.4．20000,230x x x ∃<-+>【分析】全称量词：“∀”改为存在量词：“∃”，“≤”改为“>”，即可得解. 【详解】命题为全称命题，则命题：“∀x ＜0，x 2﹣2x +3≤0”的否定为：20000,230x x x ∃<-+>， 故答案为：20000,230x x x ∃<-+>.【点睛】本题考查了写全称命题的否定，属于基础题. 5．20 【分析】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，列方程组求出12a =，2d =，由此能求出10a ． 【详解】 解：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11132S =，6930a a +=，∴11111011132221330a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 解得12a =，2d =， 101921820a a d ∴=+=+=．故答案为：20．本题考查等差数列的通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 6．① 【分析】根据空间线面平行和面面平行垂直的位置关系分别进行判断即可． 【详解】解：①若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则存在直线1l α⊂，使得1//l m ，直线2l β⊂，使得2//l m ，所以12//l l ，又n αβ=，所以1//l n ，所以//m n ，故①正确，②若m ⊥α，n ⊥β，则α与β位置关系不确定．故②为假命题 ③若m ∥α，n ⊥m ，n ∥β，则α与β位置关系不确定，故③不正确， ④若m ⊥α，n ⊥m ，则α∥n 或n ⊂α，故④错误． 故正确的是①， 故答案为：① 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及空间直线，平面平行和垂直的位置关系的判断，考查学生的推理能力． 7．10 【分析】由题意利用数列的单调性，得出结论． 【详解】解：已知数列{}n a 中，1n a ==，故当n <1n a <，且单调递减，当n >1n a >，且单调递减， 故{}n a 的前50项中最大项是第10项， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题． 8．2π 【分析】根据条件容易求出()()0a b a b +⋅-=，从而可得出()()a b a b +⊥-，进而便可得出a b +与a b -的夹角． 【详解】解：∵11a b ==， ∴()()22110a b a b a b +⋅-=-=-=， ∴()()a b a b +⊥-， ∴a b +与a b -的夹角为2π． 故答案为：2π． 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，向量夹角的定义，考查了计算能力，属于基础题． 9．0x ≤≤【分析】设(0,1)P ，则直线MP 为圆O 的切线，将问题转化为30OMP ∠≥可求得结果. 【详解】设(0,1)P ，则直线MP 为圆O 的切线，所以在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=︒，等价于30OMP ∠≥， 所以1sin sin 302OMP ∠≥=， 所以||1||2OP OM ≥12≥，解得0x≤≤故答案为：0x ≤≤【点睛】本题考查了圆的标准方程，考查了圆的切线，属于基础题. 10．11. 【解析】试题分析：由45x y xy ++=得54x y x +=-，因为,x y 都为正数，所以4x >，这样5(4)944x x x y x x x x +-++=+=+--991(4)55651144x x x x =++=-++≥=+=-- 当且仅当944x x -=-，即7,4x y ==时，x y +取最小值11. 考点：均值不等式求最值. 11．[0，2] 【分析】构造函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），利用F （x ）的单调性求出a 【详解】解：对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有f （x 1）﹣f （x 2）＜g （x 1）﹣g （x 2），即f （x 1）﹣g （x 1）＜f （x 2）﹣g （x 2），令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝x 2﹣a |x ﹣1|，即F （x 1）＜F （x 2），只需F （x ）在[0，2]单调递增即可，当x ＝1时，F （x ）＝0，图象恒过（1，0）点， 当x ＞1时，F （x ）＝x 2﹣ax +a ， 当x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a ， 要使F （x ）在[0，2]递增，则当1＜x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣ax +a 的对称轴x ＝12a≤，即a ≤2， 当0≤x ＜1时，F （x ）＝x 2+ax ﹣a 的对称轴x ＝02a-≤，即a ≥0，故a ∈[0，2]， 故答案为：[0，2] 【点睛】考查恒成立问题，函数的单调性问题，利用了构造函数法，属于中档题．12 【分析】根据0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭以及3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2<求出4cos()65x π+=，根据二倍角的正弦、余弦公式求出24sin 2()625x π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，7cos 2()625x π⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，根据sin(2)sin 2()1264x x πππ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦及两角差的正弦公式可得结果. 【详解】 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当2(,)633x πππ+∈时，sin (62x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 65x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭2<，所以,663x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以4cos()65x π+==， 所以3424sin 2()2sin()cos()26665525x x x πππ⎡⎤+=++=⨯⨯=⎢⎥⎣⎦， 2167cos 2()2cos ()121662525x x ππ⎡⎤+=+-=⨯-=⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)sin 2()1264x x πππ⎡⎤+=+-⎢⎥⎣⎦sin 2()cos cos 2()sin 6464x x ππππ⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦247252252=⨯-⨯50=..【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角差的正弦公式，拆角：22()1264x x πππ+=+-是解题关键.属于中档题. 13．52【分析】利用基本不等式及利用导数研究函数的单调性及最值，从而得解； 【详解】 解：因为12x >，所以()()222144454214212121x xx x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当()42121x x -=-即32x =时取等号； 当0x >时，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，令()0g x '>，解得01x <<，令()0g x '<，解得1x >，即函数()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤恒成立，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时取等号，即ln 1y y ≤-，当且仅当1y =时取等号，所以2445ln 521x x y y x -++-≥-，当且仅当32x =，1y =时取等号，所以1y =，32x =所以52x y += 故答案为：52【点睛】本题考查基本不等式及导数的应用，属于中档题. 14．22(,)(,)33+∞-∞-【分析】先求导数，再根据导数几何意义列方程，根据取值范围得结果. 【详解】()()ln 3a f x a x ax f x a x'=-+∴=- 设存在两点()112212,,(,),()A x y B x y x x <满足在该点处的切线相互垂直， 则21212111()()1(1)(1)0a a a a x x x x a--=-∴--=-< 因为121,,44x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()121,1,1,44x x ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭从而121131(0,3),1(,0)4x x -∈-∈- 2212111942(1)(1)(0,)493a a a x x ∴=--∈∴>∴>或23a <- 故答案为：22(,)(,)33+∞-∞-【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究存在性问题，考查综合分析求解能力，属中档题. 15．（1）32，（2）4A π=.【分析】（1）根据BCD的面积为8，可求得BD 2=，在△BCD 中，由余弦定理可求得CD 的长；（2）在△ABC 中，由正弦定理以及AC ＝2AE 得AE •sin A 34=，再根据DEAE=tan A sin cos A A =，可得解. 【详解】（1）由已知得S △BCD 12=BC ×BD ×sinB =，又BC =sinB =BD= 在△BCD 中，由余弦定理得CD32===， 所以CD 的长为32．（2）在△ABC中，由正弦定理得sin A =，又由已知得，E 为AC 中点，可得AC ＝2AE ，所以AE •sin A 34=， 又DEAE=tan A sin cos A A =，所以AE •sin A ＝DE •cos A，即344=cos A ， 得cosA 2=， 可得A 4π=．【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题. 16．（1）证明见解析． （2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，关键证明线线垂直.已知1,AD C D ⊥，所以还需再找一组线线垂直. 11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面∴AD ⊥平面11BCC B .（2）证明线面平行，关键证明线线平行.本题有中点条件，所以从中位线寻找平行条件. 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC .证：（1）11,,,CC ABC AD ABC CC AD ⊥⊂∴⊥面面1,AD C D ⊥又111,CC C D C ⋂=∴AD ⊥平面11BCC B . 7分(2) 因为AD ⊥平面11BCC B ，所以.AD BC ⊥从而D 是BC 中点.连接1,//.DE DE AA ===则1.A ADE ∴四边形是平行四边形∴1A E //111,,AD ADC A E ADC ⊂∉面面∴1A E //平面1ADC . 14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理 17．（1）22325()24x y +-=；（2）k = 【分析】（1）先求A ，B 坐标，再根据待定系数法求圆的方程；（2）先设直线l 点斜式方程，求出点P 、C 坐标，再根据三角形面积相等列等量关系，解得结果. 【详解】（1）因为椭圆22:14x E y +=的左顶点为A ，下顶点为B ，所以(2,0)A -，(0,1)B -；设圆的方程为222()x y m r +-=，则2222234225(1)4m m r m r r ⎧=⎪⎧+=⎪∴⎨⎨--=⎩⎪=⎪⎩，即22325()24x y +-= （2）设直线l 方程：(2)y k x =+，所以(0,2)C k由2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)161640k x k x k +++-= 所以222221642840,(2),141414P P P k k kx x y k k k--∆≥-=∴==+++ 因为OAP △与OCP △的面积相等，所以2222141283||2|2|||,,2142144k k k k k k k -⨯⨯=⨯⨯∴==±++0∆≥. 【点睛】本题考查圆方程、直线与椭圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．（1）23055元；（2）保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱【分析】（1）根据定义先求保险费用，再计算正四棱柱体积，进而求气体费用，最后求和得结果； （2）先列出气体费用和保险费用之和函数关系式，再利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）保险费用为24800076802.5= 正四棱柱体积为22.5(2 2.5)⨯⨯所以气体费用为2500[2.5(2 2.5)0.5]15375⨯⨯⨯-=因此气体费用和保险费用之和为76801537523055+=（元）； （2）设正四棱柱底面边长为a 米，则 1.2a ≥ 因此气体费用和保险费用之和23224800048000500[(2)0.5]1000250y a a a a a=+⨯⨯-=+- 因为2396000300002y a a a '=-+=∴= 当2a >时，0y '>，当1.22a ≤<时，0y '<， 因此当2a =时，y 取最小值，保护罩为底面边长为2米，高为4米的正四棱柱时，气体费用和保险费用之和最低. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值、列函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题. 19．（1）{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}，（2）0＜a 12e ≤ 【分析】（1）求导后，转化为在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立；再分类讨论求函数φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2在[1，4]上的最小值即可得解； （2）转化为h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x 在[2，+∞）上恒成立，再利用导数求得最小值可得结果. 【详解】（1）∵f （x ）＝ax 2﹣4ax +4a +2ln x ，∴()'f x ＝2ax ﹣4a 22242ax ax x x-++=；又∵f （x ）在[1，4]上是增函数，∴在[1，4]上()'f x ≥0恒成立，即2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立；令φ（x ）＝2ax 2﹣4ax +2，则φ（x ）＝2a （x ﹣1）2﹣2a +2，当a ＞0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（1）≥0，即﹣2a +2≥0，解得a ≤1，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，要使2ax 2﹣4ax +2≥0在[1，4]上恒成立，只需φ（4）≥0，即16a +2≥0，解得a 18≥-，∴18-≤a ＜0； 综上，实数a 的取值范围是{a |18-≤a ＜0或0＜a ≤1}． （2）由题意，使a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a +≥x 在[2，+∞）上恒成立， 令h （x ）＝a （x ﹣2）2+2ln x ﹣4a 14a+-x ，则h （x ）min ≥0在[2，+∞）上恒成立②； ∴h ′（x ）＝2ax ﹣4a 2x +-1，即h ′（x ）()()221x ax x--=； （i ）当a ＜0时，∵x ＞2，∴h ′（x ）≤0，∴h （x ）在[2，+∞）上是减函数，且h （4）＝2ln4﹣414a+＜0， ∴②不成立；（ii ）当0＜a 14＜时，212a ＜，此时当x ∈[2，12a ]时，h '（x ）＜0，当x ∈[12a，+∞）时，h '（x ）＞0，∴h （x ）在[2，12a ]上是减函数，在[12a ，+∞）上是增函数， ∴h （x ）min ＝h （12a ）＝a （12a -2）2+2ln 12a -4a 1142a a+-=-2﹣2ln2a ， ∴只需﹣2﹣2ln2a ≥0，解得a 12e ≤；∴0＜a 12e ≤时②成立；（iii ）当a 14≥时，212a ≥，此时当x ∈[2，+∞）时，h '（x ）＞0，∴h （x ）在[2，+∞）上是增函数，∴h （x ）min ＝h （2）＝2ln2﹣4a 14a+-2， ∵﹣4a 14a +≤0，2ln 2﹣2＜0，∴h （x ）min ＝h （2）＜0，∴②不成立； 综上，0＜a 12e≤．【点睛】本题考查了由函数的单调性求参数的取值范围，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了函数与方程思想，考查了转化化归思想，属于较难题.20．（1）a ＝2．（2）12(1)2n n n n c b ---=-⋅，（3）1[1,0)03⎛⎤- ⎥⎝⎦， 【分析】（1）根据常数列的定义可知，n a a =，114n n n n b c b c +++=+=，将12n nn a c b ++=，12n nn a b c ++=两式相加可解得结果； （2）将12n n n a c b ++=，12n nn a b c ++=两式相减，可得数列{}n n c b -为等比数列，可得通项公式；（3）设数列{a n }的前n 项和为A n ．根据12n n n a c b ++=可得2S n +1﹣T n ＝2+A n ．则n 1n 522S T +-<可化为12n A <，分类讨论a ，求出n A ，代入12n A <，可解得结果. 【详解】（1）∵数列{a n }和{c n +b n }都是常数列， ∴∀n ∈N *，则a n ＝＝a 1＝a ，c n +1+b n +1＝c n +b n ＝＝c 1+b 1＝4．∵对于任意n ∈N*，都有b n +12n n a c +=，c n +12n na b +=． ∴2（b n +1+c n +1）＝2a +（b n +c n ）， ∴2×4＝2a +4，解得a ＝2． （2）∵对于任意n ∈N*，都有b n +12n n a c +=，c n +12n na b +=． ∴相减可得：c n +1﹣b n +112=-（c n ﹣b n ），c 1﹣b 1＝2． ∴数列{c n ﹣b n }是等比数列，首项为2，公比为12-．∴11212()(1)22n n nn n c b ----=⨯-=-⋅（3）{a n }是公比为a 的等比数列，a 1＝a ≠0．设数列{a n }的前n 项和为A n ． ∴当a ＝1时，A n ＝n ． 当a ≠1时，A n ()11n a a a -=-．由b n +12n na c +=，得2b n +1＝a n +c n ． ∴2（b 2+b 3++b n +1）＝A n +（c 1+c 2++c n ），∴2（S n +1﹣1）＝A n +T n ． ∴2S n +1﹣T n ＝2+A n ．∵2S n +1﹣T n 52＜对一切正整数n 均成立， ∴2+A n 52＜，即A n 12＜对一切正整数n 均成立，．当a ＝1时，可得：n 12＜，不成立，舍去．当a ≠1时，()1112n a a a --＜对一切正整数n 均成立，．当a ＞1时，由(1)1n a a a --12<得3122n a a <-，得31log ()22a n a <-，舍去． 当0＜a ＜1时，由(1)1n a a a --12<得3122n a a >-对一切正整数n 均成立，因为0n a >，所以31022a -≤，解得103a <≤． 当1a <-时，当n 为偶数时，由(1)1na a a --12>得()31log 2a a n a -->，即不恒成立，舍去. 当10a -<<时，(1)1012n a a a -<<-，符合；当1a =-时，(1)01n a a a -=-或1-，符合；综上可得：实数a 的取值范围是：1[1,0)03⎛⎤- ⎥⎝⎦，． 【点睛】本题考查了常数列的概念，考查了等比数列的通项公式，考查了分类讨论思想，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了不等式恒成立问题，属于中档题.21．（1）141553255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，（2）矩阵的特征值1λ=对应的特征向量为11-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，特征值5λ=对应的特征向量为13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】 （1）设1d a b Mc -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，根据11001M M -⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦解得a b c d ,,,即可得到结果； （2）根据特征多项式()f λ=2650λλ=-+=可求得特征值，根据特征值可求得特征向量. 【详解】 （1）设1d a b Mc -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则12134a b M Mc d -⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦223434a c b d a c b d ++⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以2120340341a cb d ac bd +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，解得45153525a b c d ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=⎩，所以141553255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. （2）矩阵M 的特征多项式为21()34f λλλ--⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦2(2)(4)365λλλλ=---=-+，令()0f λ=，得1λ=或5λ=， 所以矩阵的特征值为1和5，当1λ=时，对应的特征向量12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应满足12110330x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以120x x --=，即12x x =-，所以特征向量为11-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当5λ=时，对应的特征向量12x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦应满足12310310x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以1230x x -=，即123x x =，所以特征向量为13⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了求矩阵的逆矩阵，考查了根据特征多项式求特征值和特征向量，属于基础题. 22．（1）20x y -+=；（2）3【分析】（1）直接利用直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果；（2）先将曲线C 化为普通方程，联立直线与曲线方程，求得交点坐标，利用两点间距离公式求得结果. 【详解】（1）直线l的极坐标方程可化为(sin coscos sin )44ππρθθ-=即sin cos 2ρθρθ-=又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以直线l 的直角坐标方程为20x y -+=. （2）曲线2:3x t C y t=⎧⎨=⎩ (t 为参数）的普通方程为23y x =， 由2203x y y x-+=⎧⎨=⎩得2320x x --= 1x =或23x =-所以直线l 与曲线C 的交点24(1,3),(,)33A B -所以直线l 与曲线C 的截得的线段长为||3AB ==. 【点睛】本题考查的是参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了两点间距离公式，属于基础题型. 23．（1）15；（2）3【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE 与CP 所成角的余弦值．（2）求出平面APC 的法向量和平面ADF 的法向量，利用向量法能求出PF 的长度． 【详解】解：（1）∵90BAF ∠=︒，∴AF ⊥AB ，又∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ， ∴AF ⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AD ＝2，AB ＝AF ＝2EF ＝1，P 是DF 的中点， ∴B （1，0，0），E （12，0，1），C （1，2，0），P （0，1，12）， BE =（﹣12，0，1），CP =（﹣1，﹣1，12）， 设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ，则cosθ155BE CP BE CP⋅===⋅， ∴异面直线BE 与CP ． （2）A （0，0，0），C （1，2，0），F （0，0，1），D （0，2，0），设P （a ，b ，c ），FP FD λ=，0≤λ≤1，即（a ，b ，c ﹣1）＝λ（0，2，﹣1）， 解得a ＝0，b ＝2λ，c ＝1﹣λ，∴P （0，2λ，1﹣λ）， AP =（0，2λ，1﹣λ），AC =（1，2，0）， 设平面APC 的法向量n =（x ，y ，z ）， 则()21020n AP y z n AC x y λλ⎧⋅=+-=⎨⋅=+=⎩，取x ＝1，得n =（1，12-，1λλ-），平面ADF 的法向量m =（1，0，0）， ∵二面角D ﹣AP ﹣C∴cos 11m n m n m n⋅<>===⋅+，，解得13λ=，∴220,,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴PF 的长度3PF ==．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．24．（Ⅰ）()f x 最小值为-1；（II ）证明见详解 【分析】（Ⅰ）对()f x 求导，令()0f x '=，可得函数的最小值； （II ）用数学归纳法证明可得答案. 【详解】（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：()()()''22(log )[1log 1]f x x x x x =+--' ()2211log log 1ln2ln2x x =--+- ()22log log 1x x =--于是102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝， 当12x <时，()()22log log 10f x x x =--<'，()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭是减函数， 当12x >时，()()22log log 10f x x x =-->'，()f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭是增函数， 所以()f x 在12x =时取得最小值，112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， （II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立 即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p +++⋯+=，则121222323222log log log log k x p p p p p p p p k ++++≥-当n=k+1时，若正数()2log x k x x ≥-+满足112321k p p p p +++++=，令1232k x p p p p =++++，122122,,,k k p p pq q q x x x==⋯⋯=， 则1232,,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++=，由归纳假定知*121222323222log log log log x q q q q q q q q k ++++≥-112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++()2*1212223232222log log log log log x q q q q q q q q x =+++++2()log x k x x ≥-+ ① 同理，由1212221k k k p p p x -+++++=-，可得k 2221212222log log k k k p p p p ++++++12+122log k p p ++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥--+-- ②综合①、②两式k+1k 1121222323222log log log log p p p p p p p p +++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥-++--+-- 22()log (1)log (1)k x x x x =-++-- 1(1)k k ≥--=-+ 即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立. 【点睛】本题主要考察函数的导数求最值，导数的综合运用，及利用数学归纳法证明不等式，综合性大.。

2019年江苏省常州市市第二十四高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0,y0,z0)到平面α的距离为：，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于( )A． B． C．2 D．5参考答案：B以底面中心O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，将以上3个坐标代入计算得A＝0，B＝－D，C=-D，所以－Dy－Dz＋D＝0，即2y＋z－2＝0，，故选B．2. 设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间A．（2，2．25） B．（2．25，2．5）C．（2．5，2．75） D．（2．75，3）参考答案：C3.已知全集U=R，集合，集合＜＜2，则（）A． B． C． D．参考答案：答案：D4. 函数的零点所在的区间是（）A．（0，1） B．(1，2） C．（2，3） D．（3，10）参考答案：C5. 已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．6. 在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中且a≠1,则下列图象中可能正确的是参考答案：D略7. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( )A． B． C． D．参考答案：A8. 函数图象的大致形状是A. B.C. D.参考答案：B【分析】先判断函数的奇偶性，再求，利用排除法可得解. 【详解】由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，。

T ←1i ←3While T <10T ←T +i i ←i +2 End WhilePrint i 常州田高中2019届高三暑期自主学习情况调研高三年级数学（理）试卷Ⅰ注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸的横线上. 1. 已知集合{}{}2,,1,2A a a B ==，若{1}AB =，则a = ▲ .2. 设复数z 满足: (2)43z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模等于 ▲ .3. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为▲________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球．从中一次随机摸出 2只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ▲ .6. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线28y x =有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 ▲ .7. 设公比不为1的等比数列 {}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，则1a = ▲. 8. 对于直线,l m 平面,m αα⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的▲________条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）． 9. 已知(cos ,sin ),(2,1),(,)22ππααα==∈-m n ，若1=m n ，则3sin(2)2πα+= ▲ ．10. 过直线x y l 2:=上一点P 作圆224:(3)(2)5M x y -+-=的两条切线21,l l ，,A B 为 切点，当直线21,l l 关于直线l 对称时，则APB ∠= ▲ ．11. 已知函数()62-=x x f ，若a ＜b ＜0，且()()b f a f =，则b a 2的最小值是 ▲ ．12. 已知函数21()ln 2f x x a x =+，若对任意两个不等的正数12,x x ，都有1212()()2f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .13. 已知函数2(43)3,0,()(0,log (1) 1.0a x a x a x f x a x x ⎧+-+<=>⎨++≥⎩且1)a ≠在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ▲ 14. 设函数()(21),xf x e x ax a =--+其中1,a <若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是 ▲二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分14分） 设集合{}2|230A x x x =+-<，集合{}|||1B x x a =+<. （1）若3a =，求A B ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与半径为5的圆O 交于点A ，NCBOM17．（本小题满分14分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，1,2,AB BC ==现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN BC ⊥.（1）设,30=∠MOD 求三角形铁皮PMN 的面积； （2）求剪下的铁皮三角形PMN 面积的最大值. 第17题18．（本小题满分16分） 已知函数4()1(0,1)2x f x a a a a=->≠+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数.（1）求a 的值；（2）求函数()f x 的值域；（3）存在(0,2]x ∈时，不等式()22xf x λ≥+有解，求实数λ的取值范围.19．（本小题满分16分）已知二次函数()f x 满足()()()12f x f x x x R +-=∈，且()01f =。

江苏省常州市市第九高级中学2019年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在的展开式中，常数项是（）A．B．C．D．参考答案：D2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若点(a，b)在直线b上．则角C的值为A. B. C. D．参考答案：C略3. 若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，则函数的大致图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】3O：函数的图象．【分析】利用指数函数的性质求出a的范围，判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判【解答】解：当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠0）始终满足f（x）≥1，可得a＞1，则函数是奇函数，可知B不正确；当x→0+，时，函数＜0，排除A，当x=a10时，函数=→0，排除D，故选：C．4. 命题“?x＞0，＞0”的否定是（）A．?x＜0，≤0B．?x＞0，0≤x＜1 C．?x＞0，≤0D．?x＜0，0≤x≤1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】写出命题“?x＞0，＞0”的否定，再等价转化即可得到答案．【解答】解：命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，≤0“，又由≤0得0≤x＜1”，故命题“?x＞0，＞0”的否定是“?x＞0，0≤x＜1”，故选：B．5. 设，，，则（A）（B）（C）（D）参考答案：6. 点在直线x+y-10=0上，且x，y满足，则的取值范围是A. B． C.D．参考答案：C7. 已知为第二象限角，，则（）A． B． C． D．参考答案：A8. 把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，则所得图象对应的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=sin4x C．D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数图象变换的法则进行变换，并化简，可得两次变换后所得到的图象对应函数解析式．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x的图象，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得f（x﹣）=sinx的图象．∴函数y=sinx的图象是函数的图象按题中的两步变换得到的函数的解析式．故选：A．【点评】本题给出三角函数图象的平移和伸缩变换，求得到的图象对应的函数解析式．着重考查了三角函数图象的变换公式等知识，属于中档题．9. 设i是虚数单位，复数的虚部为A．-i B．-l C．i D．1参考答案：D10. 若直线ax－by＋2＝0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()．A．B． C ．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知x，y满足，则x+y的最大值为．参考答案：2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求x+y的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+y得z=1+1=2．即目标函数z=x+y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．12. （5分）（2015?淄博一模）在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是．参考答案：7【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时z min=3×1+2×2=7，故答案为：7【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13. 已知tan（α+）=3，tanβ=2，则tan（α﹣β）=．参考答案：﹣．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角和的正切函数公式可求tanα的值，由已知利用两角差的正切函数公式即可计算得解tan（α﹣β）的值．【解答】解：∵tan（α+）===3，解得：tanα=，tanβ=2，∴tan（α﹣β）===﹣．故答案为：﹣．14. 已知向量||=l，||=，且?（2+）=1，则向量，的夹角的余弦值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的数量积运算法则和夹角公式即可得出．【解答】解：∵?（2+）=1，∴，∵，∴，化为．∴==﹣．故答案为：．15. 在随机数模拟试验中，若（）, （）,共做了次试验，其中有次满足，则椭圆的面积可估计为．（）表示生成0到1之间的随机数参考答案：略16. 若2x+4y=4，则x+2y的最大值是．参考答案：2【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的运算性质、指数的运算性质即可得出．【解答】解：∵2x+4y=4，∴=2，化为2x+2y≤4=22，∴x+2y≤2，当且仅当x=2y=1时取等号．则x+2y的最大值是2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的运算性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17. 在数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n-1+n，若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2019年常州市高三数学下期中试题(及答案)一、选择题1．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-2．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，，则2yz x =-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．11115⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．111153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．3153⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．已知数列{}n a的首项110,1n n a a a +==+，则20a =（ ） A ．99B ．101C ．399D ．4015．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，………则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*21n n S a n N =-∈，则5a 等于（ ）A ．16-B ．16C ．31D ．327．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 48．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．9．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8010．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6612．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．137二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.14．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．15．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若三角形的面积222)S a b c =+-，则角C =__________． 16．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．18．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．19．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．20．如图,无人机在离地面高200m 的A 处,观测到山顶M 处的仰角为15°、山脚C 处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN 为_________m.三、解答题21．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D . 现测得BCD α∠=，BDC β∠=，CD s =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB .22．设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S . （1）设140a =，638a =，求n S 的最大值.（2）设11a =，*2()na nb n N =∈，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且对任意的*n N ∈，都有20n T ≤，求d 的取值范围.23．已知()f x a b =⋅v v ，其中()2cos ,3sin 2a x x =-v，()cos ,1b x =v ，x ∈R ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()1f A =-，7a =，且向量()3,sin m B =v 与()2,sin n C =v共线，求边长b 和c 的值． 24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值．25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.2．A解析：A 【解析】 【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2yz x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1x y x=-⎧⎨=⎩，解得(11)B --，， 而2yz x =-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13BC k =， 所以2y z x =-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：A.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.3．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．C解析：C【分析】 【详解】由1211n n n a a a +=+++，可得()211111111n n n n a a a a +++=+++-+=，，{}+1n a 是以1为公差，以1为首项的等差数列.∴21,1n n a n a n +==-，即220201399a =-=.故选C.5．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-， 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值.当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=.所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则451216a =⨯=，故选：B. 【点睛】本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.7．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.8．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700． 所以AC ＝km ．【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．9．B解析：B 【解析】 【分析】根据等差数列{}n a 性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，然后求出结果 【详解】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。