高三数学期中考试(带答案)

2024-2025学年安徽省鼎尖教育联盟高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}2M =<，{}220N x xx =--<，则M N = （ ）A. {}15x x -<< B. {}15x x ≤<C. {}12x x -<< D. {}12x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】分别求出不等式的解集，再利用交集的运算法则求解.【详解】由已知得{}15M x x =≤<，{}12N x x =-<<，即{}12M N x x ⋂=≤<故选：D .2. 复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =A.15i + B. 1i - C.15i - D. 1i+【答案】D 【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论.【详解】()12i 3i z +=+ ，()()()()3i 12i 3i55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-，所以1z i =+，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知曲线()()e 1ln 1axf x x =--+，()1x >-在点()()0,0f 处的切线与直线250x y ++=垂直，则a的值为（ ）A. 1B. 1- C. 3D. 3-【答案】C 【解析】【分析】根据导数求出曲线在点()()0,0f 处切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于1-算出即可.【详解】()()e 1ln 1ax f x x =--+，则()1e 1axf x a x =-+'，则()01f a '=-，曲线()f x 在点()()0,0f 处的切线与直线250x y ++=垂直，所以12a -=，解得3a =.故选：C 4. 已知π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A. 14-B.14C. 34-D.34【答案】C 【解析】【分析】利用二倍角公式结合α的范围化简原式得到cos sin αα+的值，然后将cos sin αα+平方并结合2α的范围求得结果.π2sin 4αα⎛⎫=-⎪⎝⎭))22cos sin sin cos αααα-=-，所以()1cos sin cos sin 02αααα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，则sin 0α>，cos 0α<，即cos sin 0αα-<，所以1cos sin 2αα+=-，因π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，sin 20α<，由()21cos sin 4αα+=，可得11sin 24α+=，即3sin 24α=-，符合题意，故选：C.5. 已知函数()()3log 21,122,01a x x f x a x x x ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪+<<⎪⎩在()0,∞+上单调递减，则a 取值范围为（ ）的为的A. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 10,2⎛⎤ ⎝⎦C. 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据分段函数在每一段递减，且在分段处函数值的大小关系符合单调递减列出不等式求解.【详解】()f x 在(0,+∞)上单调递减，所以()011312log 2112a a a ⎧<<⎪≥⎪+≥⨯-+⎩，解得011214a a a ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩，即112a ≤<，所以则a 的取值范围为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：D .6. 在锐角ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，π3A ∠=，O 为其外心.若ABC V 外接圆半径为R ，且cos cos 12B C AB AC mAO c b R⋅+⋅=⋅ ，则m 的值为（ ）A. 1B. C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】由向量数量积及三角形外心的定义可知221122AB AO AB c ⋅== ，221122AC AO AC b ⋅== ，然后化简已知等式，得到m 的值.【详解】由题意可知221122AB AO AB c ⋅== ，221122AC AO AC b ⋅== ，2cos cos 12B C AB AO AC AO mAO c b R⋅⋅+⋅⋅=⋅，222cos 1cos 11222B C c b mR c b R∴⋅+⋅=⋅，cos cos c B b C mR ∴+=，sin sin cos sin cos sin 2sin AC B B C A mA∴+==，1sin 2A m ∴=，2sin 60m ∴=︒=.故选：B.7. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，4AB =，3PA =，平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法错误的是（ ）A. 90PAB ∠=B. 当平面PCD ⊥平面PAB 时，5PD =C. M 、N 分别为AD 、PC 的中点，则//MN 平面PABD. 四棱锥P ABCD -外接球半径的最小值为【答案】B 【解析】【分析】根据题意易得AB ⊥平面PAD ，再由线面垂直的性质、二面角的概念、面面平行的性质、四棱锥的外接球的求法，针对各个选项分别求解即可．【详解】对于A 选项，因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，则AB AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB ⊂平面ABCD ，所以，AB ⊥平面PAD ，因为PA ⊂平面PAD ，所以，PA AB ⊥，则90PAB ∠= ，A 对；对于B 选项，若平面PCD ⊥平面PAB ，则平面PAB 与平面PCD 所成二面角为90 ，设平面PAB ⋂平面PCD l =，因为//AB CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以，//AB 平面PCD ，因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面PCD l =，所以，//AB l ，因为AB ⊥平面PAD ，所以，l ⊥平面PAD ，因为PA 、PD ⊂平面PAD ，所以，PA l ⊥，PD l ⊥，所以，平面PAB 与平面PCD 所成二面角的平面角为90APD ∠= ，因为4AB =，3PA =，则4AD AB ==，所以，PD ===，B 错；对于C 选项，取BC 的中点Q ，连接MN 、NQ ，因为N 、Q 分别为PC 、BC 的中点，则//NQ PB ，因为NQ ⊄平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，则//NQ 平面PAB ，因为//AD BC 且AD BC =，M 、Q 分别为AD 、BC 的中点，所以，//AM BQ ，AM BQ =，即四边形ABQM 为平行四边形，则//MQ AB ，因为MQ ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以，//MQ 平面PAB ，因为MQ NQ Q = ，MQ 、NQ ⊂平面MNQ ，所以，平面//MNQ 平面PAB ，因为MN ⊂平面MNQ ，故//MN 平面PAB ，C 对；对于D 选项，设四棱锥P ABCD -外接球球心为O ，则O 在平面PAD 、平面ABCD 的射影分别为1O 、2O ，易知四边形12OO MO 为矩形，OA 为外接球半径，所以2222228OA OM AM O M AM =+≥+=，所以OA ≥仅当1O 、M 重合时取等号，此时90APD ∠=，PD =D 对．故选：B ．8. 函数()()10f x x x x=-≠的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列{}n c 中，11c =，()()1,2nf n n n c =∈≥N ，记数列{}n c 的前n 项积为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n S ，则（ ）A.523n S ≤< B. 513n S <≤的C.5734n S <≤ D.724n S ≤<【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得()()11n nc n n =+-，利用裂项的思想整理可得()112!1!n T n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，进而可得()221!n S n =-+，即可得结果.【详解】由题意可得：()()2111n n nc n n n ==-+-，()2n ≥，则()()()1223113142211n n n n T c c c n n n n -=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+⨯-L L ()()()()211112234511!1!!1!n n n n n n n n ⎡⎤+-====-⎢⎥⨯⨯⨯⨯++++⎣⎦L ，可得()()1211111221222!2!3!!1!1!n nS T T T n n n ⎡⎤=+++=-+-++-=-<⎢⎥++⎣⎦L L ，又因为{}n S 为递增数列，且253S =，所以当2n ≥，可得523n S ≤<.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于利用裂项的思想整理可得()112!1!n T n n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，即可得结果.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知0a >，0b >，且4a b +=，则（ ）A.111a b+≥ B.≥C. 228a b +≥ D. 228a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】【分析】对于A,利用乘1法计算判断；对于B,先求出2a b +=++，再结合基本不等式计算判断；对于C,利用配方法计算判断；对于D,构造函数()(]()440,4f x x x x=++∈，利用导数求最值判断.【详解】()1111241b a a b a b a b a b ⎛⎫++=++≥⇒+≥⎪⎝⎭，故A 正确；()228a b a b +=++≤+=⇒≤，故B 错误；因0a >，0b >，且4a b +=，()()222224177a b a a a +=+-=-+≥，故C 错误；242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，2244a b ab b a ab ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，令()(]()440,4f x x x x =++∈，()241f x x='-，2x =时，()f x 取得最小值8，所以228a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：AD.10. 已知函数()()e exxf x x -=-，θ∀∈R ，()()3cos 2sin 2sin f t t f θθθ+--≤+恒成立，则（ ）A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()0,∞+上单调递增C. t 可以取13D. 当t =()3cos 2sin f t t θθ+--的取值范围是2211e ,2e e e ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【答案】ABC 【解析】【分析】由偶函数的定义可得A 正确；由递增函数的定义可得B 正确；由函数为递增函数可得()22sin03cos t θθ⨯+≤≤+，再令()22sin 3cos y θθ⨯+=+，由辅助角公式得到34y -≤，解出可得C 正确；由辅助角公式得到3cos 2sin 2t t θθ⎡⎤+--∈--⎢⎥⎣⎦，再画函数图像可得D 错误；【详解】对于A ，()()()()ee e e xx x x f x x x f x ---=--=-=可知()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，又对120x x <<有()()()112212121e eee e e 10e exx x x x x x x --⎛⎫---=-+< ⎪⎝⎭，11220e e e e x x x x --∴<-<-，故()()112212e e e e x x x xx x ---<-，∴f (x )在(0,+∞)上单调递增，故B 正确；对于C ，故()()3cos 2sin 2sin 3cos 2sin 2sin f t t f t t θθθθθθ+--≤+⇔+--≤+()()()22sin 2sin 3cos 2sin 2sin 03cos t t θθθθθθ⨯+⇔-+≤+--≤+⇔≤≤+，令()22sin 3cos y θθ⨯+=+，化为2sin cos 34y y θθ-=-()34y θφ+=-，故34y -≤y ≤≤，故0t ≤≤，故C 正确；对于D ，t =时，()()3cos 2sin 3222t t t θθθϕθϕ⎡⎤+--=-+=+∈-⎢⎥⎣⎦，由图可知，()2213cos 2sin 0,2e e f t t θθ⎡⎤⎛⎫+--∈-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 错误；故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题D 选项关键能够发现有辅助角公式得到自变量的范围，再结合函数图像求值域.11. （多选）如图，三棱台111ABC A B C -中，M 是AC 上一点，12AM MC =，1CC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，11122AB BC CC A B ====，则（ ）A. 过点M 有四条直线与AB 、BC 所成角均为π3B. 1BB ⊥平面1AB CC. 棱11A C 上存在点Q ，使平面1//AB Q 平面1BMCD. 若点P 在侧面11ABB A 上运动，且CP 与平面11ABB A 所成角的正切值为4，且BP 【答案】ACD 【解析】【分析】由ABC ∠的平分线绕B 点在过直线BE 且与平面ABC 垂直的平面内旋转确定直线的位置判断A ，求出1BB 与1CB 不垂直，判断B ，过A 作1//AQ MC 交11A C 于点Q ，由面面平行的判定定理证明面面平行后判断C ，根据线面角定义确定P 点轨迹后求得最小值判断D ．【详解】选项A ，由异面直线所成角的定义考察过点B 的直线，如图，直线BE 是ABC ∠的平分线，即π4ABE CBF ∠=∠=，在过直线BE 且与平面ABC 垂直的平面内．把直线BE 绕点B 旋转，旋转过程中始终保持该直线与,BA BC 的夹角相等，旋转到与平面ABC 垂直位置时，直线与,BA BC 的夹角为π2，因此中间必有一个位置，使得夹角为π3，以B 为旋转中心，E 点向上移有一个位置，向下移也有一个位置，同样F 点（如图，F 点在BE 的反向延长线上）向上移有一个位置，向下移也有一个位置，共四个位置得四条直线，由于夹角为π3，这四条直线不重合，再过M 作这四条直线的平行线，满足题意，故A 正确，选项B ，因为1CC ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以1CC BC ⊥，因此11BCC B 是直角梯形，1112,1CC CB C B ===，则11BB CB ==，但22211BB CB BC +≠，因此1BB 与1CB 不垂直，从而1BB 与平面1AB C 不垂直，B 错；选项C ，如下图，由11//B C BC ，111112B C A B BC AB ==得11112B P B C PCBC ==，又12AM CM =，即12AM MC =得1AM B P MC PC=，所以1//AB MP ，又MP ⊂平面1BC M ，1AB ⊄平面1BC M ，所以1//AB 平面1BC M ，过A 作1//AQ MC 交11A C 于点Q ，1AMC Q 是平行四边形，11113C Q AM AC C A ==<，Q 点在线段11A C 上），同理可得//AQ 平面1BC M ，又1,AB AQ 是平面1AB Q 内两相交直线，所以平面1AB Q //平面1BMC ，C 正确；选项D ，因为1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以1CC AB ⊥，又AB BC ⊥，1BC CC C ⋂=，BC 、1CC ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，而AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面11BCC B ，过C 作1CH BB ⊥，垂足为H ，由面面垂直的性质定理得CH ⊥平面11ABB A ，在直角梯形11BCC B中，111sin CC CBB BB ∠==，所以在直角B C H V中，1sin CH CB CBB =∠==，BH =CP 与平面11ABB A 所成角的正切值为4，即tan 4CPH ∠=，所以tan CH HP CPH ==∠因此P 点轨迹是以H11ABB A 内圆弧，BP的最小值为BH -=D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题是个难点．确定轨迹的方法一种是利用空间直线与平面的平行或垂直关系得出动点所在的直线或平面满足的平行或垂直，从而得出轨迹，第二种利用空间角、距离的定义通过计算确定动点到某个定点的距离为定值（如本题），由平面几何知识得轨迹，该轨迹在平面内的部分即为所求（常常求的是在几何体某个面上的轨迹，因此要加范围限制）．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知向量()1,1a x =- ，()2,3b = ，若()b a b ⊥+ ，则x =______.【答案】－7【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解.【详解】因为()1,1a x =- ，()2,3b = ，所以()1,4a b x +=+ ，()()()0211207b a b b a b x x ⊥+⇒⋅+=⇒++=⇒=- .故答案为：7-13. []x 表示不超过x 的最大整数，比如[]2.62=，[]3π=，，已知等差数列{}n a 的通项公式21n a n =+，其前n 项和为n S ，则使2025+++≤ 成立的最大整数为________.【答案】63【解析】【分析】运用公式先求出n S ，再进行适当放缩，取整，求和，解不等式即可.【详解】2212n n a n S n n =+⇒=+，∴=，()222211n n n n n n <+<+⇒<<+，n ∴==，即()11220252n n n ++++=+++=≤ ，()14050n n ∴+≤，63n =时，636440324050⨯=<；64n =时，646541604050⨯=>.故n 的最大值为63.故答案为：63.14. 某同学在同一坐标系中分别画出曲线:sin C y x =，曲线:2cos D y x =，曲线:2cos E y x =-，作出直线π0,2x αα⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π,π2x ββ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.直线x α=交曲线C 、D 于M 、N 两点，且M 在N 的上方，测得13MN =；直线x β=交曲线C 、E 于P 、Q 两点，且P 在Q 上方，测得23PQ =.则()cos αβ+=______.【解析】【分析】由题意易得1sin 2cos 3αα-=，2sin 2cos 3ββ+=，通过引入辅助角ϕ，分别求得()()()()sin cos sin ,cos αϕαϕβϕβϕ--++，，，再利用两角和的余弦公式求()()()cos cos αβαϕβϕ⎡⎤+=-++⎣⎦即得.【详解】1sin 2cos 3MN αα=-=，2sin 2cos 3PQ ββ=+=.则由1sin 2cos 3αα-=1sin cos 3αα=，cos ϕ=sin ϕ=，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则()sin αϕ-=又∵π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ,22αϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴()cos αϕ-=，同理()sin βϕ+=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又∵π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0πβϕ+∈，，则()cos βϕ+=∴()()()cos cos αβαϕβϕ⎡⎤+=-++⎣⎦()()()()cos cos sin sin αϕβϕαϕβϕ=-+--+⎛== ⎝..四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2cos 2A B =，且π4A B >≥.（1）求A B -的值；（2）若2a ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）1【解析】【分析】（1）由诱导公式结合已知计算即可；（2）由两角和的正弦展开式和三角形的面积公式计算即可；【小问1详解】πsin 2cos 2sin 22A B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，故2π22A B =-或π2π22B A +-=， 当2π22A B =-时，π04A B =-≤不合题意，故ππ22π24A B A B +-=Þ-=；【小问2详解】sin a A B =⇒=，即πsin 4B B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin cos B B B B B +=⇒=， π3π44B ≤< ，π4B ∴=，故π2A =，π4C =，故11sin 2122ABC S ab C ==⨯=△.16. 已知函数4,(03)()3(3),(0)x x x f x x f x x +⎧<≠-⎪=+⎨⎪->⎩且（1）求函数()f x 在区间()0,3上的解析式；（2）已知点()2,1A -，点M 是函数()f x 在区间()0,3上的图象上的点，求MA 的最小值.【答案】（1）()1x f x x +=（2【解析】【分析】（1）根据自变量3x -的范围代入函数解析式即可；（2）设出M 坐标，根据两点之间的距离公式列式即可.【小问1详解】由题可知在()0,3上，()()3f x f x =-，而330x -<-<，所以()341333x x f x x x-++-==-+，即在()0,3上，()1x f x x+=；【小问2详解】设()00,M x y ，()()()2222220000002000111212148x MA x y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22000000111410266x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当00120x x -+=时，取得等号，解得()010,3x =+∈，故MA的最小值为.17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，且AC BC ⊥，3PA AC BC ===，D 为PC 的中点，G 在线段PB上，且DG =．（1）证明：AD PB ⊥；（2）若BG 的中点为H ，求平面ADG 与平面ADH 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析．（2．【解析】【分析】（1）先证AD ⊥平面PBC ，再根据线面垂直的定义证明线线垂直．（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求面面角的大小．【小问1详解】由于PA ⊥平面ABC ，并且⊂BC 平面ABC ，因此PA BC ⊥，由于PA AC C = ，且PA ，AC ⊂平面PAC ，并且AC BC ⊥，因此⊥BC 平面PAC ，又由于AD ⊂平面PAC ，因此BC AD ⊥，由于PA AC =，且D 为PC 的中点，因此AD PC ⊥，又由于PC BC C ⋂=，且BC ，PC ⊂平面PBC ，因此AD ⊥平面PBC ，由于PB ⊂平面PBC ，因此AD PB ⊥．【小问2详解】根据题意可知，以点A 为原点，以过点A 且平行于BC 的直线为x 轴，AC ，AP 所在的直线分别为y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则3PA AC BC ===，可得330,,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,3,0C ，()3,3,0B ，A (0,0,0)，()0,0,3P ，所以330,,,(3,3,3)22PD PB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于G 在线段PB 上，令(3,3,3)PG PB λλλλ==- ，且01λ<<，那么333,3,322DG PG PD λλλ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭ ，由于DG =，所以222336933224λλλ⎛⎫⎛⎫+-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得13λ=，因此()2,2,1H ，()1,1,2G ，所以330,,22AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,2)AG = ，()2,2,1AH =，设平面ADH 法向量为(,,)m x y z = ，那么33022220m AD y z m AH x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++=⎩，令1y =，则12x =-，1z =-，所以1,1,12m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z ''=' ，那么3302220n AD y z n AG x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=++'''''=⎩，令1y '=，则1z '=-，1x '=，因此(1,1,1)n =-，设平面ADG 与平面ADH 的夹角为θ，所以||cos ||||n m n m θ⋅=== ，故平面ADG 与平面ADH18. 已知函数()ln 1f x ax x =--有两个零点1x ，2x ()12x x <，函数()4ln 21g x x x =+-+.（1）解不等式()0g x >；（2）求实数a 的取值范围；（3）证明：122ln a x x a-+>.【答案】（1）()1,+∞（2）01a <<（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导函数恒大于等于0可知故()g x 为()0,∞+上的增函数，得出不等式解集；（2）求导函数，分类讨论参数a ，当0a ≤时，函数单调不合题意；当0a >时，函数不单调，需要利用零点存在思想建立不等式，求出实数a 的取值范围；（3）由（2）知道两根的范围，借助()g x 的在()0,1上小于0，得到()11121ln 1ax ax ax -<+，同理得到()22221ln 1ax ax ax ->+，两式整理后相加便可得到结论.的【小问1详解】()()()()222114011x g x x x x x -=-=+'≥+，故()g x 为()0,∞+上的增函数，由题可知()10g =，()0g x >，即()()1g x g >，()0g x ∴>的解集为()1,+∞.【小问2详解】()1f x a x'=-，当0a ≤时，()0f x '<，()f x 为减函数，不符合题意； 0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.又0x →时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞. ()f x 有两个零点，故1111ln 1ln ln 0f a a a a ⎛⎫=--=-=< ⎪⎝⎭，解得01a <<；【小问3详解】由（2）知：121x x a<<，且11ln 10ax x --=，111ln 1ln 1ln ax x ax a ∴=+=+-，由（1）知01x <<时，4ln 201x x +-<+，()21ln 1x x x -∴<+，101ax << ，故()11121ln 1ax ax ax -<+，()111211ln 1ax ax a ax -∴<+-+，化为()2211ln 2ln 1a x a a a x a --->+ ①，同理：22ln 1ln ax ax a =+-，()22221ln 1ax ax ax ->+，可化为()2222ln 2ln 1a x a a a x a +->-- ②，②+①得：()()()2222121ln 20a x x a a a x x -+-->化简得：122ln a x x a-+>.19. 定义数列{}n a 为“阶梯数列”：1231111,,,,1111111111111111n a a a a ====++++++ ．（1）求“阶梯数列”中，1n a +与n a 的递推关系；（2）证明：对N k *∈，数列{}21k a -为递减数列；（3）证明：111429k k k a a -+⎛⎫-≤⋅ ⎪⎝⎭．【答案】（1）111n na a +=+ （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据阶梯数列的形式结构求解；（2）作差2121k k a a +--，运算可得212121230k k k k a a a a +---->-，累乘可得2121310k k a a a a +-->-，得证；（3）作差121111111(1)(1)k k k k k k k k a a a a a a a a +++++--=-=++++，可得21111(1)(1)k k k k k k a a a a a a ++++-=-++，再证明1N ,2n n a *∈>，可得21149k k k k a a a a +++-<-，累乘可得11121414()()(2)929k k k k a a a a k --+-<-⋅=⋅≥，得证.【小问1详解】由阶梯数列的形式结构可知111n na a +=+.【小问2详解】由111n na a +=+，110a =>，所以10n a ≥>，21212222123111111111111k k k k k k a a a a a a +-----=-=-++++++21232123212321231122(2)(2)k k k k k k k k a a a a a a a a --------++-=-=++++，∴21212123212310(2)(2)k k k k k k a a a a a a +------=>-++，同理2123532325310,,0k k k k a a a a a a a a ------>>-- ，累乘得212121235321232325310k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +----------⋅⋅⋅>--- ，即2121310k k a a a a +-->-，由1321,3a a ==，31211033a a -=-=-<，∴21210k k a a +--<故对{}21N ,k k a *-∈为递减数列.【小问3详解】121111111(1)(1)k k k k k k k k a a a a a a a a +++++--=-=++++，21111(1)(1)k k k k k k a a a a a a ++++-∴=-++，又对21212222121212111N ,11(1)(1)k k k k k k k k a a k a a a a a a *-+++-+--∈-=-=++++，由（2）知21210k k a a -+->，故222222212k k k k a a a a a +->⇒>>>= ，又()212221*********k k k k a a a a +=>++---=，10n a ≥>，所以2112k a +>，故对1N ,2n n a *∈>，∴212111141(1)(1)9(1)2k k k k k k a a a a a a ++++-=<=-+++，∴11321112214()9k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--------⋅⋅⋅<--- ，∴11121414()((2)929k k k k a a a a k --+-<-⋅=⋅≥，当1k =时，2112a a -=，综上，1114()29k k k a a -+-≤⋅．【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是证明1N ,2n n a *∈>，由此可得212111141(1)(1)9(1)2k k k k k k a a a a a a ++++-=<=-+++，得证.。

菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}202,0M x x N x x x =∈<<=-≤Z ∣∣，则M N = （）A.{}0,1 B.{}1 C.{}1,1- D.∅2.已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()1f x -的定义域为（）A.[]1,2B.[]4,6 C.[]5,9 D.[]3,73.已知2025π1sin sin 22αα⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则cos2sin cos ααα=+（）A.12-B.12C.0D.14.“函数()32f x x ax =-在[]2,3-上单调递增”是“3a ≤”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分又不必要条件5.过曲线9log =y x 上一点A 作平行于两坐标轴的直线，分别交曲线3log y x =于点,B C ，若直线BC 过原点，则其斜率为（）A.1B.3log 22C.ln33D.2log 366.函数()11ln sin 21x f x x x+=--的零点个数为（）A.1B.0C.3D.27.自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：τηγ=，其中τ为剪切应力，η为黏度，γ为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变τγ-曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（）A.①和④B.③和④C.③和②D.①和②8.已知函数()()1e xf x x =-，点(),m n 在曲线()y f x =上，则()()f m f n -（）A.有最大值为1e-，最小值为1 B.有最大值为0，最小值为1e-C.有最大值为0，无最小值D.无最大值，有最小值为1e-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知0c b a <<<，则（）A.ac bc< B.333b c a +< C.a c ab c b+>+D.<10.已知函数()21,2,5,2x x f x a b c d x x ⎧-≤⎪=<<<⎨->⎪⎩，且()()()()f a f b f d f c ==<，则（）A.1a ≤- B.[]1,4c ∈ C.()20,5ad ∈ D.222a b +=11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x 弧度π02x ⎛⎫<<⎪⎝⎭，记表面积增加量为()S f x =，则（）A.π43663f ⎛⎫=⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线π3x =对称C.S 呈周期变化D.6S ≤-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是______．13.已知函数()sin2cos2f x x a x =+，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度，所得图象与曲线()y f x =关于原点对称，则()0f =______．14.已知22,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，2log 2axx x ax ≥⋅，则正数a 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin ,63C C b ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，ABC V的面积为（1）求C ；（2）求ABC V 的周长．16.已知函数()π2sin 43⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若ππ,68x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，求()()23-=+f x y f x 的最大值．17.记锐角ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos c CA b B-=．（1）求B ；（2）延长AC 到D ，使2,15AC CD CBD =∠= ，求tan A ．18.已知函数()()2e xf x x a =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）设12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，记()()()()1122,,,A x f x B x f x ．证明：直线AB 与曲线()y f x =交于另一点C ．19.已知函数()()sin tan sin 2f x x x x =+-，其中01x <<，（1）证明：21cos 12x x >-；（2）探究()f x 是否有最小值，如果有，请求出来；如果没有，请说明理由．菏泽市2024—2025学年度第一学期期中考试高三数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ABD 【10题答案】【答案】BCD 【11题答案】【答案】AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除【13题答案】【答案】33-【14题答案】【答案】222log e e 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）π3C =（2）10+【16题答案】【答案】（1）π5ππ11π,224224k k ⎡⎤++⎢⎣⎦，()k ∈Z （2）0【17题答案】【答案】（1）45B =（2）2+【18题答案】【答案】（1）单调增区间为()(),2,,a a ∞∞--+，单调减区间为(2,)a a -（2）证明见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）没有，理由见解析。

2024/2025学年第一学期高三期中考试数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ）A ．7B ．8C ．16D ．152．在复平面内，复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知，则（ ）ABC ．D ．5．已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）A ．B．在方向上的投影向量为C ．若，则D ．若，则6．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．{}1,0,1,2,3A =-{}324B xx x =-<∣A B ()()3i 1i z =+-a b log 4log 41a b >>44ab<sin sin cos sin 63ππαααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2-2-ab θ()()a b a b+- ∥ab ()a b b⋅- a b +=23πθ=()()a b a a b a +⋅=-⋅ a b∥{}n a n n S 11a =1221n n S S n +-=+75S a =369463614636746365467．函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ）A ．B ．函数图象关于点对称C ．函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D ．若，则函数8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．函数有两个零点B ．当时，C ．的解集是D ．都有二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

江苏省苏州市部分学校2024届高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题三、填空题四、双空题五、解答题（1）若矩形MNPQ 是正方形，求tan θ的值；（2）为方便市民观赏绿地景观，从P 点处向,OA OB 修建两条观赏通道不计），使PS OA ⊥，PT OB ⊥，其中PT 依PN 而建，为让市民有更多时间观赏，希望PS PT +最长，试问：此时点P 应在何处？说明你的理由.21．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，32,sin 2B a b +=(1)求sin A ；(2)如图，点M 为边AC 上一点，π,2MB MC ABM =∠=，求ABC 22．已知二次函数()y f x =的图象与直线y =-6只有一个交点，满足(2)f x -是偶函数．()()f x g x x=（1）求二次函数()y f x =的解析式；（2）若对任意2[1,2],[4,4],()x t g x m tm ∈∈-≥-+恒成立，求实数m （3）若函数2(||3)11||3y g x k x =++⋅-+恰好三个零点，求k 的值及该函数的零点．参考答案：【详解】由余弦定理得2222BC AB BC AB =+-正确；0=.5，则()1,2AD AB AC =+∴ 正确；由图知函数()f x 有2个零点，故函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在由于方程()()21f x mf x --=令()t f x =则210t mt --=有因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为当13n =时，0x =；当24n =时，1;7x k =±∴=，函数的零点为0,1±。

哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三上学期期中考试数学学科试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合35,122MxxNxxZ

，则MN（ ）

A. 312xxB. 2,1,0C. 1,0D. 0,1

2. 若复数z满足

2025

i2iz，则z的实部与虚部之和为（ ）

A. 12iB. 12iC. 1D. 3

3. 已知等差数列na前6项和为60，且12315aaa，则5a（ ）

A. 5B. 10C. 15D. 20

4. 在平面直角坐标系中，若的终边经过点2,1P，则

πcos

4



的值为（ ）

A. 31010B. 1010C. 1010D. 31010

5. 如图，四边形OACB表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图，2OA，

4BC，2OB，//OABC，则AC（ ）

A. 6B. 23C. 6D. 42

6. 若曲线exya的一条切线方程是

1yx

，则a（ ）

A. 2B. 1C. 1D. e7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为

43，面积为4π

3的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）

A 256π63B. 4πC. 9π2D. 9π8. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项

的.相消法”求解．例如112122nnnnannn，故数列na的前n项和1223112302121222122nn

nnSaaaann



12nn

．记数列2{}2nn的前n项和为

哈师大附中2024—2025学年度高三上学期期中考试数学试题考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟．1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷 (选择题， 共58分)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x ==-，则A B = （）A. ()1,3B. 3⎡-⎣C. ⎡⎤⎣⎦D. (⎤⎦【答案】D 【解析】【分析】求解一元二次不等式以及对数函数的定义域，从而解得集合,A B ，再求交集即可.【详解】{}2|230A x x x =-+≤()(){}|310{|31}x x x x x =+-≤=-≤≤，(){}2ln 2B x y x ==-{}2|20{|x xx x =->=<<，故{}(|1A B x x ⎤⋂=<≤=⎦故选：D.2. 复数20252025i z =-在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的乘方运算，可得其周期，结合复数的几何意义，可得答案..【详解】由12345i i,i 1,i i,i 1,i i ==-=-==，且202545061÷= ，则20251i i i ==，所以2025i z =-，可得其在复平面上对应的点为()2025,1-，即该点在第四象限.故选：D.3. 函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A.π2B. 2C.π6D.π13+【答案】A 【解析】【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案.【详解】由()2cos f x x x =+，则()12sin f x x =-'，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得f ′(x )>0，则()f x 单调递增；当ππ,62x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1sin ,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()<0f x '，则()f x 单调递减；由()02f =，ππ66f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ππ22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为π2.故选：A.4. 已知a是单位向量，则“||||1a b b +-= ”是“//a b ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用向量三角不等式可得||||||1a b b a +-≤= ，进而可判断充分性，若//a b，|||||1|||a a a λλλλ+-=+- ，12λ=-时可判断必要性.【详解】因为||||||1a b b a +-≤= ，当且仅当b 与a共线时取等号，所以//a b ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分条件，若//a b ，则存在b a λ=，所以|||||1|||a a a λλλλ+-=+-，当12λ=-时，|||||1|||01a a a λλλλ+-=+-=≠ ，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的不必要条件，所以“||||1a b b +-= ”是“//a b”的充分不必要条件.故选：A.5. 已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. [)2,-+∞ C. (],0-∞ D. (],2-∞-【答案】D 【解析】【分析】根据复合函数的单调性，可得()y x a x =-在()1,0-的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围.【详解】因为1e xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，()y x a x =-在()1,0-单调递减，故12a≤-，解得2a ≤-.故选：D.6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614S S =，则1236S S S =+（ ）A.43B. 8C. 9D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3614S S =，得6333S S S -=，则36333S S q S -==，又n S 为{}n a 的前n 项和，则36396129,,,S S S S S S S ---成等比数列，公比为33q =，于是23123639612933333()()()33340S S S S S S S S S S S S S =+-+-+-=+++=，所以31236334084S S S S S S ==++.故选：B7. 菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（ ）A. 0B. 2-C. 2D. 4-【答案】D 【解析】【分析】根据条件，建立平面直解坐标系，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，利用数量积的坐标运算，可得()()22444PA PB PC PD x y +⋅+=+- ，即可求解.【详解】如图，连接,AC BD 交于O ，因为ABCD 为菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，又菱形ABCD 边长为2，设(,)P x y ，OA a =，则OB =，所以(0,),(0,),(A a C a B D -，则()()()),,,,,,,PA x a y PB x y PC x a y PD x y =--=--=---=-- ，得到())2,2,2,2PA PB x a y PC PD x a y +=--+=-- ，所以()()224444PA PB PC PD x y +⋅+=+-≥- ，故选：D.8. 已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，则()3log 32f 的值为( ).A. 31 B.5932C.4932D.21132【答案】C 【解析】【分析】由函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，得出周期为2，根据性质计算()3log 32f 即可.【详解】函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，可得f (−x )=f (x )，f (1+x )=f (1−x )，即有()()()2f x f x f x +=-=，可得()f x 的周期为2，当x ∈(0,1)，()31xf x =-，可得：()()()3333333232log 32log 324log 32log 81log log 8181f f f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332log 813328149log 311813232f ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数π()2sin()(1)3f x x ωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 1ω=B. 函数图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C 将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到函数()2cos(6πg x x =+D. 若方程(2)f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m的取值范围是2⎤⎦【答案】AC 【解析】【分析】对A ：由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得ω的范围，即可求得ω；对B ：根据A 中所求解析式，求得()f x 的对称中心横坐标，检验即可；对C ：由()π3g x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合诱导公式，即可判断；对D ：令π23x t +=，转化题意为sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，结合正弦函数单调性和值域，即可求解.的.【详解】对A ：由图可知，π26f ⎛⎫=⎪⎝⎭，故πππ2sin 2663f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ2π,632k k ω+=+∈Z ，121,k k ω=+∈Z ，又1ω≤，故当且仅当0k =时，1ω=满足题意，故A 正确；对B ：由A 可知，()π2sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ,3x k k +=∈Z ，解得ππ, 3x k k =-∈Z ，令πππ33k -=，解得23k =∉Z ，故B 错误；对C ：将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到()πππ22sin 2sin π3333g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()πππ2sin 2cos 626g x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对D ：()π2,0,2f x m x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，即πsin 232m x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令ππ42,π333x t ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，故只需sin 2m t =在π4,π33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，又sin y t =在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在π4, π23⎛⎤⎥⎝⎦单调递减，又ππsin1,sin 23==12m ≤<，即)2m ∈，故D 错误.故选：AC.10. 设正实数,m n 满足1m n +=，则（ ）A.1mm n +的最小值为3 B.+的最大值为C.的最小值为12D. 33m n +的最小值为14【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式计算可判断ACD ，利用三角代换计算可判断B.【详解】对于A ，1113n m n n m m m m m n m n +=+=++≥++=，当且仅当n mm n =，即12m n ==取等号，故A 正确；对于B ，因为正实数,m n 满足1m n +=，所以令22cos ,sin (0)2m n πθθθ==<<，1cos 2sin ))(tan 2θθθθθϕϕ=+==+=，所以当π2θϕ+=时，max +=，故B 正确；对于C ，由1m n +=，可得1≥12≤，当且仅当12m n ==取等号，的最大值为12，故C 错误；对于D ，由14mn ≤，3322211()())3131344m n m n m mn n m n mn mn +=+-+=+-=-≥-⨯=（，当且仅当12m n ==取等号，故D 正确.故选：ABD.11. 已知函数1()(0)xf x x x =>，则下列说法中正确的是（ ）A. 方程1()()f x f x=有一个解B. 若()()g x f x m =-有两个零点，则1e0e m <<C. 若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D. 若()0f x b -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln b c <<【答案】ACD 【解析】【分析】对A ：对1()(f x f x=两边取对数，再进行代数运算，即可判断；对B ：将()0g x =转化为ln ln xm x=，再研究()m x 的单调性和最值，即可求得m 的范围；对C ：对()h x 求导，对参数a 的取值进行分类讨论，结合二次求导，判断()h x 的单调性，即可求得参数范围；对D ：根据B 中所求，结合题意，将问题转化为对数平均值不等式的证明，再利用导数证明即可.【详解】对A ：1()()f x f x =，即11xx x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为x >0，故等式两边取对数可得：11ln ln ln x x x x x x==-，也即1ln 0x x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，又因为10x x +>，故ln 0x =，解得x =1，故方程1()(f x f x =只有一个解，A正确；对B ：()()g x f x m =-有两个零点，即方程1x x m =有两个根，又x >0，10x x >，显然m >0，故对方程两边取对数可得ln ln x m x =，令()ln x m x x =，则()m x '21ln x x -=，令()m x '>0可得()0,e x ∈，令()m x '0<可得()e,x ∈+∞，故()m x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减；又()()110,e em m ==，且当x 趋近于正无穷时，()m x 趋近于0，故ln ln x m x =有两根，只需10ln em <<，解得1e 1e m <<，故B 错误；对C ：21()(log ()2a h x x f x =-122221111ln 1log log log 222ln 2xa a a x x x x x x x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()h x '()()11ln 1ln 1ln ln ln x x x a x a a =+-=+-⋅，令()ln ln 1n x x a x =-⋅+，则()n x '1ln a x=-①当()0,1a ∈时，ln 0a <，()n x '>0，()n x 在()0,+∞单调递增，又()1ln 10n a =-+>，且当x 趋近于0时，()n x 趋近于-∞，故存在()00,1x ∈，使得()00n x =，且当()00,x x ∈时，()0n x <，()h x '>0，故此时()h x 单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0n x >，()h x '0<，故此时()h x 单调递减；则0x 为()h x 的极大值点，()h x 没有极小值点，不满足题意；②当()1,a ∈+∞时，ln 0a >，令()n x '>0，解得10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()n x 单调递增；令()n x '0<，解得1,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，此时()n x单调递减；故()n x 在1ln x a =时取得最大值，最大值为11ln ln ln n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；若1ln0ln a ≤，即101ln a<≤，也即[)e,a ∞∈+时，()0n x ≤在()0,+∞恒成立；则()h x '()10ln n x a=≤在()0,+∞恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递减，没有极值点，不满足题意；若1ln0ln a >，即11ln a >，也即()1,e a ∈时，10ln n a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又当x 趋近于0时，()n x 趋近于0；当x 趋近于+∞时，()n x 趋近于-∞，故存在110,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10n x =，且存在21,ln x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，使得()20n x =，故当()10,x x ∈，()0n x <，此时()h x '()10ln n x a=<，()h x 单调递减；当()12,x x x ∈，()0n x >，此时()h x '>0，()h x 单调递增；当()2,x x ∈+∞，()0n x <，此时()h x '0<，()h x 单调递减；故当1x x =时，()h x 取得极小值，当2x x =时，()h x 取得极大值，满足题意；综上所述，若()h x 有极大值和极小值，则()1,e a ∈，故C 正确；对D ：()0f x b -=有两个不同零点，即1x x b =，因为x >0，显然0b >，两边取对数可得1ln ln x bx=故方程ln ln xb x=有两个根，不妨设为34,x x ，且34x x <，为方便理解，根据B 中对()ln xm x x=的单调性和最值分析作图如下所示：易知()()341,e ,e,x x ∈∈+∞，且当()30,x x ∈时，ln ln xb x<，也即1x x b <，即()0f x b -<，同理可得，当()34,x x x ∈时，即()0f x b ->，当()4,x x ∈+∞时，()0f x b -<；又2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，故可得34,x x 也是方程20x cx d -+=的两根，则3434,x x c x x d +==；令ln b t =，若2ln b c <<342t x x <<+，又3344ln ,ln x tx x tx ==，故()3434ln ln x x t x x -=-，则3434ln ln x x t x x -=-，故343434ln ln 2x x x x x x -<<+-343434ln ln 2x x x x x x -+<<-334434112ln x x x xx x -+<<，令34x x x =，因为340x x <<，故()340,1x x ∈11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，①1ln x x -<，因为()0,1x ∈，故ln 0x <，故只需证ln x >()0,1n =∈，则只需证()()12ln 0,0,1p n n n n n =-+>∈，又()p n '()222221212110n n n n n n n---+-=--==<，故()p n 在()0,1单调递减，又()10p =，故()0p n >1ln x x-<；②再证11ln 2x x x -+<，()0,1x ∈，因为ln 0x <，故只需证()()()214ln ln 20,0,111x q x x x x x x -=-=+-<∈++，又()q x '()()()()22222114210111x x x x x x x x x --+=-==>+++，故()q x 在()0,1单调递增，又()10q =，故()0q x <，也即()21ln 01x x x --<+，11ln 2x x x -+<；11ln 2x x x -+<<，()0,1x ∈，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是对方程1x x m =两边取对数，将问题转化为ln ln xm x=，再利用导数研究ln xx的单调性和最值；二是，能熟练掌握含参函数单调性的讨论，从而解决其极值问题；三是，能够对D中的问题进行合理的转化，同时，也要熟练掌握对数平均值不等式343434ln ln 2x x x xx x -+<<-的证明；属综合困难题.第Ⅱ卷 (非选择题， 共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．12. 中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高度为________ .【答案】2【解析】【分析】根据浇铸前后体积不变列方程，求得圆锥的高.【详解】设圆柱的底面半径为1r ，母线长为1l ，圆锥的底面半径为2r ，高为h ，则圆柱的侧面积为112π36πr l = ，又112r l =，代入解得113,6r l ==，故211π54πV r l ==圆柱，又22π81πr =，又221π27π54π3V r h h ===圆锥，解得2h =.故答案为：2.13. 已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过________________个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈【答案】40【解析】【分析】由题意建立方程组，根据对数运算，可得答案.【详解】由题意可得122410%20%ab ab ⎧=⎨=⎩，两式作比可得12112b =，解得0.05a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，可得120.052t P =⋅，令120.05250%t⋅=，解得1239.87lg 2t =≈.故答案为：40.14. 已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-=，则12a c - 的最小值为_________【答案】1【解析】【分析】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，分析可知点M 在直线1x =上，点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，结合图形分析求解即可.【详解】设()()1,0,,,44,0OB b OA a OC c OD b ======，12OM a =u u u r r ，O 为坐标原点，由2a b ⋅= 可知：点A 在直线2x =上，点M 在直线1x =上，由42c b OC OD DC -=-==，可知点C 的轨迹为以()4,0D 为圆心，半径为2的圆，则123212a c OM OC CM DM -=-=≥-≥-=，可知当且仅当点C 为(2,0)，且点M 为(1,0)时，12a c -取到最小值1.故答案为：1.【点睛】方法点睛：对于向量问题，常常转化为几何问题，进而分析求解.四、解答题:本题共5小题， 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-（1）求角B.（2）若b =，求 ABC 周长最大值.【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）由题目的等式，结合余弦定理，可得答案；（2）由正弦定理可得边角的等量关系，利用三角周长公式整理函数关系式，可得答案.【小问1详解】由22()b a a c c -=-，即222b a c ac =+-，∵2222cos b a c ac B =+-，∴1cos 2B =，又(0,π)B ∈，∴π3B =.【小问2详解】的由sin sin ac AC ==可得，2sin a A =，2sin c C =，ABC V的周长2sin 2sin l a b c A C =++=++∵2+π3A C =，∴2π2sin 2sin()3l a b c A A =++=+-+3sin A A =++π6A =++∵2π03A <<，∴l的最大值为16. 已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ （1）求{}n a 的通项公式；（2）在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a = （2）332n nn T +=-【解析】【分析】（1）根据条件，利用n S 与n a 间的关系，即可求解；（2）根据条件及（1）中结果，得到112n n n d +=，再利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】321212222n n n a a a a -++++= ①，当2n ≥时，3121222(1)222n n a a a a n --++++=- ②，由①-②，得122n n a-=，即2n n a =，又当1n =时，12a =，满足2n n a =，所以2n n a =.【小问2详解】由（1）知2nn a =，所以11222111n n nn n n a a d n n n ++--===+++，则112n nn d +=，所以()123111123412222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭③，()12341111112341222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，由③-④得：()121111112122222n n nT n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅++⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111111334*********n n n n n +++⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎝⎭=+-+=- ⎪⎝⎭-，所以332n nn T +=-.17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．（1）求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；（2）在锐角△ABC 中，已知()32f A =-，2133AD AB AC =+，cos B =，求tan BAD ∠.【答案】（1）对称轴)ππ(122k x k =+∈Z ，单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，,； （2.【解析】【分析】（1）根据题意，求得()f x 并化简至一般式，再根据正弦的函数的对称性和单调性求解即可；（2）根据（1）中所求解析式，求得A ，在利用正弦定理求得sin C ；再在△ABD 和△ACD 中，两次使用正弦定理，即可求得关于BAD ∠的三角函数关系，再求结果即可.【小问1详解】221()2sin cos(2sin 2sin sin 6)2sin 2f x x x x x x x xπ=+-=--23323sin 2(1cos 2)232x x x x x π=-=--=+-，由ππ22π,32x k k +=+∈Z ，得ππ,12x k k =+∈Z ，所以()f x 的对称轴为)ππ(122kx k =+∈Z .由πππ2π22π,232k x k k -+<+<+∈Z ，解得5πππ,π,1212x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，又[]0,πx ∈，所以单调递增区间为π7π0,π1212⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，.【小问2详解】由（1）知，33()322f A A π=+-=-，则πsin(2)03A +=，由π02A <<，得ππ4π2333A <+<，则π2π3A +=，解得π3A =，因为ABC V中，cos B =，则B 为锐角，所以sin B ===，因π3A =，πA B C ++=，所以2π3C B =-，所以2π2π2π11sin sin sin cos cos sin 33322C B B B ⎛⎫=-=-==+⎪⎝⎭；因为2133AD AB AC =+ ，故可得32AD AB AC =+ ，即()2AD AB AC AD -=- ，也即2DC BD =，故2CD BD =；设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在△ABD 和△ACD中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，为(π3sin 3θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(1sin 3sin 2θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2sin θθ=+，所以tan tan BAD θ∠===18. 已知数列{}n a 满足13a =,11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数（N n *∈）.（1）记232n n b a =-（N n *∈），证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；（3）设12121n n n b c b +-=-（N n *∈），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3ln 131n n n T n -<--（N n *∈）.【答案】（1）证明见解析，111(23n n b -=（2）12213633n n S n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（3）证明见解析【解析】【分析】（1）按等比数列的定义证明，用n a 的递推关系寻找1n b +与n b 的关系，即可证明，再利用等比数列的通项公式，即可求解；（2）使用分组求和法，偶数项为等比、等差数列求和，奇数项可转化为偶数项求和；（3）先将n c 放缩，再利用等比数列前n 项和，将问题转化成求证11ln(1)33n n-<-，构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用导数与函数单调性间的关系，得ln(1)x x >+，即可求证.【小问1详解】122212131311(21)223232n n n n b a a n a n ++++=-=++-=+- 2221111131(6)2(3232323n n n n a n n a a b =-+-=-=-=，又121313112322b a a =-=+-=，所以，数列{}n b 为以12为首项，13为公比的等比数列.由等比数列的通项公式知111()23n n b -=⋅.【小问2详解】由（1）可知11123n n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又232n n b a =-，12113232n n a -⎛⎫∴=+⎪⎝⎭.设242n n P a a a =++ ，则2111111131333133112333222443213nn n n P n n n-⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++=⋅+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，设1321n n Q a a a -=++ ，2211213n n a a n -=+- ，21(121)1323n n n n n P Q Q n ⋅+-∴=+=+，233n n Q P n ∴=-，故12221433633n n n n n S P Q P n n n -⎛⎫=+=-=-+- ⎪⎝⎭.【小问3详解】111332231131313113n n n n n n n c -⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-<---⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，2111112()(1133333n n n n T n n n ∴<-+++=--=-+ ，所以欲证3ln 131n n n T n -<--，只需证13311ln ln ln(133133n n n n n n -<=-=---，即证11ln(1)33n n -<-.设()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，()01xf x x'∴=<+，故()f x 在(1,0)-上单调递减，()(0)0f x f >=，(1,0)x ∴∈-时，ln(1)x x >+.11[,0)33n -∈- ，11ln(133n n∴-<-得证.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过放缩，得到213n nc <-，从而将问题转化成求证11ln(133n n -<-，再构造函数()ln(1),(1,0)f x x x x =-+∈-，利用函数的单调性，得到ln(1)x x >+，即可求证.19. 已知函数ln ()e sin ,(0,)x a f x x x -=-∈+∞.（1）当e a =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；（3）若()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，求证：12ππ2x x <+<.【答案】（1）11(e 1)e y x --=-+ （2）π402e a <≤（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，即可求解斜率，根据点斜式求解切线方程，（2）构造函数()()32ln 1g t t t t =-++，求导，根据单调性可得()ln esin 0x af x x -=-≥，进而1sin ex x a ≥，构造函数()sin e x xh x =，求导判断单调性，即可求解最值得解.（3）根据h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.证明()()11πh x h x >-，即可求证12πx x +<，构造函数()1π22tan ex x t x -=以及()212tan cos k x x x=-，利用导数求解单调性，即可求证.【小问1详解】11e ()e sin ,,()e cos x x a f x x f x x --'==-=-∴ ，则1(0)e 1f -'=-，1(0)e f -=，故切线方程为11e (e 1)y x ---=-，即11(e 1)e y x --=-+，【小问2详解】32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥，令()()32,ln 10f x t t t t =-++≥，令()()()()2332322311321ln 1,32111t t t t t g t t t t g t t t t t t +-+-+=-++=-+==+++'，当()()0,0,t g t g t ≥'≥∴在(0,+∞)单调递增，且()00g =，当10t -<<时，()()()()322ln 11ln 10g t t t t tt t =-++=-++<，()0g t ∴≥解集为{}0t t ≥，故()ln esin 0,(0)x af x x x -=-≥>，进而e sin xx a≥,即1sin e x x a ≥，令()sin ex xh x =，()3πcos sin 4e e x xx x x h x ⎛⎫+ ⎝='⎪-⎭=，当()()π0,,0,4x h x h x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'单调递增，当π5π,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,h x h x '<单调递减，当5π4x >时，()5π41e h x <，5π4π14eh ⎛⎫∴=>⎪⎝⎭，因此()max π4h x h ⎛⎫=⎪⎝⎭，1a∴≥故π402ea <≤【小问3详解】()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，则()sin sin 1,e e x x x x h x a =∴=有两个根12,x x ，即()()121h x h x a==，由（2）知，当x ∈(0,π) h (x )在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.故12π0π4x x <<<<，欲证12πx x +<，即证21πx x <-，由于21π4ππ4x x ⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，h (x )在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.即()()21πh x h x >-，即()()11πh x h x >-，()()11πh x h x >-，即证()1111πsin πsin e e x x x x -->，即11π11e e x x ->，即证11πe e x x ->，即证1x <π2，显然成立，欲证12x x +>π2， 即证211ππππ,,2242x x x ⎛⎫>--∈ ⎪⎝⎭，即证()21π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证()11π2h x h x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，即证1111π2πsin sin 2ee x x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭<，即证1π221tan e x x -<.令()1π22tan e x x t x -=，则()1111ππ222211222ππ222211e 2tan e 2tan cos cos e e x x x x x x x x t x -----⋅-==⎛⎫ ⎪⎝⎭'，令()22211sin 1sin22tan 20cos cos cos cos x xk x x x x x x-=-=-=≥，故()k x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，且()()00k x k >=，()()0,t x t x ∴>'在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，()π14t x t ⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，得证【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.。

2024~2025学年度上期高2025届半期考试高三数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.5.考试结束后，请考生个人留存试卷并将答题卡交回给监考教师.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数12i34i +-的虚部是（ ）A. 15-B.15C. 25-D.25【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的除法运算化简至i a b +的形式，则虚部可知.【详解】因为()()()()12i 34i 12i 510i 12i 34i 34i 34i 2555+++-+===-+--+，所以虚部为25，故选：D.2. 式子1tan151tan15+-oo的值为（）A.B. 2C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的正切公式来求得正确答案.【详解】()1tan15tan45tan15tan 4515tan 601tan151tan45tan15+°°+°==°+°=°=-°-°°.故选：A3. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝（ ）A152B.314C.334D.172【答案】B 【解析】【分析】由等比数列的性质易得a 3＝1，进而由求和公式可得q 12=，再代入求和公式计算可得．【详解】由题意可得a 2a 4＝a 32＝1，∴a 3＝1，设{a n }的公比为q ，则q ＞0，∴S 3211q q =++1＝7，解得q 12=或q 13=-（舍去），∴a 121q ==4，∴S 551413121412æö´-ç÷èø==-故选B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．4. 在()()()342111n x x x +++++×××++的展开式中，含2x 项的系数是（ ）A. 33C n + B. 23C 1n +- C. 33C 1n +- D. 331C n +-【答案】C 【解析】【分析】求出()1nx +展开式中含2x 的系数为2C n ，再利用组合数的计算性质11C C C m m mnn n -++=求和即可.【详解】解：()1nx +Q 展开式中第1r +项为：1C rrr n T x +=，()()()342111n x x x +\++++×××++中含有2x 项的系数为：22222322234334C C C C C C C 1n n +++++=++++-L L 232244C C C 1n +=+++-L L.33C 1n +=-.故选：C.5. 已知函数()f x 对x R "Î都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x ¢满足当2x ¹时,(2)()0x f x ¢->，则当24a <<时，有（ ）A. ()()22(2)log af f f a << B. ()()2log (2)2af a f f <<C. ()()2log 2(2)af a f f << D. ()()2(2)log 2af f a f <<【答案】D 【解析】【分析】根据导函数()f x ¢满足当2x ¹时,(2)()0x f x ¢->,可得()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,可得(2)f 为最小值,再根据对称轴和单调性可得2(log )(2)af a f <,从而可知选D【详解】因为函数()f x 对x R "Î都有()(4)f x f x =-,所以()f x 的图象关于2x =对称,又当2x >时,'()0f x >,2x <时,'()0f x <,所以()f x 在(,2)-¥上递减,在(2,)+¥上递增,所以2x =时,函数取得最小值,因为24a <<,所以2221log 2log log 42a =<<=,2224a >=,所以224log 3a <-<,所以224log 2aa <-<,所以2(4log )(2)a f a f -<,所以2(log )(2)af a f <,所以()()2(2)log 2af f a f <<.故选:D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性,考查了利用单调性比较大小,考查了利用对数函数的单调性比较大小,属于中档题.6. 若a r ，b r ，c r 满足，||||2||2a b c ===r r r ，则()()a b c b -×-r rr r 的最大值为（ ）A. 10B. 12C. D.【答案】B 【解析】【分析】设OA a =uuu r r ，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r，表示出a b -vv，-r rc b 利用向量的数量积的定义求出最值.【详解】解：设OA a =uuu r r，OB b =uuu r r ，OC c =uuu r r ，则a b BA -=r r uur ，c b BC-=r r uuu r()()cos a b c b BA BC BA BC ABC\--==×Ðr r r r uuu r uuu r uuu r uuu rg g ||||2||2a b c ===r r r Q 4BA \£uuu r ，3BC £uuu r 当且仅当BA uuu r ，BC uuur 同向时()()a b c b --r r r r g 取最大值12故()()max12a b c b--=r r r rg 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义，属于中档题.7. 若对x "ÎR ，函数()2x f x a =+的函数值都不超过函数()2,12,1x x g x x x x ì+<ï=í+³ïî的函数值.则实数a 的取值范围是（ ）A. 2a ³- B. 2a £ C. 22a -££ D. 2a <【答案】C 【解析】【分析】在同一平面直角坐标系中作出()(),y f x y g x ==的图象，然后考虑临界位置：()f x 经过点()0,2以及()f x 与()()21g x x x x=+³相切，分析此时a 的取值，通过平移()y f x =的图象可求解出a的取值范围.【详解】在同一平面直角坐标系中作出()2x f x a =+，()2,12,1x x g x x x x ì+<ï=í+³ïî的图象如下图所示：且()02g =，即()g x 与y 轴交于()0,2，当()f x 位于其对称轴左侧的图象经过()0,2时，此时()0,2在2xy a =--的图象上，所以2a -=，解得2a =-；当()f x 位于其对称轴右侧的图象经过()0,2时，此时()0,2在2xy a =+的图象上，所以2a =，接下来分析当2x y a =+与()()21g x x x x =+³相切时的情况：()221g x x ¢=-，令()12g x ¢=，解得2x =（2x =-舍去），()22232g =+=，所以切点坐标为()2,3，所以232a +=，解得2a =；由上可知，当2a =时，22x y =+经过()0,2且与()()21g x x x x =+³相切，结合图象，通过平移()y f x =的图象可知，当22a -££时，()()f x g x £恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是22a -££，故选：C.8. 在三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB CC ==，AB =，1C 在面ABC 的投影为ABC V 的外心，二面角11A CC B --为π3，该三棱柱的侧面积为（ ）A. 3+B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】先由外心性质和1C O ^面ABC 结合三角形全等得111BC AC CC ==，从而得11CBC CAC V V ,均为正三角形；接着取1CC 中点E 得BEA Ð是二面角11A CC B --的平面角，从而得π3BEA Ð=，进而求出12CC =，于是可求出11BCC B S 侧面和11CAA C S 侧面；再求证AB ^平面1CC D 得1AB CC ^，从而得1AB BB ^可求出11AB A B S 侧面，进而得解.【详解】设ABC V 的外心为O ，则由题意可得1C O ^面ABC ，如图，连接11,,,,OA OB OC BC AC ，则OA OB OC ==，所以111Rt Rt Rt OBC OAC OCC V V V ≌≌，故111BC AC CC ==，又1CA CB CC ==，所以11CBC CAC V V ,均为正三角形且11CBC CAC V V ≌，取1CC 中点E ，连接,BE AE ，则11,BE CC AE CC ^^，且BE AE =，1π6C BE Ð=，所以BEA Ð是二面角11A CC B --平面角，故π3BEA Ð=，所以BEA △是正三角形，B B E AE A ===，所以1111π22tan26AA BB C CC E =====，所以11112BCC B CAA C S S ===侧面侧面延长CO 交AB 于点D ，则由O 为ABC V 的外心和CA CB =可得CD AB ^，又由1C O ^面ABC ，AB Ì面ABC 得1C O AB ^，又11,C O C O O D C D C =ÌI 、平面1CC D ，所以AB ^平面1CC D ，因为1CC Ì平面1CC D ，所以1AB CC ^，所以由棱柱性质1AB BB ^，所以112B A AB S ==侧面，所以该三棱柱的侧面积为111111ABB BC B A C CAA C S S S =++=+侧面侧面侧面.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键点1是由三角形全等得到111BC AC CC ==，从而得11CBC CAC V V ,均为正三角形；关键点2是取1CC 中点E 得BEA Ð是二面角11A CC B --的平面角，且π3BEA Ð=，进而求出12CC =，于是可求出11BCC B S 侧面和11CAA C S 侧面，再求证1AB BB ^求出11AB A B S 侧面即可得解.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 对于样本相关系数，下列说法正确的是（ ）A.样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性的B. 样本相关系数可以是正的，也可以是负的C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线型相关程度越强D. 样本相关系数[]1,1r Î-【答案】ABD 【解析】【分析】利用相关系数与成对样本数据间的相关关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性，A 对；对于B 选项，样本相关系数可以是正的，也可以是负的，B 对；对于C 选项，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度也越强，C 错.对于D 选项，样本相关系数[]1,1r Î-，D 对；故选：ABD10. 为得到函数π2sin 23y x æö=+ç÷èø的图象，只需要将函数2sin2y x =的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向左平移π3个单位长度C. 向右平移5π6个单位长度D. 向右平移11π3个单位长度【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象变换的知识确定正确答案.【详解】ππ2sin 22sin 236y x x éùæöæö=+=+ç÷ç÷êúèøèøëû，所以将函数2sin2y x =的图象向左平移π6个单位长度，得到π2sin 23y x æö=+ç÷èø.故选：A11. 正实数x ，y 满足1x y +=，则下列选项一定成立的是（ ）A. 1410x y+³ B. 22x y +³C. 11254x y x y æöæö++³ç÷ç÷èøèø D.316y x xy+³【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式、函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()141445y x x y x y x y x yæö+=++=++ç÷èø59³+=，当且仅当42,23y x y x x y ===时等号成立，A 选项错误.B 选项，22x y +³==，当且仅当122,2xyx y ===时等号成立，所以B 选项正确.C 选项，111x yx y xy x y xy y xæöæö++=+++ç÷ç÷èøèø，2124x y xy +æö£=ç÷èø，当且仅当12x y ==时等号成立，函数1y x x =+在10,4æùçúèû上单调递减，最小值为117444+=，所以当12x y ==时，1xy xy +有最小值为174，而2x y y x +³=，当且仅当x y y x =，12x y ==时等号成立，所以1111725244x y x y xy x y xy y x æöæö++=+++³+=ç÷ç÷èøèø，当且仅当12x y ==时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，313311y y x y y x xy x xy x y x++=+=++342y x y x y y x x y x x y++=++=++26³+=，当且仅当42,23y x x y x y ===时等号成立，D 正确.故选：BCD【点睛】思路点睛：利用基本不等式进行判断：首先应用基本不等式来分析选项是否成立，并结合等号条件进一步判断，这是判断选项正确与否的基础.函数单调性分析：在选项 C 的判断中，通过函数的单调性来验证不等式的成立条件，这种结合单调性的方法可以更准确地判断不等式的取值情况.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 命题“x "ÎN ，21x >”的否定为______.【答案】x $ÎN ，21x £【解析】【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题，即可得解.【详解】因为全称命题:P x M "Î，()P x ，它否定0:P x M Ø$Î，()0P x Ø.所以命题“x "ÎN ，21x >”的否定为x $ÎN ，21x £.故答案为：x $ÎN ，21x £.【点睛】本题考查了全称命题否定，在否定过程中注意否定规则，易错点为>的否定为£，本题为简单题.13. 若()1,1A --，()3,7B ，()7,5C ，()8,2D 四点在同一个圆上，则该圆方程为_________.【答案】()()223225x y -+-=【解析】【分析】假设圆的一般方程，代入求解即可.【详解】假设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=,将,,A B C 三点的坐标分别代入可得1109493704925750D E F D E F D E F +--+=ìï++++=íï++++=î,解得6,4,12D E F =-=-=-所以圆的方程为：2264120x y x y +---=，即()()223225x y -+-=,故答案为：()()223225x y -+-=.的14. 椭圆()222210+=>>x y a b a b左焦点()1,0F -关于直线y bx =的对称点在椭圆上，则该椭圆离心率为【解析】【分析】先求得()1,0F -关于直线y bx =的对称点，将对称点代入椭圆方程，进而求得离心率.【详解】设()1,0F -关于直线y bx =的对称点为(),A s t ，则12211ts b t b s -+ì=ïïíï´=-ï+î，解得2221121b s b b t b ì-=ïï+í-ï=ï+î，将A 点坐标代入椭圆方程得222222212111b b b b a b æö--æöç÷ç÷++èøèø+=，()()()222222214111b a b b -+=++，而22221a b c b =+=+，所以()2242242446662444441aa a a a a a a a a a--+++=+==´，6440a a --=，64840a a --+=，()()()()24222224220a a a a a -++--+=，()()242220aa a -++=，则2220,2a a-==，a =所以离心率c a ==.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设ABC V 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且1sin cos 64C C p æö-=ç÷èø.（1）求角C 的大小；（2）若向量()1,sin m A =u r 与()2,sin n B =r共线，求a ，b 的值.【答案】（1）3C p=；（2）a b ==【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换，得sin 216C p æö-=ç÷èø，结合C 取值范围，即可求解；（2）由m u r 与n r共线，得sin 2sin 0B A -=，得2b a =，再根据余弦定理列出方程，即可求解a ，b 的值.【详解】（1）211sin cos cos cos 624C C C C C p æö-=-=ç÷èøQ 21111cos cos 2cos 2sin(2)22622C C C C C C p -=--=--=，sin(2)16C p \-=，110,2666C C pppp <<\-<-<Q ，262C pp\-=，解得3C p=.（2）m u r Q 与n r共线，sin 2sin 0B A \-=，由正弦定理sin sin a bA B=，得2b a =，3c =Q ，由余弦定理，得22292cos 33a b ab a p=+-=，a b \==.【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.16. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50m ）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望()E X ．的【答案】（1）25（2）75【解析】【分析】（1）根据古典概型概率的计算公式直接计算概率；（2）直接计算离散型随机变量的概率及期望.【小问1详解】设事件A 为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为()42105P A ==；【小问2详解】设事件B 为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()3162P B ==，事件C 为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故()2142P C ==，()()2113011152220P X P ABC æöæöæö===-´-´-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，()()()()211211211211111115225225225P X P ABC P ABC P ABC æöæöæöæöæöæö==++=´-´-+-´´-+-´-´=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，()()()()2112112117211152252252220P X P ABC P ABC P ABC æöæöæö==++=´´-+´-´+-´´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø,()()2111352210P X P ABC ===´´=，所以其分布列为X 0123P32025720110期望()32717012320520105E X =´+´+´+´=.17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ^平面 ,,2ABC AC BC AC BC ^==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱 1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ^；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ.【解析】【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC uuu r uuu r uuuu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M uuuur 和1B D uuuu r 的坐标，得出110C M B D ×=uuuur uuuu r，即可证明出11C M B D ^；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA uuu r ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n r，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA uuu r 、CB uuu r、1CC uuuu r 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M =uuuur ，()12,2,2B D =--uuuu r，从而112200C M B D ×=-+=uuuur uuuu r，所以11C M B D ^；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA =uuu r是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB =uuur ，()2,0,1ED =-uuu r．设(),,n x y z =r为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ì×=ïí×=ïîr uuur r uuu r，即2020y z x z +=ìí-=î，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-r．cos ,C A n <=uuu r r，sin ,CA n \<>==uuu r r ．所以，二面角1B B E D --（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =-uuu r．由（Ⅱ）知()1,1,2n =-r为平面1DB E的一个法向量，于是cos,AB n<=uuu r r所以，直线AB与平面1DB E【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.18. 椭圆()2222:10x yE a ba b+=>>左焦点F和(),0A a，()0,B b构成一个面积为)21的FABV，且cos AFBÐ=（1）求椭圆E的标准方程；（2）点P是E在三象限的点，PA与y轴交于M，PB与x轴交于N①求四边形ABNM的面积；②求PMNV面积最大值及相应P点的坐标【答案】（1）22184x y+=；（2）①；②PMNV面积最大值为4-(2,P-.【解析】【分析】（1）根据离心率和三角形面积公式列方程，结合,,a b c关系即可求解.（2）①设点P(x0,y0)，求出直线PA和PB的方程，写出点M和N的坐标，计算AN和BM，即可证明四边形的面积为定值；②要求PMNV面积最大值只需求出PABV面积最大值，结合基本不等式及等号成立的条件可得结果.【小问1详解】设OF c=，由cos AFBÐ=，得45AFBÐ=°，BOFV为等腰直角三角形，∴b c=，由FAB V面积为)21+得，())1212a cb ×+×=+，又∵222a c b -=，∴2,b c a ===，故椭圆标准方程为22184x y +=【小问2详解】①设P (x 0,y 0)，则220028x y +=，由（1）得()A ，()0,2B ，直线PA：y x =-，直线PB ：0022y y x x -=+，故M æççè，002,02x N y æö-ç÷-èø，四边形ABNM 的面积002112222x S AN BM y ææö=×=çç÷ç-èøè2==2===.②由①得PMN PAB S S =-△△PMN V 面积最大值只需求出PABV 面积最大值即可.由()A ，()0,2B 得||AB =，直线AB：0x +-=，∴点P 到AB的距离d∴0012PAB S AB d x =×=-V220028x y +=Q ，∴()20000828x x +=+£，∴()20016x +£，解得0044x -££当04x +=-时，()max 4PAB S =+V，此时000x =<，由002200028xx y ì=<ïí+=ïî得(2,P -，由PAB V 面积最大值为4+得PMN V 面积最大值为4-【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合问题，具体思路如下：（1）当四边形对角线互相垂直时，四边形面积等于两对角线乘积的一半；（2）PMN V 面积不易表达，可借助四边形面积为定值，把求PMN V 面积最大值转化为求PAB V 面积最大值.19. 已知函数()2e 1.xf x ax x =---（其中e 2.71828»）（1）当0a =时，证明：()0f x ³（2）若0x >时，()0f x >，求实数a 的取值范围；（3）记函数()e 12ln x g x x x-=-的最小值为m ，求证：23,e 120m æöÎ-ç÷èø【答案】（1）证明见解析 （2）12a £（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得()f x 的单调区间、最值，从而证得不等式成立.（2）利用多次求导方法来求得a 的取值范围.（3）利用构造函数法，结合多次求导，根据最小值列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()e 1xf x x =--，()e 1x f x \=-¢，的当0x >时，e 1x >，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当0x <时，e 1x <，f ′(x )<0，()f x 单调递减，()()00f x f \³=，得证.【小问2详解】法一：由()2e 1xf x ax x =---，()e 21xf x ax \=--¢，()e 21e 2x x ax a¢\--=-①当12a £时，0x >，e 1x >，()e 210x ax ¢-->，()f x \¢单调递增，()()00f x f ¢¢>=，∴f (x )单调递增，()()00f x f >=，12a \£成立；②当12a >时，当()0,ln2x a Î，()e 210xax ¢--<，()f x \¢单调递减，()()00f x f ¢¢<=，∴f (x )单调递减，()()00f x f <=，与条件矛盾，12a \>不成立；综上所述：12a £.法二：由()0f x >，即2e 1x x a x--<成立，设()2e 1x x u x x --=()()32e 2x x x u x x -++=¢，设()()2e 2x k x x x =-++，()()1e 1xk x x =-+¢()()1e1e 0xx x x ¢-+=>，()k x \¢单调递增，()()00k x k ¢¢>=，()k x \单调递增()()00k x k >=即()0u x ¢>，()u x \单调递增，()()0u x u >由洛必达法则2000e 1e 1e 1lim lim lim 222x x x x x x x x x ®®®---===，12a \£.【小问3详解】()e 12ln x g x x x -=-，则()2e e 21x x x x g x x --+=¢，设()e e 21xxh x x x =--+，则()e 2xh x x ¢=-，又因()()e 21e 0x x x x ¢-=+>，()e 2x h x x \=-¢在(0,+∞)单调递增，又()()()()012e 20h h ×=-´¢-¢<Q ，()00,1x \$Î，使得()00h x ¢=，即002e xx =①，且x ∈(0,x 0)，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减；()0,1x x Î，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增，()()00000min e e 21x x h x h x x x \==--+，由①得()()00023200h x x h x =--<=，又()110h =-<Q ，3231e 2022h æö=->ç÷èø，131,2x æö\$Îç÷èø，使得()10h x =，即1111e e 210x x x x --+=，即11121e 1x x x -=-，且()10,x x Î，ℎ(x )<0，()g x 单调递减；()1,x x ¥Î+，ℎ(x )>0，()g x 单调递增，()()1111min11e 112ln 2ln 1x g x g x x x x x -\==-=--，131,2x æöÎç÷èøQ ，()()11e 1g x g \<=-，再设()12ln 1x x x j =--，则φ(x )在()1,¥+单调递减，131,2x æöÎç÷èøQ ，()1x j \也即()1g x 大于3322ln 22j æö=-ç÷èø，要证32322ln 220->，即证317ln 240<，又即证17403e 2>，由（2）问21e 12xx x >++，2174017117484948003e140240320032002æö\>++´=>=ç÷èø，得证.【点睛】思路点睛：通过导数判断单调性：首先对函数求导，并分析导数的符号，确定函数在不同区间的单调性. 这是解题的基础步骤，有助于后续的极值和取值范围的推导.分类讨论与极值点分析：对于不同的区间，通过分析单调性和极值点来确定函数的表现，从而得出函数的取值范围. 这种分类讨论确保了结论的全面性和准确性.利用洛必达法则求极限：在证明极值时，利用洛必达法则简化极限计算，是一个重要的方法，可以确保计算的简洁和准确.。

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数､解三角形､平面向量､复数､立体几何､数列.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,3,2,a b m =−= ，若a∥b ，则 m =（）A.6−B.4−C.4D.62.已知集合{}()2,A xax b a b =+=∈R ∣，若A =R ，则a b +=（ ） A.1 B.2 C.3 D.43.葫芦摆件作为中国传统工艺品，深受人们喜爱，它们常被视为吉祥物，象征福禄､多子多福.如图所示的葫芦摆件从上到下可近似看作由一个圆柱与两个完整的球组成的几何体，若上､中､下三个几何体的高度之比为3:3:4，且总高度为20cm ，则下面球的体积与上面球的体积之差约为（ ）()π3≈A.31184cmB.3364cmC.3256cmD.3148cm 4.已知π5,π,sin 213θθ∈=，则tan 2θ=（ ）A.132 B.5 C.125 D.5125.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S S =，则15S =（ ） A.2 B.1 C.0 D.1−6.已知函数()()21f x x bx b =−+∈R ，若()n a f n =，则“2b ”是“{}n a 是递增数列”的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件7.已知正三棱锥P ABC −中，,,PA PB PC 两两垂直，2PA =，点Q 满足[],0,1AQ AB AC λµλ=+∈ ，[]0,1µ∈，且PQ =，则cos APQ ∠的取值范围是（ ）A.B.12 −C.D.12 − 8.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()11f =，且()()()(),1,313xx f x f x f x f x x ∀∈+++++R ，则()100f =（ ）A.1650B.1651C.651D.676二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数()()3i z a a a =+−∈R 在复平面内对应的点在直线20x y +=上，则（ ）A.2(i)z −是纯虚数B.zz =C.112iz=− D.1i z >− 10.已知函数()()sin 0f x x ωω=>，则下列命题正确的是（ ） A.若()f x 在ππ,36 −上单调递增，则ω的取值范围是30,2B.若()f x 在π0,2上恰有3个零点，则ω的取值范围是()6,8 C.若()f x 在3π0,4上的值域为[]1,1−，则ω的取值范围是[)2,∞+ D.若()f x 在π0,3上有最大值，没有最小值，则ω的取值范围是39,2211.已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()()1,,,222x y x y x y f x f y f f f x +−∀∈+=R 不恒为0，()f x ′为()f x 的导函数，则（ ） A.()04f = B.()f x 为偶函数 C.()()()12112f f f =′′ D.()()2122f x f x = 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 与平面α交于点,A l 上的不同两点,M N 在α上的射影分别为,M N ′′，若MN M N =′′，则l 与α所成角的大小为__________. 13.近年来，直播带货成为一种新的营销模式，成为电商行业的新增长点.某直播平台第一年初的启动资金为600万元，当年要再投入年初平台上的资金的30%作为运营资金，每年年底扣除当年的运营成本a 万元（假设每年的运营成本相同），将剩余资金继续投入直播平台，要使在第4年年底扣除运营成本后资金不低于1500万元，则每年的运营成本应不高于__________万元.（结果精确到0.01万元，参考数据：41.3 2.8561=）14.已知()f x 是R 上的偶函数，()f x ′为()f x 的导函数，()()0,1x xf x f x ′∀+> .若0x ∀>，()()ln ln ln f x x axf ax x ax −<−a 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥,2,,CD AB CD BD AC E F =∩=为棱PC 上一点，且2PF FC =.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）著2BC DC ==，求ABE 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积. 16.（本小题满分15分）已知函数()()3f x x x a a =++∈R 及点()1,0P .（1）若点P 在()f x 的图象上，求曲线()y f x =在点P 处的切线的方程； （2）若过点P 与()f x 的图象相切的直线恰有2条，求a 的值. 17.（本小题满分15分）如图，在五棱台11111ABCDE A B C D E −中，1EE ⊥平面1,2,ABCDE EE EA ED EA AB ===⊥，11π,4,,26ED DC EB EC BEC AB A B ∠⊥====.（1）求证：1DE AA ⊥；（2）求平面11ABB A 与平面1AD E 夹角的余弦值. 18.（本小题满分17分）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为π,,,sin cos 6a b c a B b A=−. （1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，求232sin cos2C BB −+的最大值； （3）利用两角和与差的正弦余弦公式可以推得公式：()()1sin sin 2cossin,sin sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβ+− −==−−+，这些公式在三角式的化简中有重要作用.若c b −等于边BC 上的高h ，求sin 2C B−的值. 19.（本小题满分17分）若无穷数列{}{},n n a b 的各项均为整数，且满足{}**,i j a b i j ⊆+∈N N∣，则称{}{},nna b 是“和谐数列”.（1）若123,2n n n a n b −=−=，求证：{}{},n n a b 是“和谐数列”；（2）若{}(1),nn n a b −是等比数列，求证：{}{},n n a b 不是“和谐数列”；（3）若{}0,1,0,1,2,,2i x i n ∈=，将2422024222222ini n x x x x x ++++++ 的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列{}n a ；将3211321222n n x x x −−+++ 的所有不同的值按照从小到大排列，构成数列{}n b ，求证：{}{},n n a b 是“和谐数列”.高三数学参考答案､提示及评分细则1.A 由题意得230m −−×=，所以6m =−.故选A.2.B {}2A xax b =+==R ∣，即关于x 的方程2ax b =−的解是任意实数，则0,20,a b = −=所以0,2,a b == 所以2a b +=.故选B.3.D 由葫芦摆件总高度为20cm ，可得两个球的直径分别为6cm,8cm ，故它们的半径分别为3cm,4cm ，所以下面球的体积与上面球的体积之差为()()3333344π43343148cm 33×−≈××−=.故选D. 4.B 因为π5,π,sin 213θθ ∈=，所以12cos 13θ=−，所以2sin 2sin cos sin 222tan521cos cos 2cos 22θθθθθθθθ====+.故选B. 5.C 法1：因为510S S =，所以1056789100S S a a a a a −=++++=，又{}n a 为等差数列，所以6107982a a a a a +=+=，所以850a =，即80a =，所以()115158151502a a S a +===.故选C. 法2：因为51051510,,S S S S S −−成等差数列，所以()()515101052S S S S S +−=−，因为510S S =，所以150S =.故选C.法3：设{}n a 的公差为d ，因为510S S =，所以115410951022a d a d ××+=+，整理得170a d +=，所以()151115141515702S a d a d ×=+=+=.故选C. 6.B {}n a 为递增数列“2b ”是“3b <”的充分不必要条件，故“2b ”是“{}n a 是递增数列”的充分不必要条件.故选B.7.A 设ABC 的中心为O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABC ，易求得PO =，由题意知点Q 在以,AB AC 为两邻边的平行四边形内（包括边界），连接OQ ，因为PQ =，则OQ ===，所以点Q 的轨迹是以O 为半径的圆（ABC 的内222633AQ AQ − .又2222,2PA PQ AQ PA PQAPQ PA PQ ∠+−====⋅，所以cos APQ ∠的取值范围是.故选A.8.B 因为()()13xf x f x ++，所以()()13x f x f x +− ，所以()()()()1221,3233x x f x f x f x f x +++−++−+，以上三个式子相加，得()()31f x f x x +−+ ，又()()31f x f x x +++ ，即()()31f x f x x +−+ ，所以()()31f x f x x +−=+，所以()()()()()()()()412,745,1078,,9794f f f f f f f f −=−=−=−= 95，()()1009798f f −=，以上式子相加，得()()333210012589598332316502f f ×−=+++++=×+×= ，又()11f =，所以()1001651f =.故选B.9.AC ()()3i z a a a =+−∈R 在复平面内对应的点为(),3a a −，由题意得()230,2a a a +−==，所以2i,2i z z =−=+，所以222i(i)(22i)8i,5,112i 12iz z zz −−=−=−===−−，故B 错误，A ，C 正确；两个虚数不能比较大小，故D 错误.故选AC. 10.ACD 对于A ，当ππ,36x∈−时，ππ,36x ωωω ∈− ，又()f x 在ππ,36 −上单调递增，所以ππ,32ππ,62ωω −− 可得302ω< ，故A 正确；对于B ，当π0,2x ∈ 时，π0,2x ωω ∈ .若()f x 在π0,2上恰有3个零点，则π3π4π2ω<，所以68ω< ，故B 错误；对于C ，由题意得3π3π42ω ，即2ω ，故C 正确；对于D ，由题意得ππ3π232ω< ，解得3922ω< ，故D 正确.故选ACD. 11.ABC 因为()()1,,222x y x y x y f x f y f f +−∀∈+=R ，令y x =，得()()()1202f x f x f =，因为(f 不恒为0，所以()04f =，故A 正确；令y x =−，得()()()()102f x f x f f x +−=，所以()()f x f x −=，故()f x 为偶函数，故B 正确；由()()21242f x f x +=，得()()()22f x f x f x ⋅=′′，令1x =，得()()()12112f f f =′′，故C 正确；令y =0，得()()21022x f x f f+=，所以()()21242f x f x +=，故D 错误.故选ABC. 12.π6若,M N 在α的同侧，如图所示，过M 作MB ∥AN ′交NN ′于点B ，则NMB ∠等于l 与α所成的角，易证MB M N =′′，所以cos MB M N NMBMN MN∠=′==′π0,2NMB ∠ ∈ ，所以π6NMB ∠=，即l 与α所成角的大小为π6.若,M N 在α的两侧，通过平移可转化为在同侧的情形，结果与上面情况一致，故l 与平面α所成角的大小为π6.13.34.53 记n a 为第n 年年底扣除运营成本后直播平台的资金，由题意知1 1.3n n a a a +=−，所以()()223123600 1.3,600 1.3 1.3600 1.3 1.3,600 1.31.3 1.3600 1.3a a a a a a a a a a a =×−=×−×−=×−−=×−−×−=×，以此类推，11 1.3600 1.3 1.3 1.3600 1.31 1.3nnn nn a a a a a −−=×−−−−=×−− ，所以4441 1.3600 1.31 1.3a a −=×−− 1500，解得34.53a ，即每年的运营成本应不高于34.53万元，才能使得直播平台在第4年年底扣除运营成本后资金达到1500万元.14.1,e ∞ +令()()F x xf x x =−，则()()()1F x f x xf x =+′−′，因为对()()0,1x xf x f x ′∀+> ，所以()0,0x F x ′∀> ，所以()F x 在[)0,∞+上单调递增，又()f x 为R 上的偶函数，所以()()()(F x xf x x F x −=−−−−=−，所以()F x 为R 上的奇函数，所以()F x 在R 上单调递增.()()ln ln ln f x x axf ax x ax −<−可化为()()ln ln ln f x x x axf ax ax −<−，即()()ln F x F ax <，所以ln x ax <在()0,∞+上恒成立，所以ln x a x >，令()ln x g x x =，则()21ln xg x x−=′，当()0,e x ∈时，()0g x ′>，当()e,x ∞∈+时，()0g x ′<，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以()max 1()e e g x g ==，所以1ea >. 15.（1）证明：因为AB ∥,2CD AB CD =，所以12CECD AE AB ==， 连接EF ，因为2PF FC =，所以12FC CE PF AE==，所以EF ∥PA ， 因为EF ⊂平面,BDF PA ⊄平面BDF ， 所以PA ∥平面BDF .（2）解：因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，所以CBA DAB ∠∠=.又,BC AD AB BA ==，所以CBA DAB ≌，所以AC BD =. 又22,33AEAC BE BD ==，所以AE BE =. 在平面ABCD 中，作,CM AB EN AB ⊥⊥，垂足分别为,M N ，则CM CM ∥EN ，又23AE AC =，从而23EN AE CM AC ==，所以23EN CM==.所以ABE 绕直线AB 2的圆锥的侧面积之和，故所得几何体的表面积为16π2π3×=.16.解：（1）因为点P 在()f x 的图象上，所以()10f =，又()231f x x =+′，所以()14f ′=， 所以曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()41y x =−，即440x y −−=. （2）设过点P 的直线与()f x 的图象切于点()3,Q t t t a ++，则切线PQ 的斜率()231k f t t ′==+，所以PQ 的方程为()()3231y t t a tx t −−−=+−，将点()1,0P 的坐标代入得32231t t a −−=， 因为过点P 与()f x 的图象相切的直线恰有2条， 所以关于t 的方程32231t t a −−=有两个不等的实根.设()32231g t t t =−−，则()266g t t t =−′， 令()2660g t t t =−>′，得0t <，或1t >；令()2660g t t t =−<′，得01t <<，所以()g t 在()(),0,1,∞∞−+上单调递增，在()0,1上单调递减.因为方程32231t t a −−=有两个不等实根，则()01a g ==−，或()12a g ==−， 即a 的值为2−或1−.17.（1）证明：因为1EE ⊥平面,ABCDE DE ⊂平面ABCDE ， 所以1EE DE ⊥.在Rt EAB 中，cos EA AEB EB ∠==，所以π6AEB ∠=.同理，可得π6CED ∠=. 又π6BEC ∠=，所以ππ362AED AEB BEC CED ∠∠∠∠=++=×=，所以DE AE ⊥. 又1,DE EE AE ⊥⊂平面111,AEE A EE ⊂平面111,AEE A AE EE E ∩=， 所以DE ⊥平面11AEE A ， 又1AA ⊂平面11AEE A ， 所以1DE AA ⊥.（2）解：由（1）知，1,,EA ED EE 两两垂直，以E 为原点，直线1,,EA ED EE 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）可得EA ∥,2CD AB =.因为112AB A B =，所以112DE D E =，所以11D E =，所以()()())()110,0,0,,2,0,2,2E A B A D ，()()()()110,2,0,2,2,AB AA ED EA = . 设平面11ABB A 的一个法向量为()111,,n x y z = ，则10,0,n AB n AA ⋅=⋅=即11120,20.y z =+=令12x =，解得110,y z ==(n =.设平面1AD E 的一个法向量为()222,,m x y z = ，则10,0,m ED m EA ⋅= ⋅=即22220,0.z +== 令22y =，解得220,x z ==(0,2,m =， 设平面11ABB A 与平面1AD E 的夹角为θ，则3cos 7n m n mθ⋅==， 所以平面11ABB A 与平面1AD E 夹角的余弦值为37. 18.解：（1）由πsin cos 6a B b A=− 及正弦定理，得1sin sin sin sin 2A B B A A =+， 因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以1sin sin2A A A =+， 化简，得sin A A =，所以tan A =又()0,πA ∈，所以π3A =. （2）由（1）知π3A =，所以2π3C B =−， 所以22π43π32sin cos 1cos2cos 1cos2cos 2223BC B B B B B −− +=−+=−+−11π1cos2cos21cos2sin 21226B B B B B B=−+=+−=−+， 因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32B B<<<−< 所以ππ,62B∈，所以ππ5π2,666B −∈， 所以当ππ262B −=，即π3B =时，232sin cos 2C B B −+取得最大值，且最大值为2.（3）由（1）知π3A =，则11sin 22bc A ah =， 又c b h −=，所以()sinbc A a c b =−， 由正弦定理，得()sin sin sin sin sin sin B C A A C B =−，即sin sin sin sin C B B C −=，又πsin sin 2cos 2cos sin sin 2222C B A C B C BC B +−−−−===，()()221113sin sin cos cos 12sin sin 222242C B C B C B C B C B −− =−−+=−+=−， 所以23sinsin 242C B C B −−=−，解得1sin22C B −=或3sin 22C B −=−（舍）， 所以1sin22C B −=. 19.证明：（1）当n 为正奇数时，设()*21n k k =−∈N ，因为{}*221232,k i j k k a b a b i j −=−+=+∈+∈N ∣，所以{}*,i j n a b i j ∈+∈N∣；当n 为正偶数时，设2n k =，因为{}*112211,k i j k k a b a b i j +=−+=+∈+∈N ∣，所以{}*,i j n a b i j ∈+∈N∣.综上所述，{}**,,i j n n a b i j ∀∈∈+∈N N ∣，所以{}**,i j a b i j ⊆+∈N N∣，即{}{},nna b 是“和谐数列”.（2）因为(1)nn a −，所以2211,1n n a a −==−.假设{}{},n n a b 是“和谐数列”，则存在*11,i j ∈N ，使得111i j a b +=. 因为{}n b 是等比数列，所以10j b ≠，从而11i a ≠，所以111,2i j a b =−=. 因为存在*22,i j ∈N ，使得222i j a b +=，又21i a =或1−， 所以21j b =或3.若21j b =，因为12j b =，且{}n b 是等比数列且各项均为整数，则121,2b b ==， 所以公比为2，故12n n b −=，显然{}*4,i j a b i j ∉+∈N∣，与假设矛盾；若23j b =，因为12j b =，且{}n b 是等比数列且各项均为整数，则2，3为{}n b 中的相邻两项，其公比为32， 所以11112233392,22222n j n j n j j b b b −−+ ==×=×=不是整数，所以{}n b 中存在不是整数的项，与题意不符.综上，{}{},n n a b 不是“和谐数列”.（3）对任意*m ∈N ，必存在k ∈N ，使得122k k m +< ，因为{}0,1,0,1,2,,1i x i k ∈=− ，则1121222k k k x x x −−++++ 中最大的值为11122221k k k −+++++=− ，最小的值是2k ，共2k 个不同的值，所以112222k k k x x x −++++ 可以取到12,21k k + − 中的所有整数.因为122k k m +< ，对每一个m ，存在唯一一组{}0,1,0,1,2,,1i x i k ∈=− ， 使得1011222k k k m x x x −−=++++ .若k 为偶数，令1k x =，则()()2231022131222222k k k k k k m xx x x x x x −−−−=++++++++ ，其中22022222k k k x x x −−++++ 为{}n a 中一项，设为31131,222k i k a x x x −−+++ 为{}n b 中一项，设为j b ，所以*,,i j m a b i j =+∈N ；若k 为奇数，令1k x =，则()()2132021132222222k k k k k k m xx x x x x x −−−−=++++++++ ，其中2102122k k x x x −−+++ 为{}n a 中一项，设为313,222k i k a x x x +++⋅ 为{}n b 中一项，设为i b ，所以*,,i j m a b i j =+∈N ，综上所述，对{}**,,i j m m a b i j ∀∈∈+∈N N ∣，所以{}{}{}**,,,i j nna b i j a b ⊆+∈N N∣是“和谐数列”.。