创新大课堂2018届高三数学文一轮复习课件：选修4-1 几何证明选讲 2节 精品

答案： 2
x＝t－3， 3．(2016·株洲模拟)已知直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝ 3t (t 为参数)。以直角坐标系 xOy 中的原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ＋3＝0，则圆心 C 到直线 l 的距离为________。
x＝t＋2，
分别为 l：y＝1－s (s 为参数)和 C：y＝t2
(t 为参数)，若 l 与 C 相交于
A，B 两点，则|AB|＝________。
解析：直线 l 的普通方程为 x＋y＝2，曲线 C 的普通方程为 y＝(x－2)2(y≥0)， 联立两方程得 x2－3x＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|＝ 2。
微知识❷ 直线的参数方程 过定点 P0(x0，y0)且倾斜角为
α
的直线的参数方程为
xy＝＝xy00＋＋ttcsionsαα，
(t
为参数)，则参数 t 的几何意义是 有向线段 P0P 的数量
。
微知识❸ 圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为 r，以圆心为顶点且与 x 轴同向的射线，按逆时
针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的圆的参数方程为
解析：记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 θ＝4π转化为直角坐标方程为 y＝x(x≥0)， 曲线为 y＝(x－2)2，联立上述两个方程得 x2－5x＋4＝0，所以 x1＋x2＝5，故线 段 AB 的中点坐标为52，52。
答案：25，25
x＝t， 5．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为y＝t＋1 (参数 t∈R)， 圆 C 的参数方程为yx＝＝scionsθθ＋1， (参数 θ∈[0,2π))，则圆心 C 到直线 l 的距离 是__________。

归纳升华 1．相似三角形判定定理的选择． (1)已知有一角相等时，可选择判定定理 1 与判定定 理 2. (2)已知有两边对应成比例时，可选择判定定理 2 与 判定定理 3.
2．判定两个直角三角形相似的方法． (1)使用一般三角形相似的判定方法证明． (2)两个直角三角形已经具备直角对应相等，只要再 证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可 以证明这两个直角三角形相似．
证明：因为∠BAC＝90°，M 是 BC 的中点，
所以 AM＝CM，所以∠MAC＝∠C.
因为 EM⊥BC，所以∠E＋∠C＝90°.
又因为∠BAM＋∠MAC＝90°， 所以∠E＝∠BAM. 因为∠EMA＝∠AMD， 所以△AMD∽△EMA. 所以DAMM＝EAMM，所以 AM2＝DM·EM.
判定两个三角形相似的方法： 1．定义法．即对应边成比例、对应角相等的三角形 是相似三角形． 2．平行法．即平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．利用判定定理． (1)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似．
解析：A.因为32..58＝54＝12.6， 且夹角都是 90°. 所以两个直角三角形相似． B．由勾股定理可求得，两个直角三角形的斜边分别 为 （2 5）2－42＝2 和 （ 5）2－22＝1，
因为42＝21且夹角都是 90°， 所以两直角三角形相似． C．设有明确所给的三角形的两边是直角边还是斜 边，不能确定对应边，故 C 不正确． D．两个等腰直角三角形有两个角都是 45°，两个对 应角相等． 答案：C
[迁移探究 2] (变换条件、改变问法)典例 1 中“D 是 BC 边的中点，DE⊥BC”的条件删去，改为“CD＝ CF 且AADF＝BCDF”．试证明：△ADB∽△AFC.

π
(2)由 BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE 是公共 边， 得 Rt△BCE≌Rt△BFE，所以 BC＝BF. 类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得 AD＝AF. 又在 Rt△AEB 中，EF⊥AB， 故 EF2＝AF· BF，所以 EF2＝AD· BC.
2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD ＝3，则 EC＝________．
解析：在 Rt△ADB 中， DB＝ AB2－AD2＝ 7， 依题意得，△ADB∽△ACE， DB AD ∴EC ＝ AC， DB·AC 可得 EC＝ AD ＝2 7.
答案：2 7
3．如图，∠C＝90°，∠A＝30°，E 是 AB 中点，DE ⊥AB 于 E，则△ADE 与△ABC 的相似比是________．
【例 1】 如图，已知 D 为△ABC 中 AC 边的中点，AE ∥BC， ED 交 AB 于 G， 交 BC 延长线于 F， 若 BG∶GA＝3∶1， BC＝8，求 AE 的长．
【解】
因为 AE∥BC，D 为 AC 的中点，
AE AG 1 所以 AE＝CF，BF＝BG＝3. 设 AE＝x，又 BC＝8， 1 x 所以 ＝3，3x＝x＋8， x＋8 所以 x＝4.所以 AE＝4.
答案 两直角边 斜边 斜边 AD· BD∠ACB＝90 °， CD⊥AB 于点 D， AD＝4， sin∠ACD 4 ＝5， 则 CD＝________， BC＝________．
AD 4 解析：在 Rt△ADC 中，AD＝4，sin∠ACD＝ AC＝ ， 5 得 AC＝5，CD＝ AC2－AD2＝3，
【小结归纳】 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先 要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线 段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用． (2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相 等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪 一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中点.

2018年全国各地高考数学真题分章节分类汇编第20部分:选修系列---（选修4-1：几何证明选讲）一、填空题：1．（2018年高考天津卷文科11）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。

若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为 。

【答案】13【解析】因为ABCD 四点共圆，所以∠DAB =∠PCB ，∠CDA=∠PBC ，因为∠P 为公共角，所以PBC ∆∽PAB ∆，所以PB PD =PC PA =BC AD ，所以BC AD =PB PD =13。

【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。

2．（2018年高考广东卷文科14）（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB,CB AB ⊥,AB=AD=a ,CD=2a , 点E,F 分别为线段AB,AD 的中点，则EF= 。

【答案】2a 解：连结DE ，可知AED ∆为直角三角形。

则EF 是DEA Rt ∆斜边上的中线，等于斜边的一半，为2a . 3．（2018年高考陕西卷文科15）（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝ cm. 【答案】165cm二、解答题：1．（2018年高考辽宁卷文科22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点.E（Ⅰ）证明：ABE ∆∽△ADC ;（Ⅱ）若ABC ∆的面积12S AD AE =⋅，求BAC ∠的大小. 证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD .因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，所以∠AEB ＝∠ACD .故△ABE ∽△ADC .（Ⅱ）因为△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC=，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC ＝AD ·AE .则sin ∠BAC ＝1，又∠BAC 为三角形内角，所以∠BAC ＝90°.2(2018年高考宁夏卷文科22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE ∠=BCD ∠。