11.5(4)几何证明举例

数学认识几何证明几何证明是数学中的重要部分，它要求我们通过逻辑推理和严密推导来证明或解释几何定理。

在进行几何证明时，我们需要正确运用已知的几何定理、公理和性质，以及运用数学推理方法，如演绎推理和归纳推理等。

本文将介绍几何证明的基本概念和常见的证明方法，并结合实例进行说明。

一、几何证明的基本概念几何证明是指通过推理和演绎，用严格的逻辑方法陈述和证明几何命题。

在几何证明中，我们需要合理组织思路，运用相关几何性质和已知定理来推导结论，以达到严密合理的证明目的。

几何证明的基本要素包括：1.已知条件：即已知的几何信息或性质，作为推导的起点。

2.目标结论：即需要证明的几何命题或结论。

3.推导步骤：通过逻辑推理和演绎，运用已知条件和几何性质，推导出目标结论的过程。

4.证明过程：将推导步骤用文字和符号进行详细陈述，使得逻辑关系清晰、推理合理。

在进行几何证明时，我们需要注意以下几点：1.从已知条件出发，逐步推导，每一步都要经过严密的推理。

2.不要跳过关键的步骤，任何一步都不能省略。

3.使用几何术语和符号，确保表述准确清晰。

4.用图示辅助，以便更好地理解和展示证明过程。

5.对于不同的几何证明，可以选择合适的证明方法，如直接证明法、间接证明法和反证法等。

二、几何证明的常见方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，它通过从已知条件出发，一步步推导出目标结论。

这种证明方法严谨明确，逻辑性强。

在进行直接证明时，我们需要根据已知条件和几何性质，运用相关的推理方法，逐步推导出目标结论。

例如，下面是一个直接证明的例子：已知：AB ⊥ BC，∠ABC = 90°证明：AB² + BC² = AC²证明过程：1.连接AC，并延长AB到D；2.∵ AB ⊥ BC，∠ABC = 90°∴△ABC 和△ACD 相似（正弦定理）；3.设 AB = a，BC = b，AC = c；∴ AD = a + b；4.∵△ABC 和△ACD 相似∴ AB/AC = BC/AC = BC/AD = a/c = b/(a + b)；5.∴ a/c = b/(a + b)；∴ a（a + b）= bc；6.∴ a² + ab = bc；7.∴ a² + 2ab + b² = bc + 2ab + b²；∴ (a + b)² = AC²；8.∴ AB² + BC² = AC²；∴命题得证。

初一常用几何证明的定理总结对顶角相等：几何语言：∵∠1、∠2是对顶角∴∠1＝∠2（对顶角相等）垂线：几何语言：正用反用：∵∠AOB＝90°∵AB⊥CD∴AB⊥CD（垂直的定义）∴∠AOB＝90°（垂直的定义）证明线平行的方法：1、平行公理如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。

简述为：平行于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：如图：∵AB∥EF，CD∥EF∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行。

）2、同位角相等，两直线平行。

几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截∠1＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行。

）3、内错角相等，两直线平行。

几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行。

）4、同旁内角互补，两直线平行。

几何语言叙述：如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180O∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。

）5、垂直于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：如图：∵直线a⊥c，b⊥c∴a∥b（垂直于同一直线的两直线平行。

）平行线的性质：1、两直线平行，同位角相等。

几何语言叙述：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等。

）2、两直线平行，内错角相等。

几何语言叙述：如图：∵AB∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等。

）3、两直线平行，同旁内角互补。

几何语言叙述：如图：∵AB∥CD∴∠1+∠2＝180O（两直线平行，同旁内角互补。

）证明角相等的其余常用方法：1、余角的性质：同角或等角的余角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOC＝90°∠BOC＋∠COD＝90°∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）2、补角的性质：同角或等角的补角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOD＝180°，∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC∴∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）三角形中三种重要线段：1、三角形的角平分线：几何语言叙述：∵如图BD是△ABC的角平分线∴∠ABD＝∠CBD=12∠ABC2、三角形的中线：几何语言叙述：∵如图BD 是△ABC 的中线 ∴AD ＝BD ＝12AB3、三角形的高线：几何语言叙述：∵如图AD 是△ABC 的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°三角形的分类： ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形（按边分）底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形（按角分）锐角三角形斜三角形钝角三角形三角形三边的关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

青岛-泰山版八年级数学11.5 几何证明举例（第一课时）导学提纲【知识链接】1. 回顾全等三角形的四种判定方法2. 复习几何证明的过程的三个步骤【学习目标】1. 证明并掌握定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等2. 知道证明要合乎逻辑，学会综合法证明的格式3. 经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维4. 在探究几何证明的过程中,教师引导学生,以观察思考、动手画图、小组讨论、合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的团结协作精神【学习重点】理解、掌握证明的方法及三角形全等的条件，培养学生探索问题的能力【学习难点】探究出几何证明的条件以及它们的应用，掌握探索问题的方法【教学过程】一、创设情境，导入新课(千里之行，始于足下，相信自己，你能行！)1.出示图片,回忆前面学过的全等三角形如图，已知△ABC ≌△A，3. 教师展示三角形纸片,提出问题: 你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?二、交流提升例1. 已知：如图，AB 和CD 相交于点O,OA=OD,OC=OB.求证：△OAC ≌△ODB跟踪练习：课本P 131页练习1 三、探索发现（海阔凭鱼跃，天高任鸟飞）求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

B归纳总结（及时总结才能收获更多）:证明一个几何命题的基本步骤是跟踪练习：求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.四、课堂小结:（学会反思才会提高）通过这节课的学习,你有哪些收获?说出来与大家分享，你还有什么困惑?检测站:1．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．2．已知：如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个．．条件，•使图中存在全等三角形，所添条件为________．你得到的一对全等三角形是△_______≌△________．3．如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C，求证：AE=CF．（说明：证明过程中要写出每步的证明依据）．4．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•要求写出已知，求证及证明过程）解题感想：。

几何证明的方法与技巧几何证明是数学中的重要部分，它要求我们运用几何知识和推理能力来论证、解释和证明一些几何命题。

在几何证明的过程中，方法与技巧起到了至关重要的作用。

本文将介绍一些常用的几何证明方法与技巧，帮助读者提升解题能力。

一、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它通常用于证明具有递归关系的命题。

在几何证明中，数学归纳法同样适用。

例如，当我们需要证明一个关于三角形的性质对于所有三角形都成立时，可以采用数学归纳法。

首先，证明当三角形是某个基本形状（如等边三角形）时，该性质成立；然后，假设该性质对于一个具有n条边的三角形成立，再利用该性质证明对于一个具有n+1条边的三角形也成立。

通过这种逐步推理的方式，我们可以得出结论。

二、反证法反证法是一种常用的证明方法，在几何证明中也经常使用。

当我们需要证明一个命题时，可以先假设反命题成立，然后经过推理得出一个矛盾的结论，从而证明原命题成立。

在几何证明中，反证法可以用于证明两个线段不相等、两个角度不相等等情况。

通过推理可以得出，如果反命题成立，则会导致矛盾，从而证明原命题成立。

三、等价命题等价命题是一种常用的证明方法，它将一个需证明的命题转化为一个已知的等价命题，从而简化证明过程。

在几何证明中，等价命题常常用于证明两个图形的相似性或等量性。

通过找到两个图形之间的对应关系，并利用已知的几何性质证明它们之间的相似性或等量性，可以简化证明过程，提高解题效率。

四、引理法引理法是一种通过引入辅助命题来解决主命题的证明方法。

在几何证明中，我们经常会遇到一些复杂的命题，难以直接证明。

这时，可以通过引入一个辅助命题来推导主命题的证明。

辅助命题通常是一个中间结论，与主命题有关，但相对容易证明。

通过先证明这个辅助命题，再利用它来证明主命题，可以简化证明过程。

五、辅助线法辅助线法是一种通过引入辅助线来辅助证明的方法，常用于几何证明中。

当我们在几何证明过程中遇到复杂的图形时，往往可以通过引入一条或多条辅助线来得到更简单的结构，从而更容易进行推导和证明。

中学数学中的几何证明技巧几何证明是中学数学中的重要部分，是学生培养逻辑思维和推理能力的关键内容之一。

通过几何证明，学生可以掌握几何基本概念与性质，培养几何思维和逻辑推理的能力。

下面将介绍一些中学数学中常用的几何证明技巧。

一、直角三角形的证明证明一个三角形为直角三角形时，我们可以利用勾股定理或相似三角形的性质进行证明。

勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边平方的和。

如果需要证明一个三角形为直角三角形，我们可以利用已知的三边长或三角形内的角度关系，利用勾股定理进行推导。

另一种方法是利用相似三角形的性质，通过已知的比例关系判断是否为直角三角形。

二、等腰三角形的证明证明一个三角形为等腰三角形时，可以利用等腰三角形的性质进行推导。

等腰三角形是指两边相等的三角形。

当我们需要证明一个三角形为等腰三角形时，我们可以通过对称性、垂直平分线或边角关系进行证明。

例如，当一条边或一组相对边相等时，可以通过中垂线的垂直性质进行推导；当我们已知两边相等时，可以利用对称性证明。

三、全等三角形的证明证明两个三角形全等时，我们可以利用三边对应相等、两边一角相等、两角一边相等的全等条件进行推导。

例如，当我们已知三边相等时，可以直接应用全等条件；当我们已知两边和夹角相等时，可以利用夹角边相等进行推导。

此外，我们还可以利用全等三角形的性质，如一一对应、对称性、重合性等进行证明。

四、平行线的证明证明两条线平行时，我们可以利用平行线的性质进行推导。

平行线是指在同一个平面内永远不相交的线。

当我们需要证明两条线平行时，我们可以利用平行线的定义或平行线的性质进行推导。

例如，当两条线被同一组平行线截断时，可以利用等割性质证明；当两条线分别与一组平行线相交时，可以利用同位角或内外角性质推导。

五、直角平分线的证明证明一条线为直角平分线时，我们可以利用直角平分线的性质推导。

直角平分线是指平分一角并且垂直于边的线段。

当我们需要证明一条线为直角平分线时，我们可以利用垂直线的性质，如两条线段互相垂直，可以通过角度的推导证明直角平分线。

几何证明的基本推证方法一、综合法从已知条件出发，以公理、定理为依据，进行推理、论证。

直至导出所需求证的结论。

例1、AB为⊙O直径，AC为弦，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，延长AC、BD，交于E，求证：AB=BE思考方法：由CD是⊙O切线可知，CD与过C点的半径垂直，则有半径平行BD，产生同位角相等。

例2、已知：如图，BE ABEF AC=,求证：△CDF是等腰三角形思考方法：由比例式BE ABEF AC=可想到作平行线，导出所要求证的结论例3、已知：圆内接四边形对角线交于P，且AC⊥BD,PE⊥AD交BC于F，求证：F 为BC边的中点思考方法：由垂线可证∠1＝∠2，推出∠3＝∠4，由等角证等边，可达目的二、分析法欲证此结论，须有何条件，再需有什么新条件，如此一步步以公理、定理为依据，进行探求，直至导出题目中所给定的条件，倒推回去，即是证明的叙述过程。

例1、已知AD为△ABC的角平分线，E为BC上任意一点，EG∥AD交AB、AC（或延长线）于F、G，求证BE BFEC CG例2、已知：△ABC内接于⊙O，AE为⊙O直径，AD⊥BC于D，求证：∠BAE=∠CAD三、综合分析法即综合法与分析法兼而有之，因为综合法由已知可以导出的结论有时很多，怎样选择，要由分析法所导出的需求条件进行取舍，这样取各法之长，思路更为快捷。

例1、⊙O与⊙O′交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，PA、PB分别交⊙O′于A′、B′，EF切⊙O于P点，求证：EF∥A′B′例2、已知：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，求证：AC2=BC2+AB•CD例3、⊙O的弦AD与直径AB夹角为300，在AB的延长线上取C，使CD=AD，求证：DC为⊙O的切线四、反证法欲证命题的结论，可从结论的否定出发，经过合理的推理论证，导出与命题的条件或几何中的公理、定理相矛盾的结论，从而说明结论的否定使错误的，而原命题的结论是正确的。

例1、证明：等腰三角形的底角必为锐角。

第11.5章（单元）《几何证明举例（第2课时）》学案设计人: 陈勇审批人: 时间:一、学习目标：1.学生会根据三角形全等推导“HL”定理；2.熟练应用“斜边、直角边”定理。

二、学习过程：（一）情境导入：小明在参加教具制作活动中，发现在制作直角三角板时，甲、乙、丙三位同学将运用三种相同的设计板料，但他们的组装顺序不同（勾-股-弦，股-弦-勾，弦-勾-股），他们制作的直角三角板相同吗，画一画，试一试，说出你的意见？设置这一情景，动手实践与学生的知识积累实际紧密相连且有区别，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的探究意识。

2、合作探究的内容1.问题导读：1.问题导读：1、一个直角三角形的两条直角边与另一个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？画图并证明。

2、一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？（试着写出“已知”“求证”，并证明。

）已知：求证：证明：2.合作交流：求证：到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上已知：求证：3、达标测试题目1、巩固新知：已知：如图，BD、CE是ΔABC的高，且BD=CE.求证：∠BCE=∠CBD2、能力提升：如图，在RtΔABC中，∠A=90°，AB=AC,BD是角平分线，DE⊥BC,点E是垂足，如果BC=10cm，那么ΔDEC的周长是 cm.（四）达标测评：1、选择题：（1）如图所示，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF交于点O，下列结论正确的是（）①△ABE≌ACF ②△BOF≌COE ③Ｏ点在∠BAC的平分线上A. ①B. ②C. ①②D. ①②③（2）下列命题中，错误的是（）A. 两条直角边对应相等两个直角三角形全等B. 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等C. 斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等D. 斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等2、解答题：（3）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

几何证明的基本方法几何证明是数学中的重要内容之一，通过运用逻辑推理和几何定理，来证明几何命题的正确性。

在几何证明中，我们需要掌握几种基本方法，以确保证明的逻辑严密性和正确性。

一、直接证明法直接证明法是最基本的证明方法之一，也是最常用的方法。

它通过构造一系列的命题和逻辑关系，将待证明的命题连接至已知的几何定理或已证明的命题。

具体步骤如下：1.明确待证明的命题：假设待证明的命题为P，即要证明P是正确的。

2.列出已知条件：根据题目给出的已知条件，假设已知条件为Q1，Q2，…，Qn。

3.利用已知条件和几何定理：通过运用已知条件和几何定理，得出一系列的附加命题，并利用这些命题建立逻辑关系，将P与已知条件连接起来。

4.推理得出待证命题：根据附加命题和逻辑关系，通过推理和推导，最终推出P成立，从而完成证明。

二、间接证明法间接证明法是一种通过推理推导出矛盾，从而证明所求结论的方法。

它常用于证明某一几何命题的否定命题。

具体步骤如下：1.假设所证命题为P，即要证明P是错误的。

2.通过推理得出矛盾：在假设P是错误的前提下，进行一系列的推理和推导，最终得出一个矛盾的结论。

3.推理得出待证命题的否定：根据得出的矛盾，可以得出待证命题的否定¬P成立。

4.结论与已知矛盾：由于假设P是错误的，而同时也得出了¬P成立，显然矛盾。

因此，原命题P一定是正确的。

三、反证法反证法是一种通过证明待证命题的否定推导出矛盾，从而证明所求结论的方法。

与间接证明法不同的是，反证法是直接针对待证命题本身进行推理，而不是针对其否定命题。

具体步骤如下：1.假设所证命题为P的否定¬P，即要证明¬P成立。

2.通过推理得出矛盾：在假设¬P成立的前提下，进行一系列的推理和推导，最终得出一个矛盾的结论。

3.推理得出待证命题成立：根据得出的矛盾，可以得出待证命题P是正确的。

4.结论与已知矛盾：由于假设¬P成立，而同时也得出了P是正确的，显然矛盾。