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5.6几何证明举例 PPT

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5.6几何证明举例(1)

5.6几何证明举例(1)

，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再见
2021/6/20
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
2021/6/20
5
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
B(E)
F A
C
O Dபைடு நூலகம்
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
.
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?

几何证明选讲PPT课件

几何证明选讲PPT课件

3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆 O 的切线，切点为 C，点 A、B 在圆 O 上， BC＝1，∠BCD＝30°，则圆 O 的面积为________． 解析 连接 OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝ 60°，又 OB＝OC， 因此△BOC 是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆 O 的半径为 1， 所以圆 O 的面积为 π×12＝π. 答案 π
m
(2)有 EF 使分得的上下两个梯形相似？若有则相似比 n 的值为
多少？
解析（1）法一、由 AE m，设AE=mx,
EB=nx,又 PA
a
EB n
，所以
AB b a
a
PA a PA a(m n)x
mx
(m n)x b a
b a nx
所以
b
PE PB

EF b
②切线的判定定理
过半径外端且与这条半径 垂直 的直线是圆的切线．
(3)切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线长 相等 ．
4．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切 ，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的 一半．
②推论：同弧(或等弧)上的弦切角 相等 ，同弧(或等弧)上的弦 切角与圆周角 相等 ．
割线定 理
(1)求PA、PB、PC、
PA·PB=PC·PD
PD、AB、CD
(2)应用相似求AC、
BD
例题
1．如图所示，△ABC 中，∠C＝90°， AB＝10，AC＝6，以 AC 为直径的圆 与斜边交于点 P，则 BP 长为________． 解析 连接 CP.由推论 2 知∠CPA＝90°，即 CP⊥AB，由射影

《几何证明举例》教案 (公开课获奖)

《几何证明举例》教案 (公开课获奖)

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

《几何证明举例》PPT课件

《几何证明举例》PPT课件

出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结
论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
精选课件ppt
21
等腰三角形的判定方法有下列几 种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
精选课件ppt
C 60
A B C 精6选0课件p（pt 等式的性质 ）
17
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三
角形是等边三角形。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为3_5_°__，3_5__°。
精选课件ppt
2
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步
骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证
明的定理”为依据，证明等
腰三角形的性质定理和判定
定理。
精选课件ppt
3
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
7
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
符号表示：

中考数学专题三 几何证明(共40张PPT)

中考数学专题三 几何证明(共40张PPT)
BG 2 AE1， AFAE， AB 2 BG AB
又∵∠EAF=∠ABG,∴△AEF∽△BAG,
∴∠AEF=∠BAG,
∵∠BAG+∠EAO=90°,∴∠AEF+∠EAO=90°,
∴∠AOE=90°,∴EF⊥AG.
25
(3)过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,如图 所示,则MN⊥AD,MN=AB=4, ∵P是正方形ABCD内一点,S△PAB=S△OAB, ∴点P在线段MN上,当P为MN的中点时,△PAB的周长 最小,此时PA=PB,P1 M= MN=2,
15
(3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分 析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问 题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论 的距离,最后达到证明目的.
16
2.掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本 图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形. 在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往 往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目 的.
32
【自主解答】如图,把△ABE逆时针旋转90°得到
△ADG,
∴BE=GD,AE=AG,
∵∠EAF=45°,ຫໍສະໝຸດ ∴∠FAG=90°-45°=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
在△AEF和△AGF中,
33
AE AG,
E
A
F
FAG，
A F A F,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
即EF=GD+DF,
专题三 几何证明
1
几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养 学生逻辑思维能力有着很大作用.几何证明有两种基本 类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的 位置关系.这两类问题常常可以相互转化,如证明平行 关系可转化为证明角相等或角互补的问题.

2019青岛版八年级数学上册《几何证明举例》参考课件(2)

2019青岛版八年级数学上册《几何证明举例》参考课件(2)
3.如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至E， 使CE=CD．连接DE． （1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？ 为什么？
最新中小学PPT课件资料 14
谢谢！！！
总结
1.等腰三角形的判定方法有下列两种： ①定义，②判定定理 2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 条件和结论刚好相反 3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意 在同一个三角形中
最新中小学PPT课件资料 16
A
求证： AB=AC
• 分析：是不是仍然可以做辅助线将原三角形 分成两个全等的三角形呢?试试看。
最新中小学PPT课件资料
B
8
D
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
符号表示：
在△ABC中， ∵∠B=∠C （已知） ∴ AC=AB（等角对等边）
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？
1.当等腰三角形的一个底角等于600角时
2.当等腰三角形的顶角是600时
最新中小学PPT课件资料 11
例2：已知：在△ABC中， AB=AC，D是AB上的一点， DE ⊥BC，交BC于点E，交 CA的延长线于点F。 求证：AD=AF
分析：从已知出发先由已知AB=AC利 用“等边对等角”推得∠B=∠C ，再 由等角的余角相等推得∠BDE=∠F,进 而得到∠ADF=∠F,最后根据“等角对 等边”推出AD=AF
最新中小学PPT课件资料
A
B
D
C
4
通过证明我们发现 :等腰三角形的两个底角 相等是真命题。可以作为证明其他命题的 依据。
等腰三角形的性质定理1:等腰 三角形的两个底角相等。 符号表示：

全等三角形的判定PPT课件共34张

24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。

几何证明举例(HL)ppt


情境问题2:
如果工作人员只带了一条尺， 能完成这项任务吗？ 工作人员是这样做的，他测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分 对于两个直角三角形，若满足 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 一条直角边和一条斜边对应相等时， 形是全等的”。你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
3. 如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且 AD=AB ， 求证：BC=DC
A
B
D C
4. 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. D 求证：OA=OB. C
O A B
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？ 把这些条件都写出来，并在相应的括号内 填写出判定它们全等的理由。 （1） AD=BC （ HL ） （2） BD=AC （ HL ） （3）∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ） （4）∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ） D A
C B
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ； (2)：SAS ； (3)：ASA ； (4)：AAS ； (5)：HL ；
D
B
C
E
F
想一想
对于一般的三角形“S.S.A”可不可以 证明三角形全等? A
不可以.
B
D
C
但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ?
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。 再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画Rt△A´B´C´ ⑴ 作∠MC´N=90°;
A
∟
B
C N
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. M B´

【最新】中学数学(青岛版)八年级上册课件：5.6几何证明举例(4)

要证明三角形的三条角平分线交 与一点，只要证明两条角平分线 的交点也在第三条角评分线上就 可以了。
东平县初中数学
小试身手
• 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC 的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。 求证：MD＝ME。
东平县初中数学
再试身手
• 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AE平∠DAC， EF⊥BC交AC于F，连接BF. • 求证：BF是∠ABC的平分线. A
东平县初中数学
二、精讲点拨
证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 A 已知：如图,BD是∠ABC的平分 M 线,点P在BD上，PM⊥AB,PN⊥BC, P B D 垂足分别是点M和N.
求证:PM=PN N
C
温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也 可以用符号语言。
东平县初中数学
符号语言
• 角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 PM⊥BA,PN⊥BC标
• 1.掌握并证明角平分线的性质 定理及其逆定理； • 2.会运用角平分线的性质定理 及其逆定理解决有关实际问题。
东平县初中数学
回顾与思考 1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角 的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个 性质是真命题吗？你能用逻辑推 理的方法，证明它的真实性吗？
A
M
P N C
D
东平县初中数学
交流与发现
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？ 它是真命题吗？应如何证明它的真实性?
角的内部到角的两边距离相等的点 A 在这个角的平分线上.
已知:如图,点P是∠ABC内的 一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂 足分别是M与N，且PM=PN B 求证:点P在∠ABC的平分线 上

5.6几何证明举例(3)_青岛版


o 3.已知:ABC中,C=90,A=30 ,BD
4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 证:AD∥BC.
C ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 B∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D 证明:
A
R
P B Q C
o 1.已知:如图,AB=AC,A=30 ,AB的垂直平分线
MN交AC于D,则 1=
o 45
, 2=
.
o 60
A
30o
M
o 30
D 1
o 75
N C
B
2
如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC 于点E、F，则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
A
C
F
E
B
如图，在△ABC中，EF是AC的 垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．
A E B C
F
2.如图，△ABC的边BC的垂直平 分线交AB于点D。若△ABC的周 长为30cm， △ADC的周长为 22cm，求BC的长
D
A
B E
C
自学检测三：
2.如图,在△ABC中, ∠C=2∠A ,DE 垂直平分 AB交AC于D,交AB于E. 求证：AD=BC.
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
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全等三角形对应角的平分线、 对应边上的中线、 对应边上的高、
周长 面积
分别相等
总结：全等三角形有哪些性质
全等三角形的 对应边、对应角相等
全等可 以证明线 段、角相
等
对应高 对应中线 对应角平分线
面积
周长
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
才华初露
• 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF， • 按如图所示的方式叠放，点O为边AC和DF的
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
• A.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ B.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′
• C.AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′ D.AB=A′B′,AC=A′C′,ABC=B′C′
• 2、填空题： （第3题） • （3）（2010年江苏省宿迁市，）如图， B
交点，不重叠的两部分 △AOF与△DOC是否全等？为什么？
B(E)
F A
C
O D
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
5.6几何证明举例
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
.
“ASA”, “ SAS”, “SSS”.
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
已知：如图， △ABC ≌ △A′B′C ′， AD、A′D′分别是 ∠边AB、C∠、A′的B′平C′上分的线中高线 求证： AD=A′D′
AA
BBB
DDDAAA′′ ′ CCC
B′ D′ C′
BB′ ′
DD′ ′ CC′ ′
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
ห้องสมุดไป่ตู้
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
12
C
• 已知∠1＝∠2，
，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.