青岛版初中数学八年级上册5.6几何证明举例

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青岛版八年级数学上册 5.6.5几何证明举例课件

A
E
B
C
D
已知一直角边和斜边作直角三角形
a
c
已知：线段a、c 求作Rt∆ABC使直角边BC=a斜边AB=c
⑴ 作直线DE，在直线DE上任取一点C, 过点C作射CM⊥DE
M
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M B
D
C
E
D
C
E
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线 CE于点A;
M B
⑷ 连接AB.
M B
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中
B
PC
D
∵
{∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF (ASA)
E
Q
F
课堂小结
1、应用斜边直角边（H.L.）公理判定两个三角形全等，要按照公理的条件，准确地找出“对应相等”的边和角；
2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”；
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交
射线C´N于点A´;
C A´ N
⑷ 连接A´B´.
M B´
C´
练习
已知：AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC ,CE=BF, 求证：CD‖AB
C F A
D E
B
1、已知： AB ^ BD , ED ^ BD , C 是 BD 上一点且 AC = EC , AC ^ EC 求证： BD = AB + ED
BD＝CD ∴ △BED≌△CFD(H.L) ∴∠B=∠C ∴AB=AC ∴ △ABC是等腰三角形。
(第 1 题)

2014秋青岛版数学八上5.6《几何证明举例》

每个内角都等于600.
作
业
习题11.5
A组第6题, 第7题，第8题. B组第3题.
再见
第11章
几何证明初步
（第三课时）
交流与发现
回答下面的问题,并于同学交流.
（
）
（
（
）
）
（
（
）
）
等腰三角形的判定定理: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
等腰三角形中的三线合一: 等腰三角形底边上的高是底边上的中线、顶角的平分线.
（（
））
（（（
）））
（
）
交流与探索
逆命题是真命题. 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三角形. 逆命题减少了一个角等于600后,仍然是真命题. 如果一个三角形的两个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三角形.
练
习
小
结
等腰三角形的判定定理: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. 等腰三角形中的三线合一: 等腰三角形底边上的高是底边上的中线、顶角的平分

【青岛版八年级数学上册教案】5.6几何证明举例

5.6 几何证明举例学习目标1．熟练掌握AAS，HL 判判定理，等腰三角形 , 等边三角形性质与判判定理，并会运用这些定理进行证明相关题目；2．经过独立思虑，合作研究，研究出综合法证明几何问题的方法。

3.倾尽全力，达成目标，享受几何证明的多样性之美。

自主研究（一）直角三角形全等的判判定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（ HL 定理）【典型例题】AEFB D C例 1. 已知如图， D是△ ABC的边 BC的中点， DE⊥ AC,DF⊥ AB，垂足分别是点E，F，DE=DF.求证：△ ABC是等腰三角形 .（二）等腰三角形的性质和判断命题一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的均分线重合.已知：求证：证明：命题二：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：求证：证明：（三）角均分线与垂直均分线的性质与判断三角形全等的运用1. 已知，如图， AB=BC,AD=CD,求证：∠ A=∠C.CD BA2. 如图，已知AB=DC，∠ ABC=∠DCB，OE均分∠ BOC交 BC于点 E. 求证： OE垂直均分BC.ADOB E C3.已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，D 是 AB 上一点， DE⊥ BC，垂足是 E，交 CA的延长线于点 F，求证： AD=AF.FADB E C能力提高4. 在△ ABC中， D 为 BC的中点， DE⊥ BC交∠ BAC的均分线 AE于 E,EF⊥AB 于 F，EG⊥ AC交 AC的延长线于点 G，求证： BF=CG.AFD CBGE。

青岛版数学八年级上册几何证明举例课件

5.6 几何证明举例
第4课时
一、预习诊断
下列说法中，错误的是（）。
A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三角形内部
B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三边的距离相等
C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第三个角的平分线上
D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
EF⊥BC交AC于F，连接BF。
求证：BF是∠ABC的平分线。
A
F
B DE
C
图1-34
三、系统总结
1.角平分线的性质定理： • 角平分线上的点到这个角两边的距离
相等。 • 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上。
作用：证明两个角相等或线是角C
交流与发现
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性？
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
A
已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别是M与N，且PM=PN。
求证：点P在∠ABC的平分线上
B
3.符号语言：
角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上且 PM⊥BA，PN⊥BC ∴PM=PN
角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA，PN⊥BC，且 PM=PN
∴点P在∠ABC的平分线上（或BP是∠ABC的平分线）
谢谢
教学目标
1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理； 2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。
回顾与思考
1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个性质是真命题吗？你能用逻辑推理的方法，证明它的真实性吗？

青岛版数学八年级上册5.6 几何证明举例

1典例精析1：阅读课本例1，然后完成以下问题问题：图中有三角形吗? 有全等三角形吗?什么条件可推全等？：求证：证明：证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。

2针对性训练，1.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是〔〕A ．两角和一边B ．两边及夹角C ．三个角D ．三条边2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，点E 、F 分别是BD 、DC 的中点，那么图中全等三角形共有〔〕A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对3.：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

4．：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD四、归纳总结，提升能力五、当堂检测，检查效果1.如以下图，AD ＝BC ，要证明ΔABC ≌ΔBAD,根据“SSS 〞，还需要一个条件，根据“SAS 〞，还需要一个条件。

AC BDE F2．如图，点O 是AB 的中点，AC ∥BD ，那么ΔAOC ≌ΔBOD 的理由是。

3.如图，AB ＝AD ，BE ＝DE ，∠1＝∠2，那么图中全等三角形共有对。

第1题图第2题图第3题图4.：如图，点A 、C 、B 在一条线上，且AC=EC ，DC=BC ，∠ACE=∠DCB,求证：〔1〕 △ACD ≌△ECB 〔2〕 AD=EB5．如图，AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜测线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.6、〔2021广州市，〕如图6，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C 。

求证：BE=CD 。

图6C AB ED教学反思：年级科目八年级数学课题 5.6 几何证明举例〔第2课时〕O D C B A D C B A 21ED C B AA CE DB∵MA=MB 〔垂直平分线的定义〕∴PA=PB ( )☆ 探究二证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

八年级数学上册-第五章-几何证明初步-5.6.3-几何证明举例课件-(新版)青岛版

∴ AC =CE．
B DC
E
∴ AB =AC =CE．
∵ AB =CE，BD =DC，
∴ AB +BD =CD +CE．
即 AB +BD =DE ．
3.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD平分ABC交AC于D. 求证:D点在AB的垂直平分线上.
A
30o
D
证明:
30o
∵ C=90o, A=30o(已知) ∴ ABC=60o(三角形内角和定理) ∵BD平分A BC(已知) ∴ ABD=30o(角平分线的定义)
八年级上册
5.6.3 几何证明举例
M P
A
B
N
性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知）
∴PA=PB （线段垂直平分线上的点和这条线段
两个端点的距离相等。）
证明线段垂直平分线的性质
求证：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
已知：如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，垂足为M，P 是直线CD
M
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
B
D
C
2、如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB+BD与DE 有什么关系？
A
解：∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴ AD 是BC 的垂直平分线，
∴ AB =AC．
∵ 点C 在AE 的垂直平分线上，
A
B
DE
C
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？

青岛版八年级数学上册课件ppt《5.6 几何证明举例》

• 证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。
2、课堂练习
1.如下图，已知AD＝BC，要证明ΔABC≌ΔBAD,根据“SSS”，还需要一个条
件
，根据“SAS”，还需要一个条件
。
2．如图，点O是AB的中点，AC∥BD，则ΔAOC≌ΔBOD的理由是
。
3.如图，AB＝AD，BE＝DE，∠1＝∠2，则图中全等三角形共有对。
第5单元 ·几何证明初步
5.6 几何证明举例
前置练习，积累知识（预习课本P175—P177）
• （1）全等三角形的性质：全等三角形的
相等，
• （2）判定两个三角形全等的方法：
、
、
• 其中
、
、
都已作为基本事实。
• （3）几何证明的过程一般包括三个步骤：
，
相等。
、
，
，
。
回顾与思考
• 1.全等三角形有什么性质？ • 2.全等三角形有哪些判定方法？其中哪几个是基本事实？不是基本事实的应如何进行证明？ • 3.证明命题的步骤是什么？
• 知识点1 “AAS”定理：两角分别相等且其中一组等角的
也相等的三角形全等。
• 知识点2 适当地添加辅助线：例1，通过添加辅助线构造两个
三角形。
• 知识点3全等三角形的性质：对应角平分线，对应中线，对应高。
二、精讲点拨
证明：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等。（根据图形结合题意写出已知求证，给出证明）
添加辅助线构造两个全等三角形，使待证的角或线段分别是两个全等三角形的对应角或对应边。
4.已知：如图，点A、C、B在一条线上，且AC=EC，DC=BC， ∠ACE=∠DCB, 求证：（1） △ACD≌△ECB （2） AD=EB

八年级数学上册 5.6 几何证明举例课件青岛青岛级上册数学课件

解：BD=CD
∵ ∠ADB=∠ADC=90°
AB=AC（已知） AD=AD（公共(gōnggòng)边） ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴BD=CD 12/11/2021
第十六页，共二十页。
归纳小 (guīnà) 结通过(tōngguò)这节课的学习，
你得到了哪些收获？
直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写： HL
12/11/2021
第十七页，共二十页。
课后作业： (zuòyè)
•P188第9题第10题
12/11/2021
第十八页，共二十页。
12/11/2021
第十九页，共二十页。
内容(nèiróng)总结
5.6。做一做。已知线段a,c(a<c)和一个直角α，利用。按照步骤(bùzhòu)做一做：。（3) 以B为圆心,c为半径。简写：“斜边、直角边”或“HL”。∵ AB⊥AC，CD⊥AC。BC=EF,
∠C=∠C´=90°
A B=A´B´ A C= A´C´（ BC= B´C´）
Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
第十页，共二十页。
想一想
到现在为止，你能够用几种(jǐ zhǒnɡ)方法说明两个直角三角形全等？
答：有五种(wǔ zhǒnɡ)：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
12/11/2021
第十一页，共二十页。
知识运用 (zhī shi)
例:如图，已知AB⊥AC，CD⊥AC，AD=CB，问△ABC 与△CDA全等吗?为什么？
解:△ABC ≌ △CDA
∵ AB⊥AC，CD⊥AC
1
2
∴∠1=∠2=90° ∵AD＝CB（已知） AC=CA（公共(gōnggòng)边）

青岛初中数学八上《5.6 几何证明举例

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

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§5.6 几何证明举例（2）
教学目标：
1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：
重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：
电子白板、直尺、圆规、直角三角板
教学过程
一、情境导入、复习回顾
1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？
二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)
（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
法1
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D
∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)
在△BAD与△CAD中
∵AB = AC (已知)
∠BAD = ∠CAD (已证)
AD = AD (公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
法2
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
在△BAD与△CAD中
∵AB = AC (已知)
BD = CD （已证）
AD = AD (公共边)
∴△BAD≌△CAD( SSS )
∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？
证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C
求证：AB=AC
证明：作AD⊥BC,垂足为D
则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，
在△ABD和△ACD中，
∵∠B=∠C (已知)，
∠ADB=∠ADC=90°(已证)
AD=AD (公共边)
∴△ABD≌△ACD (AAS)
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)
(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：
(鼓励学生当老师讲给其他同学听)
①等边三角形的每个内角都是60°
②三个角都相等的三角形是等边三角形。

三、精讲点拨：
1、等腰三角形的性质：
性质1：
性质2：
2、数学语言表达：
性质1：性质2：
在△ABC
∵ AB=AC ∵ AB=AC
∴∠B= ∠C ① AD平分∠BAC
（等边对等角）
②AD⊥BC
③ BD=DC
( ①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项 )
（三线合一）
四、典例精析
例1
已知，D是△ABC内的一点，且DE=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB
求证：AB=AC
例2、
已知:如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是AB 上的一点，DE ⊥BC ，交BC 于点E ，交CA 的延长线于点F 。

求证：AD=AF 。

点拨：
1 在一个三角形中，由“边等”得“角等”，由“角等”得 “边等”。

2 题目中的条件要在图中标出，以便于寻找证明的突破口。

五、巩固练习
1如图，在△ABC 中，OB 、OC 分别是∠B 和∠C 的角平分线，过点O 作EF ∥BC ，交AB 、AC 于点E 、F ，如果AB=10，AC=8，那么△AEF 的周长为_________
C B A
D
六课堂小结：
1 等腰三角形中常用的辅助线-------顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线。

2 证明角相等的方法：
（1）等边对等角
（2）角平分线的定义及判定定理
（3)三角形全等
(4)平行线的性质定理
(5)对顶角相等
(6)同角或等角的余（补）角相等
3 证明线段相等的方法：
(1)等角对等边
(2）中线的定义
（3）三角形全等
（4）垂直平分线的性质定理。

（5）角平分线的性质定理。

七分层作业
A 课本P191 7 、12题
B 课本P190 5、7题
C 巩固例题2 课本P190 5题
教后记：。