青岛版初中数学八年级上册5.6几何证明举例

5.6 几何证明举例学习目标1．熟练掌握AAS，HL 判判定理，等腰三角形 , 等边三角形性质与判判定理，并会运用这些定理进行证明相关题目；2．经过独立思虑，合作研究，研究出综合法证明几何问题的方法。

3.倾尽全力，达成目标，享受几何证明的多样性之美。

自主研究（一）直角三角形全等的判判定理假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。

（ HL 定理）【典型例题】AEFB D C例 1. 已知如图， D是△ ABC的边 BC的中点， DE⊥ AC,DF⊥ AB，垂足分别是点E，F，DE=DF.求证：△ ABC是等腰三角形 .（二）等腰三角形的性质和判断命题一：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的均分线重合.已知：求证：证明：命题二：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：求证：证明：（三）角均分线与垂直均分线的性质与判断三角形全等的运用1. 已知，如图， AB=BC,AD=CD,求证：∠ A=∠C.CD BA2. 如图，已知AB=DC，∠ ABC=∠DCB，OE均分∠ BOC交 BC于点 E. 求证： OE垂直均分BC.ADOB E C3.已知：如图，在△ ABC中， AB=AC，D 是 AB 上一点， DE⊥ BC，垂足是 E，交 CA的延长线于点 F，求证： AD=AF.FADB E C能力提高4. 在△ ABC中， D 为 BC的中点， DE⊥ BC交∠ BAC的均分线 AE于 E,EF⊥AB 于 F，EG⊥ AC交 AC的延长线于点 G，求证： BF=CG.AFD CBGE。

1典例精析1：阅读课本例1，然后完成以下问题问题：图中有三角形吗? 有全等三角形吗?什么条件可推全等？：求证：证明：证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。

2针对性训练，1.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是〔 〕A ．两角和一边B ．两边及夹角C ．三个角D ．三条边2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，点E 、F 分别是BD 、DC 的中点，那么图中全等三角形共有〔 〕A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对3.：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

4．：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F 。

求证：BE =CD四、归纳总结，提升能力五、当堂检测，检查效果1.如以下图，AD ＝BC ，要证明ΔABC ≌ΔBAD,根据“SSS 〞，还需要一个条件 ，根据“SAS 〞，还需要一个条件 。

AC BDE F2．如图，点O 是AB 的中点，AC ∥BD ，那么ΔAOC ≌ΔBOD 的理由是 。

3.如图，AB ＝AD ，BE ＝DE ，∠1＝∠2，那么图中全等三角形共有 对。

第1题图 第2题图 第3题图4.：如图，点A 、C 、B 在一条线上，且AC=EC ，DC=BC ，∠ACE=∠DCB,求证：〔1〕 △ACD ≌△ECB 〔2〕 AD=EB5．如图，AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜测线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.6、〔2021广州市，〕如图6，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C 。

求证：BE=CD 。

图6C AB ED教学反思：年级科目 八年级数学 课题 5.6 几何证明举例〔第2课时〕O D C B A D C B A 21ED C B AA CE DB∵MA=MB 〔垂直平分线的定义〕∴PA=PB ( )☆ 探究二 证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。

3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。

4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。

教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。

教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。

证明：等腰三角形的两个底角相等。

已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。

已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。

例题分析：几何证明选讲例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AF DF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC ∽Rt△BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出ADBD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt△ABD ∽Rt△CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴AD BD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②， 由①②得⋅=DFBF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ，于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得． 证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==. 【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证BDFD AD CD =【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴⋅=BDFD AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在△ADC 中，但线段FD 、BD 却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD 、FD 在△FDC ，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．小结为“横瞧竖看分配相似三角形”．例4 如图，平行四边形ABCD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，求证：AB ·DE ＝BC ·DF【分析】化求证的等积式为比例式：DE DF BC AB =，又因为CD ＝AB ，AD ＝BC ，即证明比例式DEDF AD CD = 证明：∵平行四边形ABCD ，∴∠C ＝∠A ，∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，∴∠AED ＝∠DFC ＝90°，∴△CFD ∽△AED ，∴DE DF AD CD = ∵CD ＝AB ，AD ＝BC ，∴DE DF BC AB =即AB ·DE ＝BC ·DF ． 【说明】DEDF BC AB =，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CD ＝AB ，AD ＝BC 所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：DEDF AD CD =，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中．例5 AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝60°，P 是OB 上一点，过P 作AB 的垂线与AC 的延长线交于点Q ，连结OC ，过点C 作CD ⊥OC 交PQ 于点D ．(1)求证：△CDQ 是等腰三角形；(2)如果△CDQ ≌△COB ，求BP ∶PO 的值．【分析】证明△CDQ 是等腰三角形，只需证明∠DCQ ＝∠Q ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来．并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算．(1)证明：由已知得∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠Q ＝30°，∠BCO ＝∠ABC ＝30°．∵CD ⊥OC ，∴∠DCQ ＝∠BCO ＝30°，∴∠DCQ ＝∠Q ，∴△CDQ 是等腰三角形．(2)解：设⊙O 的半径为1，则AB ＝2，OC ＝1， .3,121===BC AB AC ∵等腰三角形CDQ 与等腰三角形COB 全等，∴CQ ＝BC ＝3． ∵31+=+=CQ AC AQ ，,23121+==AQ AP ∴=-=AP AB BP 2332312-=+- 231+=-=AO AP PO 2131-=-， ∴3:=PO BP ．【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧． 例6 △ABC 内接于圆O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于D 点，交⊙O 的切线BE 于F ，连结BD ，CD ．求证：(1)BD 平分∠CBE ；(2)AB ·BF ＝AF ·DC ．【分析】可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．由条件及(1)的结论，可知BD ＝CD ，因此欲求AB ·BF ＝AF ·DC ，可求BFBD AF AB =，因此只须求△ABF ∽△BDF 即可． 证明：(1)∵∠CAD ＝∠BAD ＝∠FBD ，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠FBD ，∴BD 平分∠CBE ．(2)在△DBF 与△BAF 中，∵∠FBD ＝∠FAB ，∠F ＝∠F ，∴△ABF ∽△BDF ，BF BD AF AB ，∴AB ·BF ＝BD ·AF ． 又∵BD ＝CD ，∴AB ·BF ＝CD ·AF ． 例7 ⊙O 以等腰三角形ABC 一腰AB 为直径，它交另一腰AC 于E ，交BC 于D ．求证：BC ＝2DE【分析】由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由圆内接四边形性质可得∠B ＝∠DEC ，所以∠C ＝∠DEC ，所以DE ＝CD ，连结AD ，可得AD ⊥BC ，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC ＝2CD ，即BC ＝2DE ．证明：连结AD ∵AB 是⊙O 直径 ∴AD ⊥BC∵AB ＝AC ∴BC ＝2CD ，∠B ＝∠C∵⊙O 内接四边形ABDE∴∠B ＝∠DEC (四点共圆的一个内角等于对角的外角)∴∠C ＝∠DEC ∴DE ＝DC∴BC ＝2DE例8 ⊙O 内两弦AB ，CD 的延长线相交于圆外一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，作切线FG ，G 为切点，求证：EF ＝FG ．【分析】由于FG 切圆O 于G ，则有FG 2＝FB ·FC ，因此，只要证明FE 2＝FB ·FC 成立即可．证明：∵在△BFE 与△EFC 中有∠BEF ＝∠A ＝∠C ，又 ∠BFE ＝∠EFC ，∴△BFE ∽△EFC ，FE FC FB FE ，∴FE 2＝FB ·FC ． 又∵FG 2＝FB ·FC ，∴FE 2＝FG 2，∴ FE ＝FG ．。

年级科目初二数学课题 5.6 几何证明举例（第1课时）教学目标1．证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

（重点）2. 知道全等三角形的性质：对应角平分线相等，对应中线相等，对应高相等；并会证明这些结论。

3. 掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

（重、难点）4．增强合作意识，提高逻辑思维能力，养成良好的学习习惯。

重点难点1证明并掌握“AAS”定理；会用“AAS”定理解决有关的问题。

2掌握几何证明题思路、及命题证明的一般步骤和规范书写格式。

教学过程一、前置练习，积累知识（预习课本P175—P177）（1）全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。

（2）判定两个三角形全等的方法：、、、，其中、、都已作为基本事实。

（3）几何证明的过程一般包括三个步骤：，，。

知识点1 “AAS”定理：两角分别相等且其中一组等角的也相等的三角形全等。

知识点2 适当地添加辅助线：例1，通过添加辅助线构造两个三角形。

知识点3全等三角形的性质：对应角平分线，对应中线，对应高。

二、情境激趣，导入新课证明“AAS”定理：两角分别且其中一组等角的也相等的三角形全等。

问题：①这个命题的条件是，结论是。

②能根据题意画出题目中用到的图形吗？③能据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？④已知一边相等，再知道条件可以用SSS来说明；或可以知道条件可以用ASA来说明全等。

题目当中符合这两种判定方法吗？能根据题目已知两角对应相等，求出另外一个角相等，这样可以选择方法来证明。

能总结证明“命题问题”的题目的一般步骤吗？。

三、自主学习，合作探究1典例精析1：阅读课本例1，然后完成下列问题问题：图中有三角形吗? 有全等三角形吗?已知什么条件可推全等？已知：求证：证明：证明全等三角形对应边上的高相等，其他课下完成。

2针对性训练，1.两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是（）A．两角和一边B．两边及夹角C．三个角D．三条边2.如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点E、F分别是BD、DC的中点，则图中全等三角形共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对3.已知：如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。

5。

6 几何证明举例三、知识运用:例：如图,两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD相等吗？请说明你的理由。

(学生思考并完成）四、知识巩固1、判断：满足下列条件的两个三角形是否全等？为什么?(1）一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形。

（2）一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形。

(3）两直角边对应相等的两个直角三角形.2、如图，已知∠ACB=∠BDA=900, 要使△ABC≌△BAD, 还需要什么条件？CA BD五、小结同学们，通过本节课的学习，你都有哪些收获？通过互相讨论相互补充培养学生合作意识，体验成功的喜悦六、作业布置P188 9、10题尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

几何证明举例
教学目标：1、会证明等腰三角形的判定定理；
2、会用等腰三角形的判定定理和等腰三角形中的三线合一定理证明与等腰三角形之有关的命题；
3、知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合证明的格式.
教学重点：会用等腰三角形的判定定理和等腰三角形中的三线合一定理证明与等腰三角形之有关的命题教学难点：
复习回顾
你能说出我们学过的等腰三角形的基本性质？
一、典型例题
例如：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。

在图11-12中，∠1与∠2有什么关系？BD与CD有什么关系？你能得出什么结论？与同学交流。

等腰三角形中的三线合一：等腰三角形底边上的高是底边上的中线、顶角的平分线.
求证：两个全等三角形的对应高相等。

全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线分别相等吗？首先独立写出已知、求证并证明.然后小组交流
三、课堂练习
四、课堂总结：本节课你收获了什么？
五、课下作业：
1、P180练习第1题。