青岛初中数学八年级上册《5.6 几何证明举例课件2

BD C
通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角 相等是真命题。可以作为证明其他命题的 依据。
等腰三角形的性质定理1:等腰 A 三角形的两个底角相等。
符号表示：
在△ABC中， ∵ AC=AB（已知）
B
C
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
交流与发现
根据以上证明，我们还可以得到结论：等 腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶 角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得
（1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？
为什么？
三、系统总结
1.等腰三角形的判定方法有下列两种： ①定义，②判定定理
2.等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 条件和结论刚好相反
3.运用等腰三角形的判定定理时，应注意 在同一个三角形中
四、当堂达标（见学案）
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
1.进一步掌握证明的基本步 骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证 明的定理”为依据，证明等 腰三角形的性质定理和判定 定理。
回顾与思考
1.什么叫等腰三角形？ 2.根据本册第二章的学习你知道等
腰三角形的哪些性质？ 3.这些性质你是怎样得到的？这些

5.6 几何证明举例
第4课时
一、预习诊断
下列说法中，错误的是（ ）。
A．三角形任意两个角的平分线的交点都在三 角形内部
B．三角形任意两个角的平分线的交点到三角 形三边的距离相等
C．三角形任意两个角的平分线的交点都在第 三个角的平分线上
D．三角形任意两个角的平分线的交点到三角 形三个顶点的距离都相等
EF⊥BC交AC于F，连接BF。
求证：BF是∠ABC的平分线。
A
F
B DE
C
图1-34
三、系统总结
1.角平分线的性质定理： • 角平分线上的点到这个角两边的距离
相等。 • 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在
这个角的平分线上。
作用：证明两个角相等或线是角C
交流与发现
你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是 真命题吗？应如何证明它的真实性？
角的内部到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上。
A
已知：如图，点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB，PN⊥BC， 垂足分别是M与N，且PM=PN。
求证：点P在∠ABC的平分线上
B
3.符号语言：
角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 且 PM⊥BA，PN⊥BC ∴PM=PN
角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA，PN⊥BC，且 PM=PN
∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线）
谢谢
教学目标
1.掌握并证明角平分线的性质 定理及其逆定理； 2.会运用角平分线的性质定理 及其逆定理解决有关实际问题。
回顾与思考
1.什么叫角的平分线？ 2.根据本册第二章的学习你知道角 的垂直平分线有什么性质？ 3.这个性质你是怎样得到的？这个 性质是真命题吗？你能用逻辑推理 的方法，证明它的真实性吗？

典例举析：几何证明
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• 1．(1)相似三角形的判定定理 • 判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角 与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． • 判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和 另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似． • 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边 和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
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• 5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的 线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替 换． • 6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角， 找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的 数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.
解析 ∵ E 是 AB 的中点，∴ AB＝2EB. ∵AB＝ 2CD，∴CD＝EB. 又 AB∥CD，∴四边形 CBED 是平行四边形．
∠ DEM＝∠ BFM， ∴CB∥ DE，∴ ∠ EDM＝∠ FBM，
DM DE ∴△ EDM∽△ FBM.∴ ＝ . BM BF ∵F 是 BC 的中点，∴ DE＝2BF. 1 ∴DM＝ 2BM，∴ BM＝ DB＝3. 3
∴CD＝CM.
由(1)知DC2＝DF· DA，又CM2＝AM· MB， ∴AM· MB＝DF· DA.
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热点二
“四定理”——相交弦定理、割线定 理、切割线定理、切线长定理的应用
【例3】 如图，AB是⊙O的直径，C，F 为⊙O上的点，AC是∠BAF的平分 线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线 于D点，CM⊥AB，垂足为点M.

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例 1 ．已知：如图所示， AB ＝ CB ，
AD＝CD．
D
C
B
求证：∠A＝∠C．
A
证明：连接DB．在△ABD和△CBD中， ∵AB＝CD，AD＝CD（已知），BD＝BD（公共边）， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠A＝∠C（全等三角形对应角的定义）．
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证明两个角相等的方法： 找这两个角所在的三角形，看他们是否全等．若这两个角 不在两个全等三角形中，可通过添加辅助线的方法，构造两个 全等三角形，使待证的角分别是这两个全等三角形的对应角或 对应边所对的角．
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类比证明角的方法，思考如何证明两条线段 相等呢？ 找这两条线段所在的三角形，看他们是否全 等．若这两条线段不在两个全等三角形中，可通 过添加辅助线的方法，构造两个全等三角形，使 待证的线段分别是这两个全等三角形的对应边．
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作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什 么性质？对应边上的中线、对应边上的高有什么性质？证明 你的结论．
1 1 ∴BD＝ BC，B'D'＝ B'D'（中线的定义）， 2 2 ∴BD＝B'D'（等量代换）．
B D C B' D' C'
∴△ABD≌△A'B'D'（ASA）．
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（3）全等三角形的对应边上的高相等．A 已知：△ABC≌△A'B'C'，AD、 A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高． 求证：AD＝A'D'．
B
A
D
O
E C
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A
在△BOD和△COE中，