3.9平面的基本性质

P
符号表示
l l
P l
P l
l
l
l
α
α
P
l
l1 l2 P
直线l1 l2交于 点Ｐ
l1 l2
平面的基本性质
公理一 （１）文字语言叙述：如果一条直线上的两点在同 一平面内，语言叙述：
A B
α
l
（3）符号语言叙述：
A l , B l , A , B l
（4）作用： １、判断直线是否在平面内，点是否在平面内；
2、用直线检验平面；
平面的基本性质
公理二
（１）文字语言叙述：如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合
是一条直线。
（２）图形语言叙述： α
P
ι
（3）符号语言叙述：
β
P

l且P l
（4）作用：

l1
P
l1 , l2 , l1 l2 P l1 , l2 , l1 l2 P l1 , l2 , P l1 , P l2
l2

2、下列图形画法正确的是（ D ）
l


A、直线在平面内;

B、两平面相交；
D'
A'
F
B'
C'
D
C
E
A
B
D、小矩形向外凸的空间图形；
１、判定两个平面是否相交的依据，只要两个平
面有一个公共点，就可以判定这两个平面必
相交于过这点的一条直线； 2、它可以判定点在直线上，点是某两个平面的 公共点，线是这两个平面的公共交线，则这
点在交线上；

平面的基本性质（二）平面的基本性质是立体几何中演绎推理的逻辑依据．以平面的基本性质证明诸点共线、诸线共点、诸点共面是立体几何中最基础的问题，既加深了对平面基本性质的理解，又是今后解决较复杂立体几何问题的基础．一、素质教育目标（一）知识教学点掌握利用平面的基本性质证明诸点共面、诸线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合，如例1之①；（2）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内，如例1之②．2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内，如例2．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点，如练习．（二）能力训练点通过严格的推理论证，培养逻辑思维能力，发展空间想象能力．（三）德育渗透点通过对解题方法和规律的概括，了解个性与共性．特殊与一般间的关系，培养辩证唯物主义观点，又从有理有据的论证过程中培养严谨的学风．二、教学重点、难点、疑问及解决办法1．教学重点（1）证明点或线共面，三点共线或三线共点问题．（2）证明过程的书写格式与规则．2．教学难点（1）画出符合题意的图形．（2）选择恰当的公理或推论作为论据．3．解决办法（1）教师完整板书有代表性的题目的证明过程，规范学生的证明格式．（2）利用实物，摆放成符合题意的位置．三、学生活动设计动手画图并证明．四、教学步骤（一）明确目标1．学会审题，根据题意画出图形，并写“已知、求证”．2．论据正确，论证严谨，书写规范．3．掌握基本方法：反证法和同一法，学习分类讨论．（二）整体感知立体几何教学中，对学生进行推理论证训练是发展学生逻辑思维能力的有效手段．首先应指导学生学会审题，包括根据题意画出图形，并写出已知、求证．其次，推理的依据是平面的基本性质，要引导学生确定平面．由于学生对立体几何中的推理颇不熟练，因此宜采用以启发为主，边讲边练的教学方式．教师在讲解时，应充分展开思维过程，培养学生分析空间问题的能力，在板书时，应复诵公理或推论的内容，加深对平面基本性质的理解．（三）重点、难点的学习与目标完成过程A．复习与讲评师：我们已学习了平面的基本性质，那么具备哪些条件时，直线在平面内？（生回答公理1，教师板画图1－20示意．）师：具备哪些条件可以确定一个平面？（生4人回答，教师板画图1－21示意．）师：上一节课后布置思考证明推论3，现在请同学们共同讨论这个证明过程．已知：直线a∥b．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．∵a∥b，∴a、b在同一平面α内（平行线的定义）．“唯一性”——在直线a上作一点A．假设过a和b还有一个平面β，则A∈β．那么过b和b外一点A有两个平面α和β．这与推论1矛盾．注：证唯一性，用了“反证法”．B．例题与练习师：先看怎样证几条线共面．例1求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内．分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面．证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本题的方法是“同一法”．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a ∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．求证：a、b、c、d共面证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四线共面．注：①让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系．②分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏．③结合本例，说明证诸线共面的常用方法．例2如图1－25，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P．求证：P在直线BD上．分析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点．已知：EF∩GH＝P， E∈AB、 F∈AD， G∈BC， H∈CD，求证：B、D、P三点共线．证明：∵AB∩BD＝B，∴AB和BD确定平面ABD（推论2）．∵A∈AB，D∈BD，∵E∈AB，F∈AD，∴EF∩GH＝P，∴P∈平面ABD．同理，P∈平面BCD．∴平面ABD∩平面BCD＝BD．∴P∈BD即B、D、P三点共线．注：结合本例，说明证三点共线的常规思路．练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．分析：虽说是证三线共点问题，但与例2有异曲同工之处，都是要证点P是两平面的公共点．已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求证：p∈a．证明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．师：以上例、习题分别证明了四线共面．三点共线和三线共点问题，这只是证明这类问题中的个例，根据不同的条件有不同的分析问题和解决问题的过程，但也具有一般的思路和方法．除了例1、例2两类问题的常用方法外，本练习是证三线共点问题，也有常用证法（将知识教学点中所列三条用幻灯显示）．（四）总结、扩展本课以练习为主，学习了线共面、点共线，线共点的一般证明方法和分类讨论的思想．证明依据是平面的基本性质，数学方法有反证法和同一法，这也是这一单元的主要证明方法．在证明的书写中，要求推论有据，书写规范．五、布置作业1．课本习题（略）．2．求证：两两相交的三条直线必在同一个平面内．3．已知：△ABC在平面α外，三角形三边AB、AC、BC所在直线分别交α于M、N、R，求证：M、N、R三点共线．4．如图1－27，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别是接AA1、CC1的中点，求证：点D1、E1、F1、B共面．（提示：证明空间若干个点共面，通常先由其中三点确定一个平面，再证明其它的点也在这个平面内．本题先连结D1E并延长交DA延长线于G，连结D1F并延长交DC延长线于H，可证GH是D1、E、F三点确定的平面和平面AC的交线，然后再用平面几何知识证点B在GH上．）六、板书设计。

∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。

平面不能被弯曲或折叠，始终保持平直。
无厚度
平面没有高度，只具有长度和宽度。
由无数个线段组成
平面由无数条线段相连组成，形成各种图形。
平面的基本性质
1
平面上的直线相互作用的规定
2
平面上的直线可以平行、垂直或有其
他特定的相
角度是指由两个线段或直线围成的空 间。
平面上的点与直线的关系
总结
1 明确平面的特征与定义
了解平面的基本性质，包括无限大、无厚度和无法折叠曲折。
2 控制平面的性质和规则
理解平面上的点与直线的关系，以及角度和夹角的度量规则。
3 应用平面知识到实际中
将平面的应用领域应用到不同领域，如地理学、图形设计和工程学。
点和直线可以在平面上相互交叉、相 连或相切。
平面上直线的夹角
夹角是指两条直线在平面上的交叉程 度，可以是锐角、直角或钝角。
平面的相关性质
垂直、平行
垂直的线段间的夹角为90度， 平行线始终保持相同的距离。
完美相等与相似的关系
相等的图形的线段和角度完全 相同，相似的图形只需保持比 例关系。
角度的度量与求和
《平面的基本性质》PPT 课件
本课件详细介绍了平面的基本性质，包括定义、特征和应用。通过丰富的布 局和图像，旨在使演示内容更加生动有趣。
平面的定义
平面是指由无限个线段组成的，并且没有厚度的二维图形。与几何体相比，平面只有两个维度。
平面的特征
无限大
平面在两个方向上是无限延展的，没有边界 限制。
无法折叠曲折
角度通过度量单位（如度或弧 度）来表示，多个角度可以相 加为一个新角度。
平面的应用
地理学中的平面
地图是平面的应用之一，用于表示地球表面 的二维信息。