平面的基本性质练习题

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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。

（福州检测）下列说法正确的是________。

①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。

(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。

（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。

（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。

（把正确图形的序号都填上）＊＊6。

（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。

证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。

平面几何练习题及解答一、直线与角度1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？解答：由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。

而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。

因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。

由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。

2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？解答：由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。

已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。

二、三角形3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。

解答：根据勾股定理可得：AC² = AB² + BC²AC² = 3² + 4²AC² = 9 + 16AC² = 25AC = √25AC = 5 cm4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。

解答：根据余弦定理可得：BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB64 = 36 + 100 - 120 * cosB64 = 136 - 120 * cosB120 * cosB = 136 - 64120 * cosB = 72cosB = 72 / 120cosB = 0.6根据反余弦函数可得：∠B = arccos(0.6)∠B ≈ 53.13度三、圆的性质5. 在平面直角坐标系中，给定圆心为O(2, 3)，半径为5的圆C，点P(6, 7)是否在圆C上？解答：利用距离公式可计算OP的距离：OP = √((6-2)² + (7-3)²)OP = √((4)² + (4)²)OP = √(16 + 16)OP = √32OP ≈ 5.66由于OP的长度不等于圆C的半径，即5.66不等于5，因此点P不在圆C上。

平⾯基本性质习题平⾯的基本性质年级__________ 班级_________ 学号_________ 姓名__________ 分数____⼀、选择题(共18题，题分合计90分)1.公理1⽤符号表⽰，正确的是A.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ∈αB.A ∈a ,B ∈a ,且A ∈α,B ∈α,则a ?αC.A ∈a ,B ∈a ,则a ?αD.A ∈α,B ∈α,则a ?α2.设有如下三个命题:甲:相交的直线l ,m 都在平⾯α内,并且都不在平⾯β内; ⼄:直线l ,m 中⾄少有⼀条与平⾯β相交;丙:平⾯α与平⾯β相交. 当甲成⽴时A.⼄是丙的充分⽽不必要条件B.⼄是丙的必要⽽不充分条件C.⼄是丙的充分且必要条件D.⼄既不是丙的充分条件⼜不是丙的必要条件3.已知平⾯α与平⾯β相交,a 是α内的⼀条直线,则A.在β内必存在与a 平⾏的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线 C.在β内必不存在与a 平⾏的直线 D.在β内不⼀定存在与a 垂直的直线4."三条直线a，b，c两两相交于不同三点A?B?C"是"这三条直线a，b，c共⾯"的A.充分⽽不必要条件B.必要⽽不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在空间中,下列命题正确的是A.三点确定⼀个平⾯B.四边形⼀定是平⾯图形C.三条平⾏的直线共⾯D.梯形是平⾯图形6.a,b,c是空间三条直线，有下⾯4个命题：①如果a⊥b,b⊥c,则a∥c;②如果a、b是异⾯直线，b、c是异⾯直线，则a、c也是异⾯直线；③如果a和b相交,b和c相交，则a与c也相交；④如果a和b共⾯，b和c共⾯，则a与c也共⾯.其中正确命题的个数是A.3B.2C.1D.07.有三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个8.任意三点不在⼀条直线上的四个点，能确定平⾯的最多个数是A.⼀个B.四个C.六个D.⽆穷多个9.空间四点A、B、C、D共⾯但不共线，则下⾯结论成⽴的是A.四点中必有三点共线B.四点中必有三点不共线C.AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平⾏D.直线AB与CD必相交10.给出下列四个命题：①空间四点共⾯，则其中必有三点共线②空间四点不共⾯，则其中任何三点不共线③空间四点中存在三点共线，则此四点共⾯④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共⾯其中正确的有()A.②和③B.①②③C.①和②D.②③④11.空间三个平⾯两两相交，那么A.不可能有且只有两条交线B.必相交于⼀点C.必相交于⼀条直线D.必相交于三条平⾏直线12.直线a、b、c两两平⾏，但不共⾯，经过其中2条直线的平⾯的个数为A.1个B.3个C.0个D.6个13.下⾯四个命题中，真命题的个数为①如果两个平⾯有三个公共点，那么这两个平⾯重合②两条直线可以确定⼀个平⾯③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l④空间中，相交于同⼀点的三直线在同⼀平⾯内A.1B.2C.3D.414.下列推理错误的是A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?βB.M∈α，M∈β，Ｎ∈α，Ｎ∈β?A∩β＝直线MNC.l?α，A∈l?A?αD.A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共线?α与β重合α内，那么与此命题不等价的命题是15.已知命题，直线l上两点A、B在平⾯A.l?αB.平⾯α通过直线lC.直线l上只有这两个点在α内D.直线l上所有点都在α内16.根据下列条件,画出图形(1)平⾯α∩平⾯β=l,直线AB?α,AB∥l,E∈AB,直线EF∩β=F,F?l(2)平⾯α∩平⾯β=a,△ABC的三个顶点满⾜条件,A∈a,B∈α,B?a,C∈β,C?a.17.下⾯的三个命题:①四边相等的四边形是菱形②两组对边分别相等的四边形是平⾏四边形③若四边形有⼀组对⾓都是直⾓,则这四边形是圆的内接四边形其中正确的个数是A.1个B.2个C.3个D.⼀个也不正确18.如图，ABCD-A1B1C1D1是长⽅体，O是B1D1的中点，直线A1C交平⾯AB1D1于点M，则下列结论错误的是A.A、M、O三点共线B.A、M、O、A1四点共⾯C.A、O、C、M四点共⾯D.B、B1、O、M四点共⾯⼆、填空题(共6题，题分合计24分)1.经过三点的平⾯的个数为___________个.β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG＝2.直线AB、AD ?α，直线CB、CD?M，则点M在______上.3.两两平⾏的三条直线，最多可以确定________个平⾯，⽽两两相交的三条直线最多可以确定_______个平⾯.4.已知α∩β＝l,m?α，n?β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系⽤相应的符号表⽰为________.5.顺次连结空间四边形的各边中点所得四边形是_________.6.⼀个平⾯把空间分成______部分，两个平⾯把空间分成____或____部分，三个平⾯把空间分成_____或_____或_____或_____部分.三、解答题(共21题，题分合计168分)1.正⽅体ABCD-A1B1C1D1的棱长为8cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，(1)画出过M、N、P三点的平⾯与平⾯A1B1C1D1的交线，以及与平⾯BB1C1C的交线.(2)设过M、N、P三点的平⾯与B1C1交于点Q，求PQ的长.2.求证空间四边形各中点的连线共⾯.3.如图，α∩β＝BC，A∈α，D∈β，E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，若EF∩GH＝P，则P点必在直线BC上.4.过直线l 外⼀点P 引两条直线P A 、PB 和直线l 分别相交于A 、B 两点，求证：三条直线P A 、PB 、l 共⾯.5.已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同⼀平⾯内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平⾏.6.已知直线a 、b 、c 两两相交且不共⾯，求证：a 、b 、c 相交于⼀点.7.已知α∩β=a ,直线m ?α,n ?β,且a ∩m =M ,a ∩n =N ,M ?N 不重合,问m 与n 能否平⾏?证明你的结论? 8.如图,AD ∩平⾯α=B ,AE ∩平⾯α=C ,请画出直线DE 与平⾯α的交点P ,并指出点P 与直线BC 的位置关系.9.已知直线l 经过平⾯α外⼀点A ,求证:直线l 不在平⾯α内.10.空间四边形ABCD 的四边AB 、BC 、CD 、DA 上各有⼀点P 、Q 、R 、S ，且直线PS 与QR 交于K ，求证：B 、D 、K 共线.11.已知ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边CB 、CD 上的点且32==CD CG CB CF ，求证：EF 、GH 、CA 共点.12.⼀条直线与三条平⾏直线都相交，求证：这四条直线共⾯.13.如图，△ABC 在平⾯α外，它的三边所在的直线分别交平⾯α于P 、Q 、R ，求证：P 、Ｑ、R 三点共线14.三个平⾯α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c ，β∩γ＝A ，γ∩α＝b ，已知直线a 和b 不平⾏.求证：a 、b 、c 三条直线必过同⼀点.15.已知四条直线a 、b 、c 、d 两两相交，但四线不共点，求证：a 、b 、c 、d 共⾯.16.已知三个平⾯两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于⼀点或互相平⾏.17.如图，在棱长为a的正⽅体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AA1，D1C1的中点，过D、M、N三点的平⾯与正⽅体的下底⾯相交于直线l.(1)画出l的位置.(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长.(3)求D1到l的距离.18.如图，H是锐⾓△ABC的垂⼼，PH⊥平⾯ABC，若∠BPC＝90°.求证：∠BP A＝90°，∠APC＝90°19.PD垂直于□ABCD所在平⾯，PB⊥AC，且P A⊥AB.求证：(1)ABCD是正⽅形；(2)PC⊥BC.20.n条直线中的任意三条直线均共⾯，求证：这n条直线均在同⼀个平⾯内.21.如图，正⽅体的棱长为4cm，M、N分别是A1B1和CC1的中点.(1)画出过点D、M、N的平⾯与平⾯BB1C1C及平⾯AA1B1B的两条交线;(2)设过D、M、N三点的平⾯与B1C1交于P，求PM＋PN的值.平⾯的基本性质答案⼀、选择题(共18题，合计90分)1.6168答案：B2.5610答案：C3.5629答案：B4.5715答案：A5.5800答案：D6.5806答案：D7.6148答案：B8.6151答案：B9.6155答案：B10.6164答案：A11.6165答案：A12.6172答案：B13.6185答案：A14.6187答案：C15.6190答案：C16.6428答案：17.6489答案：D18.6169答案：D⼆、填空题(共6题，合计24分)1.6157答案：⼀或⽆数2.6173答案：BD3.6191答案：3,34.6195答案：P ∈l5.6488答案：平⾏四边形6.6194答案：2 3 4 4 6 7 8三、解答题(共21题，合计168分)1.6437答案：PQ ＝10342121=+Q B P B （cm ）2.6160答案：见注释3.6161答案：见注释4.6198答案：见注释5.6211答案：见注释6.6425答案：见注释7.6429答案：不平⾏8.6434答案：见注释9.6436答案：见注释 10.6176答案：见注释 11.6182答案：见注释 12.6199答案：见注释 13.6202答案：见注释 14.6203答案：见注释 15.6205答案：见注释 16.6208答案：见注释17.6212答案：(2)PB 1＝a －4a ＝a43.(3)D 1到l 的距离为17172a .18.6215答案：见注释 19.6216答案：见注释 20.6179答案：见注释21.6183答案：PM +PN =313210+。

高中数学例题：平面的基本性质的应用例4．已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线．求证：直线a、b、c、d共面．【解析】（1）无三线共点的情况．如右图所示，设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=q，a∩c=R，b∩c=S．∵a∩d=M，∴a，d可确定一个平面α，∵N∈d，Q∈a，∴N∈α，Q∈α，∴NQ⊂α，即b⊂α．同理c⊂α．∴直线a、b、c、d共面．（2）有三线共点的情况．如右图所示，设b、c、d三线相交于点K，与a分别交于N、P、M，且K∉a．∵K∉a，∴A和a可确定一个平面，设为β．∵N∈a，a⊂β，∴N∈β，又K∈β，∴NK⊂β，即b⊂β．同理c⊂β，d⊂β，∴直线a、b、c、d共面．由（1）（2）知直线a、b、c、d共面．【总结升华】（1）要证明点线共面，一般是依据公理2及其推论，在这些点、线中取出能确定一个平面的相关元素，再证明其他的点、线也在这个平面内，也就是“纳入法”（或“拉人下水法”），即先确定一个平面，然后将其他元素纳入到这个平面之中．（2）在证明点、线共面时，除了上述纳入法外，也可以用下面方法来证明：①利用公理2及其推论直接证明；②重合法：先说明一些元素在一个平面内，其余元素在另一个平面内，再证明两个平面重合．（3）在证明“线共点”时，一般是依题意，选择其中相交的两条直线，再证明其交点在第三条直线上，在选择时，应注意使第三条直线为其他图形中的某两个平面的交线．从而转化为证明其交点分别在这两个平面内即可．举一反三：【变式1】 如右图，已知直线m 与直线a 、直线b 分别交于A 、B 且a ∥b ．求证：过a 、b 、m 有且只有一个平面．证明：∵a ∥b ，∴过a 、b 有一个平面α．又m ∩a=A ，m ∩b=B ，∴A ∈a ，B ∈b ，∴A ∈α，B ∈α． 又A ∈m ，B ∈m ，∴m ⊂α，即过a 、b 、m 有一个平面α． 假设过a 、b 、m 还有一个平面β异于α，则a α⊂，b α⊂，a β⊂，b β⊂．这与a ∥b ，过a 、b 有且只有一个平面相矛盾．因此，过a 、b 、m 有且只有一个平面．例5．如右图，已知△ABC 在平面α外，它的三边所在直线分别交α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线．证明：因为A 、B 、C 为平面α外的三点，所以△ABC 所在的平面与平面α不重合．因为AB∩α=P，所以P为平面α与β的公共点．同理可证R、Q也是平面α与β的公共点．由公理3知，P、Q、R三点共线．【总结升华】所谓点共线问题就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上．（1）证明三点共线的依据是公理3，对于这个公理应进一步理解为下面三点：①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是它们的交线；②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线；③如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在这两个平面的交线上．（2）证明三点共线的常用方法：方法1：首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点．方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上．类似地有：（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归为证明点在直线上的问题．举一反三：【变式1】已知E,F,G,H分别是空间四边形各边AB，AD，BC ，CD 上的点，且直线EF 与GH 交于点P ．求证：B ，D ，P 在同一直线上．【解析】P EF P ABD P EF GH P GH P BCD ∈⇒∈⎧⎫∈⇒⎨⎬∈⇒∈⎩⎭平面平面 P ABD BCD BD P BD ⇒∈=⇒∈平面平面例6. 如下图，在三棱锥S-ABC 的边SA 、SC 、AB 、BC 上分别取点E 、F 、G 、H ，若EF ∩GH=P ，求证：EF 、GH 、AC 三条直线交于一点．证明：∵E ∈SA ，SA ⊂平面SAC ，F ∈SC ，SC ⊂平面SAC ，∴EF ⊂平面SAC ．∵G ∈AB ，AB ⊂平面ABC ，H ∈BC ，BC ⊂平面ABC ，∴GH ⊂平面ABC ，又∵EF ∩GH=P ，∴P ∈平面SAC ，P ∈平面ABC ．∵平面SAC ∩平面ABC=AC ，∴P ∈AC ．即直线EF 、GH 、AC 共点于P ．【总结升华】线共点的证明可利用公理1、公理3作为推理的依据．举一反三：【变式1】 如右图，已知空间四边形ABCD （即四个点不在同一平面内的四边形）中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==． 求证：直线EF 、GH 、AC 相交于一点．证明：∵E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，∴EH ∥BD 且12EH BD =．∵F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且23CF CG CB CD ==， ∴FG ∥BD 且23FG BD =．故知EH ∥FG 且EH ≠FG ，即四边形EFGH 为梯形，从而EF 与GH 必相交，设交点为P ． ∵P ∈EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC ．同理P ∈平面ADC ．∵平面ADC ∩平面ABC=AC ，∴P ∈AC ．即EF 、GH 、AC 交于一点P ．例7．如下图，E 、F 分别为正方体．ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱CC 1和AA 1的中点，画出平面BED 1F 与平面ABCD 的交线．【解析】 设法找出两平面的公共点，两公共点的连线就是两个平面的交线．如上图，在平面AA 1D 1D 内，D 1F 与DA 不平行，分别延长D 1F 与DA ，则D 1F 与DA 必相交，设交点为M ．因为M ∈FD 1，M ∈DA ，FD 1⊂平面BED 1F ，AD ⊂平面ABCD ，所以M ∈平面BED 1F ∩平面ABCD ，又B ∈平面BED 1F ∩平面ABCD ，所以，连接MB ，则MB=平面BED 1F ∩平面ABCD ．即直线MB为所求两平面的交线．【总结升华】求两平面的交线的突破口是求两个平面的公共点．本题中两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，进而推出该点也为两平面的公共点，这两点确定的直线即为所求．举一反三：【变式1】已知正方体ABCD=A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱AB、A1D1、BB1的中点，试作出过M、N、P三点的截面．作法：（1）设M、N、P三点确定的平面为α，则平面α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是平面α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是平面α与平面BB1C1C的交线（如右图）．（2）设MP∩A1A=F，则FN是平面α与平面A1D1DA的交线，设FN∩AD=H，连接HM，则HM是平面α与平面ABCD的交线．由（1）（2）知平面PMHNQ就是过M、N、P三点的截面（如右图中阴影部分）．。

专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交 【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误； 对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确； 对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误， 故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（ ）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内 【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上． 【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内， 且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】 如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确， 故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9． 下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内， 所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确； 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（ ）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥， 理由：在α内取两条相交直线a ，b ， 由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥， 又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形， 所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =， 所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析 【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线； （2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析 【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明 取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。

平面的基本性质一、知识梳理 一）平面1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.3．画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a βαB AβBAαβBAααβa图 2A（1aαa α⊂ 直线a 在平面α内. aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. aAα a A α=直线a 与平面α交于点A .l αβ=平面α、β相交于直线l .点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=.说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .）例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形.二）三条公理人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.BA α应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上.指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.应用：①确定平面；②证明两个平面重合.实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚. 例4、判断下列命题是否正确。

平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点（2）选一条直线与直线外一点（3）选两条相交直线（4）选两条平行直线二、证明共面的两种方法：1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。

例1．已知a//b, A∈a, B∈b, C∈b.求证：a,b及直线AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可确定平面α，再证ABα，ACα；思路（2）：由a//b可确定平面α，由直线AB，AC可确定平面β。

因为α，β都经过不共线的三点A、B、C，所以α，β重合。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。

另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示：写法（一）：证明：∵a//b（已知）∴a,b确定一个平面α（推论3）∵A∈a, b∈b, c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直线ABα，直线ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

写法（二）：证明：∵a//b（知）∵a,b确定一个平面α（推3）∴A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴a经过A，B，C三点，∵AB∩AC=A ∴直线AB，AC确定一个平面β（推论2）∴β经过A，B，C三点，∵A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知）∴A，B，C不共线∴α与β重合（公理3）∴a, b，AB，AC共面。

关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。

例2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。

分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。

另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C求证：a,b,c,d共面。