计算函数零点的二分法高一数学总结练习含答案解析D

给定精确度
(1)确定区间[a，b]，验证_____f_(_a_)·_f_(b_)_<_0____________；
(2)求区间(a，b)的中点 x1； (3)计算 f(x1)；①若______f_(x_1_)_＝__0_____，则 x1 就是函数的 零点；②若_____f(_a_)_·f_(_x_1)_<_0______________，则令 b＝x1 (此 时零点 x0∈(a，x1))；③若_______f(_x_1_)·_f_(b_)_<_0____________， 则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))． (4)判断是否达到精确度 ，即若|a－b|< ，则得到零点近似
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第二章 函 数
又 F(1)＝－1<0， F(2)＝29>0， 所以方程 x5－x－1＝0 的根在区间(1，2)内． (2)证明：令 F(x)＝x3－3x＋1， 它的图象一定是不间断的， 又 F(－2)＝－8＋6＋1＝－1<0， F(－1)＝－1＋3＋1＝3>0， 所以方程 x3－3x＋1＝0 的一根在区间(－2，－1)内．
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第二章 函 数
2．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断，且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)， 通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间 的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫 做二分法．
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第二章 函 数
3．用二分法求函数 f(x) 零点近似值的步骤
标
的函数值
x3＝1.5＋21.625＝ 1．562 5
f(x3)＝0．252 2>0
x4＝1.5＋12.562 5 ＝1．531 25

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

考点12：零点定理【题组一 求零点】1．函数f （x ）2120810x x log x x ⎧-≤⎪=⎨⎪-+⎩（），（）（＞）的零点为_____. 【答案】﹣3【解析】当0x ≤时，()120,38xf x x =-=∴=-； 当0x >时，()()2log 10,0f x x x =-+=∴=，不满足，排除；故函数零点为3- 故答案为：3- 2．若函数()()2log a f x x =+的零点为2-，则a =________. 【答案】3【解析】根据题意，若函数f （x ）＝log 2（x +a ）的零点为﹣2， 则f （﹣2）＝log 2（a ﹣2）＝0，即a ﹣2＝1，解可得a ＝3，故答案为33．设函数[)()222,1,()2,,1x x f x x x x ⎧-∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩，则函数()y f x =的零点是________________. 【答案】0或1【解析】()0f x =等价于1220x x ≥⎧⎨-=⎩或2120x x x <⎧⎨-=⎩，解得1x =或0x =，所以，函数()y f x =的零点是0或1．故答案为：0或1． 【题组二 零点区间】1．函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】A【解析】3(0)log 210f =-<，3(1)log (12)1110f =++-=>，所以(0)(1)0f f <， 根据零点存在性定理，函数3()log (2)1f x x x =++-的零点所在的一个区间是(0,1)，故选：A. 2．已知函数()26log 21f x x x =--+.在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,3C ．()3,5D ．()5,7【答案】D【解析】函数()26log 21f x x x =--+，在其定义域上连续， 又()2255log 53log 08f =-=<，()2237log 72log 04f =--=>， 故函数()f x 的零点在区间()5,7上.故选：D. 3．函数1()sin 2f x x x =-在下列哪个区间必有零点（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】∵(0)0sin 00f =-=，1024f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()02f ππ=>， ∴()02f f ππ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，∴在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内必有零点.故选：B .【题组三 零点个数】1．函数()231xf x log x =-的零点个数为 .【答案】2【解析】函数()231xf x log x =-的零点，即方程2310xlog x -=的解，即213xlog x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，转化为函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的交点，在同一平面直角坐标系上作出函数2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，如下所示：从函数图象可知，2y log x =与13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭有两个交点，即方程2310x log x -=有两个实数根，即函数()231x f x log x =-有两个零点.2．函数()22xf x e x =+-在区间()21-，内零点的个数为 .【答案】2【解析】令22e 20,2xxx e x +-==-+,画出2,2xy e y x ==-+的图象如下图所示,由图可知,图象有两个交点,故原函数有2个零点.3．函数f （x ）＝cosπx ﹣（12）x+1在区间[﹣1，2]上的零点个数为 . 【答案】3【解析】根据题意可知，函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上的零点的个数， 即为函数cos y x π=的图象与函数1()12xy =-的图象在区间[1,2]-上的交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数图象如图所示：可以发现有三个公共点，所以函数1()cos ()12xf x x π=-+在区间[1,2]-上有三个零点， 4．函数()2ln f x x x =+的零点个数是 .【解析】因为ln y x =与2yx 均在0,上为增函数，所以函数()2ln f x x x =+至多一个零点又221111ln 10f e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1ln1110f =+=>，()110f f e ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，即函数()f x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点.5．函数()3f x x =,则()f x 的零点个数为________. 【答案】1【解析】函数()f x 定义域为[)0,+∞303x x -=⇔-=令123,y x y =-=()f x 的零点的个数就是函数123,y x y =-=，[)0,x ∈+∞的交点个数如上图所示，则()f x 的零点个数为1.故答案为：16．定义在R 上的偶函数()f x 满足()(4)f x f x =-,且当[0,2]x ∈时,()cos f x x =,则()()lg g x f x x =-的零点个数为____________. 【答案】10【解析】由于定义在R 上的偶函数()y f x =满足()4()f x f x =-, 所以()y f x =的图象关于直线2x =对称,画出[0,)x ∈+∞时，()y f x =部分的图象如图,在同一坐标系中画出lg y x =的图象, 由图可知：当(0,)x ∈+∞时,有5个交点, 又lg y x =和()y f x =都是偶函数,所以在(,0)x ∈-∞上也是有5个交点,所以()()lg g x f x x =-的零点个数是10， 故答案为：10.7．函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数为_______________. 【答案】6【解析】函数25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，即方程25sin log ||022x x π⎛⎫-=⎪⎝⎭的解，令()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭，()2log ||h x x = 也就是函数()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的交点，在同一平面直角坐标系中画出()5sin 22g x x π⎛⎫=⎪⎝⎭与()2log ||h x x =的图象如下所示，由图可知()5sin 22g x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log ||h x x =有6个交点，即25()sin log ||22f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭有6个零点.故答案为：68．f(x)是R 上的偶函数，f(x ＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x 2，则函数y ＝f(x)－|log 5x|的零点个数为 . 【答案】5【解析】∵f(x ＋2)＝f(x)，∴函数()f x 的周期为2． 由题意可得()5f x log x =，在同一坐标系内画出函数()y f x =和5y log x =的图象，如下图，由图象得，两函数图象有5个交点， 所以函数y ＝f(x)－|log 5x|共有5个零点． 9．若偶函数()f x 的图像关于32x =对称,当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =,则函数()()20log g x f x x =-在[]20,20-上的零点个数是 .【答案】26【解析】令()20log h x x =，定义域为非零的实数集，()()2020log log h x x x h x -=-==，所以该函数为偶函数，又()f x 是偶函数()g x ∴是偶函数，且0x ≠，由()()20log 0g x f x x =-=得()20log f x x =当0x >时有()20log f x x = 偶函数()f x 的图象关于32x =对称， ()()f x f x ∴-=且()()3f x f x =-，()()()()333f x f x f x f x ∴+=-+=-=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是3T =的周期函数，32kx ∴=,k Z ∈为()f x 的对称轴 当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x x =∴()()()()()2021111120f f f f h =-=-===当(]0,20x ∈,()f x ,()h x 在同一坐标系中的图象如下可知()f x 与()h x 在(]0,20上有13个交点即()g x 在(]0,20上有13个零点()g x 是偶函数()g x ∴在[]20,20-上共有26个零点．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=-+,且在区间[)2,4上,()2,234,34x x f x x x -≤<⎧=⎨-≤<⎩,则函数()3log y f x x =-的零点的个数为______. 【答案】5【解析】由题,因为()f x 满足()()22f x f x -=-+,所以()f x 关于()2,0中心对称, 又因为()f x 是奇函数,所以()()()222f x f x f x -=--=-+,所以()()22f x f x -=+,即()f x 的周期为4,画出()y f x =与3log y x =的图像,如图所示,则交点有5个,故函数()3log y f x x =-的零点有5个,故答案为:5 11．函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是 . 【答案】2020【解析】对任意实数x 都有f （x +2）＝f [1+（1+x ）]＝f [1﹣（1+x ）]＝f （﹣x ）， 由于f （x ）为偶函数，f （﹣x ）＝f （x ）∴f （x +2）＝f （x ） ∴函数f （x ）是以2为周期的周期函数，且值域为[]0,1．方程()02019x f x -=的根的个数即函数()f x 图象与直线y 2019x=的交点个数， 当2019x =时，y 12019x ==，当x 2019>时，函数()f x 图象与直线y 2019x=无交点，由图像可得二者的交点个数为2020个12．已知定义在R 上,且最小正周期为4的函数()f x ,满足()()f x f x -=-,则在区间()10,10-内函数()y f x =的零点个数的最小值是______【答案】9【解析】函数()f x 是奇函数，则(0)0f =，又周期为4，则(2)(2)f f -=，又(2)(2)f f -=-，所以(2)(2)0f f -==，所以(2)0,f k k Z =∈．在(10,10)-上有9个偶数，因此函数至少有9个零点．故答案为：9.【题组四 根据零点求参数】1．方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间()1,0-内，另一根在区间()02，内，则m 的取值范围是 . 【答案】7,53⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】∵方程24(2)50x m x m +-+-=的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数()24(2)5x m x f x m +-=+-的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内，则(1)4(2)50(0)50(2)162(2)50f m m f m f m m -=--+->⎧⎪=-<⎨⎪=+-+->⎩，解得753m -<<，∴m 的取值范围是7,53⎛⎫-⎪⎝⎭. 2．已知函数()()2log 13f x x x m =+++的零点在区间(]0,1上，则m 的取值范围为 . 【答案】[4,0-）【解析】由题意，函数2()log (1)3f x x x m =+++是定义域上的单调递增函数， 又由函数()f x 在区间(0,1]上存在零点，则满足()()0010f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log (01)300log (11)310m m ++⨯+<⎧⎨++⨯+≥⎩，解得40m -≤<，即实数m 的取值范围为[4,0)-。

重点
理解函数的零点概念，掌握二分法的 基本原理和应用。
难点
如何应用二分法求解函数的零点，以 及处理函数零点存在性判定的问题。
下节课预告
主题
函数的单调性与导数
内容概述
介绍函数的单调性概念，学习如何利用导数研究 函数的单调性，以及单调性与函数极值的关系。
学习目标
掌握判断函数单调性的方法，理解单调性与极值 的关系，为后续学习打下基础。
答案
$lbrack 2,4)$
习题三
要点一
题目
已知函数$f(x) = x^{2} - ax + a$在 区间$( - infty,1)$上有且只有一个零 点，则实数$a$的取值范围是____．
要点二
答案
$( - infty,2rbrack cup (3, + infty)$
要点三
解析
首先，将函数$f(x) = x^{2} - ax + a$的零点问题转化为二次方程的根的 问题。由于函数在区间$( - infty,1)$ 上有且只有一个零点，所以二次方程 $x^{2} - ax + a = 0$在区间$( infty,1)$上只有一个根。这要求判别 式$Delta = a^{2} - 4a geq 0$且$infty < a < 1$。解这两个不等式得 到$a$的取值范围为$( infty,2rbrack cup (3, + infty)$。
06
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
函数的零点定义
函数的零点是指函数值为零的点 ，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
二分法原理
二分法是一种通过不断将区间一分 为二来逼近函数零点的迭代方法。
二分法的应用