人教版A版高一数学必修一第三章第一节 函数的零点教学设计

人教版A版高一数学必修一第三章第一节函数的零点教学设计3.1.1 函数零点一、内容与解析（一）内容：函数零点（二）解析：函数的零点是高中新教材人教A版必修①第三章3.1.1的内容。

在上一章中学了几种基本初等函数，()f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数的零点就是函数()f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．因此本节课是本学科的重点内容，有着承前启后的作用。

教学的重点是函数零点的形成与求解及其基本应用，在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.本科计划两课时。

二、教学目标及解析目标：1、理解函数（结合二次函数）零点的概念，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数零点与方程的关系。

本节课的教学中需要用到几何画板，因为使用几何画板有利于更直观的展示方程的根与函数零点的联系五、教学过程1、自学（大约8分钟）问题1：函数零点是如何得到的？问题2：函数零点内容是什么？问题3：函数零点能解决什么问题？2、互学导学（大约32分钟）问题1：如何定义函数的零点以及函数零点概念是如何形成的？设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便。

师生活动：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系。

函数的零点教案设计
一、教学目标
1.能够掌握函数的零点以及计算函数的零点的方法。

2.能够熟练使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。

3.能够运用函数的零点解决实际问题。

二、教学准备
1.准备一些实际的例子来让学生理解函数的零点。

2.准备一些计算机软件来帮助学生进行实际操作演示。

三、教学过程
1. 介绍函数的概念：函数（function）是一种特殊的关系，其中每一个输入都有对应一输出，可以用函数表或图标表示，如函数
y=f(x)=2x+1、y=f(x)=x2+1等。

2.介绍函数零点：当函数y=f(x)在其中一点x=a时，取得值
y=f(a)=0，这个点a就是函数f(x)的零点。

3.给出一个典型例子来让学生明白函数的零点的概念：例如有函数
y=f(x)=x2-2x+1，我们求出这个函数的零点，当x=1时，y=f(1)=0，所以x=1就是这个函数的零点。

4.演示如何计算函数的零点：让学生学会运用函数的定义求函数的零点，如让学生学会把函数y=f(x)转化成一元二次方程组，然后使用解一元二次方程组的方法求解函数的零点。

5.运用函数的零点解决实际问题：让学生学会如何运用函数的零点解决实际问题，比如有一个小学生跳远比赛，他的分数满分为90分，比赛结束后他的得分为75分。

方程的根与函数的零点【教材分析】本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。

必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指数、对、幂三种基本初等函数，本章是函数应用问题。

“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。

第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。

这些内容是求方程近似解的基础。

本节课的教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。

为后续学习二分法求方程的近似解做了铺垫，起着承上启下的作用。

【教学目标】1理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3通过本节课的学习，学生体会函数方程思想及数形结合思想的应用。

感受学习、探索、发现的乐趣。

【学情分析】1学生具备的知识与能力1函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以熟练做出函数图象，具备一定的看图能力。

2从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。

2 学生欠缺的知识与能力思维习惯、动手作图能力入观察、归纳、转化等能力都还不强。

【重点难点】重点：零点的概念；零点存在的判定方法。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

3.1.1 方程的根与函数的零点第二课一、教学目标：① 进一步巩固函数零点的概念，会求基本初等函数的零点；② 掌握方程的根与函数零点之间的等价关系，体会函数方程的转化思想； ③ 对函数零点，零点所在的区间及零点个数各题型有所思有所为。

二、课前预习：（务必课前总结）1、我们学习过的那些函数？它们的图像特点？①一次函数()0y kx b k =+≠：0k >时，是一条递增的直线；0k <时，是一条递减的直线。

b 是图像与y 轴交点的纵坐标，如0b =时，直线过原点。

②二次函数 ③指数函数 ④对数函数 ⑤幂函数2、默写函数零点定理与函数零点存在性定理三、教学过程探讨1：求函数()324f x x x =--+的零点。

探讨2：解决下列两个问题，并试图发现问题中的共性①确定正整数k 的值，使得函数()324f x x x =--+在区间(),1k k +上存在零点。

②试画出函数3y x =与24y x =-+的图像，并分析两个图像交点情况。

你所发现的共性：找出一个数0x 作为函数()324f x x x =--+零点的近似值。

（精度为0.1） 课堂练习：判断下列函数的零点个数①()22f x x x =-+②()lg 2f x x x =-+ ③()2log 2xf x x =+④()()2ln 23f x x x =-- ⑤()32221f x x x x =--+ 课后练习： 1.函数6)(2-+=x x x f 的零点为2.函数2)(+=ax x f 在区间)2,1(-上有零点，则a 的取值范围是3.函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.设函数3y x =与22xy -=的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是 （ ）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，5.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为 ；6、函数()11f x x =-的图像与函数()31y x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ） A. 2 B.4 C.6 D8.7、已知函数()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且实数0a b c <<<满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是 （ ） A. 0x a < B. 0x c < C. 0x b > D. 0x c >8、确定正整数k 的值，使得函数()237xf x x =+-在区间(),1k k +上存在零点，并确定零点的一个近似值。

课题：3.1.1《方程的根与函数的零点》教材：人教A版教材必修1一、内容和内容解析（一）内容了解函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．（二）内容解析(1) 本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，进一步得到零点的概念，在此基础是探索函数零点存在性的判定，让学生体会函数与方程之间的联系.函数是高中数学的核心概念，与其他知识有广泛的联系性.而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的.利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，函数的零点作为其中的一个联结点，将数与形、函数与方程有机地联系到一起. (2) 零点存在性定理，就是通过寻找函数的零点来研究方程的根，这个定理不需要证明，在缺少证明的环节下，关键在于让学生结合具体实例，直观感知体验，加强对定理的全面认识，抽象概括出定理，并加以利用来解决问题.对定理的条件和结论，根据以往经验，学生考虑不够全面，教师通过系列问题，从各种角度重新审视，完成函数零点存在的判定定理的构建.(3) 学生通过学习这部分内容，引导学生通过自主探究，发现问题，分析问题，解决问题的过程，激发学生的学习求知欲，体现学生的主体地位.(4) 教学重难点：准确认识零点的概念，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点.二、目标和目标解析（一）单元目标（1）通过作出二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．（2）通过研究具体的二次函数再到研究一般的函数，让学生经历“类比→归纳→应用”的过程，感悟由具体到一般的研究方法．（3）掌握函数的零点和函数图像与轴交点的横坐标是可以互相转化的，同时可以转化为方程的根.（4）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．（二）目标解析（1）从学生已有的二次函数的知识，引入函数的零点，进而过渡的到我们的零点存在定理；（2）学生经历了由特殊到一般的过程，由具体到抽象的过程，知道这是一种重要的数学思想方法；（3）在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．（4）掌握零点存在性定理的运用，是指会利用零点存在性定理判定在哪个区间存在零点.三、教学问题诊断1.零点概念的认识．零点的概念是在分析了众多函数图象的抽象出来的，由函数图象与x 轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图象都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍．2.零点存在性的判断．正因为()()0f a f b ⋅<且图象在区间[,]a b 上连续不断，是函数()f x 在区间[,]a b 上有零点的充分而非必要条件，容易引起思维的混乱就是很自然的事了．3.零点（或零点个数）的确定．学生会作二次函数的图象，但是要作出一般的函数图象（或图象的交点）就比较困难，而在这一节课最重要的恰恰就是利用函数图象来研究函数的零点问题．这样就在零点（或零点个数）的确定上给学生带来一定的困难．四、教学支持条件分析考虑到学生的认知水平和理解能力，可借助几何画板和现实生活中的模型，从而激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性．通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，在函数与方程的联系中体验数形结合思想、转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．五、课时教学设计第一课时《方程的根与函数的零点》的教学设计（一）课时教学内容函数零点的概念；零点存在性定理；判断某些函数零点的个数与所在区间.（二）课时教学目标1. 了解函数零点的概念，能说明方程的根、函数的零点、函数图像与轴的交点三者之间的关系.总结出函数零点概念及零点存在性定理，提升学生数学抽象和直观想象两个方 面的核心素养.2. 教学过程中通过学生探究，使学生体会函数与方程思想、数形结合思想，以及化归思想. 把判定函数零点存在的方法由特殊函数推广到一般函数，培养学生的逻辑推理核心素养.3．通过古代数学发展史的简单介绍，渗透数学文化教育.（三）教学重点与难点教学重点：准确认识函数的零点与方程的根的关系.教学难点：判断零点的存在或确定零点.（四）教学过程设计1.创设情境，引入新课我国古代数学家已比较系统地解决了一些方程的求解.(1) 公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程根的具体方法……这比西方要早三百多年.(2) 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.(3) 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法,是具有世界先驱意义的首创.高中数学学习阶段我们接触过的一个非常重要的数学思想叫做数形结合.我们这节课就要从“数”和“形”的两方面去研究“方程的根”.引入课题：《方程的根与函数的零点》. 设计意图:通过介绍数学史，丰富学生的数学文化知识，激发学生的学习兴趣.同时引出本节课的内容.2.合作探究，揭示概念问题1： 求下列一元二次方程的实数根，画出相应二次函数的简图，完成下表.思考讨论：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图像有什么关系？生：（观察讨论）方程的实数根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.师：很棒！方程的根是从“数”的角度研究问题，而函数图像与x 轴交点是从“形”的角度研究问题.正好体现了数形结合思想.教师归纳: 方程的实数根⇔函数图象与x 轴交点的横坐标师：方程的根还和什么有等价关系呢？带着这个问题我们继续下面的学习.设计意图:问题1主要是通过观察，得到方程的实数根与函数图象与x 轴交点的横坐标的关系，同时体会数形结合的数学思想,为下一环节引出零点做铺垫.问题2：师：求解方程360+=x ,说出方程所对应的函数．生：2-,对应的函数是36=+y x师： 2-使360+=x ，2-叫做方程的根，对于函数36=+y x 我们给出一个新的定义，称2-为函数36=+y x 的零点.你能根据我刚才给出的零点的定义,求出函数223y x x =--的零点吗? 生：-1和3使0322=--x x ，-1和3是函数223y x x =--的零点师：你能概括一般函数零点的概念吗？生：对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.教师活动：板书概念.问题2-1：在这个概念中，请同学们思考，零点是点吗？生：（积极讨论，发表见解）零点不是点.师：那零点是什么？生：是一个实数！师:回顾刚才老师提出的问题,“方程的根”还和什么是等价的呢?师生互动：得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y ＝f(x)的图象与x 轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．在屏幕上显示：教师归纳:这种等价关系,为我们分析问题解决问题又提供了一种数学思想叫函数与方程的思想.对于不能利用公式求根的方程,我们可以将它与函数()y f x =联系起来,利用函数的性质找出函数的零点,从而求出方程的根.例1: 函数()2)16(－=f x x x 的零点为( )A.()()0,0,4,0B.0,4C.()()()4,0,0,0,4,0-D. 4,0,4-说明：函数零点不是一个点，而是具体的实数．练习1:1.函数()y f x =的图象如下，则其零点为 .2.指数函数、对数函数、幂函数有零点吗？问题2-2：那怎样可以怎样求函数零点呢？生：求方程()0f x =的实数根.师：这种方法叫做代数法.生：也可以通过画函数()y f x =的图像找到它与x 轴交点的横坐标.师：这种方法叫做几何法. 设计意图：要求学生从“数”和“形”两个层面来理解函数零点这个概念，加强了学生对数形结合思想的理解.提出用函数的方法来解决方程根的问题，让学生体会转化与化归的思想，培养学生数学抽象和逻辑推理核心素养.3.合作探究，揭示定理问题3：:二次函数2()23f x x x =--的图象在区间()2,1-内有零点吗?(2)f -=_______，(1)f =_______，(2)(1)f f -__ _0(“＜”或“＞”)．师生归纳:发现(2)(1)f f -＜0,函数2()23f x x x =--在区间()2,1-内有零点.问题3-1：二次函数2()23f x x x =--的图象在区间在区间()2,4内是否也具有这种特点呢? 生:观察图像,思考作答.问题3-2:已知函数()f x 的图象是连续不断的,且有如下对应值表,函数()f x 在哪个区间存在零点呢？学生小组自由讨论，代表作答,并解释说明.生：()f x 的有零点师：在哪个区间内呢？生：()2,3，因为图象连续，函数值从正变到负，所以图像和x 轴一定有交点，函数有零点. 问题3-3:怎样判断一般函数()y f x =在区间(,)a b 内是否存在零点?生: 满足条件()()0f a f b ⋅< .问题3-4:如果函数()y f x =在区间(,)a b 满足()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,这样就可以吗?生：（讨论）如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点.问题3-5:这个判断方法在叙述上还有没有需要修改的地方？教师引导:这种方法是判断函数在某个区间上是否存在零点,需要计算端点处的函数值.生：函数必须在端点处有定义，所以函数必须是在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线.问题3-6:那存在零点的区间是否也需要改成闭区间？生：不需要，零点是利用()()0f a f b ⋅<确定的零点，所以零点不会出现在端点处. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有()()0f a f b ⋅<,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点,即存在(),c a b ∈,使()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的根．问题3-7：①满足零点存在性定理条件，函数一定在区间(,)a b 有零点，不满足定理条件，函数()y f x =在区间(,)a b 内一定不存在零点吗？②此定理能判定零点的存在性，能判定零点有多少个吗？生：不满足定理条件，()()0f a f b ⋅>时依然可能存在零点.师：怎样修改条件时,函数在区间(,)a b 上只有一个零点？教师活动：教师指导学生作图,引导学生大胆猜想.学生活动：小组讨论,代表作答,学生经历自主举例,促进对定理的准确理解.生：只要让函数在区间[,]a b 上是单调函数就可以.教师归纳：定理中的“连续不断”是必不可少的条件；定理不能确零点的个数；不满足定理条件时依然可能存在零点．师:回顾刚才提出的问题,这个函数在哪个区间存在零点呢?生:积极作答.设计意图：通过设计问题串，引导学生交流，讨论，让学生的思维得到碰撞，逐渐形成零点存在定理的概念，一步一步加强对定理的完善，培养学生学习的主动性和创造性，通过一系列的提问和质疑，让学生全面的了解零点存在定理，提升学生的数学语言表达能力，这也体现了学生用数学语言来表达世界的契机.在这个过程中体现了数学的四大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想想象。

函数的零点教学设计数学科学学院杜建设指导老师刘洋一、教材分析：1 函数的零点是新课程中新增的内容，选自人教版《普通高中课程标准实验教科书》A 版必修1第三章第一节。

2地位与作用：函数是高中数学的核心概念，而函数的零点又是其中的一个链接点，它从不同角度将数与形，函数与方程有机的联系起来，本节课的学习又为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习的算法提供了基础．因此本节内容具有承前启后的作用。

3教学重点：函数零点的概念及求法难点：利用函数的零点作图二、教学目标1.知识与技能(1) 结合二次函数的图像，掌握零点的概念，会求简单函数的零点。

(2) 理解方程的根和函数零点的关系。

(3) 理解函数零点存在的判定条件。

2.过程与方法(1) 观察能力：观察熟悉的一元二次方程与相应的二次函数图像得出零点定义。

以及观察函数图像来得出函数零点的存在的判定条件。

(2) 归纳能力：从具体的例子中归纳一般的，共性的性质定理。

3.情感态度与价值观(1)从易到难，顺应学生的学习心理，学生能体会到学习数学的成功感。

(2) 以学生为主体，营造学习氛围，学生产生热爱学习数学的积极心理。

三、教法学法：采用学案导学，以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法。

四、教学过程：为顺利完成本节课的教学目标，现制定以下教学环节：（一）问题引入：（1）一元二次方程是否有实根的判定方法是什么？（2）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴方程分别是什么？设计意图：为学生顺利进入新知探究做好铺垫。

以旧引新，也利于学生建构知识网络。

（二）新知探究此过程是本节课的重点，在这里我以学生熟悉的二次函数为载体，以问题串的方式，组织学生自主探究，通过归纳、概括形成概念。

具体做法如下：1 概念形成问题1 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象；方程x2－2x－3＝0的实数根为-1、3。

函数y＝x2－2x－3的图象如图所示。

x设计意图：①从学生最熟悉的问题入手，便于学生动手动脑，更利于学生激起求知欲望；②最后用多媒体展示作图过程，进一步提高学生的作图能力。

第三章 函数的应用一、课程要求本章通过学习用二分法求方程近似解的的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题 . 1 .通过二次函数的图象,懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数,通过具体的函数例子,了解函数零点与方程根的联系.2. 根据函数图象,借助计算器或电脑,学会运用二分法求一些方程的近似解,了解二分法的实际应用,初步体会算法思想.3. 借助计算机作图,比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系 .4. 收集现实生活中普遍使用几种函数模型的案例,体会三种函数模型的应用价值,发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、 编写意图和教学建议1. 教材高度重视函数应用的教学,注重知识间的相互联系（比如函数、方程、不等式之间的关系，图象零点与方程根的关系）.2. 教材通过具体例子介绍二分法,让学生初步体会算法思想, 以及从具体到一般的认识规律.此外, 还渗透了配方法、待定分数法等数学思想方法.3．教材高度重视信息技术在本章教学中的作用，比如，利用计算机创设问题情境，增加了学生的学习兴趣，利用计算机描绘、比较三种增长模型的变化情况，展示log x a a x a 与随的不同取值而动态变化的规律，形象、生动，利于学生深刻理解. 因此，教师要积极开发多媒体教学课件，提高课堂教学效率.4．教材安排了“阅读与思考”的内容，肯在提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养.5．本章最后安排了实习作业，学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值. 教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例 .三、教学内容与课时的安排建议全章教学时间约需9课时.3.1 函数与方程 3课时3.2函数模型及其应用 4课时实习作业 1课时小结 1课时§3.1.1方程的根与函数的零点一、教学目标1． 知识与技能①理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．②培养学生的观察能力．③培养学生的抽象概括能力．2． 过程与方法①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法．②让学生归纳整理本节所学知识．3． 情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定．难点 零点的确定．三、学法与教学用具1． 学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．二次函数的零点及零点存在性的．教学过程与操作设计：函数零点的概念：课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．二分法的意义、算法思想及方法步骤．初步应用二分法解．二分法为什么可以逼近零点的再分析；．追寻阿贝尔和伽罗瓦．教学过程与操作设计：课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：实际问题引入，激发学生兴趣．选择变量、建立模型，利用数据表格、函数图象讨论模型，体会不同函数模型增长的含义及其差异．归纳一般的应用题的求教学过程与操作设计：。

《方程的根与函数的零点》教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。

因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。

教学目标【知识与能力目标】结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.【知识与技能目标】理解并会用函数在某个区间上存在零点的条件和判定方法．自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．【情感、态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合的意义和价值.教学重难点【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．【教学难点】探究发现函数零点的存在性.课前准备多媒体课件、教具等．教学过程问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x . 问题2 一元二次方程的的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的联系？ 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

函数零点教学设计
一、导入
1、教学目的
（一）掌握求函数零点的概念；
（二）学会求求函数零点的方法。

2、教学重点
求函数零点的概念掌握以及求函数零点的方法
3、教学难点
求函数零点的方法掌握。

二、新授
1、学习内容
（一）求函数零点的概念；
（二）求函数零点的方法；
（三）求函数零点的技巧。

2、教学方法
（一）教师讲授：讲解函数零点的概念，并结合实际例子，讲授求函数零点的方法；
（二）实际操练：学生结合实际例子实际进行函数零点的求解；
（三）讨论研究：教师结合实际例子讨论求函数零点的方法和技巧，让学生更加熟悉函数零点的求解。

三、归纳
1、函数零点概念
函数零点，又叫极值点，是指函数图像和x轴的交点，它表示的是函数定义域内取值对应于函数值的最小值或最大值。

2、求函数零点的方法
（一）求解式求解法：用公式把函数求解成一元一次函数，用求解式线性方程的方法求解。

（二）图形法：先分析函数图像的特征，再根据函数的连续性和单调性，从图形上判断函数的零点。

（三）导数法：利用函数的导数表达式求函数零点，求函数的零点可以转化为求函数的极值方程的根。

人教版必修一精品教学资料3.1.2 函数零点的存在性定理（一）教学目标1．知识与技能体验零点存在性定理的形成过程,理解零点存在性定理,并能应用它探究零点的个数及存在的区间.2．过程与方法经历由特殊到一般的过程,在由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理,从而掌握零点存在性定理的过程中,养成研究问题的良好的思维习惯.3．情感、态度与价值观经历知识发现、生成、发展、掌握、理解的过程,学会观察问题,发现问题,从而解决问题；养成良好的科学态度,享受探究数学知识的乐趣.（二）教学重点与难点重点：掌握零点存在性定理并能应用.难点：零点存在性定理的理解（三）教学方法通过问题发现生疑,通过问题解决析疑,从而获取知识形成能力；应用引导与动手尝试结合教学法,即学生自主探究与教师启发,引导相结合.（四）教学过程.学生总结师生完善补充学生自主完成例1 已知集合A = {x ∈R |x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0},B = { x ∈R |x ＜0},若A ∩B ≠∅,求实数a 的取值范围.【解析】设全集U = {a |△= (–4a )2 – 4 (2a + 6)≥0}= 3{|(1)()0}2a a a +-≥= 3{|1}2a a a ≤-≥或若方程x 2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x 1,x 2均非负,则1212340,.2260.a Ux x a a x x a ∈⎧⎪+=≥⇒≥⎨⎪=+≥⎩因为在全集U 中集合3{|}2a a ≥的补集为{a |a ≤–1},所以实数a 的取值范围是{a |a ≤–1}.例2 设集合A = {x | x 2 + 4x = 0,x ∈R },B = {x | x 2 + 2 (a + 1) x + a 2 – 1 = 0, x ∈R },若A ∪B = A ,求实数a 的值.【解析】∵A = {x | x 2 + 4x = 0,x ∈R },∴A = {–4,0}. ∵A ∪B =A ,∴B ⊆A .1°当B = A ,即B = {–4,0}时,由一元二次方程根与系数的关系得22(1)4,, 1.10a a a -+=-⎧=⎨-=⎩解之得 2°当B =∅,即方程x 2 + 2 (a + 1)x + a 2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a 2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得,a ＜–1.3°当B = {0},即方程x 2 + 2(a + 1)x + a 2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时,2880,, 1.10.a a a +=⎧=-⎨-=⎩解得 4°当B = {–4}时,即需2880,168(1)10.a a a +=⎧⎨+++-=⎩无解. 综上所述,若A ∪B =A ,则a ≤–1或a = 1.。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点教学目标：知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．过程与方法零点存在性的判定．情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点：重点零点的概念及存在性的判定．难点零点的确定．教学程序与环节设计：结合二次函数引入课题．零点存在性为练习重点．教学过程与操作设计：环节教学内容设置师生双边互动创设情境先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：○1方程0322=--xx与函数322--=xxy○2方程0122=+-xx与函数122+-=xxy○3方程0322=+-xx与函数322+-=xxy师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？组织探究函数零点的概念：对于函数))((Dxxfy∈=，把使0)(=xf成立的实数x叫做函数))((Dxxfy∈=的零点．函数零点的意义：函数)(xfy=的零点就是方程0)(=xf实数根，亦即函数)(xfy=的图象与x轴交点的横坐标．即：方程0)(=xf有实数根⇔函数)(xfy=的图象与x轴有交点⇔函数)(xfy=有零点．函数零点的求法：求函数)(xfy=的零点：○1（代数法）求方程0)(=xf的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：○1代数法；○2几何法．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象：○1 在区间]1,2[-上有零点______； =-)2(f _______，=)1(f _______,)2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）． ○2 在区间]4,2[上有零点______； )2(f ·)4(f ____0（＜或＞）． （Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点； )(a f ·)(b f _____0（＜或＞）． ○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点； )(b f ·)(c f _____0（＜或＞）． ○3 在区间],[d c 上______(有/无)零点； )(c f ·)(d f _____0（＜或＞）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考． 师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析． 师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．环节教学内容设置师生互动设计课题：§3.1.2用二分法求方程的近似解教学目标：知识与技能通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学程序与环节设计：由二分查找及高次多项式方程的求问题引入．初步应用二分法解．二分法为什么可以逼近零点的再分析；．追寻阿贝尔和伽罗瓦．教学过程与操作设计：课题：§3.2.1几类不同增长的函数模型教学目标：知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学程序与环节设计：实际问题引入，激发学生兴趣．归纳一般的应用题的求教学过程与操作设计：。

优质资料---欢迎下载§3.1.1方程的根与函数的零点【教学目标】知识目标：理解函数零点的定义以及方程的根与函数的零点之间的联系，了解“函数零点存在”的判断方法，对新知识加以应用.能力目标：渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力，领会数形结合、化归等数学思想.情感态度与价值观:认识函数零点的价值所在，使学生认识到学习数学是有用的；培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.【教学难点】函数零点存在性定理的理解及初步应用【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合.【教具准备】多媒体课件【教学过程】一、创设情境，引入新课1、方程解法史话（1）花拉子米(约780～约850)给出了一次方程和二次方程的一般解法。

（2）阿贝尔(1802～1829)证明了五次以上一般方程没有求根公式。

2、问题1：(1)画出函数y=x-2的图象；(2)求出方程x-2=0的解。

问题2：函数图象与x轴的交点坐标与方程的根有什么关系？结论：函数图象与x轴交点的横坐标就是方程x-2=0的根。

3、问题3：下列二次函数的图象与x轴交点和相应方程的根有何关系？(1)y=x2-2x-3与x2-2x-3=0(2)y=x2-2x+1与x2-2x+1=0(3)y=x2-2x+3与x2-2x+3=0引申：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系？结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。

4、问题4：函数y=f(x)的图象与x轴交点和相应的方程f(x)=0的根有何关系呢？结论: 函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程f(x)=0的实数根。

对于函数的这一特征，在数学上我们称为函数的零点，这也就是我们今天所要学习的内容———方程的根和函数的零点二、 讲解新课1、函数的零点定义：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标1．知识与技能理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系，掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。

2．过程与方法通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。

3．情感、态度与价值观通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。

二、教学重点与难点重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，零点存在的判断。

难点：方程的根与函数零点的关系（体现函数与方程的关系），零点存在判定方法的探究及应用（体现判定方法：条件、结论、应用）。

三、教学过程（一）发现问题，引出课题问题 1 观察下表，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并写出函数图象与x轴交点的坐标提出疑问：方程的根与函数图象与x轴交点的横坐标之间有什么关系？结论：方程的根就是函数图象与X轴交点的横坐标。

（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f（x）我们把使方程f（x）=0的实数x 叫做函数y=f（x）的零点。

注意：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值；2、你能说说方程的根、函数图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？等价关系：方程f（x）=0y=f（x）的图象与x轴有交点函数y=f（x）有零点（零点是针对函数而言的，根是针对方程而言的）。

例1、求下列函数的零点求零点方法总结：代数法：令f （x ）=0；解方程f(x)=0；写出零点. 几何法：找出函数图象与x 轴交点的横坐标. 3、观察下面函数)(x f y =的图象判断()()()()()()f a f o f b f c f d f e 、、、、、的值得符号。

判断()()f a f b 、()()f b f c 、()()f a f e 、()()f o f b 、()()f c f d 、()()f b f e 的值得符号。

函数的零点与方程的解教学设计一、教材分析本节选自人教A版必修一第三章第一节内容，是在上一章刚学了函数的性质的基础之后，再对方程的根与函数的零点进行探究，是函数的应用之一。

本节内容通过结合函数的图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点和方程的关系，即从“数”的角度和“形”的角度来学习本节内容，能提高学生数形结合的意识，培养学生的数形结合的能力。

同时本节内容为下节“二分法求方程的近似解”和后续学习算法提供了理论基础，具有承上启下的作用。

三、教学目标：1.通过对三个具体的方程及其对应的函数的探究，理解函数零点的概念；2.通过对函数零点、方程的根、函数与x轴交点的横坐标对比，掌握函数零点的等价关系式，并学会用不同方法求函数的零点；3.通过对函数零点存在条件的探究以及对零点存在的条件的辨析，理解函数零点存在定理；4.通过结合函数与方程共同研究，提升学生数形结合的意识，提升数学的核心素养。

四、教学重点:1.通过对具体一元二次方程及其对应的二次函数的对比学习，理解并掌握函数零点的定义；2.通过对比，得出函数零点的等价关系式，并会用等价关系式用不同方法求函数的零点；3.通过对具体函数的零点存在条件的探究，理解并掌握函数零点存在定理。

五、教学难点:1.函数零点的概念以及函数零点的等价式；六、教学方法：这节课通过对具体的一元二次方程及其对应的二次函数的对比研究，再上升到一般的函数概念上，是“具体”到“抽象”，从“特殊”到“一般”的认知过程，培养学生对比归纳能力。

七、教学过程：（一）情景引入：问题1：观察以下几个一元二次方程及其相应的二次函数方程0322=--x x 与函数322--=x x y方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y 方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y思考：上述一元二次方程的实根为多少？对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标为多少？它们有什么样的关系呢？（二）函数的零点概念：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点. （注：函数的零点是一个实数，而不是一个点.） 完善下列表格，求出各个函数的零点(设计意图：通过练习，辨析函数零点的概念,函数的零点是一个实数，而不是一个点）问题2：函数)(x f y =的零点与方程0)(=x f 的解有什么关系？与函数图象与x 轴的交点又有什么关系？（等价关系）函数)(x f y =有零点⇔方程0)(=x f 有解⇔函数)(x f y =图象与x 轴有交点问题3：求函数的零点有哪些方法？练习：求下列函数的零点.（并说明方法）2)(12--=x x x f ）（)1(log )(22+=x x f ）（ xx f 3)(3=）（x x f 1)(4=）（(设计意图：通过练习，帮助学生巩固函数零点概念，明确求函数零点的多种方法，为之后探究函数零点存在定理做铺垫）（三）函数零点存在性定理：问题4： 观察上述四个函数的图象，得出区间[]b a ,在何种情况下，一定有零点？（1）22--=x x y （2）)1(log 2+=x y（3）x y 3= （4）xy 1=观察在函数22--=x x y 中，区间[]21,2-内有零点，)()2(21-⋅-f f 0，区间[]3,1内有零点，)3()1(f f ⋅0观察在函数)1(log 2+=x y 中，区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21内有零点，)1()21(f f ⋅-0 观察在函数x y 3=中，整个定义域内都无零点，)()(,,b f a f R b a ⋅∈∀0观察在函数xy 1=中，虽然0)1()1(＜f f ⋅-，但函数整个定义域内都无零点. (设计意图：通过实例，与学生共同探究函数零点存在性定理，是由“特殊”到“一般”的学习过程）函数零点存在性定理： 如果函数)(x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(＜b f a f •，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(c b a ∈，使得0)(=x f ，这个c 也就是方程的解.问题5： 已知函数)(x f y =在区间[]b a ,上图象连续不断，且在区间),(b a 内存在零点，则)(x f 必满足0)()(＜b f a f ⋅（四）课堂练习（五）小结：三个关系：函数有零点、方程有根、函数图像与x 轴有交点两种思想：函数方程思想；数形结合思想三种应用：求函数零点、求函数零点个数、求函数零点所在的区间（六）课后练习1.拓展作业：已知2(x)23f x x a =---,求a 取何值时函数能分别满足下列条件：①有2个零点;②3个零点;③4个零点.(设计意图：围绕课堂的重点，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间)。