第二章 2.4 2.4.1
一、选择题
1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．7
2
C ．－7
2
D ．－7
[答案] C
[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－7
2，
∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－7
2
.
2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
[答案] A
[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．
3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a
x ＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是
( )
A ．－1或1
B ．0或－1
C ．1或0
D ．2或1
[答案] C
[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a
x ＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b .
∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C.
4．(2014，湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )
A ．{1,3}
B ．{－3，－1,1,3}
C ．{2－7，1,3}
D ．{－2－7，1,3}
[答案] D
[解析] 令x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－3x (x ≥0)
－x 2
－3x (x <0).
∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3(x ≥0)
－x 2
－4x ＋3(x <0)
.
当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )
[答案] A
[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．
6．函数f (x )＝x －4
x 的零点有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
[答案] C
[解析] 令f (x )＝0，即x －4
x ＝0，∴x ＝±2.
故f (x )的零点有2个． 二、填空题
7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．
[答案] 1
2
[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝1
2
.
8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．
[答案] f (x )＝x 2－x －6
[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)
∴a ＝1，
∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题
9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.
[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0， 解得x ＝－1
7
或x ＝1.
∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－1
7，1.
(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－3
2
.
∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－3
2
.
一、选择题
1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )
A ．一个
B ．两个
C ．至少两个
D ．无法判断
[答案] B
[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，
∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，故选B.
2．(2013～2014学年度人大附中高一期末测试)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )
A ．1,2
B ．－1，－2
C ．1，1
2
D ．－1，－1
2
[答案] C
[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关
系．方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎨⎧
1＋2＝－b
a
1×2＝c
a
，∴b a ＝－3，c
a
＝2，于是f (x )
＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c a x 2＋b a x ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1，1
2，
故选C.
3．(2013·重庆理)若a
A ．(a ，b )和(b ，c )内
B ．(－∞，a )和(a ，b )内
C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内
D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内
[答案] A
[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.
4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0] D ．[－1,0]
[答案] C
[解析] 当m ＝0时，x ＝－3
2<0成立，排除选项A ，B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x 2
－4x ＝0，
