成才之路高一数学人教B必修课后强化作业：函数的零点

2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点【选题明细表】1.下列函数不存在零点的是( D )(A)y=x-(B)y=(C)y=(D)y=解析:令y=0,得选项A和C中的函数零点都为1和-1;选项B中函数的零点为-,1;只有选项D中函数不存在零点.故选D.2.函数f(x)=的零点个数是( C )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:法一x<0时,令x+2=0,得x=-2;x>0时,令x2-1=0,得x=1.所以函数有两个零点,故选C.法二画函数的大致图象如图,从图象易得函数有两个零点.故选C.3.若函数f(x)的零点与g(x)=2x-2的零点相同,则f(x)可以是( B )(A)f(x)=4x-1 (B)f(x)=(x-1)2(C)f(x)=x2+4x-5 (D)f(x)=x2-1解析:令g(x)=2x-2=0,得x=1,所以g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)=0的根只有x=1.只有选项B中函数f(x)=(x-1)2满足.故选B.4.函数f(x)=2x2-ax+3有一零点为,则f(1)= .解析:因为是f(x)=2x2-ax+3的零点,所以2×-a×+3=0,所以a=5,所以f(x)=2x2-5x+3,所以f(1)=0.答案:05.已知函数y=f(x)是R上的奇函数,其零点为x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= .解析:由奇函数的对称性知,若f(x1)=0,则f(-x1)=0,即零点关于原点对称,且f(0)=0,故x1+x2+x3+x4+x5=0.答案:06.函数f(x)=2|x|-ax-1仅有一个负零点,则a的取值范围是( B )(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)(C)(0,2) (D)(-∞,2]解析:问题可以转化为y=2|x|与y=ax+1的图象仅有一个公共点,如图,y=2|x|是一条关于y轴对称的折线,y=ax+1是恒过(0,1)的一条直线,由图可知a的范围是不小于2的实数,故选B.7.若方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,则k的取值范围是( C )(A)[-,-) (B)[-,)(C)[-,) (D)[-,+∞)解析:方程x2-x-k=0在(-1,1)上有实数根,即方程x2-x=k在(-1,1)上有实数根.设f(x)=x2-x.因为f(x)=x2-x=(x-)2-,所以f(x)min=f()=-,f(x)max=f(-1)=.所以k∈[-,), 故选C.8.若一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,则有( A )(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1解析:法一令f(x)=ax2+2x+1(a≠0),因为其图象经过(0,1)点,所以欲使方程有一正根和一负根(即f(x)图象与x轴交点一个在y轴左边,一个在y轴右边),需满足a<0.法二设方程两根为x1,x2,由题意得所以所以a<0.故选A.9.若函数y=ax2-x-1只有一个零点,则a的值为.解析:当a=0时,函数为y=-x-1,此时函数只有一个零点,当a≠0时,函数y=ax2-x-1只有一个零点,即方程ax2-x-1=0只有一个实数根,所以Δ=1+4a=0,解得a=-.答案:0或-10.(2018·广东海珠联考)已知函数f(x)=ax2+mx+m-1(a≠0).(1)若f(-1)=0,判断函数f(x)的零点个数;(2)若对任意实数m,函数f(x)恒有两个相异的零点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(-1)=0,所以a-m+m-1=0,所以a=1,所以f(x)=x2+mx+m-1.Δ=m2-4(m-1)=(m-2)2.当m=2时,Δ=0,函数f(x)有一个零点;当m≠2时,Δ>0,函数f(x)有两个零点.(2)已知a≠0,则Δ=m2-4a(m-1)>0对于m∈R恒成立,即m2-4am+4a>0恒成立,所以Δ′=16a2-16a<0,从而解得0<a<1.即实数a的取值范围为(0,1).11.(2018·江苏南京玄武期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx-2(a≠0)图象的对称轴为x=,且f(2)=0.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若方程f(x)=m(x+1)的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数m的取值范围.解:(1)由题意知,解得故函数f(x)的解析式为f(x)=7x2-13x-2.(2)设g(x)=7x2-13x-2-m(x+1)=7x2-(13+m)x-(m+2),由题意知,函数g(x)在(0,1)内有一个零点,在(1,2)内有一个零点,所以即解得解得-4<m<-2,所以实数m的取值范围为(-4,-2).12.对于函数f(x),若存在x0∈R,使f(x0)-x0=0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;(2)对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围. 解:(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x2-x-3.因为x0是f(x)的不动点,所以-x0-3-x0=0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3.所以-1和3是f(x)=x2-x-3的不动点.(2)因为f(x)恒有两个相异的不动点, 所以方程f(x)-x=0恒有两个不同的解. 即f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)-x=0,ax2+bx+(b-1)=0有两个不相等的实根, 所以b2-4a(b-1)>0恒成立,即对于任意b∈R,b2-4ab+4a>0恒成立, 所以(-4a)2-4·4a<0得a2-a<0.所以0<a<1.。

2.4函数与方程2.4.1函数的零点学习目标：1.理解函数零点的概念．(重点)2.会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[自主预习·探新知]函数的零点1．定义如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号．(2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．思考：怎样判断函数零点的个数？[提示](1)转化为解方程，有几个根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，进而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)<0，可判定y＝f(x)在(a，b)上至少有一个零点．(4)转化为两个函数图象的交点个数问题．[基础自测]1．思考辨析(1)所有的函数都有零点．()(2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．()(3)f (x )＝x －1x 只有一个零点．( )[解析] (1)× 例如y ＝x －2这个函数不存在零点．(2)× 由函数零点的定义可知，函数y ＝f (x )的零点为x 1，x 2，它是实数，不是点．(3)× 由f (x )＝0得x －1x ＝0，解得x 1＝1或x 2＝－1，所以函数f (x )＝x －1x 有两个零点．[答案] (1)× (2)× (3)×2．函数f (x )＝x 2－3x －4的零点是( )A ．1，－4B ．4，－1C ．1,3D ．不存在B [令x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或－1，∴零点为4，－1，故选B.]3．函数y ＝2x －1的图象与x 轴交点坐标及零点分别是( )A ．12，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12C ．－12，－12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－12 B [令y ＝2x －1＝0，∴x ＝12，∴与x 轴的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，零点为12，故选B.]4．已知函数f (x )＝ax 2－bx ＋1的零点为－12，13，则a ＝________，b ＝________. －6 1 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －12＋13＝b a ，－12×13＝1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝1.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)f (x )＝ax ＋1(a ∈R )；(2)f (x )＝x 2－x －6；(3)f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0. [解] (1)令f (x )＝0，即ax ＋1＝0. 当a ＝0时，1＝0不成立，故方程无实根，即函数无零点；当a ≠0时，方程有唯一根x ＝－1a ，故函数有唯一零点x ＝－1a .(2)法一：(代数法)令f (x )＝0，即x 2－x －6＝0，∵Δ＝(－1)2－4×1×(－6)＝25>0，∴方程x 2－x －6＝0有两个不相等的实数根x 1＝－2，x 2＝3，∴函数f (x )＝x 2－x －6的零点是x 1＝－2，x 2＝3.法二：(代数法)由x 2－x －6＝(x －3)(x ＋2)＝0，得x 1＝－2，x 2＝3，∴函数f (x )的零点是x 1＝－2，x 2＝3.(3)法一：(代数法)由x ＋1＝0知x ＝－1，但－1∉[0，＋∞)，故当x ≥0时，函数f (x )无零点；由x －1＝0知x ＝1，但1∉(－∞，0)．故当x <0时，函数f (x )无零点．综上，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0，x －1，x <0没有零点． 法二：(几何法)画出函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0的图象，如图所示．∵函数图象与x 轴没有交点，∴函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，x －1，x <0没有零点． [规律方法] 求函数零点的两种方法(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不易求根的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．[跟踪训练]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.0，－12 [∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0或x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.](1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .[思路探究] (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．[解](1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点．(2)法一：(几何法)由x2－1x＝0，得x2＝1x.令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1 x.在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．法二：(代数法)令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．[规律方法]判断函数零点个数的三种方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出y＝f(x)的图象，判断它与x轴交点的个数，从而判断零点的个数．(3)转化为两个函数图象交点问题．例如，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)＝g(x)的实数根的个数，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的个数．[跟踪训练]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．[解]y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究问题]1．设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？提示：F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．2．若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？提示：若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，(1)有两个零点；(2)有三个零点．[解]令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图象如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．(1)若函数有两个零点，则a＝0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a＝4.[规律方法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[跟踪训练]3．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1B [根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋－5a ＋1>0， 解得a >15或a <－1.][当 堂 达 标·固 双 基]1．函数y ＝2x －4的零点是( )A ．2B ．(2,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0D ．12 A [由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.]2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3A [因为Δ＝12－4×3＝－11<0，二次函数图象与x 轴不相交，因此没有零点．]3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.0 [由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0，则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0.]4．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.0或－14 [(1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.]5．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．[解] 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎨⎧ f (0)f (1)f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1＋k －2＋2k －4＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

2.4函数与方程2.4.1函数的零点[学习目标]1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.[知识链接]考查下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.答案[1.函数的零点(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.(2)性质①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系要点一求函数的零点 例1求下列函数的零点： (1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1.解(1)∵f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， ∴方程－x 2－2x ＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.(2)∵f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1. 规律方法函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 解(1)当a ＝0时，令y ＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得，x ＝1a 或x ＝－2.①当a ＝－12时，函数的零点为－2；②当a ≠－12时，函数的零点为1a ，－2.综上所述：(1)当a ＝0或－12时，零点为－2；(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1a ，－2.要点二函数零点个数的判断例2若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围.解①若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点.规律方法判断或求形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点时，首先对a 分a ≠0和a ＝0两种情况讨论，然后对a ≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.跟踪演练2判断下列函数的零点个数： (1)f (x )＝x 2－7x ＋12； (2)f (x )＝x 2－1x.解(1)由f (x )＝0即x 2－7x ＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f (x )有两个零点.(2)方法一由x 2－1x ＝0得x 2＝1x ，令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x，在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.方法二令f (x )＝0得x 2－1x ＝0即x 3－1＝0(x ≠0)， ∴x ＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点. 要点三函数零点性质的应用例3已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.解令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，f (2)＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0， 解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5).规律方法解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.解由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝2m ＋1＜0，f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ∈R ，m ＜－12，m ＞－56，∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12).1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是() A.(0，±2)；±2B.(±2,0)；±2C.(0，－2)；－2D.(－2,0)；2 答案B解析令x 2－4＝0，得x ＝±2，故交点坐标为(±2,0)，所以函数的零点为±2.2.若函数f (x )在定义域R 上的图象是连续的，图象穿过区间(0,4)，且方程f (x )＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f (0)·f (4)的值() A.大于0B.小于0 C.等于0D.无法判断 答案B解析由题意可知，函数在零点左边和右边的函数值是异号的，所以f (0)·f (4)＜0. 3.如果二次函数y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，则m 的取值范围是() A.(－2,6) B.[－2,6]C.(－∞，－2)∪(6，＋∞)D.{－2,6} 答案C解析由题意，得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，即m 2－4m －12＞0，∴m ＞6或m ＜－2. 4.函数f (x )＝x －4x 的零点个数为()A.0B.1C.2D.无数个 答案C解析f (x )＝x 2－4x，得x 1＝2，x 2＝－2，即函数有2个零点.5.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 答案2 －8解析∵2，－4是函数f (x )的零点， ∴f (2)＝0，f (－4)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.1.函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点.反映在图象上就是函数图象与x 轴无交点，如函数y ＝1或y ＝x 2＋1就没有零点.2.判断函数的零点，可利用的结论：若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则在区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )至少有一个零点，即相应的方程f (x )＝0在区间(a ，b )内至少有一个实数解.。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 函数的零点课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，那么函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b .∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，应选C.4．(2021，湖北文，9)已知f (x )是概念在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .那么函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，那么－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7，∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}．5．以下图象对应的函数中没有零点的是( ) [答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，假设函数图象与x 轴没有交点，那么函数没有零点．观看四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个． 二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，那么m 的值为________． [答案]12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点别离为－二、3，且f (－6)＝36，那么二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3) ∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求以下函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0， 解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.一、选择题1．假设函数f (x )在概念域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，那么函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在概念域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，应选B.2．(2021～2021学年度人大附中高一期末测试)假设关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，那么实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 此题要紧考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c＝0(a ≠0)有两个实根1,2，那么⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴b a＝－3，ca＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (cax 2＋bax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，因此该函数的零点是1，12，应选C.3．(2021·重庆理)假设a <b <c ，那么函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点别离位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 此题考查函数的零点的判定问题．因为a <b <c ，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A.4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，那么m 的取值范围是( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A ，B ，当m ＝－3时，原方程变成－3x 2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部份对应值如下表，那么使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] (－∞，－[解析] 由表中给出的数据能够取得f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此依照持续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可适当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．(2021～2021学年度辽宁鞍山一中高一期中测试)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，假设关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m ，m ＋6，那么实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a 2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36，∴m ＋a2＝－3.又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．假设函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．(2021～2021学年度湖南怀化市怀化三中高一期中测试)已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点别离为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.9．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)假设函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，那么m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)假设函数有两个不同零点x 1，x 2， 则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2， ∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，体会证m ＝－3符合题意．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.1 第2课时映射与函数课后强化作业新人教B版必修1一、选择题1．下列各组中，集合P与M不能建立映射的是( )A．P＝{0}，M＝∅B．P＝{1,2,3,4,5}，M＝{2,4,6,8}C．P＝{有理数}，M＝{数轴上的点}D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}[答案] A[解析] 选项A中，M＝∅，故集合P中的元素在集合M中无元素与之对应，故不能建立映射．2．(2013～2014学年度河北唐山市开滦二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{1,2，m}，B＝{4,7,13}，若f：x→y＝3x＋1是从集合A到集合B的映射，则m的值为( ) A．22 B．8C．7 D．4[答案] D[解析] 由题意可知，3m＋1＝13，∴m＝4.3．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{a，b，c}，那么从集合A到集合B的一一映射的个数为( )A．3 B．6C．9 D．18[答案] B[解析] 集合A中有3个元素，集合B中有3个元素，根据一一映射的定义可知从A 到B的一一映射有6个，故选B.4．(2013～2014学年度辽宁五校协作体高一期中测试)已知A＝B＝R，x∈R，y∈R，f：x→y＝ax＋b是从A到B的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f下的象是( ) A．3 B．4C．5 D．6[答案] A[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝110a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2.∴y ＝x －2，∴5在f 下的象是5－2＝3.5．已知映射f ：A →B ，即对任意a ∈A ，f ：a →|a |.其中，集合A ＝{－3，－2，－1,2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的对应元素，则集合B 中元素的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] A[解析] |－3|＝|3|，|－2|＝|2|，|－1|＝1，|4|＝4. 因为集合元素具有互异性，故B 中共有4个元素， 所以B ＝{1,2,3,4}．6．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，在图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是( )[答案] D[解析] A 中，y 的范围不符；B 中，y 的范围不符；C 不符合映射定义：对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中有惟一元素与之对应．∴选D.二、填空题7．已知a 、b 为实数，集合M ＝{ba，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为____________．[答案] 1[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0a ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0a ＝1，∴a ＋b ＝1.8．设集合A ＝{0,1}，b ＝{2,3}，对A 中的每一个元素x 总有x ＋f (x )为偶数，那么从A到B的映射f的个数是________．[答案] 1[解析] 从A到B的映射有4个，即其中满足x＋f(x)为偶数的映射只有第3个，因此符合题意的映射共有1个．三、解答题9．下图中①、②、③、④用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应关系是不是映射？是不是函数关系？[解析] 根据映射定义知：图①中，通过运算法则“开平方”，违背定义中的A中每个元素在B中有惟一的象，即A中每个元素对应B中的两个象，故这种对应不是映射，当然也不是函数．图②中，违背A中每一个元素在B中都有惟一元素与之对应，因为6无象，故不是映射，也不是函数．图③和④都是映射，也是函数关系．一、选择题1．设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B 中的元素x3－x＋1，则在映射f下，象1的原象所组成的集合是( )A．{1} B．{0,1，－1}C．{0} D．{0，－1，－2}[答案] B[解析] 由题意可知f(x)＝x3－x＋1.当f(x)＝1时，求x.将各值代入检验可知选B.2．已知集合A ＝N *，B ＝{正奇数}，映射f ：A →B 使A 中任一元素a 与B 中元素2a －1相对应，则与B 中元素17对应的A 中的元素为( )A ．3B ．5C ．17D ．9[答案] D[解析] 由题意，得2a －1＝17，∴a ＝9.3．已知(x ，y )在映射f 下的象是(2x －y ，x －2y )，则原象(1,2)在f 下的象为( ) A ．(0，－3) B ．(1，－3) C ．(0,3) D ．(2,3) [答案] A[解析] 原象(1,2)在映射f 下的象为(0，－3)．4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7 [答案] C[解析] 由题目的条件可以得到a ＋2b ＝14,2b ＋c ＝9,2c ＋3d ＝23,4d ＝28.解得a ＝6，b ＝4，c ＝1，d ＝7，故选C.二、填空题5．f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(kx ，y ＋b )，若B 中的元素(6,2)在此映射下的原象是(3,1)，则k ＝________，b ＝________.[答案] 2 1[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＝61＋b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝1.6．设集合A 和B 都是自然数集，映射f ：A ―→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n＋n ，则在映射f 下象20的原象是__________．[答案] 4[解析] 由题意，得2n＋n ＝20，∴n ＝4. 三、解答题7．在下面所给的对应中，哪些对应不是集合A 到B 的映射？说明理由．[解析] (1)不是集合A 到B 的映射，因为A 中元素0在B 中没有元素与之对应． (2)、(4)、(5)、(6)是集合A 到B 的映射，因为A 中的任意一个元素在B 中都有惟一的元素与之对应．(3)不是集合A 到B 的映射．因为A 中的元素1、4、9在B 中都各有两个元素与之对应． 8．设A ＝{(x ，y )|x ∈R 、y ∈R }，如果由A 到A 的一一映射，使象集合中的元素(y ＋1，x ＋2)和原象集合中的元素(x ，y )对应．求：(1)原象(1,2)的象； (2)象(3，－4)的原象．[解析] (1)∵x ＝1，y ＝2，∴y ＋1＝3，x ＋2＝3，即原象(1,2)的象为(3,3)． (2)令y ＋1＝3，x ＋2＝－4，∴y ＝2，x ＝－6， ∴象(3，－4)的原象为(－6,2)．9．在下列各题中，判断下列对应是否为集合A 到集合B 的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A ＝N ，B ＝N ＋，对应法则f ：x →|x －1|； (2)A ＝{x |0≤x ≤6}，B ＝{y |0≤y ≤2}， 对应法则f ：x →x2；(3)A ＝{1,2,3,4}，B ＝{4,5,6,7}， 对应法则f ：x →x ＋3.[分析] 题中主要给出了两个集合A 、B 及一个对应法则，解答时，可由映射的定义出发，观察A 中任何一个元素在B 中是否都有惟一的元素与之对应，然后再进一步确定是否为一一映射及函数关系．[解析] (1)集合A ＝N 中元素1在对应法则f 作用下为0，而0∉N ＋，即A 中元素1在B 中没有元素与之对应，故对应法则f 不是从A 到B 的映射．(2)集合A 中元素6在对应法则f 作用下为3，而3∉B ，故对应法则f 不是从A 到B 的映射．(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有惟一的一个元素与之对应，所以，对应法则f是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有惟一的元素与之对应，故对应法则f：A→B又是一一映射．又A，B是非空数集，因此对应法则f也是从集合A到集合B的函数．。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 3.4 函数的应用课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．某工厂第三年的产量比第一年的产量增加44%，假设每一年的平均增加率相同(设为x )，那么以下结论中正确的选项是( )A ．x >22%B ．x <22%C ．x ＝22%D ．x 的大小由第一年产量确信 [答案] B[解析] 由题意设第一年产量为a ，那么第三年产量为a (1＋44%)＝a (1＋x )2，∴x ＝0.2.应选B.2．(2021～2021学年度湖北黄冈中学高一月考)某种细菌在培育进程中，每15 min 割裂一次(由1个割裂成2个)，那么这种细菌由1个繁衍成212个需通过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h[答案] C[解析] 细菌的个数y 与割裂次数x 的函数关系为y ＝2x ，令2x ＝212，解得x ＝12，又每15 min 割裂一次，因此共需15×12＝180 min ，即3 h.3．(2021～2021学年度安徽阜阳一中高一月考)某山区为增强环境爱惜，绿色植被的面积每一年都比上一年增加10.4%，那么，通过x 年，绿色植被面积能够增加为原先的y 倍，那么函数y ＝f (x )的图象大致为( )[答案] D[解析] 此题考查指数函数的解析式与图象．设山区第一年绿色植被面积为a ，那么y ＝a ×1＋10.4%xa＝(1＋10.4%)x ，应选D.4．已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度就失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原先强度的13以下，那么至少需要重叠玻璃板数为( ) A ．8块B ．9块C ．10块D ．11块[答案] D[解析] 设至少需要重叠玻璃板数为n ， 由题意，得(1－10%)n ≤13，解得n ≥11. 5．某工厂生产两种本钱不同的产品，由于市场销售发生转变，A 产品持续两次提价20%，B 产品持续两次降价20%，结果都以23.04元出售，现在厂家同时出售A 、B 产品各1件，盈亏情形是( )A ．不亏不赚B ．亏5.92元C ．赚5.92元D ．赚28.96元[答案] B[解析] 设A 产品的原价为a 元，B 产品的原价为b 元，那么a (1＋20%)2＝23.04，求得a ＝16；b (1－20%)2＝23.04，求得b ＝36.则a ＋b ＝52元，而23.04×2＝46.08元． 故亏52－46.08＝5.92(元)．应选B.6．某企业的产品本钱前两年平均每一年递增20%，通过改良技术，后两年的产品本钱平均每一年递减20%，那么该企业的产品本钱此刻与原先相较( )A ．不增不减B ．约增8%C ．约增5%D ．约减8%[答案] D[解析] 设原先本钱为a ，那么此刻的本钱为a (1＋20%)2(1－20%)2＝0.9216a ，比原先约减8%. 二、填空题7．某商品的市场需求量y 1(万件)、市场供给量y 2(万件)与市场价钱x (元/件)别离近似地知足关系：y 1＝－x ＋70，y 2＝2x －20.y 1＝y 2时的市场价钱称为市场平稳价钱，那么市场平稳价钱为________元/件．[答案] 30[解析] 由题意，知y 1＝y 2，∴－x ＋70＝2x －20，∴x ＝30.8．某水池中野生水葫芦的面积与时刻的函数关系图象如下图．假设其函数关系为指数函数，并给出以下说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30m 2； ③野生水葫芦从4m 2蔓延到12m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延至2m 2、3m 2、6m 2所需的时刻别离为t 1、t 2、t 3，那么有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度． 其中，正确的选项是________．(填序号)． [答案] ①②④[解析] ∵关系为指数函数，∴可设y ＝a x (a >0且a ≠1)．由图可知2＝a 1.∴a ＝2，即底数为2，∴说法①正确；∵25＝32>30，∴说法②正确；∵指数函数增加速度愈来愈快，∴说法③不正确；t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝t 3.∴说法④正确；∵指数函数增加速度愈来愈快，∴说法⑤不正确．故正确的有①②④.三、解答题9．(2021～2021学年度山东实验中学高一期末测试)某乡镇目前人均一年占有粮食360kg ，若是该乡镇人口平均每一年增加1.2%，粮食总产量平均每一年增加4%，那么x 年后人均一年占有y kg 粮食，求函数y 关于x 的解析式．[解析] 设该乡镇目前人口量为M ，那么该乡镇目前一年的粮食总产量为360M . 通过1年后，该乡镇粮食总产量为360M (1＋4%)，人口总量为M (1＋1.2%)， 那么人均占有粮食为360M 1＋4%M 1＋1.2%；通过2年后，人均占有粮食为360M 1＋4%2M 1＋1.2%2；……通过x 年后，人均占有粮食为y ＝360M 1＋4%x M 1＋1.2%x＝360(1.041.012)x ＝360(260253)x . 即所求函数解析式为y ＝360(260253)x .一、选择题1．据报导，全世界变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，若是按此速度，设2020年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2020年起，通过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是 ( )A．y＝0.95x50·m B．y＝(1－0.05x50)·mC．y＝0.9550－x·m D．y＝(1－0.0550－x)·m[答案] A[解析] 设每一年减少的百分比为a，由在50年内减少5%，得(1－a)50＝1－5%＝95%，即a＝1－(95%)150 ..因此，通过x年后，y与x的函数关系式为y＝m·(1－a)x＝m·(95%)x50＝(0.95) x 50·m.2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁衍，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物．已知该动物繁衍数量y(只)与引入时刻x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，假设该动物在引入一年后的数量为100，那么到第7年它们的数量为( )A．300 B．400C．600 D．700[答案] A[解析] 将x＝1，y＝100代入y＝a log2(x＋1)中，得100＝a log2(1＋1)，解得a＝100，那么y＝100log2(x ＋1)，因此当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300，应选A.3．某种型号的电话自投放市场以来，通过两次降价，单价由原先的2000元降到1280元，那么这种电话平均每次降价的百分率是( )A．10% B．15%C．18% D．20%[答案] D[解析] 设平均每次降价的百分率为x，那么2000(1－x)2＝1280，因此x＝20%，应选D.读懂题意正确成立函数模型，求解可得．4．(2021～2021学年度广东广雅中学高一月考)抽气机每次可抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原先的0.1%，那么至少要抽(参考数据：lg2≈0.3010)()A．6次B．7次C．8次D．9次[答案] C[解析] 此题考查对数函数的应用．设至少抽x 次可使容器内的空气少于原先的0.1%，那么(1－60%)x <0.1%，即0.4x <0.001，∴x lg0.4<－3，∴x >－3lg0.4＝－32lg2－1≈7.5，应选C. 二、填空题5．如图，由桶1向桶2输水，开始时，桶1有a L 水，t min 后，剩余水y L 知足函数关系y ＝a e －nt ，那么桶2的水确实是y ＝a －a e －nt .假设通过5 min ，桶1和桶2的水相等，那么再过________min ，桶1中的水只有a8L. [答案] 10[解析] 由题意可得，通过5 min时，a e －5n ＝a2，n ＝15ln2，那么，因此t ＝15，从而再通过10min 后，桶1中的水只有a8L6．一种产品的本钱原先是a 元，在尔后m 年内，打算使本钱平均每一年比上一年降低p %，那么本钱y 随通过的年数x 转变的函数关系为________．[答案] y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m ) [解析] 本钱通过x 年降低到y 元，那么y ＝a (1－p %)x (x ∈N *，且x ≤m )．三、解答题7．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．据报导中国青海玉树2020年4月14日发生地震的震级为7.1级．而2020年3月11日，日本发生9.0级地震，那么9.0级地震释放的能量是7.1级地震的多少倍(精准到1)?[解析] 9.0级地震所释放的能量为E 1,7.1级地震所释放的能量为E 2， 由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×7.1＋11.4＝22.05，从而lg E 1－lg E 2＝24.9－22.05＝2.85，故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝2.85，那么E 1E 2＝102.85≈708，即9.0级地震释放的能量是7.1级地震的708倍．8．关于5年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%.树木成材后，即可出售，然后从头栽树木；也能够让其继续生长．问：哪一种方案可取得较大的木材量(注：只需考虑10年的情形)?[解析] 设新树苗的木材量为Q ，那么10年后有两种结果： 持续生长10年，木材量N ＝Q (1＋18%)5(1＋10%)5； 生长5年后从头栽树木，木材量M ＝2Q (1＋18%)5. 则M N＝21＋10%5.∵(1＋10%)5≈1.61<2，∴M N>1，即M >N .因此，生长5年后从头栽树木可取得较大的木材量．9．某个体经营者把开始六个月试销A ，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51确信一个资金投入方案，使得该经营者能取得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可取得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图：观看散点图能够看出：A 种商品的所获纯利润y 与投资额x 之间的转变规律能够用二次函数模型进行模拟，如图①所示：取(4,2)为最高点，那么y ＝a (x －4)2＋2. 把点(1,0.65)代入，得0.65＝a (1－4)2＋2， 解得a ＝－0.15.因此y ＝－0.15(x －4)2＋2.B 种商品所获纯利润y 与投资额x 之间的转变规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图②所示：设y ＝kx ＋b ，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.25＝k ＋b 1＝4k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.25b ＝0.因此y ＝0.25x .即前6个月所获纯利润y 关于月投资A 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝－0.15(x －4)2＋2；前6个月所获纯利润y 关于月投资B 种商品的金额x 的函数关系式是y ＝0.25x .设下月投入A ，B 两种商品的资金别离为x A ，x B (万元)，总利润为W (万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧x A ＋x B ＝12W ＝y A ＋y B ＝－0.15x A －42＋2＋0.25xB，因此W ＝－0.15(x A －196)2＋0.15×(196)2＋2.6， 当x A ＝196≈3.2(万元)时，W 取最大值，约为4.1万元．现在x B ≈8.8(万元)．即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A 种商品，8.8万元投资B 种商品，可取得最大利润约为4.1万元．。

学业分层测评(十五) 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007【解析】 因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)． 【答案】 D3．函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.故方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点．【答案】 B5．若函数f(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x2＋4x－5 D．f(x)＝x2－1【解析】令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，∴g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)＝0只有x＝1一个根．只有选项B中函数f(x)＝(x－1)2满足．【答案】 B二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－2 015x＋2 016与x轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m2－2 016m＋2 016)(n2－2 016n＋2 016)的值为________．【解析】由题意，f(m)＝m2－2 015m＋2 016＝0，f(n)＝n2－2 015n＋2 016＝0，mn是方程x2－2 015x＋2 016＝0的两根，mn＝2 016，∴(m2－2 016m＋2 016)(n2－2 016n＋2 016)＝mn＝2 016.【答案】 2 0167．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.【导学号：60210061】【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.【答案】(0,4)8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k的取值范围为________.【导学号：97512032】【解】设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －4＋2k －1>0，∴12<k <23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23三、解答题9．设函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，且g (1)＝－a2.(1)求证：函数g (x )有两个零点；(2)讨论函数g (x )在区间(0,2)内的零点个数．【解】 (1)证明：∵g (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0，∴c ＝－32a －b .∴g (x )＝ax 2＋bx －32a －b ，∴Δ＝(2a ＋b )2＋2a 2，∵a ＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数f (x )有两个零点．(2)根据g (0)＝c ，g (2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴g (2)＝a －c .①当c ＞0时，有g (0)＞0，又∵a ＞0，∴g (1)＝－a2＜0， 故函数g (x )在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．②当c ≤0时，g (1)＜0，g (0)＝c ≤0，g (2)＝a －c ＞0，∴函数f (x )在区间(1,2)内有一零点，综合①②，可知函数g (x )在区间(0,2)内至少有一个零点．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x (x ≥0)，2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示：①0＜a ＜4时，方程有四个解； ②a ＝4时，方程有三个解； ③a ＝0或a ＞4时，方程有二个解； ④a ＜0时，方程没有实数解．[能力提升]1．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1【解析】 若a ＝0时显然不符合，令y ＝2ax 2－x －1，由f (0)＝－1，结合图象(略)知：若在(0,1)内恰有一零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)>0或⎩⎨⎧a <0，f (1)>0，即a >1.【答案】 B2．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1【解析】 设方程的两根为x 1，x 2，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝1a <0，Δ＝4－4a >0，∴⎩⎨⎧a <0，a <1，∴a <0.【答案】 A3．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是_______________________________．【解析】 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．所以m <a <b <n . 【答案】 m <a <b <n4．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值. 【导学号：60210062】 【解】 (1)当m ＋6＝0时， 函数为y ＝－14x －5，显然有零点； 当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点． 综上，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0(m ＋6≠0)的两个根． x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2(m－1)m＋1＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m的值为－3.。

2021-2022年高中数学 2.4.1《函数的零点》同步练习新人教B版必修1一、选择题１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－的零点是（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝的零点是（）Ａ．１，２，３Ｂ．－１，１，２Ｃ．０，１，２Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）ｆ（４）的值（）Ａ．大于０Ｂ．小于０Ｃ．等于０Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４５．ｆ（ｘ）＝，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（）Ａ．－２Ｂ．２Ｃ．－０．５Ｄ．０．５6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f(x) = ，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为 A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．11．若函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ａｘ－１的零点．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）－４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f（x）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1．Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．三、解答题13．解：（１）由条件知；Δ＝－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０即ｍ＞ 所以函数与ｘ轴有两个交点（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，有２（ｍ－１）－４ｍ＋２ｍ－１＝０ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a+（b －１）x ＝０．有等根Δ＝＝０， 解方程组，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，ｆ（ｘ）＝－＋ｘ（２）ｆ（ｘ）＝－＋ｘ＝－２ｎ ， ｎ函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０23542 5BF6 寶30964 78F4 磴; Srl(33196 81AC 膬27392 6B00 欀m40255 9D3F 鴿 33281 8201 舁z。

2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点知识点一：函数零点的概念1．函数y ＝x 2－5x ＋6的零点是A ．2,3B ．－2，－3C ．1,6D ．－1，－6 2．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④3．函数f(x)＝x ＋4x 的零点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为__________．5．若函数f(x)＝ax －b 有一个零点是3，那么g(x)＝bx 2＋3ax 的零点是__________． 知识点二：函数零点的性质6．函数f(x)＝x 3－9x 的零点所在的大致区间是A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(0,1)D ．(5,6)7．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点 A ．有两个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有8．对于函数f(x)＝x 2＋mx ＋n ，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a ，b)内 A ．一定有零点 B ．一定没有零点 C ．可能有两个零点 D ．至多有一个零点9．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则该函数的所有零点之和等于 A ．4 B ．2 C ．1 D ．010．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x∈[0，＋∞，x 2－4，x∈－∞，0，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是__________．11．若函数f(x)＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围．能力点一：求函数的零点12．函数f(x)＝－2x 2＋22x －1的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．313．若函数f(x)＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是A ．a<1B ．a>1C ．a≤1D ．a≥114．已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，5是它的一个零点，且f(x)在(－∞，0)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和为__________．15．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．16.判断函数f(x)＝32x －2×3x＋1是否存在零点，若存在，则求出零点．能力点二：函数零点的综合应用17．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)·f(2)·f(4)<0，则下列说法正确的为A ．函数f(x)在区间(0,1)内有零点B ．函数f(x)在(1,2)内有零点C ．函数f(x)在区间(0,2)内有零点D ．函数f(x)在区间(0,4)内有零点18．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a·c<0，则函数的零点个数是A ．1B ．2C ．0D ．无法确定19．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2,3，若x∈(－2,3)时，f(x)<0且f(－6)＝36，则二次函数f(x)的解析式为__________．202则使ax 2＋bx ＋c>0成立的自变量x 的取值范围是__________．21．函数y ＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 的两个零点都在x 轴上点(2,0)的右方，求m 的取值范围．22．对于函数f(x)，若存在x 0∈R ，使f(x 0)＝x 0成立，则称x 0为f(x)的不动点．已知函数f(x)＝ax 2＋(b ＋1)x ＋(b －1)(a≠0)，当a ＝1，b ＝－2时，求函数f(x)的不动点．23．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1)若a>b>c ，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；(2)设x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，且f(x 1)≠f(x 2)，若方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]有两个不等实根，试证明必有一个实根属于区间(x 1，x 2)．答案与解析基础巩固1．A 2.B 3.A4．－72 ∵x＝2是方程x 2＋ax ＋3＝0的根，∴4＋2a ＋3＝0.∴a＝－72.5．0，－1 由题意，知f(3)＝3a －b ＝0，∴b＝3a.∴g(x)＝bx 2＋3ax ＝bx 2＋bx ＝bx(x ＋1)． 令g(x)＝0，得x ＝0或－1.6．A ∵f(1)＝－8<0，f(2)＝23－92>0，∴选A.7．C 8.C9．D 偶函数图象关于y 轴对称，故4个交点形成的零点之和为0.10．1，－ 5 当x≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时，g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)， ∴g(x)的零点为1和－ 5.11．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时，函数仅有一个零点．能力提升12．B13．B f(x)没有零点， ∴方程f(x)＝0无实根． 故Δ＝4－4a<0.∴a>1.14．3 0 ∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(0)＝0.又∵f(－x)＝－f(x)， ∴－f(5)＝f(－5)＝0. ∴f(－5)＝0.∴－5也是函数的零点．∴函数有3个零点：5，－5,0，其和为0.15．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2，2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．16．解：∵f(x)＝32x－2×3x＋1＝(3x－1)2， ∴令f(x)＝0，得3x－1＝0，解得x ＝0. ∴f(x)有零点，零点为x ＝0. 17．D ∵f(1)·f(2)·f(4)<0，∴f(1)，f(2)，f(4)三者中两正一负． 但具体哪个正，哪个负并不能确定． 又∵函数连续且f(0)>0，∴函数f(x)在区间(0,4)内有零点．18．B 令y ＝0，得ax 2＋bx ＋c ＝0， ∵ac<0，∴方程的判别式b 2－4ac>0. ∴函数有两个零点．19．f(x)＝x 2－x －620．(－∞，－2)∪(3，＋∞) 21．解：如下图所示，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －22－45－m >0，－m －22>2，f 2>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m<－4或m>4m<－2m>－5－5<m<－4. ∴－5<m<－4.22．解：当a ＝1，b ＝－2时，f(x)＝x 2－x －3.由题意可知，f(x)的不动点满足x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3. 故当a ＝1，b ＝－2时，f(x)的两个不动点为－1,3.拓展探究23．证明：(1)∵f(1)＝0， ∴a＋b ＋c ＝0.又∵a>b>c，∴a>0，c<0， 即ac<0.又∵Δ＝b 2－4ac≥－4ac>0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根． ∴f(x)必有两个零点．(2)令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 1)－f(x 2)]，g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝12[f(x 2)－f(x 1)]．∵g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2，且f(x 1)≠f(x 2)，∴g(x 1)g(x 2)<0.∴g(x)＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一实根属于区间(x 1，x 2).。

第二章 2.4 2.4.2一、选择题1．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能所在的区间为()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)[答案] C[解析]∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0，f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C．2．用二分法求函数f(x)＝x3－2的零点时，初始区间可选为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[答案] B[解析]∵f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(1)·f(2)<0，故选B．3．(2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x3＋3x－7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f(x)＝x3＋3x－7，算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，f(1.75)>0，则该方程的根落在区间()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75) D．(1.75,2)[答案] B[解析]本题考查用二分法求函数零点的一般步骤以及零点存在性定理．由f(1.25)<0, f(1.5)>0得f(1.25)·f(1.5)<0，根据零点存在性定理，函数f(x)的一个零点x0∈(1.25,1.5)，即方程x3＋3x－7＝0的根落在区间(1.25,1.5)，故选B．4．(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260f(1.438)＝0.165f(1.406 5)＝－0.052那么方程x3＋xA．1.2B．1.3C．1.4D．1.5[答案] C[解析]∵f(1.406 5)<0, f(1.438)>0，∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，又1.4∈(1.406 5,1.438)，故选C．5．已知函数y＝f(x)的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A．2个B．3个C．4个D．5个[答案] B[解析]由表可知，f(2)·f(3)<0, f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，由函数零点存在性定理得，函数y＝f(x)在区间(2,3)、(3,4)、(4,5)各应至少存在一个零点，所以函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选B．6．下列命题中正确的是()A．方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数是1C．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D．利用二分法所得方程的近似解是惟一的[答案] A[解析]设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，有f(5)＝－1, f(2)＝－1.又因为函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与x轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点，从而方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2，故A正确；由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为1或0，故B错误；零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，但不能用来判断函数零点的个数，故C 错误；由于精确度的不同，所得方程的近似解是不一样的，但精确度确定后，所得方程的近似解是惟一的，故D错误．二、填空题7．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝________.[答案]－2.25[解析]区间[1,4]的中点为2.5，f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25.8．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：则f(x[答案] 3[解析]因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，∴f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，故f(x)的零点至少有3个．三、解答题9．求方程x5－x3－3x2＋3＝0的无理根．(精确到0.01)．[分析]若令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)·(x3－3)，则方程的无理根就是x3－3＝0的根．[解析]令f(x)＝x5－x3－3x2＋3，则f(x)＝(x2－1)·(x3－3)．显然方程f(x)＝0有两个有理根，即x1＝1，x2＝－1，则无理根就是方程x3－3＝0的根．令g(x)＝x3－3，以下用二分法求函数g(x)的零点．由于g(1)＝－2<0，g(2)＝5>0，故可以取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：x 7＝1.441 406 25 g (x 7)≈－0.005 3 [1.441 406 25,1.445 312 5]25<0.01，因此可取1.44为所求函数的一个零点的近似值，因此原方程的无理根是1.44.10．求方程x 3－x －1＝0在[1,1.5]的一个实根(精确到0.1)． [解析] 设f (x )＝x 3－x －1， ∵f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，∴方程在[1,1.5]内有实根，用二分法逐次计算，列表如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 左端点 1 1.25 1.25 1.312 5 1.312 5 右端点1.51.51.3751.3751.343 75∵ 1.3.一、选择题1．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6[答案] C[解析] 已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f (0.68)<0，所以零点在区间[0.68,0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．2．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的惟一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A ．(2,4)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．无法确定[答案] B[解析] ∵f (2)·f (4)<0, f (2)·f (3)<0， ∴f (3)·f (4)>0，∴x 0∈(2,3)．3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表：不求a 、 ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵f (－3)·f (－1)<0, f (2)·f (4)<0， 故选A ．4．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，则横线上应填的内容分别为( )A ．(0.5,1), f (0.75)B ．(0,0.5), f (0.125)C ．(0,0.5), f (0.25)D ．(0,1), f (0.25)[答案] C[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，又函数f (x )的图象是不间断的，∴f (x )在(0,0.5)内必有零点，利用二分法，则第二次应计算f (0＋0.52)＝f (0.25)．由f (0.25)＝－0.234 375<0， 可以判断x 0∈(0.25，0.5)． 二、填空题5．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效． [答案] ②③[解析] 零点有变号零点与不变号零点，故①不对；“二分法”针对的是连续不断的函数的变号零点，故④不对．据零点的性质知②③都正确．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c (x ≤0)2 (x >0)，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________． [答案] 3[解析] 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝24－2b ＋c ＝－2得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2 (x ≤0)2 (x >0)，作图象如图所示．由图象可知f (x )＝x 的解的个数为3. 三、解答题7．已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．[解析] (1)若a ＝0，则f (x )＝－4，与题意不符，∴a ≠0. 由题意得f (－1)·f (1)＝8(a －1)(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －1<0a －2>0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a －2<0，∴1<a <2，故实数a 的取值范围为1<a <2. (2)若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，∴方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根为12.8．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0， ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在[0,1]内选取二等分点12，则f (12)＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴f (x )在区间(0，12)和(12，1)上至少各有一个零点，又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．。

2.4.1 函数的零点1．下列函数中有2个零点的是 ( )(A) lg y x = (B) 2x y = (C) 2y x = (D) 1y x =-2．若函数()f x 在区间[],a b 上为减函数，则()f x 在[],a b 上 ( )(A)至少有一个零点 (B)只有一个零点(C)没有零点 (D)至多有一个零点3．函数1211lg ,2,,,x y x y y y y x x x =====的零点个数分别为___________． 4．已知函数()f x 为定义域是R 的奇函数，且()f x 在()0,+∞上有一个零点．则()f x 的零点个数为___________．5．求函数()lg 27f x x x =+-的零点个数．6．若函数()f x 在[],a b 上连续，且有()()0f a f b >．则函数()f x 在[],a b 上( )(A)一定没有零点 (B)至少有一个零点(C)只有一个零点 (D)零点情况不确定7．若()y f x =的最小值为1，则()1y f x =-的零点个数为 ( )(A)0 (B)1 (C)0或l (D)不确定8．用二分法求方程在精确度ε下的近似解时，通过逐步取中点法，若取到区间(),a b 且()()0f a f b <，此时不满足a b ε-<，通过再次取中点2a b c +=．有()()0f a f c <，此时a c ε-<，而,,a b c 在精确度ε下的近似值分别为123,,x x x (互不相等)．则()f x 在精确度ε下的近似值为 ( )(A) 1x (B)．2x (C) 3x (D) ε9．若函数()f x 在[],a b 上连续，且同时满足()()0f a f b <，()02a b f a f +⎛⎫>⎪⎝⎭．则 ( )(A) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (B) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点 (C) ()f x 在,2a b a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 (D) ()f x 在,2a b b +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点 10．已知()()32log 19f x x x =+≤≤，判断函数()()()22g x f x f x =+有无零点?并说明理由．11．方程22lg x x -=的实数根的个数是 ( )(A)1 (B)(2) (C)3 (D)无数个 12．已知12,x x 是二次方程()f x 的两个不同实根，34,x x 是二次方程()0g x =的两个不同实根，若()()120g x g x <，则 ( )(A) 1x ，2x 介于3x 和4x 之间(B) 3x ，4x 介于1x 和2x 之间 (C) 1x 与2x 相邻，3x 与4x 相邻 (D) 1x ，2x 与3x ，4x 相间相列13．若关于x 的方程268x x a -+=恰有两个不等实根，则实数以的取值范围为________．14．已知函数()()14,4x f x e g x x -=-=，两函数图象是否有公共点?若有，有多少个?并求出其公共点的横坐标．若没有。

示范教案整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着密切联系．课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系．本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想．本节充分体现了函数图象和性质的应用．因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法．另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物．三维目标1．让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点．2．通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界．3．通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐．重点难点教学重点：根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数；函数零点的概念．教学难点：理解函数的零点．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲，再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲)．请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段？学生思考或讨论回答：点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”，函数值有“负”“正”“零”，函数图象与足球比赛一样跌宕起伏．由此导入课题，为后面学习埋好伏笔．思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h＝20t－5t2，问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h＝0，求方程20t－5t2＝0的根，得t＝4秒．如下图所示．思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点．推进新课新知探究提出问题①求方程x2－2x－3＝0的根，画函数y＝x2－2x－3的图象.②求方程x2－2x＋1＝0的根，画函数y＝x2－2x＋1的图象.③求方程x2－2x＋3＝0的根，画函数y＝x2－2x＋3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系？⑤归纳函数零点的概念.⑥如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它的零点情况是怎样的？⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路：①先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二次函数的图象(图甲)．甲乙丙②方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图乙)．③方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图丙)．④方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数．⑤对于其他函数这个结论正确吗？⑦可以利用“转化思想”．⑧足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为－1,3，图象如图甲．②方程的实数根为1，图象如图乙．③方程没有实数根，图象如图丙．④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标．⑤一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与x轴的公共点是(α，0)点．⑥我们知道，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c：当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1，x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有两个零点；当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根x1＝x2(重根)，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有一个二重的零点或说有二阶零点；当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，这时二次函数y＝ax2＋bx＋c没有零点．⑦方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有零点．⑧观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象，我们发现函数f(x)＝x2－2x－3在区间[－2,1]上有零点．计算f(－2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零．在区间[2,4]同样如此．可以发现，f(－2)f(1)＜0，函数y＝x2－2x－3在区间(－2,1)内有零点x＝－1，它是方程x2－2x －3＝0的一个根．同样地，f(2)f(4)＜0，函数y＝x2－2x－3在(2,4)内有零点x＝3，它是方程x2－2x－3＝0的另一个根．因此可得以下结论：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．应用示例思路1例求函数y＝x3－2x2－x＋2的零点，并画出它的图象．解：因为x3－2x－x＋2＝x2(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x2－1)＝(x－2)(x－1)(x＋1)，所以已知函数的零点为－1,1,2.3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)，(－1,1)，(1,2)，[2，＋∞)．在这4个区间内，取x的一些值，以及零点，列出这个函数的对应值表：在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如上图所示．不难看出，这一函数图象通过三个零点时，函数值分别改变了符号，并且在每个区间内，函数值保持同号．变式训练1. 判断函数y＝|x－1|－2零点的个数．解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数，作出函数图象，如下图所示．函数y＝|x－1|－2的图象与x轴有两个交点，所以函数y＝|x－1|－2有两个零点．2．求证：函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．证法一：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0的判别式Δ＝32＋4×2×2＝25＞0，所以一元二次方程2x2－3x－2＝0有两个不相等的实根．所以函数f(x)＝2x2－3x－2有两个零点．证法二：因为一元二次方程2x2－3x－2＝0可化为(2x＋1)(x－2)＝0，所以一元二次方程2x 2－3x －2＝0有两个不相等的实根x 1＝2，x 2＝－12.所以函数f(x)＝2x 2－3x －2有两个零点．证法三：因为函数f(x)＝2x 2－3x －2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方，即f(0)＝－2＜0，所以函数f(x)＝2x 2－3x －2有两个零点．如下图.思路2例 若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有解，求实数a 的取值范围． 活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导： ①有解包括有一解和有两解，要分类讨论．②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径． ③有两种情况：a ＝0，或a≠0，Δ≥0. 解：令f(x)＝2ax 2－x －1，(1)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)＜0或a≠0且Δ＝0， 由f(0)·f(1)＜0，得(－1)(2a －2)＜0，所以a ＞1.由Δ＝0，得1＋8a ＝0，a ＝－18，所以方程为－14x 2－x －1＝0，即x ＝－2(0,1)(舍去)．综上可得a ＞1.(2)当方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，f 0>0，f 1>0，0<14a<1，f 14a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，f 0<0，f 1<0，0<14a <1，f 14a >0，容易解得实数a 不存在． 变式训练若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，x ＝0满足题意． (2)当a≠0时，设f(x)＝ax 2＋3x ＋4a.方法一：若方程ax 2＋3x ＋4a ＝0的根都小于1，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝9－16a 2≥0，－32a <1，af 1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－34≤a≤34，a>0或a<－1.5，a>0或a<－0.6.∴0＜a≤34.知能训练1．判定方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.分析：转化判断函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1在(－∞，2)和(5，＋∞)内各有一个零点． 解：考虑函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1，有 f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1， f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如下图)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．所以方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.点评：这里说“若f(a)·f(b)＜0，则在区间(a ，b)内，方程f(x)＝0至少有一个实数解”，指出了方程f(x)＝0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解．2．已知m ∈R ，设P ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个根，不等式|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立；Q ：函数f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43有两个不同的零点，求使P 和Q同时成立的实数m 的取值范围．解：由题意知x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8. 当a ∈[1,2]时，a 2＋8的最小值为3.要使|m －5|≤|x 1－x 2|对任意实数a ∈[1,2]恒成立，只需|m －5|≤3，即2≤m≤8.由已知得Q 中：f(x)＝3x 2＋2mx ＋m ＋43的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4.综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧2≤m≤8，m<－1或m>4，解得实数m 的取值范围是(4,8]．3．关于x 的方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，求实数a 的取值范围．解：设f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7，图象为开口向上的抛物线(如下图)．因为方程x 2－ax ＋a 2－7＝0的两个根一个大于2，另一个小于2，所以函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)＝x 2－ax ＋a 2－7的图象与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧． 只需f(2)＜0，即4－2a ＋a 2－7＜0，所以－1＜a ＜3. 拓展提升问题：如果函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)＞0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答．利用函数图象进行探索分析： ①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解：零点个数可以是任意自然数．下面讨论在区间[－3,3]上函数零点个数， (1)可能没有零点如图甲．甲乙(2)可能有一个零点如图乙． (3)可能有两个零点如图丙．丙丁(4)可能有三个零点如图丁．(5)可能有n(n∈N＋)个零点，图略．点评：在区间[－3,3]上函数零点个数可以是任意自然数．借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习的兴趣．课堂小结学习方法：由特殊到一般的方法．数学思想：转化思想、数形结合思想．作业课本本节练习B1、2.设计感想本节以事例导入，该事例是学生很感兴趣的话题，发人深思而紧贴本节主题，为后面讲解埋好了伏笔．因为二次函数、二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题．本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结，还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高．另外，本节目的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展，希望大家喜欢．备课资料[备选例题]例求下列函数的零点，并画出函数的图象．(1)y＝－x2－x＋2；(2)y＝(x2－2)(x2－3x＋2)．活动：教师点拨提示：求函数的零点可转化为求相应方程的根．解：(1)如图甲，令y＝0，即－x2－x＋2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.所以所求函数的零点为－2,1.(2)如图乙，令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，解得x1＝2，x2＝－2，x3＝1，x4＝2.所以所求函数的零点为2，－2，1,2.甲(设计者：赵冠明)。

课后导练基础达标1.函数y=x 2-5x+6的零点是（ ）A.2,3B.-2,-3C.1,6D.-1,-6答案：A2.若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下列命题中错误的是（ ）A.函数f(x)在(1,2)或［2,3)内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点答案：C3.若二次方程2(kx-4)x-x 2+6=0无实根，则k 的最小整数值是（ ）A.-1B.2C.3D.4解析：(2k-1)x 2-8x+6=0,由⎩⎨⎧<--=∆≠-,0)12(2464,012k k 得k>611.∴k min =2. 答案：B4.右图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，A 、B 是两零点对应的点，则|OA|•|OB|等于（ ）A.a cB.ac - C.±a c D.无法确定 解析：令f(x)=ax 2+bx+c,A(x 1,0)、B(x 2,0),则⎩⎨⎧><0,f(0)0,a ∴⎩⎨⎧><0.c 0,a ∴|OA|·|OB|=|x 1x 2|=|a c |=a c -. 答案：B5.函数f(x)=x 2+bx+c 的两个零点关于x=1对称，则（ ）A.f(-1)<f(0)<f(4)B.f(-1)<f(4)<f(0)C.f(0)<f(-1)<f(4)D.f(0)<f(4)<f(-1)解析：依题意知二次函数f(x)图象的对称轴为x=1,并且开口向上,结合图象知f(0)<f(-1)<f(4). 故选C.答案：C6.二次函数y=ax 2+bx+c 中，a •c<0，则函数的零点个数是（ ）A.1B.2C.0D.无法确定解析：∵a·c<0,∴Δ=b 2-4ac>0.∴ax 2+bx+c=0有两个不等根.答案：B7.若方程2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a 的取值范围是( )A.a<-1B.a>1C.-1<a<1D.0≤a<1解析：令f(x)=2ax 2-x-1,∵f(0)=-1<0,∴要使2ax 2-x-1=0在(0,1)内恰好有一解,必须f(1)>0.∴f(1)=2a-1-1=2a-2>0.∴a>1.∴选B.答案：B8.函数f(x)=3ax-2a+1在［-1,1］上存在一个零点,则a 的取值范围是( ) A.a≥51 B.a≤-1 C.-1≤a≤51 D.a≥51或a≤-1 解析：由f(1)f(-1)≤0,知(a+1)(1-5a)≤0. 解之,得a≥51或a≤-1. 答案：D9.m ∈R ,x 1、x 2是函数f(x)=x 2-2mx+1-m 2的两个零点，则x 12+x 22的最小值是（ ）A.-2B.0C.1D.2解析：由Δ=4m 2-4(1-m 2)≥0,得m 2≥21.∴m≥22或m≤22-. ∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4m 2-2(1-m 2)=6m 2-2≥6×21-2=1. 答案：C10.已知函数f(x)为偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则该函数的所有零点之和为( )A.0B.2C.1D.4答案：A综合运用11.函数f(x)=x 2+(m-2)x+5-m 的两个零点都大于2,则实数m 的取值范围是_______.解析：由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-+=>--≥---=∆,05)2(24)2(,222,0)5(4)2(2m m f m m m 解得-5<m≤-4.答案：(-5,-4］12.函数f(x)=-x 3-3x+5的零点所在长度为1的一个区间为________.解析：取特殊值验证,f(1)=1>0,f(2)=-9<0,∴满足条件的区间为(1,2).答案不唯一.答案：(1,2)答案不唯一13.关于x 的方程(k-2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根,则k 的取值范围为________.解析：设两根为x 1、x 2, 则由条件知⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-+=+>-=≥--+=∆.0263,026,0)2(24)63(21212k k x x k k x x k k k 解之,得-52≤k<0. 答案：［-52,0) 14.二次函数f(x)=x 2+px+q 的零点为1和m,且-1<m<0,则p 、q 满足的条件是( )A.p>0且q>0B.p>0且q<0C.p<0且q>0D.p<0且q<0解析：由韦达定理知⎩⎨⎧=•-=+,1,1q m p m 又-1<m<0,∴1+m>0.∴q<0,p<0.答案：D15.关于x 的实系数方程3x 2+(m-5)x+1-m=0的两根x 1、x 2满足-1<x 1<0<x 2<2,求m 的取值范围. 解析：令f(x)=3x 2+(m-5)x+1-m,则⎪⎩⎪⎨⎧><>-0)2(0)0(0)1(f f f⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+<->-+--.01)5(212,01,01)5(3m m m m m 解之,得1<m<29. 故m 的取值范围为(1,29). 拓展探究16.(1)已知函数f(x)=ax 2+bx+c.若f(1)=0且a>b>c,求证:f(x)必有两个零点.(2)若三正数a 、b 、c 满足a+c<b,求证:方程ax 2-bx+c=0有两根且它们分别在区间(0,1)和(1,+∞)内.证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0,即b=-(a+c).∴Δ=b 2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2.又∵a>c,∴a-c≠0.∴Δ=(a -c)2>0.故f(x)=ax 2+bx+c 必有两个零点.(2)Δ=b 2-4ac,∵a 、b 、c 均为正数,且b>a+c,∴b 2>(a+c)2.∴Δ=b 2-4ac>(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,即Δ>0.故ax2-bx+c=0有两实根.又令f(x)=ax2-bx+c,则f(0)=c>0,f(1)=a+c-b<0.因此,这两根分别在(0,1)和(1,+∞)内.。

第二章 2.1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] C[解析] f (x )＝3x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5][答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2x －1[答案] D[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6(1≤x ≤2)x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 22－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥3)5－x (x <3)，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋ax ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.∴f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0[解析] 如图所示：∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx >0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x[答案] C[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m8，由f (x )在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.二、填空题5．已知函数y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．[答案] f (－3)>f (－π)[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t <12，即0≤t <12.故t 的取值范围为0≤t <12.8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。

【成才之路】2021-2021学年高中数学 待定系数法课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．已知一个正比例函数的图象过点(2,8)，那么那个函数的解析式为( ) A ．y ＝4x B ．y ＝－4x C ．y ＝14xD ．y ＝－14x[答案] A[解析] 设正比例函数的解析式为y ＝kx (k ≠0)， 又点(2,8)在函数图象上，∴8＝2k ，∴k ＝4，应选A.2．已知一个一次函数的图象过点(1,3)、(3,4)，那么那个函数的解析式为( ) A ．y ＝12x －52B ．y ＝12x ＋52C ．y ＝－12x ＋52D ．y ＝－12x －52[答案] B[解析] 解法一：验证排除：点(1,3)不在直线y ＝12x －52，y ＝－12x ＋52，y ＝－12x －52上，应选B.解法二：设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ＋b4＝3k ＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12b ＝52，∴y ＝12x ＋52.3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同，那么y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4x ＋5C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋6[答案] D[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点为(－1，0)、(3,0)，其形状与抛物线y ＝－2x 2相同， ∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2＋bx ＋c ，将点(－1,0)、(3,0)代入y ＝－2x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＋c ＝0－18＋3b ＋c ＝0，解得b ＝4，c ＝6， ∴y ＝－2x 2＋4x ＋6.4．二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且极点为(－2,8)，那么f (x )＝( ) A ．－2x 2－8x B ．2x 2－8x C ．2x 2＋8x D ．－2x 2＋8x[答案] A[解析] 由题意设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋8，又∵函数图象过原点， ∴4a ＋8＝0，∴a ＝－2，∴y ＝－2x 2－8x .5．f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的极点为(4,0)，且过点(0,2)，那么abc ＝( ) A ．－6 B ．11 C ．－14D ．14[答案] C[解析] ∵f (x )图象过点(0,2)，∴c ＝2. 又极点为(4,0)，∴－b2a ＝4，8a －b 24a ＝0.解得：b ＝－1，a ＝18，∴abc ＝－14.6．已知一个二次函数通过(－1,0)，(1,0)，(2,3)点，那么那个函数的解析式为( ) A ．y ＝x 2－1 B ．y ＝1－x 2 C ．y ＝12x 2＋1D ．y ＝12x 2－1[答案] A[解析] 设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝04a ＋2b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0c ＝－1.∴所求二次函数的解析式为y ＝x 2－1. 二、填空题7．已知一个二次函数y ＝f (x )，假设f (0)＝3，f (－3)＝0，f (－5)＝0，那么那个函数的解析式为__________． [答案] y ＝15x 2＋85x ＋3[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点(0,3)、(－3,0)、(－5,0)代入可得a ＝15，b ＝85，c ＝3.8．已知6x 2－x －1＝(2x －1)(ax ＋b )，那么a ＝_______，b ＝__________. [答案] 3 1[解析] ∵6x 2－x －1＝(2x －1)(3x ＋1)， ∴ax ＋b ＝3x ＋1，∴a ＝3，b ＝1. 三、解答题9．抛物线通过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标是－1和3. (1)求抛物线的解析式；(2)用配方式求出抛物线的对称轴方程和极点坐标； (3)画出草图；(4)观看图象，x 取何值时，函数值小于零？x 取何值时，函数值随x 的增大而减小？ [解析] (1)设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)，把点(2，－3)代入，得 －3＝a (2＋1)(2－3)，∴a ＝1.∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3. (2)y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.由此可知抛物线的对称轴方程为x ＝1，极点坐标为(1，－4)． (3)抛物线的草图如下图．(4)由图象可知，当x ∈(－1,3)时，函数值y 小于零； 当x ∈(－∞，1]时，y 随x 的增大而减小.1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，那么|OA |·|OB |等于( ) A .caB ．－caC ．±caD ．无法确信[答案] B[解析] 由图象易知a <0，c >0，设A (x 1,0)、B (x 2,0)，∴|OA |·|OB |＝|x 1·x 2|＝－ca，应选B.2．假设直线y ＝12x ＋n 与直线y ＝mx －1相交于点(1,2)，那么有( )A ．n ＝－52，m ＝12B ．n ＝1，m ＝12C ．n ＝－52，m ＝－1D ．n ＝32，m ＝3[答案] D[解析] 将点(1,2)别离代入可得n ＝32、m ＝3.3．函数y ＝ax 2－ax ＋3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点，那么a 的值为( ) A ．0 B ．0或1C ．0或1或9D ．0或1或9或12 [答案] C[解析] 当a ＝0时，y ＝3x ＋1的图象与x 轴有且只有一个交点； 当a ≠0时，Δ＝(a －3)2－4a ＝a 2－10a ＋9＝0， ∴a ＝1或9.4．已知正比例函数f (x )、反比例函数g (x )的图象均过点(1,5)，那么h (x )＝f (x )＋g (x )＝( ) A.52⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1xB.52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1xC. 5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1xD.15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x[解析] 设f (x )＝mx (m ≠0)，g (x )＝n x(n ≠0)，把点(1,5)别离代入，得m ＝5，n ＝5.∴h (x )＝f (x )＋g (x )＝5x ＋5x＝5⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .二、填空题5．已知a 、b 为常数，假设f (x )＝x 2＋4x ＋3，f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，那么5a －b ＝________. [答案] 2[解析] ∵f (x )＝x 2＋4x ＋3，∴f (ax ＋b )＝(ax ＋b )2＋4(ax ＋b )＋3＝a 2x 2＋2abx ＋b 2＋4ax ＋4b ＋3 ＝a 2x 2＋(2ab ＋4a )x ＋b 2＋4b ＋3 又∵f (ax ＋b )＝x 2＋10x ＋24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12ab ＋4a ＝10b 2＋4b ＋3＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－7.当a ＝1，b ＝3时，5a －b ＝2， 当a ＝－1，b ＝－7时，5a －b ＝2.6．已知抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一个点的坐标为(1,4)，那么另一个点的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，14[解析] ∵点(1,4)既在抛物线y ＝ax 2，又在直线y ＝kx ＋1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝a 4＝k ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4k ＝3， ∴抛物线方程为y ＝4x 2，直线方程为y ＝3x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x 2y ＝3x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝14.三、解答题7．二次函数的极点坐标是(2,3)，且通过点(3,1)，求那个二次函数的解析式． [解析] 解法一：设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知函数图象通过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－b2a＝2.得方程组⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝14a ＋2b ＋c ＝3－b2a ＝2，解那个方程组得a ＝－二、b ＝八、c ＝－5. ∴二次函数解析式为y ＝－2x 2＋8x －5.解法二：二次函数的极点式是y ＝a (x －h )2＋k ，而极点坐标是(2,3)，故有y ＝a (x －2)2＋3，如此只需确信a 的值．因为图象通过点(3,1)，因此x ＝3，y ＝1知足关系式y ＝a (x －2)2＋3，从而有1＝a (3－2)2＋3，解得a ＝－2.∴函数解析式为y ＝－2(x －2)2＋3， 即y ＝－2x 2＋8x －5.8．已知二次函数f (x )知足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (12)＝8，试求此二次函数的解析式．[解析] 解法一：设所求函数解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依照题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1a －b ＋c ＝－1a 4＋b2＋c ＝8，解得a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝2＋－12＝12.又f (12)＝8，∴极点坐标为(12，8)． 那么可设f (x )＝a (x －12)2＋8，又f (2)＝－1.∴a (2－12)2＋8＝－1，∴a ＝－4，∴f (x )＝－4(x －12)2＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由f (2)＝f (－1)＝－1，知f (x )＋1＝0的两根为2和－1， 可设f (x )＋1＝a (x ＋1)(x －2)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1，∵f (12)＝8，∴14a －12a －2a －1＝8，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.9．已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)假设f (x )的区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1的图象上方，试确信实数m 的取值范围． [解析] (1)由f (0)＝f (2)知二次函数f (x )关于x ＝1对称，又f (x )的最小值为1，故可设f (x )＝a (x －1)2＋1， 又f (0)＝3得a ＝2，故f (x )＝2x 2－4x ＋3. (2)要使函数在区间[2a ，a ＋1]上不单调， 则2a <1<a ＋1，那么0<a <12.(3)由已知，得2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在x∈[－1,1]时恒成立，即x2－3x＋1－m>0在x∈[－1,1]时恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，那么只要g(x)min>0即可，∵x∈[－1,1]，∴g(x)min＝g(1)＝－1－m，∴－1－m>0，即m<－1.故实数m的取值范围是{m|m<－1}．。

课时分层作业(二十四)函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是()A．2,3B．－2,3C．6，－1 D．－6,1C[令x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.]2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为()A．4B．5C．6D．7D[∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．]3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是() A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B．函数f(x)在(3,5)内无零点C．函数f(x)在(2,5)内有零点D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点C[唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可能没有．]4．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,4]B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)A [由条件可知，Δ＝a 2－4×4≤0，所以－4≤a ≤4.]5．二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1＜x ＜12，则ab 的值为( )A ．－6B ．－2C ．2D ．6C [由题意知方程ax 2＋bx ＋1＝0的实数根为－1和12，且a ＜0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －b a ＝－1＋12，1a ＝－1×12，解得a ＝－2，b ＝－1，所以ab ＝2.故选C.]二、填空题6．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．－12，－13[依题意知方程x 2－ax －b ＝0的两个根是2和3，所以有a ＝2＋3＝5，－b ＝2×3＝6，b ＝－6，因此g (x )＝－6x 2－5x －1，易求出其零点是－12和－13.]7．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________． (－1,0) [∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＜0，f (1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0.] 8．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．3 0 [∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.]三、解答题9．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．[解] 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (4)<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，26m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，26m ＋38>0，解得－1913<m <0，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. 10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1)写出函数y ＝f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围．[解] (1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. (2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1；当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1.∴作出函数y ＝f (x )的图像，如图所示，根据图像得，若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，∴a 的取值范围是(－1,1)．[等级过关练]1．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x 的不等式bx 2－ax －2＞0的解集为( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1,2)B [因为关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为(－1,2)，所以－1,2是ax 2＋bx ＋2＝0(a ＜0)的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，所以a ＝－1，b ＝1.所以不等式bx 2－ax －2＞0即为x 2＋x －2＞0，所以x ＜－2或x ＞1，故选B.]2.对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]D [当a ＝2时，－4＜0恒成立．当a ≠2时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，4(a －2)2＋16(a －2)＜0，∴－2＜a ＜2.综上，得－2＜a ≤2.]3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时，方程为x ＝2，∴方程f (x )＝x 有3个解．]4．在R 上定义运算⊙：A ⊙B ＝A (1－B )，若不等式(x －a )⊙(x ＋a )＜1对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )·(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )＜1，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 恒成立，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 恒成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32.]5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜1a，比较f(x)与m的大小．[解](1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜1a，所以x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.1.2 第1课时 函数的表示方法课后强化作业 新人教B 版必修1一、选择题1．已知函数f (x )由下表给出，则f (2)＝( )A.1 C ．3 D ．4[答案] C[解析] 由图表可知f (2)＝3，故选C.2．在下面四个图中，可表示函数y ＝f (x )的图象的只可能是( )[答案] D[解析] 根据函数的定义，任作一条与x 轴垂直的直线，直线与函数图象至多有一个交点，因此只有选项D 符合．3．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0)[答案] C[解析] 由题意，得100＝x ＋3x y2，∴y ＝50x(x >0)．4．已知f(x＋1)＝x2－4，那么f(6)的值是( )A．32 B．21C．12 D．45[答案] B[解析] ∵f(x＋1)＝x2－4，令x＋1＝t，∴x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3，∴f(6)＝36－12－3＝21.5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：① 0点到3点只进水不出水；② 3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] 设进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图象知y1＝t，y2＝2t.由图丙知，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时两个进水口均打开进水但不出水，故①正确；3～4时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，若3～4时不进水只出水，应每小时减少两个单位，故②不正确；4～6时为水平线说明水量不发生变化，应该是所有水口都打开，进出均衡，故③也不正确．所以正确序号只有①.6．当x为任意实数时，有f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，则f(x)＝( )A．2x＋1 B．2x＋2C．－2x＋1 D．－2x＋2[答案] D[解析] ∵x∈R，f(x)＋2f(－x)＝2x＋6，①∴f(－x)＋2f(x)＝－2x＋6，②②×2－①得，3f(x)＝－6x＋6，∴f(x)＝－2x＋2.二、填空题7．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.[答案] 2[解析] 由题意可知，f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2，∴f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.8．下面给出了四个图象和三个事件：①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；②我骑着车一路以匀速行驶离开家，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；③我从家里出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．图象与这三个事件发生的顺序相吻合的分别为________．[答案] d，a，b[解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故①与图象d相吻合；回校途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故②与图象a相吻合；最后加速向学校，图象上升就得越来越快，故③与图象b相吻合．三、解答题9．某种杯子每只0.5元，买x只，所需钱数为y元，分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数．[解析] (1)列表法：(2)解析法：y＝0.5x(3)图象法：一、选择题1．如果f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0,1时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1[答案] B[解析] 令1x ＝t ，∴x ＝1t.∴f (t )＝1t1－1t＝1t ·t t －1＝1t －1，∴f (x )＝1x －1(x ≠0，x ≠1)． 2．已知函数f (x )满足f (a )＋f (b )＝f (ab )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，则f (72)＝( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3q D ．p 3＋q 2[答案] B[解析] f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9) ＝3f (2)＋2f (3)＝3p ＋2q .3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()[答案] B[解析] 观察图象，根据图象的特点，发现取水深h ＝H 2时，注水量V 1>V 02，即水深为水瓶高的一半时，实际注水量大于水瓶总容量的一半，A 中V 1<V 02，C ，D 中V 1＝V 02，故选B. 4．已知f (x )＝([x ]＋1)2＋2，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，则f (－2.5)＝( ) A ．2B ．3C ．294D ．6[答案] D[解析] 由题意得[－2.5]＝－3，∴f (－2.5)＝([－2.5]＋1)2＋2＝(－3＋1)2＋2＝6. 二、填空题5．(2013～2014学年度广东中山市桂山中学高一上学期期中测试)已知f (x －1x)＝x 2＋1x 2，则函数f (x ＋1)的表达式为________________． [答案] f (x ＋1)＝x 2＋2x ＋3[解析] ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2＋2＝x 2＋2x ＋3.6．已知函数y ＝f (n )，满足f (1)＝1，且f (n )＝nf (n ＋1)，n ∈N ＋，则f (5)＝________. [答案]124[解析] ∵f (n )＝nf (n ＋1)，n ∈N ＋， ∴f (n ＋1)＝f nn. 又f (1)＝1，∴f (2)＝f1＝1，f (3)＝f2＝12， f (4)＝f 3＝16，f (5)＝f 4＝124. 三、解答题7．有一种螃蟹，从海上捕获不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1 000kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元．据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg 蟹死去．假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为P 元，写出P 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1 000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．[解析] (1)由题意，知P ＝30＋x .(2)由题意知，活蟹的销售额为(1 000－10x )(30＋x )元．死蟹的销售额为200x 元． ∴Q ＝(1 000－10x )(30＋x )＋200x ＝－10x 2＋900x ＋30 000.8．若f {f [f (x )]}＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f [f (x )]＝a 2x ＋ab ＋b ，f {f [f (x )]}＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27a 2b ＋ab ＋b ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2.∴f (x )＝3x ＋2.9．作出下列函数的图象：(1)y ＝1－x (x ∈Z )；(2)y ＝1x(x >1)．[解析] (1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y ＝1－x 上(∵x ∈Z ，∴y ∈Z )，这些点都为整数点，如图所示为函数图象的一部分．(2)当x ＝1时，y ＝1，所画函数图象如图．。