高中数学专题练习-函数零点问题

高中数学专题练习-函数零点问题

[题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围.

常考题型精析

题型一 零点个数与零点区间问题

例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3}

D.{－2－7，1,3}

(2)(2015·北京)设函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.

①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；

②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法；

(2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3

D.4

题型二 由函数零点求参数范围问题

例2 (·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数

a 的取值范围为________.

点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：

(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

变式训练2 (·北京东城区模拟)函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ).当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x .若在区间[－2,3]上方程ax ＋2a －f (x )＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是______.

高考题型精练

1.已知x 1，x 2是函数f (x )＝e -x －|ln x |的两个零点，则( ) A.1

e

D.e

2.(·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2－|x |，x ≤2，

(x －2)2

，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

74，＋∞ B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫74，2 3.(·福州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

2x －1，x ≤1，

1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )

A.1

2，0 B.－2,0 C.12

D.0

4.函数f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6

D.7

5.设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( ) A.[－4，－2] B.[－2,0] C.[0,2]

D.[2,4]

6.(·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A.(2，＋∞)

B.(－∞，－2)

C.(1，＋∞)

D.(－∞，－1)

7.定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧

log 0.5(x ＋1)，0≤x <1，

1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F (x )

＝f (x )－a (0

D.2－a －1

8.(·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋34

，x ≥2，

log 2x ，0

点，则实数k 的取值范围是__________.

9.已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1)，当2

10.方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________.

11.(·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎨⎧

0，0＜x ≤1，

|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为

________.

12.已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1 (k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是__________.