高一函数的零点汇总

高中一年级数学函数零点1、一次函数的零点一次函数的零点即为函数的根，也可以称之为x的零点，可以直接由函数的一次单调性性质判断。

函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增时，可以推断出其在[a,b]上无根；函数f(x)在区间[a,b]上单调递减时，可以推断出其在[a,b]上无根；此时若f(a)、f(b)有符号相反，表示在[a,b]区间有一个零点，即根。

2、二次函数的零点二次函数y=f(x)，其零点可以直接由函数的二次单调性性质解决。

函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增时，可推断出其在该区间内有两个零点。

若f(a)、f(b)均为正数即表示区间[a,b]内无根；若f(a)和f(b)均为负数即表示区间[a,b]内有两个零点；若f(a)和f(b)有符号相反，表示区间[a,b]内有一个零点。

3、多项式的零点多项式的零点可以用牛顿法和求根公式求解，如牛顿法：牛顿法是基于牛顿迭代公式的一种求根法，只要给定初值和函数值连续可导，能利用牛顿法求解方程的根，多项式的零点就是多项式的根的求解。

如果一个多项式的次数未知，则可采用数值求根方法，如牛顿法，。

4、一元二次不等式的零点一元二次不等式的零点可由不等式的根的求解来求得。

一元二次不等式的零点可以分为以下三种情况：1）当不等式转化为一元二次函数后，没有实数根；2）当不等式转化为一元二次函数后，只有一个实数根；3）当不等式转化为一元二次函数后，有两个实数根。

5、三次函数的零点三次函数y=f(x)的零点可以由三次单调性来求得。

函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增或者递减时，可以判断出函数在[a,b]上无根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变一次时，可以判断出函数在[a,b]上有一个根；函数y=f(x)在区间[a,b]上单调性改变两次时，可以判断出函数在[a,b]上有两个根。

6、可导函数的零点可导函数的零点可由可导性的性质求得。

可导函数的零点可以这样想：在一个函数上，它的任一点，当其处于可导区域，即点斜率存在且连续时，可知此点应该是函数的驻点，即此点处函数图像的斜率均为0，便可以确定此点为函数的零点。

函数的零点1、函数零点的定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

方程f(x)=0有实数根↔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点↔函数y=f(x)有零点注意：零点是一个实数,不是点。

练习：函数23)(2+-=x x x f 的零点是（ ）Ａ．()0,1Ｂ．()0,2Ｃ．()0,1，()0,2Ｄ.１，２方程f(x)=0的根的个数就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的个数。

方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

方法：①（代数法）求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。

②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 练习：Ⅰ求零点 ①y=x ³-1, ② y=2^x-1, ③y=lg(x ²-1)-1, ④y=2^|x|-8, ⑤y=2+log 3xⅡ结合函数的图像判断函数f(x)=x ³-7x+6的零点 Ⅲ判断函数f(x)=lnx+2x 是否存在零点及零点的个数 2、一元二次方程和二次函数例，当a>0时，方程ax ²+bx+c=0的根与函数y=ax ²+bx+c 的图象之间的关系如下表： 判别式 △=b2－4ac △＞0△=0△＜0函数y= ax ²+bx+c(a>0)的图象函数的图象与 x 轴的交点 (x 1,0), (x 2,0)(x 1,0)没有交点方程ax ²+bx +c=0(a ≠0)的根两个不相等的实数根x 1 、x 2 有两个相等的实数根x 1 = x 2没有实数根练习：如果函数f(x)= ax ²-x-1仅有一个零点，求实数a 的范围。

3、零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

高一数学系列提升材料之函数的零点【知识方法】一. 函数y ＝f(x)的零点是一个实数,是方程f(x)＝0的根,也是函数y ＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标。

二.从以上知识可以获得，解决函数零点的三种方法(1)直接法：直接求零点，令f(x)＝0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点。

(2) 数形结合思想方法：利用图象与x 轴交点，画出函数y ＝f (x )的图象,看其与x 轴交点,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。

实际操作过程中，直接作出函数y ＝f (x )有困难时，先对解析式变形，函数y ＝()f x 的零点⇒方程()0f x =的根，若()()()f xg xh x =-−−−−→方程变形方程()()g x h x =的根⇒函数y ＝()g x 与y ＝()h x 的图像交点横坐标。

在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。

(3) 零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ,b ]上是连续不断的曲线,且f (a )·f (b )<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、对称性)才能确定函数的零点。

注意：函数零点存在性定理只能适用于变号零点，对不变号零点无法适用。

【题型例说】高一阶段函数零点主要解决三个问题——求个数、定区间、求参数。

一、求个数：零点个数或零点数值的确定【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为______【试题分析】当x ≤1时,由f (x )＝2x －1＝0,解得x ＝0；当x ＞1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝12,又因为x ＞1,所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0. 【例2】若定义在R 上的偶函数f (x )周期为2，,且当x ∈[0,1]时f (x )＝x ,则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数有____个 【试题分析】画出f (x )和y ＝log 3|x |的图象,如图,方程f (x )＝log 3|x |的解的个数为4.【例3】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．【试题分析】当x ≤0时,f (x )＝x 2－2,令x 2－2＝0,得x ＝2(舍) 或x ＝－2,即在区间(－∞,0]上,函数只有一个零点． 而当x >0时,f (x )＝2x －6＋ln x ,解法一：令2x －6＋ln x ＝0,得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0,＋∞)上的图象, 易得两函数图象只有一个交点,即函数 f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：易知f (x )在(0,＋∞)上单调递增,而f (1)＝－4＜0,f (e )＝2e －5＞0, f (1)f (e )＜0,从而f (x )在(0,＋∞)上只有一个零点．综上可知,函数f (x )的零点个数是2. 【小结】对零点个数或零点数值的确定，首先判断能否直接求出零点，其次判断能否用数形结合思想方法解决，最后采用零点定理结合函数的相关性质进行处理。

高中数学常见题型解法归纳 函数的零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景 一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.【例2】（2017全国高考新课标I 理科数学）已知函数2()(2)xx f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.(2) ①若0,a ≤由（1）知()f x 至多有一个零点.②若0a >，由（1）知当ln x a =-时，()f x 取得最小值，1(ln )1ln f a a a-=-+. （i ）当1a =时，(ln )f a -=0，故()f x 只有一个零点. （ii ）当(1,)a ∈+∞时，由于11ln a a-+>0，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点. （iii ）当0,1a ∈（）时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 422(2)(2)2220,f ae a e e ----=+-+>-+>故()f x 在(,ln )a -∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln ,()n n n n n n f n e ae a n e n n aa f x a>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a 的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a ∈（）时，要先判断(,ln )a -∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln )0f a -<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f aea e e ----=+-+>-+>要说明(2)0f ->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae --+.(3) 当0,1a ∈（）时，要判断(ln ,)a -+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax=+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若1 3x=是函数()f x的一个极值点，求a的值；(2) 当4a=-时，求函数()f x的单调区间；(3) 当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程()f x m=有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令()0f x=,重新构造方程()()g x h x=,再画函数(),()y g x y h x==的图像分析解答.【例4】函数()lg cosf x x x=-的零点有（）A．4 个 B．3 个 C．2个 D．1个【点评】调性不是很方便，所以先令()lg cos0f x x x=-=,可化为lg cosx x=,再在同一直角坐标系下画出lgy x=和cosy x=的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.【反馈检测3】设函数()()()221ln,1,02f x x m xg x x m x m=-=-+>．（1）求函数()f x的单调区间；（2）当1m≥时，讨论函数()f x与()g x图象的交点个数．422510152025oy=cosxy=lgxyx参考答案【反馈检测1答案】C【反馈检测2答案】（1）95a =；（2）()f x 的单调增区间是51(1)2-，15(,12+； ()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,12-，5(1)++∞；（3）a 的取值范围是(1,)+∞. 【反馈检测2详细解析】(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ 因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点.因此95a =.(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得51x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是x1(,)2-∞-15(,1)22-- 512-51(1,)22-15(,1)22+ 512+5(1,)2++∞ ()f x '--++-()f x极小值极大值因此()f x 的单调增区间是51(1,)22-，15(,1)22+；()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，15(,1)2--，5(1,)++∞； 【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ；（2）1．【反馈检测3详细解析】（1）函数()f x 的定义域为()()(0,,'x m x m f x x+∞=．当0x m <<()'0f x <,函数()f x 单调递减，当x m >时，()'0f x >函数()f x 单调递增，综上，函数()f x 的单调递增区间是),m +∞, 单调递减区间是(m ．（2）令()()()()211ln ,02F x f x g x x m x m x x =-=-++->,问题等价于求函数()F x 的零点个数，()()()1'x x m F x x--=-,当1m =时，()'0F x ≤，函数()F x 为减函数，F x有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．综上，函数()。

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

高一数学零点问题解题技巧
1. 零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) f(b) < 0，则函数在区间(a,b)内至少存在一个零点。

2. 二分法：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则可以通过不断将区间[a,b]分成两半，并判断中间点的函数值是大于0还是小于0，来确定零点所在的子区间。

3. 函数零点与方程根的关系：如果函数y=f(x)在x=a处的值为0，即
f(a)=0，则x=a是方程f(x)=0的根。

反之，如果x=a是方程f(x)=0的根，则f(a)=0。

4. 零点存在定理的推论：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上函数值从正变负或从负变正，则函数在该区间内至少存在一个零点。

5. 零点定理的应用：在求解方程的根、判断函数的单调性、求函数的极值等方面都有应用。

新高一数学函数零点及二分法一、耕地播种1、回顾：一元二次方程x2-2x+3=0与二次函数y=x2-2x+3=0之间的关系。

总结L1：下列函数的图象中没有零点的是（）3、零点的判定（零点存在性定理）：. L2：判断下列函数在给定的区间上是否存在零点：(1)f(x)=(x+2)(x-1),x ∈[-1,2]; (2)f(x)=x 2-x+2, x ∈R; (3)f(x)=(x-2)2, x ∈[-1,5].L3:函数f(x)=lnx-x2的零点所在的大致区间是（ ）A 、（1，2）B 、（2，3）C 、（3，4）D 、（e ，3） 4、二分法求方程的近似解(1)蓦然回首判断方程：ax 2+bx+c=0（a ≠0，a 、b 、c 为常数）一个解x 的范围是（ ）A 、3<x<3.23B 、3.23<x<3.24C 、3.24<x<3.25D 、3.25<x<3.26 (2)二分法：对于在区间[a ，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。

(3)二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：注意L1：若函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：那么方程x 3+x 2-2x-2=0的一个近似根（精确度0.1）为 . L2：用二分法求函数f(x)=x 3-x-1在区间[1,1.5]内的一个零点（精确到0.01）. L3：求方程x 2=2x+1的一个近似解（精确度0.1）.二、收获硕果1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的图号是（ ）2、已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：函数f(x)在哪几个区间内有零点？为什么？3、用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间（-1，0）内的近似解（精确度0.1）.4、求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确度0.1）.5、利用二分法，求函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间[1，2]内的零点的近似值（精确度0.1）.。

数学高一专题零点及其二分法求解零点：函数图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。

1.判断函数零点所在区间的常用方法（1）利用零点存在性定理，使用该定理的首要条件是函数在某一闭区间上的图像是连续的。

（2）数形结合法：画出函数的图像，用估算确定区间。

2.判断函数零点个数的常用方法（1）解方程法：（2）利用零点存在性定理：（3）数形结合法：二分法求解函数值：考点一：函数与方程1．函数f(x)＝－x2＋4x－4在区间[1,3]上()A．没有零点B．有一个零点C．有两个零点D．有无数个零点2. 函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是()A．0 B．1C．2 D．33．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的变号零点个数为()A．1 B．2 C．3 D．44.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C．[0,1] D．[1,2]5．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是不间断的，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在该区间上( )A ．只有一个零点B ．有二个零点C ．不一定有零点D ．至少有一个零点6. 若函数y ＝mx 2＋x －2没有零点，则实数m 的取值范围是________．变式练习1.函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图像交点的横坐标所在区间为 ( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)2.函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上 ( )A ．有3个零点B ．有2个零点C ．有1个零点D ．没有零点 3.对于函数n mx x x f ++=2)(，若0)(>a f ，0)(>b f ，则函数)(x f 在区间（a ，b ）内（ ）A ．一定有零点B ．一点没有零点C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点4.若函数)(x f y =是偶函数，定义域}0|{≠∈x x 且，且)(x f 在),0(+∞上是减函数，0)2(=f ，则函数)(x f 的零点有（ ）A ．惟一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断5.已知函数f (2x )＝3x 2＋1，则f (x ＋5)有________个零点．6.求证：方程5x 2－7x －1＝0的根一个在区间(－1,0)上，另一个在区间(1,2)上．考点二：二分法求零点求函数f (x )＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1)变式练习1.若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：求方程x 3＋x 2－2x －22.用二分法求方程0212-0.9 x x 的实数解，精确到0.1.课后练习1．函数f (x )在区间(0,2)内有零点，则( )A ．f (0)>0，f (2)<0B ．f (0)·f (2)<0C ．在区间(0,2)内，存在x 1，x 2使f (x 1)·f (x 2)<0D ．以上说法都不正确2．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图像与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是() A ．0 B ．1C ．2D ．1或23．设函数f (x )＝log 3x ＋2x －a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，－log 32)B ．(0，log 32)C ．(log 32,1)D ．(1，log 34)4．方程2x －x －2＝0在实数范围内的解的个数是________．5．函数y ＝(12)x 与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标是________．(精确到0.1)6．方程4x 2－6x －1＝0位于区间(－1,2)内的解有____________个．7.当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．。

数学必修一函数的零点知识点数学必修一函数的零点知识点1、函数零点的概念：对于函数))((D__fy，把使0)(_f成立的实数_叫做函数))((D__fy的零点。

2、函数零点的意义：函数)(_fy的零点就是方程0)(_f 实数根，亦即函数)(_fy的图象与_轴交点的横坐标。

即：方程0)(_f有实数根函数)(_fy的图象与_轴有交点函数)(_fy有零点.3、函数零点的求法：代数法)求方程0)(_f的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(_fy的图象联络起来，并利用函数的性质找出零点.有理数命名由来“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。

事实上，这似乎是一个翻译上的失误。

有理数一词是从西方传来，在英语中是rationalnumber，而rational通常的意义是“理性的”。

中国在近代翻译西方科学著作，根据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。

但是，这个词来于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之一样)。

所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。

与之相对，“无理数”就是不能准确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

学习方法在预习的时候，应当把定理、定律、公式、常数、特定符号这些内容单独聚集在一起，每抄录一遍，那么加深一次印象。

上课的时候，教师讲到这些地方时，应把自己预习时的理解和教师讲的相对照，看自己有没有理解错的地方。

预习可以用“一划、二批、三试、四分”的预习方法。

一划：就是圈划知识要点，根本概念。

二批：就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。

三试：就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果。

四分：就是把自己预习的这节知识要点列出来，分出哪些是通过预习已掌握了的，哪些知识是自己预习不能理解掌握了的，需要在课堂学习中进一步学习。

函数的零点零点这一块内容知识点比较少，但我相信本文引用的例题对于高一新生来说有较大的参考价值。

【零点】设有一函数f(x)，我们把能够使f(x)=0的实数x_0称为函数f(x)的一个“零点”。

显然，函数的零点和它的图像与x轴交点横坐标对应（零点并非几何意义上的点，而是数字，但在不关心数值，只关心零点个数的时候，我们不必强调“横坐标”这件事，因为这并不影响“对应”一词的正确性）。

零点可以通过解方程f(x)=0得到，但零点个数不一定与对应方程的实根个数相同。

例如f(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+1)，我们说对应方程有三个实根：x_1=x_2=1，x_3=2，但说函数的零点只有1，2两个。

不难理解，对于函数F(x)=f(x)-g(x)，它的零点对应函数f(x)与g(x)图像的交点。

特别地，如果g(x)=c，从而是一个常数函数，那么F(x)的零点就对应函数f(x)的图像与直线y=c的交点。

【例】【2020-2021学年嘉兴市高一上期末统考】（多选）若定义在\bold{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0 ，当 x<0 时，f(x)=x^2+2ax+\dfrac 32a （ a \in \bold{R} ），则下列说法正确的是：A. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 a<0 或4<a<8 ；B. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 4<a<8 ；C. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>8 ；D. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>4 。

解：首先，由题意， f(x) 是奇函数，这样就可以根据已知的 x<0时的解析式写出函数在 \bold{R} 上的解析式：f(x)=\begin{cases} -x^2+2ax-\dfrac 32a& (x>0)\\ 0& (x=0)\\x^2+2ax+\dfrac 32a& (x<0) \end{cases}根据选项，设 g(x)=ax+\dfrac a2 。

高中数学基础之函数零点函数零点的考查往往以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，特别是有关导数的解答题中也经常考查零点问题．根据高考试题的考查特点，建议掌握好函数零点的求法、含参数问题的解决办法以及常用的二次函数零点问题的求法．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．注：函数的零点不是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点，而是y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条□01连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．注：函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．一、函数零点及其所在区间的判断例1 函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)答案B解析解法一(定理法)：函数f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，图象是一条连续的曲线．由题意知f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，根据零点存在定理可知，函数f (x )＝log 3x ＋x －2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．故选B.解法二(图象法)：将函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝log 3x 和h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数的图象如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2).故选B.例2 已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，k ＋12(k ∈Z )内，那么k ＝ ． 答案 5解析 因为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝ln52－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫52，3内，则整数k ＝5. 总结：判断函数零点所在区间的方法(1)解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程． (2)利用零点存在定理求解．(3)数形结合法，画出相应函数图象，观察与x 轴交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上是否有交点来判断．二、函数零点个数的判断例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.例4 若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，则函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．又x ∈(－2，2]时，f (x )＝12|x |，所以作出函数f (x )的图象如图所示．因为x ＝±10时，y ＝lg |±10|＝1，所以由数形结合可得函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝lg |x |的图象的交点个数为8.例5 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 当x ＞1时，令f (x )＝ln (x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1，故f (x )的零点个数为2.例6 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个答案 B解析 分别作出y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图可知y ＝f (x )与y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．总结：函数零点个数的判断方法(1)直接求零点．令f (x )＝0，有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理．要求函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，且f (a )f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数．(3)利用图象交点个数判断．作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数． 三、函数零点的应用例7 已知方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0的一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，则m 的取值范围是( )A ．(－5，－4)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－2C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4D ．(－5，－2) 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m ，由二次函数根的分布性质，若一根在区间(2，3)内，另一根在区间(3，4)内，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （2）>0，f （3）<0，f （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4＋2（m －2）＋5－m >0，9＋3（m －2）＋5－m <0，16＋4（m －2）＋5－m >0，解不等式组可得－133<m <－4，即m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－4.故选C. 例8 设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]答案 D解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得x ＜－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )＞0得－2＜x ≤0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1.故选D.例9 若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1，1]有零点，所以方程4x －2x －a ＝0在[－1，1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1，1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，令2x＝t ，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，0≤t －12≤32，0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122≤94，－14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14≤2，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.总结：已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．。

第09讲:函数的零点和函数的应用期末高频考点突破高频考点梳理1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个__c __也就是方程f (x )＝0的根． 2．二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 题型一：函数零点存在定理1．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）函数3ln y x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,12．（2021·河南·安阳市第三十九中学高一期末）关于函数2()311x f x x =+-的零点，下列判断正确的是（ ）A ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间12（,）内B ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间12（,）内C ．()f x 只有一个零点，且这个零点在区间2,3（）内D ．()f x 有两个零点，且其中一个零点在区间2,3（）内3．（2022·河南安阳·高一期末）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()0f a f b f c ⋅⋅<，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中一定不正确的是（ ）A ．0x a <B ．0a x b <<C ．0b x c <<D ．0x b <题型二：函数的零点个数分布问题（参数）4．（2021·河南·安阳一中高一期末）已知定义在R 上的奇函数，满足()()20f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，若函数()()()sin πF x f x x =-，在区间[]1,m -上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.5,4B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)5,5.55．（2022·全国·益阳平高学校高一期末）已知函数()22,02,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．90,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．90,16⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知()()2ln ,045,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ） A ．（3，4）B ．（2，4）C ．[0，4）D ．[3，4）题型三：用二分法求函数f (x )零点近似值7．（2022·江西新余·高一期末）若函数()31f x x x =--在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下：那么方程310x x --=的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ） A ．1.3B ．1.32C ．1.4375D ．1.258．（2022·内蒙古·呼和浩特市教育教学研究中心高一期末）用二分法求方程的近似解，求得函数()329f x x x =+-的部分函数值数据如下：()16f =-，()23f =，()1.5 2.625f =-，()1.750.6406f =-，则方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为（ ） A ．()0.6406,0-B ．()1.75,2C ．()1.5,1.75D ．()1,1.59．（2021·安徽宿州·高一期末）已知函数3()2xf x x=-在区间(1,2)上有一个零点0x ，如果用二分法求0x 的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(1,2)至少等分的次数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8题型四：函数与方程的综合问题10．（2021·天津·高一期末）已知函数4(),01af x x a x=+<≤ (1)用定义法证明函数()f x 在[2,)+∞单调递增；(2)设()()22x xg x f a ⎡⎤=-⎣⎦，求()g x 在[1,0]-上的最大值(3)设2+1,<2()=5(),22x x x f x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，若方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，求实数a 的取值范围．11．（2022·安徽池州·高一期末）已知函数()214()log 21x f x +=+.(1)求函数()n x(2)若关于x 的方程2()14f x x m =+-在[2,3]-上有两个实数根，求实数m 的取值范围.12．（2022·江西抚州·高一期末）已知函数()ln 11ax f x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭（其中a R ∈且0a ≠）的图象关于原点对称. (1)求a 的值；(2)①判断()xy f e =在区间()0,∞+上的单调性（只写出结论即可）；①关于x 的方程()ln 0xf e x k -+=在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，求实数k 的取值范围.题型五：函数模型的应用13．（2022·湖北武汉·高一期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 14．（2022·贵州六盘水·高一期末）2005年8月，时任浙江省省委书记的习近平同志就提出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断.为了改善农村卫生环境，振兴乡村，加快新农村建设，某地政府出台了一系列惠民政策和措施某村民为了响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方体形状的沼气池，利用秸秆、人畜肥等做沼气原料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.若沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池底的造价为每平方米180元，池壁的造价为每平方米150元，池盖的总造价为2000元.设沼气池底面长方形的一边长为x 米，但由于受场地的限制，x 不能超过2米.(1)求沼气池总造价y 关于x 的函数解析式，并指出函数的定义域； (2)怎样设计沼气池的尺寸，可以使沼气池的总造价最低？并求出最低造价.15．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产x （千台）电脑需要另投成本()T x 万元，且2+100+1000,0<<40,()=10000601+-7450,40,ax x x T x x x x ≥⎧⎪⎨⎪⎩另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润()W x （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.参考答案：1．B【分析】根据解析式判断函数单调性，再应用零点存在性定理确定所在区间即可.【详解】由3,ln y y x x==-在(0,)+∞上递减，所以3ln y x x=-在(0,)+∞上递减，又3(2)ln 202f =-=>，e (3)1ln 3ln 03f =-=<，所以零点所在区间为()2,3. 故选：B 2．B【分析】根据零点存在性定理，特殊值检验解决即可. 【详解】由题知，2()311x f x x =+-，当2()3110x f x x =+-=时，2311x x =-+，令2123,11x y y x ==-+，如图有图知()f x 有两个零点； 因为(1)311170f =+-=-<， (2)941120f =+-=>， (3)27911250f =+-=>，1(1)11103f -=+-<，1(2)41109f -=+-<，1(3)911027f -=+-<，1(4)1611081f -=+->，说明()f x 有两个零点位于12（,）和3,4--（）， 故选：B 3．B【分析】根据函数的单调性可得()()()f a f b f c >>，再分()0f a <和()0f a >两种情况讨论，结合零点的存在性定理即可得出结论.【详解】解：①()f x 是定义在R 上的减函数，a b c <<，①()()()f a f b f c >>， ①()()()0f a f b f c ⋅⋅<，①()()()0,0,0,f a f b f c <<<或()0f a >，()0f b >，()0f c <， 当()0f a <时，0x a <，0x b <；当()0f a >，()0f b >，()0f c <时，0b x c <<； ①0a x b <<是不可能的. 故选：B ． 4．A【分析】根据题意可知()f x 和()sin πx 都是周期为2的周期函数，因此可将()()()sin πF x f x x =-的零点问题转换为()f x 和()sin πx 的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m 的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由()()()()()2022f x f x f x f x f x -+=⇒=--=-得()f x 是一个周期为2的奇函数，当(]0,1x ∈时，()2log f x x =-，因此211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =因为()f x 是奇函数，所以()00f = ，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，()10f -=且()()sin πg x x =的周期为2π2πT ==，且()10g -=，112g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()00g =，112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10g = 求()()()sin πF x f x x =-的零点，即是()f x 与()g x 的交点，如图：为()f x 与()g x 在[]1,1-区间的交点图形，因为()f x 与()g x 均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知()F x 的零点周期为12，若在区间[]1,m -上有10个零点，则第10个零点坐标为()3.5,0，第11个零点坐标为()4,0，因此3.54m ≤< 故选：A 5．D【分析】根据题意，作出函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩与12y x m =+的图像，然后通过数形结合求出答案.【详解】函数()22,0,2,0x x f x x x x -<⎧=⎨-+≥⎩的图像如下图所示：若关于x 的方程()12f x x m =+恰有三个不相等的实数解， 则函数()f x 的图像与直线12y x m =+有三个交点，若直线12y x m =+经过原点时，m ＝0，若直线12y x m =+与函数()12f x x m =+的图像相切，令22123022x x x m x x m -+=⇒++-=，令9940416m m ∆=-=⇒=.故90,16m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D ． 6．D【分析】利用数形结合可得12m <≤，结合条件可得121=x x ，312x ≤<，423x <≤，且344x x +=，再利用二次函数的性质即得.【详解】由方程()()f x m m =∈R 有四个不同的实数根，得函数()y f x =的图象与直线y m =有四个不同的交点，分别作出函数()y f x =的图象与直线y m =．由函数()f x 的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，12m <≤．设y m =与|ln()|(0)y x x =-<交点的横坐标为1x ，2x ，设12x x <，则11x <-，210x -<<， 由()()12ln ln x x -=-得()()12ln ln x x -=--， 所以()()121x x --=，即121=x x ．设y m =与245(1)y x x x =-+≥的交点的横坐标为3x ，4x ，设34x x <，则312x ≤<，423x <≤，且344x x +=， 所以()()234333424[3,4)x x x x x =-=--+∈， 则1234[3,4)x x x x ∈． 故选：D. 7．B【分析】由零点存在性定理和二分法求解近似根.【详解】由()1.31250f <，()1.3750f >，且()f x 为连续函数，由零点存在性定理知：区间()1.3125,1.375内存在零点，故方程310x x --=的一个近似根可以为1.32，B 选项正确，其他选项均不可. 故选：B 8．B【分析】根据零点存在性定理可判断出函数零点所在的区间，从而可得到方程近似根x 所在的区间. 【详解】由题意，知()()()()()()120, 1.520, 1.7520f f f f f f ⋅<⋅<⋅<，所以函数的零点在区间()1.75,2内，即方程3290x x +-=的一个近似根x 所在区间为()1.75,2. 故选：B. 9．C【解析】根据二分法的定义可得10.012n<，解得6n >即得. 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的12，则等分n 次后的区间长度变为原来的12n， 则由题可得10.012n <，即621002n >>，6n ∴>， 则至少等分的次数为7.故选：C.10．(1)证明见解析 (2)31a + (3)518a <≤【分析】（1）先设12,[2,)x x ∀∈+∞，12x x <，再根据作差法只需证明()()12f x f x <即可； （2）根据换元法求21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦的最大值即可；（3）根据函数在(,2)-∞和[2,)+∞上的单调性，即可求得实数a 的取值范围.（1）12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <， ()()()12121212124444a a a a f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()1212121212441x x x x a a x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ ①122x x ≤<，①21120,4x x x x >->①01a <≤，①044a <≤，①124x x a >，①1240x x a -> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，①()f x 在[2,)+∞上单调递增， （2）设()24()222242x x x xx a g x a a a ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，令2x t =，①1[1,0],,12x t ⎡⎤∈-∴∈⎢⎥⎣⎦，21()4,,12h t t at a t ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦①()h t 的对称轴为10,22a t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦， ①()h t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，①max max ()()(1)31g x h t h a ===+． （3））2+1,<2()=45+,22x x x a x x x ϕ≥-⎧⎪⎨-⎪⎩，①()x ϕ在(,2)-∞上单调递减，①5(),4x ϕ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，由（1）可知()x ϕ在[2,)+∞上单调递增，①1()2,2x a ϕ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，方程()20x a ϕ-=有两个不等实根，等价于函数()y x ϕ=与2y a =有两个不同的交点①1222a a >-，①(x ϕ在[2,)+∞上与2y a =必有一个交点，故只需①524a >，即58a >，又①01a <≤，①518a <≤． 11．(1)2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(2)411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据被开方数非负列出一个关于对数函数的不等式，然后解不等式即可求出其定义域；（2）构造一个新函数()2141()log 212x x g x ++=+-，转化成求新函数在[2,3]-上的值域，最后解不等式即可.(1)依题意，()n x =()214log 2120x ++-≥，则212116x ++≥，则21215x +≥，则221log 15x +≥，故2115log 22x ≥，即函数()n x 的定义域为2115log ,22⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； (2)依题意，2()14f x x m =+-，故()2141log 2122x x m +++-=-； 令()()212114444111()log 21log 21log 2log 222x x x x x x g x +++++⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭； 令2x t =，因为[2,3]x ∈-，故1,84t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1112()22x x t h t t ++=+=，因为12t t +≥12t t =，即t =而19129,(8)4416h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故49log 2log 4m -≤，即412log 914m <-≤-，即411log 328m -≤<-， 即实数m 的取值范围为411log 3,28⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 12．(1)2a =(2)①()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增；①2033k <≤ 【分析】（1）由图象关于原点对称知：()()0f x f x -+=，结合函数解析式可得()211a -=，即可求参数.（2）由已知得()1ln 1x f x x -=+，①()x y f e =为211x t e =-+，()ln g t t =的构成的复合函数，由它们在()0,∞+上均单调递增，即知()x y f e =的单调性；①由①整理方程得()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解，令1x u e =-，(]0,3u ∈有23k u u =++，结合基本不等式求其最值，进而确定k 的取值范围.(1)由题意知()()0f x f x -+=，整理得()()1111ln 011a x a x x x -+--⎡⎤⨯=⎢⎥-+⎣⎦， 即()222111a x x --=-，对于定义域内任意x 都成立，则有()211a -=，解得2a =或0a =，又0a ≠，所以2a =，当2a =时，()1ln 1x f x x -=+，定义域为(1)(1)-∞-+∞，，，关于原点对称，符合题意， 故2a =.(2)由（1）可知，2a =，故()21ln 1ln 11x x x x f x -⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ①()22ln 1ln 111x xx x e y f e e e ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由211x t e =-+，()ln g t t =在()0,∞+上均单调递增， 得()x y f e =在区间()0,∞+上单调递增.①由①知1ln ln 01x x e x k e --+=+，可得1ln ln ln 01x x x e e k e --+=+， 即()11x x x e e k e +=-在区间(]0,ln 4上有两个不同的解. 令1x u e =-，(]0,3u ∈，所以()()()112231x x x e e u u k u e u u +++===++-， 因为23k u u =++在(上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以min 33k =+=， 且3u =时，2203333k =++=，从而2033k <≤. 13．(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩； (2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.【详解】（1）当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-； 当100x ≥时，45004500100(1205400)20002034009090L x x x x x =-+--=--+--， 所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩. （2）当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+，当90x =时，L 取得最大值950， 当100x ≥时，22520(90)16001600100090L x x =--++≤-+=-， 当且仅当2259090x x -=-，即105x =时取等号，而1000950>， 所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.14．(1)()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭ (2)当长2x =米，宽632=米时总造价最低，最低造价为7580元【分析】（1）池底、池壁、池盖的造价求得y 关于x 的解析式，并写出定义域.（2）利用函数的单调性求得设计方案并求得最低造价.【详解】（1）沼气池的宽为1863x x=， 依题意612180231502000y x x x x ⎛⎫=⨯⨯++⨯⨯+ ⎪⎝⎭ ()6661809002000308090002x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯+=+⨯+<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）由（1）得()6308090002y x x x ⎛⎫=+⨯+<≤ ⎪⎝⎭， 对于函数()()602f x x x x=+<≤， 任取()()121212126602,x x f x f x x x x x <<≤-=+--()()1212126x x x x x x --=， 其中1212120,0,60x x x x x x -<>-<，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在(]0,2上递减，所以当长2x =米，宽632=米时，()f x 最小，也即总造价最小， 最小值为63080900275802⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭元. 15．(1)210+500-2350,0<<40,()=10000+6100,40.x x x W x x x x ---≥⎧⎪⎨⎪⎩(2)100千台，最大年利润为5 900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当040x <<时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当40x ≥时，利用基本不等式性质求最大值.（1）解：10 000台=10千台,则(10)1002000T a =+，根据题意得：0.610000100200013501650a ⨯---=，解得=10a ， 当040x <<时，22()0.610001350101001000105002350W x x x x x x =⨯----=-+-，当40x ≥时，1000010000()0.61000135060174506100W x x x x x x=⨯---+=--+， 综上所述210+5002350,0<<40()=10000+6100,40x x x W x x x x ----≥⎧⎪⎨⎪⎩. （2）当040x <<时，22()10500235010(25)3900W x x x x =-+-=--+当25x =时， ()W x 取得最大值max ()3900W x =；当40x ≥时，1000010000()61006100900W x x x x x=--+≤-+=，当且仅当=100x 时，max ()5900W x =因为59003900>，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元.。

考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（ ） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二 零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三 零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>， 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈， 又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ．2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+， 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>， 由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f xx x =+--零点所在的整区间是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)强化练习【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）； 当0x >时，110x-=，解得：1x =所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>． 故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（ ） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12xx x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（ ） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．0,64x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）； 当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =， 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________． 【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。

函数及函数的零点有关概念函数的概念：设A 、B 是非空的数集;如果按照某个确定的对应关系f;使对于集合A 中的任意一个数x;在集合B 中都有唯一确定的数fx 和它对应;那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=fx;x ∈A ．其中;x 叫做自变量;x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值;函数值的集合{fx| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 一函数三要素1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.. 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：1分式的分母不等于零； 2偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数必须大于零；4指数、对数式的底必须大于零且不等于1. 5指数为零底不可以等于零.. 6如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么;它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.7三角函数正切函数tan y x =中()2x k k Z ππ≠+∈.8实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义;还要保证实际问题或几何问题有意义.9以上这些在题目中都没出现;则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=fuu ∈M;u=gxx ∈A;则 y=fgx=Fxx ∈A 称为f 、g 的复合函数.. 1已知fx 的定义域是a;b;求fgx 的定义域;是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围；2已知fgx 的定义域是a;b;求fx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域；3 已知fgx 的定义域是a;b;求fhx 的定义域;是指在[,]x a b ∈的条件下;求gx 的值域;gx 的值域就是hx 的值域;再由hx 的范围解出x 即可.. 2.求函数的解析式的常用求法：1、定义法；2、换元法；3、待定系数法；4、函数方程法；5、参数法；6、配方法3.值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法1、图像法；2、层层递进法；3、分离常数法；4、换元法；5、单调性法；6、判别式法；7、有界性；8、奇偶性法；9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 二分段函数问题1：已知定义域求值域问题代入法 2：已知定义域求值域问题代入法 3.分段函数解析式的求法 要点2．函数的性质 一函数的单调性局部性质： 1.函数单调性的判定A 定义法：定义1：设函数y=fx 的定义域为I;如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1;x 2;当x 1<x 2时;都有fx 1<fx 2;那么就说fx 在区间D 上是增函数.区间D 称为y=fx 的单调增区间.. 等价定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么：[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.定义2．设函数)(x f y =在某个区间内可导;如果0)(>'x f ;则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ;则)(x f 为减函数. B 图象法从图象上看升降2.函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：错误! 任取x 1;x 2∈D;且x 1<x 2；错误! 作差fx 1－fx 2；错误! 变形通常是因式分解和配方；错误! 定号即判断差fx 1－fx 2的正负；错误! 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性．B 图象法从图象上看升降C 复合函数的单调性复合函数fgx 的单调性与构成它的函数u=gx ;y=fu 的单调性密切相关;其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ;不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. D 导数法2函数的单调区间3利用函数单调性解不等式;比较大小;求参数的值或取值范围及最值问题1. 比较大小2.最值3.参数范围问题4.解不等式4抽象函数的单调性5.函数单调性的常用结论：1、若(),()+在这个区间上也为增减函f xg xf xg x均为某区间上的增减函数;则()()数2、若()-为减增函数f x为增减函数;则()f x3、若()f x与()g x的单调性f x与()=是增函数；若()y f g xg x的单调性相同;则[()]不同;则[()]=是减函数..y f g x4、奇函数在对称区间上的单调性相同;偶函数在对称区间上的单调性相反..5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象..二函数的奇偶性整体性质：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化;特别注意“奇函数若在x＝0处有定义;则一定有f0＝0;偶函数一定有f|x|＝fx”在解题中的应用．1函数奇偶性的判断1.1一般函数奇偶性的判断1.定义:偶函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=fx;那么fx就叫做偶函数．奇函数一般地;对于函数fx的定义域内的任意一个x;都有f－x=—fx;那么fx就叫做奇函数．2.性质：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称;反过来;如果一个函数的图象关于原点对称;那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称;那么这个函数是偶函数．3.利用定义判断函数奇偶性的步骤：错误!首先确定函数的定义域;并判断其是否关于原点对称；错误!确定f－x与fx的关系；错误!作出相应结论：若f－x = fx 或 f－x－fx = 0;则fx是偶函数；若f－x =－fx 或 f－x＋fx = 0;则fx是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称;若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称;1再根据定义判定; 2由 f-x±fx=0或fx／f-x=±1来判定; 3利用定理;或借助函数的图象判定 .1.2分段函数奇偶性的判断方法：图像法、定义法注意带人2利用奇偶性求函数的解析式注意带入3抽象函数奇偶性的证明4函数奇偶性的常用结论：1、如果一个奇函数在0x=处有定义;则(0)0=既是奇函y f xf=;如果一个函数()数又是偶函数;则()0f x=反之不成立2、两个奇偶函数之和差为奇偶函数；之积商为偶函数..3、一个奇函数与一个偶函数的积商为奇函数..4、两个函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数;只要其中有一个是偶函数;那么该复合函数就是偶函数；当两个函数都是奇函数时;该复合函数是奇函数..5、若函数)(x f y =是偶函数;则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数;则)()(a x f a x f +-=+.6、若函数()f x 的定义域关于原点对称;则()f x 可以表示为11()[()()][()()]22f x f x f x f x f x =+-+--;该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和.. 三函数的周期性几个函数方程的周期约定a>0 1)()(a x f x f +=;则)(x f 的周期T=a ； 20)()(=+=a x f x f ;或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ;或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠;或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈;则)(x f 的周期T=2a ； 3)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ;则)(x f 的周期T=3a ；4)()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<;则)(x f 的周期T=4a ；5()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++;则)(x f 的周期T=5a ；6)()()(a x f x f a x f +-=+;则)(x f 的周期T=6a.要点3．函数的图象1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质;善于利用函数的性质来作图;要合理利用图象的三种变换．2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时;要注意用好其与图象的关系、结合图象研究． 一图像变换问题 1 画法 A 、描点法：B 、图象变换法常用变换方法有三种:1平移变换;2伸缩变换;3对称变换; 二图像识别问题 要点4．二次函数一闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得;具体如下：1当a>0时;若[]q p a bx ,2∈-=;则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=;{}max max ()(),()f x f p f q =;{}min min ()(),()f x f p f q =. 2当a<0时;若[]q p a b x ,2∈-=;则{}min ()min (),()f x f p f q =;若[]q p abx ,2∉-=;则{}max ()max (),()f x f p f q =;{}min ()min (),()f x f p f q =. 二二次函数的移轴问题 1定区间动轴 2定轴动区间 3轴动区间动三一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <;则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(;则1方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；2方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；3方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .四.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据1在给定区间),(+∞-∞的子区间L 形如[]βα,;(]β,∞-;[)+∞,α不同上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥t 为参数恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.2在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≤ t 为参数恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.30)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.五二次函数的奇偶性 要点5.基本初等函数 一、指数函数一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地;如果a x n =;那么x 叫做a 的n 次方根;其中n >1;且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0;记作00=n ..当n 是奇数时;a a n n =;当n 是偶数时;⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义;规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ;)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm◆ 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质1ra ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； 2rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；3s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．二指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地;函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数;其中x 是自变量;函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围;底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质注意：利用函数的单调性;结合图象还可以看出：1在a;b 上;)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； 2若0x ≠;则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； 3对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且;总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数1．对数的概念：一般地;如果N a x =)1,0(≠>a a ;那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数;记作：N x a log =a — 底数;N — 真数;N a log — 对数式 说明：错误! 注意底数的限制0>a ;且1≠a ； 错误! x N N a a x =⇔=log ；错误! 注意对数的书写格式． 两个重要对数：错误! 常用对数：以10为底的对数N lg ；错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数b a ＝ N ⇔log a N ＝ b底数指数 对数二对数的运算性质如果0>a ;且1≠a ;0>M ;0>N ;那么：错误! M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；错误! =NM a log M a log －N a log ； 错误! n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式a b b c c a log log log = 0>a ;且1≠a ；0>c ;且1≠c ；0>b ．利用换底公式推导下面的结论 1b mn b a n a m log log =；2a b b a log 1log =． 二对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ;且)1≠a 叫做对数函数;其中x 是自变量;函数的定义域是0;+∞．注意：错误! 对数函数的定义与指数函数类似;都是形式定义;注意辨别..如：x y 2log 2=;5log 5x y = 都不是对数函数;而只能称其为对数型函数． 错误! 对数函数对底数的限制：0(>a ;且)1≠a ．2、对数函数的性质：函数图象都过定点1;0函数图象都过定点1;0三幂函数 1、幂函数定义：一般地;形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数;其中α为常数．2、幂函数性质归纳．1所有的幂函数在0;+∞都有定义并且图象都过点1;1；20>α时;幂函数的图象通过原点;并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地;当1>α时;幂函数的图象下凸；当10<<α时;幂函数的图象上凸；30<α时;幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内;当x 从右边趋向原点时;图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于∞+时;图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．要点6．函数模型的实际应用解决函数模型的实际应用题;首先应考虑该题考查的是何种函数;并要注意定义域;然后结合所给模型;列出函数关系式;最后结合其实际意义作出解答．明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础：错误!→错误!→错误!→错误!要点7．函数零点 1.函数零点方程的根的确定问题;常见的类型有1零点或零点存在区间的确定；2零点个数的确定；3两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定；解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法;尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解..检验 收集数画散点选择函数求函数模用函数模型解释实际符合实际不符合实2．函数零点方程的根的应用问题;即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题;解决该类问题关键是利用函数方程思想或数形结合思想;构建关于参数的方程或不等式求解..3.用二分法求函数零点近似值;用二分法求函数零点近似值的步骤1确定区间a;b;验证fa ·fb<0;给定精确度ε；2求区间a;b 的中点1x ；3计算f 1x ;①当f 1x =0;则1x 就是函数的零点；②若fa ·f 1x <0;则令b=1x 此时零点01(,)x a x ∈;③若f 1x ·fb<0;则令a=1x 此时零点01(,)x x b ∈..4判断是否达到其精确度ε;则得零点近似值;否则重复以上步骤..。

高中数学必修一函数零点知识点1．函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是( ) A ．0B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.log 5(x －1)＝0，解得x ＝2，∴函数f (x )＝log 5(x －1)的零点是x ＝2，故选C. 2．根据表格中的数据，可以判断方程e x －x －2＝0必有一个根在区间( ) x －1 0 1 2 3 e x 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x ＋21 2 3 4 5 A.(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 解析：选C.设f (x )＝e x －x －2，∵f (1)＝2.78－3＝－0.22＜0，f (2)＝7.39－4＝3.39＞0.∴f (1)f (2)＜0，由根的存在性定理知，方程e x －x －2＝0必有一个根在区间(1,2)．故选C. 3．(2010年高考福建卷)函数f (x )＝îïíïìx 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C.当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2，故选C. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，则函数f (x －1)的零点是________．解析：由f (x )＝x 2－1，得y ＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ，∴由x 2－2x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝2，因此，函数f (x －1)的零点是0和2. 答案：0和2 1．若函数f (x )＝ax ＋b 只有一个零点2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，－12C ．0，12D ．2，12解析：选B.由题意知2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a ，∴g (x )＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)，使g (x )＝0，则x ＝0或－12. 2．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ≥1 解析：选B.由题意知，Δ＝4－4a <0，∴a >1. 3．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(e,3) 解析：选B.∵f (2)＝ln2－1＜0，f (3)＝ln3－23＞0， ∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )在(2,3)内有零点．4．下列函数不存在零点的是( ) A ．y ＝x －1xB ．y ＝2x 2－x －1 C ．y ＝îïíïì x ＋1 (x ≤0)x －1 (x ＞0)D ．y ＝îïíïì x ＋1 (x ≥0)x －1 (x ＜0)解析：选D.令y ＝0，得A 和C 中函数的零点均为1，－1；B 中函数的零点为－12，1；只有D 中函数无零点．5．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无法确定．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数．6．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选B.设f (x )＝x 3－(12)x －2， 则f (0)＝0－(12)－2<0；f (1)＝1－(12)－1<0；f (2)＝23－(12)0>0.∴函数f (x )的零点在(1,2)上． 7．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 解析：设方程f (x )＝0的另一根为x ， 由根与系数的关系，得1＋x ＝－2a a＝－2， 故x ＝－3，即另一个零点为－3. 答案：－3 8．若函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间[－1,1]上存在一个零点，所以有f (－1)·f (1)≤0，即(－5a ＋1)·1)·((a ＋1)≤0，(5a －1)(a ＋1)≥0， 所以îïíïì 5a －1≥0a ＋1≥0或îïíïì5a －1≤0，a ＋1≤0，解得a ≥15或a ≤－1. 答案：a ≥15或a ≤－1. 9．下列说法正确的有________：①对于函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，若f (a )＞0，f (b )＞0，则函数f (x )在区间(a ，b )内一定没有零点．零点．②函数f (x )＝2x －x 2有两个零点．有两个零点． ③若奇函数、偶函数有零点，其和为0. ④当a ＝1时，函数f (x )＝|x 2－2x |－a 有三个零点．有三个零点．解析：①错，如图．②错，应有三个零点．③对，奇、偶数图象与x 轴的交点关于原点对称，其和为0. ④设u (x )＝|x 2－2x |＝|(x －1)2－1|，如图向下平移1个单位，顶点与x 轴相切，图象与x 轴有三个交点．∴a ＝1. 答案：③④③④10．若方程x 2－2ax ＋a ＝0在(0,1)恰有一个解，求a 的取值范围．的取值范围．解：设f (x )＝x 2－2ax ＋a . 由题意知：f (0)·f (1)＜0，即a (1－a )＜0，根据两数之积小于0，那么必然一正一负．故分为两种情况． îïíïì a ＞0，1－a ＜0，或îïíïìa ＜0，1－a ＞0， ∴a ＜0或a ＞1. 11．判断方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有没有实数根？为什么？内有没有实数根？为什么？ 解：设f (x )＝log 2x ＋x 2，∵f (12)＝log 212＋(12)2＝－1＋14＝－34＜0， f (1)＝log 21＋1＝1＞0，∴f (12)·f (1)＜0，函数f (x )＝log 2x ＋x 2的图象在区间[12，1]上是连续的，因此，f (x )在区间[12，1]内有零点，即方程log 2x ＋x 2＝0在区间[12，1]内有实根．12．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，为何值时，(1)方程有一正一负两根；方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1. 解：(1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得îïíïìa －1a ＜0Δ＝12a ＋4＞0，解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足îïíïì a ＞0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＞0，或îïíïì a ＜0Δ＞0a ＋1a ＞1f (1)＜0，不等式组无解． 所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1. 法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即îïíïì (x 1－1)(x 2－1)＞0(x 1－1)＋(x 2－1)＞0 ⇒îïíïì x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＞0x 1＋x 2＞2. îíìa －1－2(a ＋1)＋2(a ＋1)a ＞0＞0，解得a ＞0. 时，方程的一个根大于1，一个根小于1. 。

最新高一必考数学知识点归纳精选5篇高一学生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。

下面就是给大家带来的关于高一数学知识点，希望大能帮助到大家！高一数学知识点11、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：(1)(代数法)求方程的实数根;(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高一数学知识点2空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法斜二测画法特点①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

直线与方程直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0180 直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。

即。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时，。

当时，;当时，不存在。

过两点的直线的斜率公式：(注意下面四点)(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

高一数学知识点3一、指数函数(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(xxxx)，其中1，且_.当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(xxxx)，这里叫做根指数(xxxxxt)，叫做被开方数(xxxxd).当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成(0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。