10-3相关关系、回归分析与独立性检验基础巩固强化1.(文)(2012·新课标全国，3)在一组样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1[答案] D[解析] 样本相关系数越接近1，相关性越强，现在所有的样本点都在直线y ＝12x ＋1上，样本的相关系数应为1.要注意理清相关系数的大小与相关性强弱的关系．(理)(2011·中山四校联考、湖南六校联考)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 [答案] D[解析] r 越接近1，相关性越强，残差平方和m 越小，相关性越强，故选D.2．(2011·西安模拟)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )①若K 2的观测值满足K 2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误A ．①B ．①③C ．③D ．②[答案] C[解析] ①推断在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，说法错误，排除A ，B ，③正确．排除D ，选C.3．某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值计算，得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则其回归直线方程为( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x[答案] A[解析] 由∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228知，x －＝6.5，y －＝28.5，b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62， ∴a ^＝y －－b ^x －＝28.5－2.62×6.5＝11.47.4．(2011·湖南文，5)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A[解析] 根据独立性检验的定义，由K 2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．5．(2012·石家庄市二模)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg[答案] B[解析] x －＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y －＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x －，y －)，∴将点(170,69)代入y ^＝0.56x ＋a ^中得a ^＝－26.2， ∴回归直线方程y ^＝0.56x －26.2， 代入x ＝172cm ，则其体重为70.12kg.6．(2012·广州市检测)某中学高三从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A.7 B ．8 C ．9 D ．10 [答案] B[解析] 由茎叶图得，甲班学生的平均分是78＋79＋80＋＋x ＋85＋92＋967＝85，解得x ＝5.因为乙班学生成绩的中位数是83，故只有80＋y ＝83，解得y ＝3.所以x ＋y ＝8.故选B.7．(2011·辽宁文，14)调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案] 0.254[解析] 由回归直线方程为y ^＝0.254x ＋0.321知收入每增加1万元，饮食支出平均增加0.254万元．8．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20min 从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程y ^＝0.2x ＋12中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ^平均增加0.2个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是________． [答案] ②③9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为了到K 2＝－223×27×20×30≈4.844.因为K 2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%[解析] 根据独立性检验临界值表可知“x 与y 有关系”的可信度，P (K 2≥3.841)＝0.05，∴有95%的可能认为x 与y 有关系，即判断出错的可能性为5%.10．(2012·扬州模拟)为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩：(1)(2)已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理性建议．[解析] (1)x －＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100；y －＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100；∴s 2数学＝9947＝142，s 2物理＝2507， 从而s 2数学>s 2物理，∴物理成绩更稳定．(2)由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到b ^＝∑i ＝17x i y i －7x －y －∑i ＝17x 2i －7x －2＝497994≈0.5， a ^＝y －－b ^x －＝100－0.5×100＝50，∴回归直线方程为y ^＝0.5x ＋50.当y ＝115时，x ＝130，即该生物理成绩达到115分时，他的数学成绩大约为130分．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高.能力拓展提升11.(2012·湖北武汉市训练)已知一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13,12B ．13,13C ．12,13D ．13,14[答案] B[解析] 设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 1a 7，则82＝(8－2d )(8＋4d )，解得d ＝0(舍去)或d ＝2.故a 1＝a 3－2d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋2.故此样本数据的平均数为a 1＋a 2＋…＋a 1010＝＋2×10＝13，中位数为a 5＋a 610＝12＋142＝13.12．(2011·佛山二模)在2010年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.13．(2011·东北四校联考)某小卖部为了了解热茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：由表中数据算得线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ≈－2，预测当气温为－5℃时，热茶销售量为________杯．(已知回归系数b ＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －) [答案] 70[解析] 根据表格中的数据可求得x －＝14×(18＋13＋10－1)＝10，y －＝14×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a ＝y －－b x －＝40－(－2)×10＝60，∴y ^＝－2x ＋60，当x ＝－5时，y ^＝－2×(－5)＋60＝70.14．(文)(2011·郑州市质检)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.参考公式及数据：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，[解析] 甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)因为K2＝50×50×55×45＝99≈1.010，所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．(理)(2011·福建普通高中质检)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A、B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.附：K2＝a ＋b c＋d a＋c b＋d从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15个．而事件A包含基本事件：(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10个．所以所求概率为P (A )＝1015＝23.(2)由已知数据得K 2＝－26×34×20×20≈3.137，由于3.137>2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．15．(2012·河南新乡、许昌、平顶山调研)在某医学实验中，某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料：记s 为抗体指标标准差，若抗体指标落在(y －s ，y ＋s )内，则称该动物为有效动物，否则称为无效动物．研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验．(1)求选取的两只动物都是有效动物的概率；(2)若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋a ，试求出a 的值；(3)若根据回归方程估计出的1号和6号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试判断(2)中所得线性回归方程是否可靠．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差：S ＝1nx 1－x－2＋x 2－x－2＋…＋x n －x－2]，其中x －为样本平均数．[解析] (1)y －＝3.9，s ≈0.31.故1、6号为无效动物，2、3、4、5号为有效动物． 记从六只动物中选取两只为事件A .所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种．满足题意的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共6种．故P (A )＝615＝25. (2)对于2、3、4、5号动物，x －＝4.5，y －＝3.925， 代入y ^＝0.17x ＋a 得a ＝3.16.(3)由y ^＝0.17x ＋3.16得y ^1＝3.33，y ^6＝4.52.误差e 1＝0.07，e 6＝0.22，均比标准差s ≈0.31小，故(2)中回归方程可靠．1．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表s 1、s 2、s 3( )A ．s 3>s 1>s 2B ．s 2>s 1>s 3C ．s 1>s 2>s 3D ．s 2>s 3>s 1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩都为8.5.s 1＝120－2＋－2＋－2＋－2]＝2520.同理s 2＝2920，s 3＝2120， ∴s 2>s 1>s 3.2．某校举行演讲比赛，9位评委给选手A 打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，若统计员计算无误，则数字x 应该是( )A.5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] D[解析] 去掉最低分87，去掉最高分94(假设x ≤4)，则7×91＝80×2＋9＋8＋90×5＋2＋3＋2＋1＋x ，∴x ＝2，符合题意，故选D.3．(2012·湖南)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg[答案] D[解析] 本题考查线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．4．(2012·湖南文，13)下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差s 2＝1n[(x 1－x －)2－(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[答案] 6.8[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念．由茎叶图知x －＝8＋9＋10＋13＋155＝11，∴s 2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8 5．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d .[解析] (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%. (2)K 2＝－2200×300×70×430≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 10-3相关关系、回归分析与独立性检验课后强化作业 新人教B 版基础巩固强化一、选择题1．(2013·衡阳联考)已知x 与y 之间的一组数据：已求得y 关于x 的线性回归方程y ＝2.1x ＋0.85，则m 的值为( ) A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.5 [答案] D[解析] ∵x －＝1.5，代入y ^＝2.1x ＋0.85中得，y －＝4， ∴14(m ＋3＋5.5＋7)＝4，∴m ＝0.5. 2．(文)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 [答案] D[解析] r 越接近1，相关性越强，残差平方和m 越小，相关性越强，故选D. (理)某化工厂为预测产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观测值计算，得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，则其回归直线方程为( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62x[答案] A[解析] 由∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228知，x －＝6.5，y －＝28.5，b ^＝∑i ＝18x i y i －8x －y－∑i ＝18x 2i －8x －2＝1849－8×6.5×28.5478－8×6.52≈2.62，∴a ^＝y －－b ^x －＝28.5－2.62×6.5＝11.47.3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” [答案] A[解析] 根据独立性检验的定义，由χ2≈7.8>6.635可知，有99%以上把握认为“爱好该项运动与性别有关”．4．(文)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元[答案] B[解析] 此题必须明确回归直线方程过定点(x ，y )．易求得x ＝3.5，y ＝42，则将(3.5,42)代入y ^＝b ^x ＋a ^中得：42＝9.4×3.5＋a ^，即a ^＝9.1，则y ^＝9.4x ＋9.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5万元．(理)(2013·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－4，据此模型预计零售价定为15元时，每天的销售量为( )A ．48个B ．49个C ．50个D ．51个 [答案] B[解析] 由题意知x －＝17.5，y －＝39，代入回归直线方程得a ^＝109,109－15×4＝49，故选B.5．(2013·武汉市部分学校联考)某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：( )A ．y ＝0.7x ＋5.25B ．y ＝－0.6x ＋5.25C ．y ＝－0.7x ＋6.25D ．y ＝－0.7x ＋5.25[解析] x －＝2.5，y －＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝31.5，∴b ^＝∑i ＝14x i y i －4x －y－∑i ＝14x 2i －4x －2＝31.5－4×2.5×3.530－4×2.52＝－0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25， ∴回归直线方程为y ＝－0.7x ＋5.25.6．(文)(2013·合肥检测)由数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)求得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心点(x －，y －)，因此(x 0，y 0)一定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不一定是(x －，y －)．(理)(2013·福建)已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′[解析] 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x ·y∑i ＝16x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×(72)2＝57，a^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13，所以b ^<b ′，a ^>a ′. 二、填空题7．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：为到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．[答案] 5%[解析] 根据独立性检验临界值表可知“x 与y 有关系”的可信度，P (χ2≥3.841)＝0.05，∴有95%的可能认为x 与y 有关系，即判断出错的可能性为5%.8．(2013·唐山统一考试)考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50cm 时，肱骨长度的估计值为________cm.[答案] 56.19[解析] y ^＝1.197×50－3.66＝56.19(cm)．9．在2013年春节期间，某市物价部门，对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：通过分析，y 对商品的价格x 的回归直线方程为________．[答案] y ^＝－3.2x ＋40[解析] ∑i ＝15x i y i ＝392，x －＝10，y －＝8，∑i ＝15(x i －x －)2＝2.5，代入公式，得b ^＝－3.2，所以，a ^＝y －－b ^x －＝40，故回归直线方程为y ^＝－3.2x ＋40.三、解答题10．(文)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分析估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．参考公式及数据：χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，k 0 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828[解析] (1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人， 甲班优秀人数为30人，优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)优秀人数 非优秀人数合计 甲班 30 20 50 乙班 25 25 50 合计5545100因为χ2＝100×(30×25－20×25)250×50×55×45＝10099≈1.010， 所以由参考数据知，没有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．(理)某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A 、B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”.(1)在乙班样本中的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断是否有90%的把握认为：“成绩优秀”与教学方式有关.附：χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] (1)设“抽出的两个均‘成绩优秀’”为事件A .从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共15个．而事件A 包含基本事件：(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共10个．所以所求概率为P (A )＝1015＝23.(2)由已知数据得χ2＝40×(1×15－5×19)26×34×20×20≈3.137，由于3.137>2.706，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关.能力拓展提升一、选择题11．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程y ^＝0.56x ＋a ^，据此模型预报身高为172cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09kgB ．70.12kgC ．70.55kgD ．71.05kg[答案] B[解析] x －＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y －＝63＋66＋70＋72＋745＝69.∵回归直线过点(x －，y －)，∴将点(170,69)代入y ^＝0.56x ＋a ^中得a ^＝－26.2，∴回归直线方程y ^＝0.56x －26.2， 代入x ＝172cm ，则其体重为70.12kg.12．(2013·河北模拟)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3[答案] A[解析] 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义，可知r 2<r 4<0<r 3<r 1，故选A. 二、填空题13．(2013·乌鲁木齐第一次诊断)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归直线方程y ^＝0.67x ＋54.9.[答案] 68[解析] 设模糊不清部分的数据为m ， x －＝10＋20＋30＋40＋505＝30，由y ^＝0.67x ＋54.9过点(x －，y －)得，y －＝0.67×30＋54.9＝75， 所以62＋m ＋75＋81＋895＝75，m ＝68.三、解答题14．在某医学实验中，某实验小组为了分析某药物用药量与血液中某种抗体水平的关系，选取六只实验动物进行血检，得到如下资料：记s 为抗体指标标准差，若抗体指标落在(y －s ，y ＋s )内，则称该动物为有效动物，否则称为无效动物．研究方案规定先从六只动物中选取两只，用剩下的四只动物的数据求线性回归方程，再对被选取的两只动物数据进行检验．(1)求选取的两只动物都是有效动物的概率；(2)若选取的是编号为1和6的两只动物，且利用剩余四只动物的数据求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.17x ＋a ，试求出a 的值；(3)若根据回归方程估计出的1号和6号动物抗体指标数据与检验结果误差都不超过抗体指标标准差，则认为得到的线性回归方程是可靠的．试判断(2)中所得线性回归方程是否可靠．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的标准差：S ＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，其中x －为样本平均数． [解析] (1)y －＝3.9，s ≈0.31.故1、6号为无效动物，2、3、4、5号为有效动物． 记从六只动物中选取两只为事件A .所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共15种．满足题意的有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共6种．故P (A )＝615＝25.(2)对于2、3、4、5号动物，x －＝4.5，y －＝3.925，代入y ^＝0.17x ＋a 得a ＝3.16.(3)由y ^＝0.17x ＋3.16得y ^1＝3.33，y ^6＝4.52.误差e 1＝0.07，e 6＝0.22，均比标准差s ≈0.31小，故(2)中回归方程可靠．15．(文)(2013·海口调研)某中学研究性学习小组，为了考查高中学生的作文水平与爱看课外书的关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．(1)试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系？高中学生的作文水平与爱看课外书的2×2列联表(2)将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1、2、3、4、5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1、2、3、4、5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率．附表：K 2(或χ2)＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] (1)2×2列联表如下：因为K 2(或χ2)＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26＝15013≈11.538>10.828.由表知，P (K 2或χ2≥10.828)≈0.001.故有99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关系．(2)设“被选取的两名学生的编号之和为3的倍数”为事件A ，“被选取的两名学生的编号之和为4的倍数”为事件B .因为事件A 所包含的基本事件为：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9个，基本事件总数为5×5＝25.所以P (A )＝925. 因为事件B 所包含的基本事件为：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6个． 所以P (B )＝625.因为事件A 、B 互斥， 所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝925＋625＝35.故被选取的两名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率是35.(理)(2013·云南省玉溪一中月考)为考查某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下丢失数据的列联表：设从没服用药的动物中任取两只，未患病数为ξ；从服用药物的动物中任取两只，未患病数为η，工作人员曾计算过P (ξ＝0)＝389P (η＝0).(1)(2)求ξ与η的均值(期望)并比较大小，请解释所得结论的实际含义； (3)能够以99%的把握认为药物有效吗？ 参考公式：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )①当χ2≥3.841时有95%的把握认为ξ、η有关联； ②当χ2≥6.635时有99%的把握认为ξ、η有关联． [解析] (1)∵P (ξ＝0)＝C 220C 250，P (η＝0)＝C 2xC 250，∴C 220C 250＝389×C 2xC 250，∴x ＝10， ∴y ＝40，∴M ＝30，N ＝70. (2)ξ取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 220C 250＝38245，P (ξ＝1)＝C 120C 130C 250＝120245.P (ξ＝2)＝C 230C 250＝87245，分布列为：∴E (ξ)＝0×38245＋1×120245＋2×87245＝294245，P (η＝0)＝C 210C 250＝9245，P (η＝1)＝C 110C 140C 250＝80245.P (η＝2)＝C 240C 250＝156245，η 0 1 2 P924580245156245∴E (η)＝0×9245＋1×80245＋2×156245＝392245，∵E (ξ)<E (η)，即说明药物有效． (3)∵χ2＝100×(20×40－10×30)230×70×50×50≈4.76.故没有99%的把握认为药物有效．考纲要求1．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 补充材料 1．散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图．2．回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：①画散点图，②求回归直线方程，③用回归直线方程作预报．3．回归直线：观察散点图的特征，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．4．相关指数R 2＝1－∑i ＝1n(y i －y ^i )2∑i ＝1n(y i －y )2，R 2越接近于1，模型的拟合效果越好．备选习题1．某中学高三从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A.7 B ．8 C ．9 D ．10 [答案] B[解析] 由茎叶图得，甲班学生的平均分是78＋79＋80＋(80＋x )＋85＋92＋967＝85，解得x ＝5.因为乙班学生成绩的中位数是83，故只有80＋y ＝83，解得y ＝3.所以x ＋y ＝8.故选B.2．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．[答案] 0.254[解析] 由回归直线方程为y ^＝0.254x ＋0.321知收入每增加1万元，饮食支出平均增加0.254万元．3．通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下的列联表：性别与看营养说明列联表单位：名男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明10 20 30 总计6050110(1)从这505的样本，问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名？(2)从(1)中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈，求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率；(3)根据以上列联表，问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明”有关？ [解析] (1)根据分层抽样可得：样本中看营养说明的女生有550×30＝3名，样本中不看营养说明的女生有550×20＝2名．(2)记样本中看营养说明的3名女生为a 1、a 2、a 3，不看营养说明的2名女生为b 1、b 2，从这5名女生中随机选取两名，共有10个等可能的基本事件为：a 1、a 2；a 1、a 3；a 1、b 1；a 1、b 2；a 2、a 3；a 2、b 1；a 2、b 2；a 3、b 1；a 3、b 2；b 1、b 2.其中事件A “选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个的基本事件：a 1、b 1；a 1、b 2；a 2、b 1；a 2、b 2；a 3、b 1；a 3、b 2.所以所求的概率为P (A )＝610＝35.(3)假设H 0：该校高中学生性别与在购买食物时看营养说明无关，则χ2应该很小． 根据题中的列联表得观测值k ＝110×(50×20－30×10)280×30×60×50＝53972≈7.486，由P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥7.879)＝0.005可知，有90%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明”有关．4．(2013·衡水中学六模)现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机调查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表.为分界点对‘楼市限购令’的态度有差异”；2人中不赞成“楼市限购令”人数至多1人的概率.χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )[解析] (1)2×2列联表为k ＝50×(3×11－7×29)2(3＋7)(29＋11)(3＋29)(7＋11)≈6.27<6.635. 所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异． (2)从月收入在[15,25)，[25,35)的被调查人中各随机选取1人，共有50种取法，其中恰有两人都不赞成“楼市限购令”共有2种取法，所以至多1人不赞成“楼市限购令”共有48种方法，所以P ＝4850＝2425.5．(2012·辽宁文，19)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40min的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女合计(2)迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝(a＋b＋c＋d)(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)[分析](1)根据已知条件所给数据可以得出男性45人，以及体育迷和非体育迷的人数，将2×2列联表中的数据代入公式，得到χ2的值可判断与性别是否有关；(2)算出超级体育迷的人数列出所有基本事件以及“任选2人，至少有1名女性”所包含的基本事件，利用古典概型求解．[解析](1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(30×10－45×15)2 75×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的集合为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}其中a i表示男性，i＝1,2,3，b j表示女性，j＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7个基本事件组成，因而P(A)＝710.。
