3.1随机向量及其分布

1
（2） P｛-1<X<1, -1<Y<1｝ 1 1 f ( x, y )dxdy
dx e y dy (1 e 2 )(1 e 1 ).
0 1
（3） P{ X Y 1}
1 1 x
2e ( 2 x y )dy dx 1 2e 1 e2 0 0
f ( x) 0




f ( x, y )dxdy 1



f ( x)dx 1
不难得出，对连续型r.v(X,Y)，其 概率密度与分布函数的关系如下：
F ( x, y )
x


y
f (u, v)dudv
若 f (x, y)在（ x, y ）点连续，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy


m j 1
pnj
p
i 1
n
im
1
二维随机变量（X,Y） 连续型 X和Y 的联合密度函数
一维随机变量X 连续型 X的密度函数
f ( x , y) P{( x, y) A} f ( x, y )dxdy
Ax )dx
a
b
f ( x, y ) 0
一般，对离散型 r.v ( X,Y )，
X和Y 的联合概率分布为
P( X xi , Y y j ) pij, i, j 1,2,
则(X,Y)关于X的边缘概率分布为
P( X xi ) pi pij , i 1,2,
j
(X,Y)关于Y 的边缘概率分布为
P(Y y j ) p j pij ,
二维分布函数的性质 1. x,y R1 有 0≤F(x,y)≤1,

概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.

P( X

0,Y

0)
C52 C122

5 33
P( X

0,Y
1)
C41C51 C122

10 33
P(X 0,Y 2) C42 1
C122 11
2019年5月1日星期三
10
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P( X
1,Y

0)
C31C51 C122

5 22
P( X
1, Y
若某一质点等可能地落在平面区域 D 上， (X, Y) 表 示质点落入点的坐标，则(X, Y) 的概率密度为：
f

x,
y



1
AD
,
x, y D
0,
x, y D
其中A(D) 表示D的面积。
这时称(X, Y)在D上服从二维均匀分布。
2019年5月1日星期三
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Y X
y1
二维离散型随机变量
y2 ... y j ... 的分布律的性质：
x1 p11 p12 ... p1 j ...
x2 p21 p22 ... p2 j ... ... ... ... ... ... ...
1 0 pij 1,
xi pi1 pi2 ... pij ... ... ... ... ... ... ...
D
(5) PX x0,Y y0 PX x0 PY y0 0
例：设X和Y的联合概率密度为
Ae(x2 y) , x 0, y 0,
f (x, y)
0,

若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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