31随机向量及其分布

大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

高斯随机向量 高斯随机向量，也叫高斯分布随机变量，是一种常见的随机变量。高斯随机向量是由多个高斯分布随机变量组成的向量，其中每个随机变量都是独立的，具有相同的高斯分布特性。高斯随机向量在数学领域、物理领域和工程领域都有广泛的应用。

高斯随机向量的概率密度函数为： $$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right)$$

其中，$x$是$n$维列向量，$\mu$是$n$维列向量，表示随机向量的均值矢量，$\Sigma$是$n$维方阵，表示随机向量的协方差矩阵。

高斯分布的一个重要性质是它可以唯一地由$n$维均值向量和$n\times n$维协方差矩阵确定。协方差矩阵是非负定的、对称的实矩阵，具有许多重要的性质。

例如，如果某个随机向量服从高斯分布，它的任何线性组合也是高斯分布。这是因为对于任何线性组合$\sum_{i=1}^na_ix_i$，都有： $$\begin{aligned} \\ \mathrm{E}[\sum_{i=1}^na_ix_i] &= \sum_{i=1}^na_i\mathrm{E}[x_i] = \sum_{i=1}^na_i\mu_i \\

\mathrm{cov}[\sum_{i=1}^na_ix_i,\sum_{j=1}^nb_jx_j] &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ib_j\mathrm{cov}[x_i,x_j] \\

&= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_ib_j\Sigma_{ij} \\ &= \begin{bmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Sigma_{11} & \cdots & \Sigma_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Sigma_{n1} & \cdots & \Sigma_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n\end{bmatrix} \\

第三章 随机向量在有些随机现象中，每次试验的结果需同时用多个指标来描述，如炮弹的弹着点的平面坐标，飞机的重心在空中的位置需三个坐标来确定，等等。

我们称由n 个随机变量1ξ,2ξ,n ξ, 构成的向量ξ=()n ξξξ,,,21 为n 维随机向量。

为简单起见，本节着重研究二维随机向量。

§1 二维随机向量及其分布函数定义 设()ηξ,是二维随机变量，对任意实数y x ,，称二元函数()()y x P y x F ≤≤=ηξ,,为二维随机变量()ηξ,的联合分布函数。

由定义可以知道，对于任意b a <,d c <，有()d c b a P ≤<≤<ηξ,()()()()c a F c b F d a F d b F ,,,,+--=与一维随机变量的分布函数相类似，二维随机变量()ηξ,的联合分布函数),(y x F 有以下几个性质：（1）()1,0≤≤y x F（2）()y x F ,关于变量x 或y 单调增加； （3）()y x F ,关于变量x 或y 都是右连续的；（4）()0,=∞-y F ,()0,=-∞x F ,()0,=-∞∞-F ,()1,=+∞∞+F ；由于二维随机变量的每一个分量都是一维随机变量，从而它们有各自的分布函数()()x P x F ≤=ξξ和()()y P x F ≤=ηη，称为分量ξ和η的边缘分布函数。

由定义可以得到()()x P x F ≤=ξξ()()y x F x P y ,lim ,+∞→=+∞<≤=ηξ()+∞=,x F ，R x ∈类似，()y F η()y F ,∞+=，R y ∈例 设二维随机变量()ηξ,的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>+--=-----其它00,01,y x e e e y x F xy y x y x λ 称这分布为二维指数分布，其中参数0≥λ。

利用上面所给公式，容易求得关于随机变量ξ和η的边缘分布函数分别为：()=x F ξ()+∞,x F ⎩⎨⎧≤>-=-001x x e x ()=y F η()y F ,∞+⎩⎨⎧≤>-=-0001y y e y 它们都是一维指数分布函数，且与参数λ无关。