多元统计分析随机向量

思考与练习2.1 试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。

2.2 设随机向量12(,)X X ′=X 服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和1X 、2X 各自的边缘密度函数。

2.3 已知随机向量12(,)X X ′=X 的联合分布密度函数为：()()()()()()()()()121122222,d c x a b a x c x a x c f x x b a d c −−+−−−−−2⎡⎤⎣⎦=−−其中，。

求：12,a x b c x d ≤≤≤≤⑴ 随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差。

⑵ 随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数。

⑶ 判断1X 和2X 是否相互独立。

2.4 设随机向量12(,,,)p X X X ′=X L 服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明ΣX 的分量是相互独立的随机变量。

2.5 从某企业全部职工中随机抽取一个容量为6的样本，该样本中各职工的目前工资、受教育年限、初始工资和工作经验资料如下表所示： 职工编号目前工资 （美元）受教育年限（年）初始工资 （美元）工作经验（月）11 2 3 4 5 6 57,000 40,200 21,450 21,900 45,000 28,350 15 16 12 8 15 8 27,000 18,750 12,000 13,200 21,000 12,000 144 36 381 190 138 26设职工总体的以上变量服从多元正态分布，根据样本资料求出均值向量和协差阵的最大似然估计。

2.6 均值向量和协差阵的最大似然估计量具有哪些优良性质？ 2.7 试证多元正态总体的样本均值向量(,)p N μΣ1~(,p N nX μΣ)。

2.8 试证多元正态总体的样本协差阵S 为(,)p N μΣΣ的无偏估计。

2.9 设()1x 、()2x 、…、()n x 是从多元正态总体中独立抽取的一个随机样本，试求样本协差阵的分布。

第2章多元正态分布§2.1 多元分布§2.2 多元正态分布的定义及基本性质§2.3 正态分布的条件分布和独立性§2.4 矩阵正态分布§2.5 参数的极大似然估计§2.6 极大似然估计的性质13),21′=p ξξξ (ξ随机向量：pn ij ξξ×=)(随机矩阵：注：随机矩阵拉直后就是随机向量，二者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同.4一、多元分布函数1212121122122.1.1 (,,,)()(,,,) ()(,,,)(,,,)(,,,)~.p p p p p pp ξξξξξξF x F x x x P ξx ξx ξx x x x x R F ξξ′===≤≤≤′=∈ 定义设是一随机向量，它的多元分布函数的联合分布函数定义为式中，记作512122112(1)(,,,)(1,2,,)(2)0(,,,)1(3)(,,,)(,,,)(,,,)0(4)(,,,)1p i p p p F x x x x i p F x x x F x x F x x F x x F =≤≤−∞=−∞==−∞=+∞+∞+∞= 是每个变量的单调非降右连续函数.多元分布函数的性质：71)( )2( ,0)( )1()(=∈∀≥⋅∫dx x f R x x f R f pR pp 当且仅当随机向量的分布密度，中某个能作为一个多元函数9二、边缘分布.)( 3.1.2)1(的边缘分布的分布称为个分量组成的随机向量的维随机向量，由它为若定义ξξξp q q p <10),,,,,,(),,,,,),,)111111)1()2()1(∞∞∞=∞≤∞≤≤≤=≤≤=≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+ q p q q q q q u u F u ξu ξP u ξu ξP u ξP ξξξξξξ((((1)的分布函数为，则不妨假设11(1)(1212112111)(,,)(,,)q q u u u p p u u u p q p q P ξu f t t dt dt dt f t t dt dt dt dt ∞∞∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞∞∞∞+−∞−∞−∞−∞−∞−∞≤=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 若ξ有分布密度函数f (x )，则12p q p q q q dt dt t t x x f x x f ξ1111)1(),,,,,(),,(++∞∞−∞∞−∞∞−∫∫∫=的边缘分布密度为(1)13注：（1）有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；（2）若的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出有分布密度.ξξξ两个随机向量独立的充分必要条件：①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.1621).()(~),(~),(~,)4(t t t t ηηηξηξηξΦΦ+ΦΦξξ则量的随机向是相互独立且维数相同与若).()(),( ,)()(,,)5()2()1()2()1(t t t t t t q p ηξξΦΦ=Φ⇔ΦΦ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ独立和则的特征函数和分别为和特征函数的表示维随机向量和分别为和若ηξηξηξηξη22(7) .p a ξξ′若为维随机向量，则它的分布由一切形如的分布所唯一决定).()exp()( ,),(~ )6(t A a t i t a A t ′Φ′=Φ+=Φξηξηξ则若ξ23).()exp()])([exp()exp()][exp()exp())]([exp()][exp()(t A a t i t A i E a t i A t i E a t i a A t i E t i E t ′Φ′=′′′=′′=+′=′=Φξηξξξη证明：（6）24.,3,,),()][exp()1( 1)][exp()( )7(:的分布它决定了知由性质的特征函数恰好是的函数把它看成得取的特征函数为证明ξξξξa a a i E t a it E t a a a Φ=′=Φ=′=Φ′′′ξξξξ25五、矩2.1.6 ()(), 1, 2, , ,1, 2, , ,()(), .ij ij ij n p E i n j p E ξξξεξξξ=×=== 定义设为随机矩阵，假定存在且有限记称为随机矩阵的均值)()( ij E ξξε=26,(1) ,,,( )(),()()A B C A B C A B CA A εξεξξεξεξ+=+=若为常数矩阵则特别当为随机向量时有注：以下总假定公式中用到的随机矩阵的矩是存在的.均值的性质：27)]([)]([)] )4()()( , )3()()( ,, )2(ξεξεξξηεξεηξεηεξεηξεA tr A tr A E n p A p n b a b a b a B A B A B A ==××+=++=+[tr()()(则常数矩阵，为随机矩阵，为若为常数，则若则为常数矩阵若注：以上四个性质均体现均值的线性性.28().),,cov()(),cov(])()][([),cov( ),,cov(,)(),), 7.2.1 2121的协方差称为时，记作当即其元素是矩阵定义为一个简称协差阵阵的协方差维随机向量，它们之间维和分别为和设定义ξξξξηξηξηεηξεξεηξηξηηηηξ===′−−=×′=′=D p n p n ξξξj i j i p n ((29() ),cov(),cov( j i ηξηξ=()),cov(),cov(j i ξξξξ=31.])(][)([)())()()( ,)2(.})(){() (),cov(,})(){() (),cov()1(′−−+=′−−=+′−′=′−′=a a D a a D a D a ξεξεξξξεξξξεξεξξεξξηεξεηξεηξ(则为常向量若特别协差阵的性质：32A AD A DB A B A B A ′=′=)()( ),cov(),cov( ,)3(ξξηξηξ特别则为常数矩阵和设协差阵的性质（续）35则记值和协差阵存在的均若随机向量定理 ),( ),( ,),,, 1.1.221ξξεμD ξξξξn =Σ=′= ()()( μμξξA A tr A E ′+Σ=′36μμμμξξξξξξA A tr A tr A Etr A Etr A E ′+Σ=′+Σ=′=′=′)()}({)()()(μμξξεξεξεξξεξ′+Σ=′′−′=) (,})(){() ()(:所以因为证明D。

多元统计分析（1）题目:多元统计分析知识点研究生专业指导教师完成日期 2013年 12月目录第一章绪论 (1)§1.1什么是多元统计分析 ....................................................................................................... 1 §1.2多元统计分析能解决哪些实际问题 ............................................................................... 2 §1.3主要内容安排 ................................................................................................................... 2 第二章多元正态分布 .. (2)§2.1基本概念 ........................................................................................................................... 2 §2.2多元正态分布的定义及基本性质 .. (8)1.（多元正态分布）定义 ................................................................................................ 9 2.多元正态变量的基本性质 (10)§2.3多元正态分布的参数估计12(,,,)p X X X X '= (11)1.多元样本的概念及表示法 (12)2. 多元样本的数值特征 ................................................................................................ 123.μ和∑的最大似然估计及基本性质 (15)4.Wishart 分布 (17)第五章 聚类分析 (18)§5.1什么是聚类分析 ............................................................................................................. 18 §5.2距离和相似系数 . (19)1．Q —型聚类分析常用的距离和相似系数 ................................................................ 20 2.R 型聚类分析常用的距离和相似系数 ...................................................................... 25 §5.3八种系统聚类方法 (26)1.最短距离法 .................................................................................................................. 27 2.最长距离法 .................................................................................................................. 30 3.中间距离法 .................................................................................................................. 32 4.重心法 .......................................................................................................................... 35 5.类平均法 ...................................................................................................................... 37 6.可变类平均法 .............................................................................................................. 38 7.可变法 .......................................................................................................................... 38 8.离差平方和法（Word 方法） (38)第六章判别分析 (39)§6.1什么是判别分析 ............................................................................................................. 39 §6.2距离判别法 (40)1、两个总体的距离判别法 (40)2.多总体的距离判别法 (45)§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)1.不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)2.多总体费歇（Fisher）判别法 (51)§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)1.基本思想 (58)2.多元正态总体的Bayes判别法 (59)§6.5逐步判别法 (61)1.基本思想 (61)2.引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)3.Bartlett近似公式 (63)第一章绪论§1.1什么是多元统计分析在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。

第2章 多元正态分布多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。

多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。

虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。

所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。

限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard （2003），朱道元（1999）等。

现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。

2.1随机向量2.1.1随机向量定义2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。

类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。

设()1,,p X X X '= 是1p ⨯随机向量，其概率分布函数定义为：(){}111,,,,p p p F x x P X x X x =≤≤ ，1,,p x x 为任意实数多元分布函数()1,,p F x x 有如下性质： （1）()10,,1p F x x ≤≤ ；（2）()1,,p F x x 是每个变量,1,2,,i x i p = 的非降右连续函数； （3）(),,1F ∞∞= ；（4）()()()211,,,,,,,0p p F x x F x x F x -∞=-∞==-∞= 。

多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。

连续型随机向量()1,,pX X X '= 的分布函数可以表示为 ： ()()1111,,,,px x p p p F x x f t t dt dt -∞-∞=⎰⎰，()1,,pp x x R ∈ (2.1)称()1,,p f x x 是()1,,p X X X '= 的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。

多元概率密度()1,,p f x x 有以下性质： （1）()1,,p f x x 非负； （2）()11,,1p p f x x dx dx ∞∞-∞-∞=⎰⎰ ；（3）()()111,,,,p p p nF x x f x x x x ∂=∂∂2.1.2边缘分布、条件分布和独立性 边缘分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，由其q 个分量组成的向量()1X （不妨设()()11,,q X X X '= ）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：()()()1111,,,,X q p q p f x x f x x dx dx ∞∞+-∞-∞=⎰⎰ (2.2)条件分布设()1,,p X X X '= 是p 维连续型随机向量，()()11,,q X X X '= ,()()()()2112,,,,,0q p X q p X X X f x x ++'=> ,在给定()2X 的条件下,()1X 的条件概率密度函数为：()()()()21111,,,,,,,,p q q p X q p f x x f x x x x f x x ++=(2.3)独立性设()1,,n X X 是连续型随机向量,则1,,n X X 相互独立当且仅当()()()111,,n n X X n f x x f x f x = 对任意1,,n x x 成立。

多元统计分析：多个因素，有差异、在一起变量、常量、随机变量；随机变量的取值程度随取值不同而改变；样本的是随机变量，总体的是常量参数：未知的总体的指标最小二乘法：一组样本的残差平方和最小，估计误差最小平方（比绝对值）好：1、初等函数，求导没有间断点随机干扰项ε/ui：误差项的随机变量，它反映了除自变量和因变量之间的线性关系之外的随机因素对因变量的影响，是不能由自变量和因变量之间的线性关系所解释的变异性。

误差性是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即N（0，方差）。

残差ei在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差。

优良估计量：估计优良准则评价参数估计优良性的标准.对于同一个总体参数B的估计，用不同的统计量(不同的统计方法)去估计它，所确定的估计量和置信区间是不同的.如何来衡量它们的优劣呢?由于统计量取值的随机性，所以不能以一次取值定其优劣，而必须从概率和统计的观点出发，建立一些衡量的准则，称这些准则为估计优良准则.常用以衡量点估计的优良准则有无偏性准则、一致性准则、有效性准则等1、无偏性：估计量的平均值是被估计参数，估计量（β^）围绕参数（β）波动无偏性是有效性的前提2、有效性：V（β^）——估计量的方差最小，估计量围绕参数波动的幅度小方差的作用：1、提现这组数据的分散程度，方差大则分散3、样本容量越大越好为什么样本方差是除以n-1:自由度df：相互独立的变量个数标准化的好处：1、同一量纲2、不再有水平和分散程度的不同（均值0方差1）分析-描述统计-描述-将标准化得分另存为变量z标准化回归：线性回归中-选项-把在等式中包含常量的√去掉（随机）向量（x，y）：把独立（随机）变量x、y放在一起形成一个整体行向量*列向量=一个数列向量*行向量=一个矩阵假设检验：假设的是总体，假设是具体的总检验：F统计量线性回归结果-方差分析表ANOVA有n个样本，i个解释变量，最小二乘法有n-（i+1）个方程，i+1是因为除了参数还有截距项。

多元统计分析期末复习第一章：多元统计分析研究的内容（5点）1、简化数据结构（主成分分析）2、分类与判别（聚类分析、判别分析）3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析）4、多维数据的统计推断5、多元统计分析的理论基础第二三章：二、多维随机变量的数字特征1、随机向量的数字特征随机向量X 均值向量：随机向量X 与Y 的协方差矩阵：当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。

随机向量X 与Y 的相关系数矩阵：2、均值向量协方差矩阵的性质(1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B;D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’;(2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立．)',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=qp ij r Y X ?=)(),(ρ(3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。

例2.见黑板三、多元正态分布的参数估计2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当为对角阵时，相互独立。

(2).若，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量，ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价．例３．见黑板．三、多元正态分布的参数估计(1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面．(2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量样本均值向量＝样本离差阵Ｓ＝样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ(3) ,Ｖ分别是和的最大似然估计；(4)估计的性质是的无偏估计； ,Ｖ分别是和的有效和一致估计；；Ｓ～，与Ｓ相互独立；),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ∑μX)1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p XX第五章聚类分析：一、什么是聚类分析：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。

随机向量的协方差矩阵随机向量是多元统计分析中一个重要的概念，它是一个包含多个随机变量的向量。

在统计学中，我们经常需要研究这些随机向量之间的关系，而协方差矩阵则是描述这种关系的重要工具之一。

什么是协方差矩阵？协方差矩阵是描述随机向量中各个随机变量之间关系的矩阵。

对于一个包含n个随机变量的随机向量X，其协方差矩阵记为Σ，是一个n×n的对称矩阵，其中第i行第j列的元素是第i个和第j个随机变量之间的协方差。

协方差矩阵的对角线上的元素是各个随机变量的方差，而非对角线上的元素则表示不同随机变量之间的协方差。

如果协方差矩阵的某一对应元素是正的，那么表示这两个随机变量之间是正相关的；如果是负的，表示它们之间是负相关的；如果是0，表示它们之间是独立的。

协方差矩阵的计算方法计算协方差矩阵的方法包括样本协方差矩阵和理论协方差矩阵两种。

样本协方差矩阵是通过已知数据计算得出的，而理论协方差矩阵则是通过已知的分布特性计算得出的。

样本协方差矩阵的计算方法是先计算每对随机变量之间的协方差，然后将所有的协方差组成一个矩阵。

理论协方差矩阵的计算方法则取决于随机向量的分布特性，比如正态分布的协方差矩阵可以通过其均值和方差来计算。

协方差矩阵在数据分析中的应用协方差矩阵在数据分析中有着广泛的应用，其中最重要的用途之一是主成分分析。

主成分分析是一种无监督学习方法，通过计算协方差矩阵的特征值和特征向量来找到数据中的主要特征，从而实现数据的降维和可视化。

此外，协方差矩阵还可以用来度量不同随机变量之间的相关性，帮助我们理解数据中的模式和关系。

在金融领域，协方差矩阵也被广泛用于资产组合优化，帮助投资者降低风险并提高回报。

总的来说，协方差矩阵是统计学和数据分析中一种重要的工具，帮助我们理解随机向量中各个随机变量之间的关系，从而更好地分析数据、挖掘特征，实现更高效的决策。

以上就是关于随机向量的协方差矩阵的基础知识介绍和应用，希望对大家有所帮助。

《多元统计分析》MOOC2.1 多元分布王学民一、多元概率分布函数v随机向量：一个向量，若它的分量都是随机变量。

v 随机变量x 的分布函数：v 随机变量x 1和x 2的联合分布函数：v 随机向量的分布函数：v本课程主要讨论连续型的分布。

()12,,,p x x x '=x ()()F a P x a =≤()()121122,,,,,,p p p F a a a P x a x a x a =≤≤≤ ()()121122,,F a a P x a x a =≤≤二、多元概率密度函数v一元的情形：v二元的情形：vp 元的情形：v概率密度函数，简称概率密度或密度函数或密度。

()()d a F a f x x -∞=⎰12121212(,)(,)d d a a F a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰1111(,,)(,,)d d pa a p p pF a a f x x x x -∞-∞=⎰⎰分布函数的概念主要用于理论上的讨论，本课程仅在此提一下，后面将不再提及。

分布用密度来描述较为方便。

概率密度的性质v一元密度f (x )的性质：v多元密度f (x 1,⋯,x p )的性质：1111(,,)0,,(,,)d d 1p p p p f x x x x f x x x x ∞∞-∞-∞≥=⎰⎰(1)，对一切实数；(2)。

()0()d 1f x x f x x ∞-∞≥=⎰(1)，对一切实数；(2)。

三、边缘分布v 边缘分布：p 维随机向量 的任意子向量的分布。

v边缘分布可以是关于一个变量，两个变量，…，p −1个变量的边缘分布。

()12,,,p x x x '=x四、条件分布v条件分布：在一些已知条件下的分布。

v例1研究某人群，x1——身高，x2——体重，该人群中x2的分布为f(x2)。

如果已知某人的x1=1.80（米），则对该人体重的推断应依据f(x2|x1=1.80)，而不是f(x2)。

多元统计分析多元正态分布与协方差矩阵的公式整理多元统计分析是指研究多个变量之间相互关系的统计方法。

在多元统计分析中，多元正态分布和协方差矩阵是基础且重要的概念和工具。

它们在众多的多元统计方法中起到了至关重要的作用。

本文将对多元正态分布和协方差矩阵的公式进行整理和说明。

一、多元正态分布多元正态分布是多元统计分析的核心概念之一。

它是一种多变量随机向量服从正态分布的情况。

在多元正态分布中，以向量形式表示的随机变量服从一个满足以下条件的正态分布，即多元正态分布。

多元正态分布的概率密度函数如下所示：f(x) = (2π)^(-p/2)|Σ|^(-1/2)exp(-1/2(x-μ)^TΣ^(-1)(x-μ))其中，f(x)表示多元正态分布的概率密度函数，x为随机向量，p为随机向量的维度，μ为均值向量，Σ为协方差矩阵，^T表示转置，^(-1)表示逆矩阵，|Σ|表示协方差矩阵的行列式。

二、协方差矩阵协方差矩阵是多元统计分析中描述多个变量之间相关关系的重要工具。

它衡量了各个变量之间的线性相关程度和方向。

协方差矩阵的公式如下：Σ = [σ_1^2, σ_12, σ_13, ..., σ_1p][σ_21, σ_2^2, σ_23, ..., σ_2p][σ_31, σ_32, σ_3^2, ..., σ_3p][..., ..., ..., ..., ...][σ_p1, σ_p2, σ_p3, ..., σ_p^2]其中，Σ是一个p行p列的矩阵，表示共有p个变量，σ_ij表示第i个变量与第j个变量的协方差。

协方差矩阵具有以下性质：1. 协方差矩阵是一个对称矩阵，即σ_ij=σ_ji。

2. 协方差矩阵的对角线元素是各个变量的方差，即σ_ii是第i个变量的方差。

3. 协方差矩阵的非对角线元素是各个变量之间的协方差。

协方差矩阵的逆矩阵被称为精度矩阵，表示各个变量之间的精确度。

三、公式整理在多元统计分析中，多元正态分布和协方差矩阵的公式是相互关联的。