3.1二维随机向量的分布

【关键字】条件一、第三章习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为，，所以3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且，，故(X,Y)的概率分布为3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且，，故(X,Y)3.4设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由，得9a=1，故a=1/9.(2)(3)3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解：(1) 求分布函数; 当，其他情形，由于=0，显然有=0。

综合起来，有(2) 求3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率. 解：3.7.解：因为所以，X 的边缘分布为因为所以，Y3.8 设二维随机向量的概率密度函数为 求边缘概率密度. 解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X 的边缘分布密度为 又因为，当时，其他情形，显然所以，Y 的边缘分布密度为 3.9 设二维随机向量的概率密度函数为 求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此； 其他情形，显然所以，X 的边缘分布密度为 同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y 的边缘分布密度为 3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c 的值. (2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y . 解：(1)因为 dy c dx dxdy y x f xx⎰⎰⎰⎰=+∞∞-+∞∞-102),(所以 c = 6.(2) 因为，当10≤≤x 时，)(6),()(22x x dy c dy y x f x f xxX -===⎰⎰+∞∞-所以，X 的边缘分布密度为又因为，当10≤≤y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f yyY -===⎰⎰+∞∞-所以，Y 的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布. 解：由T3.7知，X 、Y 的边缘分布分别是(1)当X =1时，Y 的条件分布为 即(2)当X =3时，Y 即(3)当Y =0时，X 即(4)当Y =2时，X 的条件分布为 即(5)当Y =5时，X 的条件分布为 即3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x (0 < x < 1) 时, Y 在区间(x ,1) 上 随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.解：因为 ⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X ， ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他111)|(|y x xx y f X Y所以(X ,Y )的联合密度为 于是 yy dx x dx y x f y f yY -=--=-==⎰⎰+∞∞-11ln )1ln(11),()(0)10(<<y 故Y 的密度函数为3.13 设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为 求条件概率密度(),XY f x y (),YX f y x 以及11{}22P Y X <=. 解：因为，当10≤≤x 时，x x dy xy x dy y x f x f X 322)3(),()(2202+=+==⎰⎰+∞∞- 又当20≤≤y 时，631)3(),()(102y dx xy x dx y x f y f Y +=+==⎰⎰+∞∞- 所以，在Y =y 的条件下X 的条件概率密度为在X =x 的条件下Y 的条件概率密度为3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？ 解: 由T3.7{1}P X ==0.75, {2}0.43P Y ==,而{1,2}0.25P X Y ===,显然 {1}P X ={2}P Y ⨯=≠{1,2}0.25P X Y ===,从而X 与Y 不相互独立.3.15设二维随机向量(,)X Y 的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.问,a b 取何值时, X 与Y 相互独立? 解：因为 311819161)1(=++==X P ，a Y P +==91)2( 要X 和Y 相互独立，则 )2()1()2,1(=====Y P X P Y X P 即)91(3191a +=，得929131=-=a 由 (1)(2)1P X P X =+==，得 12(2)1(1)133P X P X ==-==-= 即3231=++b a ，得913132=--=a b 3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？ 解：由习题3.8，二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为X 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他0202/)(x x x f X ，Y 的边缘分布密度为⎩⎨⎧≤≤=其他103)(2y y y f Y ，显然有(,)()()X Y f x y f x f y =，X 与Y 相互独立.由习题3.9,维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为4.8(2),01,0,(,)0,y x x y x f x y -≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他,X 的边缘分布密度为22.4(2)01()0X x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他，Y 的边缘分布密度为 22.4(34)01()0Y y y y y f y ⎧-+≤≤=⎨⎩其他,显然有(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立. 3.17设二维随机向量(,)X Y 的概率密度函数为21,0,0,(1)(,)0,x xex y y f x y -⎧<<⎪+=⎨⎪⎩其他,问X 与Y 是否相互独立? 解：因为 dy y xe dy y x f x f xX ⎰⎰+∞-+∞∞-+==2)1(1),()( 对于x >0,y >0，都有 )()(),(y f x f y x f Y X =,所以，X 与Y 是相互独立的. 3.18 设二维随机向量(,)X Y 的分布函数为 讨论,X Y 的独立性.解：因为 )0(1),(lim )(≥-==-+∞→x ey x F x F xy X由于所以，X 与Y 是相互独立的。