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3.1随机向量的分布

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《概率学》3.1多维随机变量及其联合分布

《概率学》3.1多维随机变量及其联合分布


第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
例 2 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，
另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值。试求
( X,Y ) 的概率分布列及P｛X=Y｝.
解 由题意知，｛X=i，Y=j｝的取值情况是：i=1,2,3,4， 且是等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公 式求得 ( X,Y ) 的分布律。
(3) P{X+Y≤1} (4) P{X=0}
解: 令X 表示取出的红球数，Y表示取出的蓝球数，
（X,Y）的所有可能取值为（0, 0）,（0,1）,（0, 2),
（1, 0）,（1,1）,（2, 0）依古典概型得
pij
P{X
i,Y
j}
C3iC2jC42i j C92
（i=0,1,2; j=0,1,2; 且i+j≤2）
F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P｛X≤x,Y≤y｝ 称为二维随机向量(X, Y)的分布函数, 或称为随机 变量X和Y的联合分布函数.
几何意义 F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率. y
(x, y)
(X, Y ) o
6
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第1节 二维随机变量的联合分布
第三章 多维随机变量及其分布
计算概率： 对于任意的x1＜x2，y1＜y2，
P｛x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2｝
＝F（x2, y2）-F(x2,y1) -F(x1 ,y2)+F(x1 ,y1)
y y2
(x1 , y2)
(X, Y )
y1 (x1 , y1)
3.1 n维随机变量及其分布.

3.1 n维随机变量及其分布.


P( X

0,Y

0)
C52 C122

5 33
P( X

0,Y
1)
C41C51 C122

10 33
P(X 0,Y 2) C42 1
C122 11
2019年5月1日星期三
10
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P( X
1,Y

0)
C31C51 C122

5 22
P( X
1, Y
若某一质点等可能地落在平面区域 D 上， (X, Y) 表 示质点落入点的坐标，则(X, Y) 的概率密度为：
f

x,
y



1
AD
,
x, y D
0,
x, y D
其中A(D) 表示D的面积。
这时称(X, Y)在D上服从二维均匀分布。
2019年5月1日星期三
17
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上页
Y X
y1
二维离散型随机变量
y2 ... y j ... 的分布律的性质：
x1 p11 p12 ... p1 j ...
x2 p21 p22 ... p2 j ... ... ... ... ... ... ...
1 0 pij 1,
xi pi1 pi2 ... pij ... ... ... ... ... ... ...
D
(5) PX x0,Y y0 PX x0 PY y0 0
例：设X和Y的联合概率密度为
Ae(x2 y) , x 0, y 0,
f (x, y)
0,
随机向量

随机向量


Y
P{(X, Y) D} f(x, y)dxdy

2x 3y 6
f(x, y)dxdy
3 1 ( 6 2 x ) 3 0
2 x
D
2
2x+3y=6
dx
0
6e
( 2 x 3 y )
6 e
0
3
1 3 y ( e 3
dy 1 ( 6 2x ) )3 dx 0
2/5
1 2/5
P
3/5
2/5
P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )
不独立
P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )
独立
例2 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X Y -1 0 0.05 1 0.1 2 0.1
求:(1)常数a的取值;
0
1
0.1
a
0.2
0.2

x
1

联合分布函数与边缘分布函数的关系 定义 则称 设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为 F(x,y),
FX ( x) F ( x,) P( X x, Y ) P( X x)

f (s, t )dtds ( f (s, t )dt )ds f
x
2 s
ds e
1 2 s x 1 3t y ( 1 e 2 x )( 1 e 3 y ) dt 6( e ) ( e ) 0 3 0 2
(1 e 2 x )(1 e 3 y ) 即: P ( X x , Y y ) 0
x 0, y 0 其它
以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限 个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与Y分别都是一维离散型的。
3.1随机向量的分布

3.1随机向量的分布

若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
返回主目录
例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
返回主目录
§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
Fx， y pij xi x， y j y
返回主目录
§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
解：
由题意知，{X=i，Y=j}的取值情况是：i=1,2,3,4，且是 等可能的；然后 j 取不大于 i 的正整数。由乘法公式求 得 ( X,Y ) 的分布律。
P{X i,Y j} P{Y j | X i}P{X i} 1 • 1 , i4
其中i 1,2,3,4, j i.
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概率论与数理统计第3章随机向量

概率论与数理统计第3章随机向量


解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
经济数学——概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布

经济数学——概率论与数理统计 3.1 二维随机变量及其分布

若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,… 则(X,Y)的分布函数为
其中和式是对一切满足xi≤x , yj≤y求和。
例 若(X,Y)的分布律如下表，求(X,Y)的分布函数。 Y 0 1 X 0 1/2 0 y 1 解 0 1/2
1
1 x
四、 二维连续型随机变量
1.定义：设(X,Y)的联合分布函数为F(x,y),若存在一非负 函数f(x,y),使得对于任意的实分布
二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 随机变量的独立性 第四节 二维随机变量函数的分布
第一节 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量的定义
1．定义： 随机试验E的样本空间Ω={e}，设X1(e), X2(e)为定 义Ω上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1,X2)叫做 二维随机变量或二维随机向量。 对于二维随机变量, 需要考虑 ①二维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布或称边缘分布； ③并且还要考察各分量之间的联系，比如是否独立等。
利用极坐标计算可得
从而有 Aπ=1,即可得A=1/π。
(2)依题意需求概率
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在 G内任一小区域 B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
0≤F(x,y)≤1。
因为{X≤x1,Y≤y}{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；
对于任意固定的x, F(x,-∞)=0；
第三章 随机向量及其独立性

第三章 随机向量及其独立性


联合分布律的性 质 ≥ 0, i, j = 1,2,L (1) p .
ij
(2)∑pi j = 1.
i, j
第三章
随机向量及其独立性
二维离散型随机向量的联合分布律全面 地反映了向量(X,Y)的取值及其概率规律 的取值及其概率规律. 地反映了向量 的取值及其概率规律 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率 也具有自己的概率 而单个随机变量 分布. 分布 那么要问:二者之间有什么关系呢 那么要问 二者之间有什么关系呢? 二者之间有什么关系呢
第三章
随机向量及其独立性
实例2 实例
在平面坐标系中， 在平面坐标系中，一门大炮向目标发射 一发炮弹. 一发炮弹 炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标 炮弹落点位置由它的横坐标 和纵坐标Y 和纵坐标 来确定. 来确定 X,Y 都是随机变量，称(X,Y )是二维随机 都是随机变量， 是二维随机 向量. 向量
第三章
随机向量及其独立性
二 离 型 机 量 设 维 散 随 向 (X,Y)的 有 所 可 取 值 (xi , yj ), i = 1,2,L j = 1,2,L 能 的 为 , .
记 pij = P{X = xi ,Y = yj }, i = 1,2,L j = 1,2,L , .
的联合分布律， 称上式为随机向量 ( X,Y ) 的联合分布律，也 称为概率分布. 称为概率分布 若随机向量 ( X,Y ) 的的概率分布的规律 性不强，或者不能用上式表示时， 性不强，或者不能用上式表示时，还可以用 表格的形式表示如下. 表格的形式表示如下
F(x1, x2,L xn ) = P{X1 ≤ x1, X2 ≤ x2,L Xn ≤ xn} , ,
x1 , x 2 , L , x n 为任意实数
第三章 随机变量与随机向量

第三章 随机变量与随机向量

7
二、随机变量的概率分布函数与概率密度函数 1、概率分布函数定义 描述了X(s)小于等于
FX ( x) PX ( s) x
x这一事件的概率
性质1 区间概率特性（随机变量出现在某区间的概 率）
Pa X b F (b) F (a)
X
F (b) PX b
F ( a ) P X a



( x)dx 1
x0 其它
13
1 U ( x) 0

例3.3 离散型随机变量X的概率密度函数为
f ( x) 0.2 ( x x1 ) 0.3 ( x x2 ) 0.1 ( x x3 ) 0.4 ( x x4 )
F ( x) 0.2U ( x x1 ) 0.3U ( x x2 ) 0.1U ( x x3 ) 0.4U ( x x4 )

FX ( x) F (
x aX
X
)
21

则
175 169 .7 P X 175 1 F ( ) 1 F (1.293 ) 4 .1
查表
1 0.9015 0.0985
（2）设5人中至少有Y人身高大于175cm，则Y是 服从（5,p）的二项式分布，p=0.0985
f (x)
0.3 0.2
0.4
0.1
x
x1
x2
x3
F (x)
x4
1.0 0.6 0.5 0.2
x
x1
x2
x3
x4
14
三、 典型的概率密度函数
1、二项式分布 每次实验结果互不影响
进行n次独立实验，每次观察事件B是否出现， 设事件B出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p， n次独立实验中，事件B出现的次数K是随机的，则 K是二项式分布的随机变量。K=k的概率为
3_1随机向量的联合分布

3_1随机向量的联合分布


x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为

0

f ( x, y )dxdy 1
所以
1


0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
《概率统计》 返回 下页 结束
例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,

1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
《概率统计》 返回 下页 结束
二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
下页 结束
一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
第3章 随机向量3-1

第3章 随机向量3-1


2.已知随机变量X和Y的联合概率分布为
(x ,y) P{X=x,Y=y} (0,0) 0.10 (0,1) (1,0) 0.15 0.25 (1,1) (2,0) (2,1) 0.20 0.15 A
求：常数A；概率 P{X≤1,Y≤1}
20
课堂练习
3. 甲乙二人独立地各进行两次射击,假设甲乙的命中率 分别为0.2,0.5,以X、Y表示甲乙的命中次数,求X,Y的 联合概率分布. 解:X~B(2,0.2),Y~B(2,0.5),概率分布表为:
X 0 1 2
Y
P
0
0.25
1
0.5
2
0.25
P
0.64
0.32 0.04 Y 0
0.16 0.08 001
由X、Y的独立性得(X,Y)的联合概率分布为
X 0 1 2
1
0.32 0.16 0.02
2
0.16 0.08 0.01
21
连续型
⒈ 定义:设（X，Y）是二维随机向量，若存在 非负可积函数 f(x,y),使得对于平面上的任何 可求面积的区域 D 都有
求（X1，X2）的联合概率分布。
14
例2的解法
解:(X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), P{X1=0,X2=0}=P{|Y|≥1,|Y|≥2} =P{|Y|≥2} =1-P(|Y|<2) =2－2Φ(2)=0.0455 P{X1=0,X2=1}=P{|Y|≥1,|Y|<2} =P{1≤|Y|<2} =P{-2≤Y<-1}+P{1≤Y<2} =2P{1≤Y<2} =2[Φ(2)-Φ(1)] =0.2719 P{X1=1,X2=0}=P{|Y|<1,|Y|≥2}=0 P{X1=1,X2=1}=P{|Y|<1,|Y|<2} =P{|Y|<1} =2Φ(1)-1 =0.6826
3.1(随机向量)

3.1(随机向量)

求常数 A, B , C .
F ( x , − ∞ ) = 0 ，可知 C =
π
2
；
π
解：
由 F ( −∞ , y ) = 0 ，可知 B = 2 ；
再由 F (+∞, + ∞ ) = 1 ，可知 A = π 2 。
1
离散型随机变量的联合分布列
的分布列为： 若二维随机变量 (ξ , η ) 的分布列为：
第三章 随机向量及其函数 的概率分布
随机向量
及其
联合分布
随机向量的定义： 随机向量的定义： 的定义
设 {ξ i (ω )} i = 1, 2, L , n 是定义在同一个概率空间
(Ω , F , P ) 上 的 n 个 随 机 变 量 ， 则 称
ξ (ω ) = (ξ 1 (ω ), ξ 2 (ω ), L , ξ n (ω )) 为 n 维随机向量或 n 维
y b2 a2 0 a1 b1 x
的联合分布函数为： 例3.1.1 设随机变量 (ξ , η ) 的联合分布函数为：
x y F ( x , y ) = A( B + arctg )(C + arctg ) ， 2 2
其中 A ≠ 0 ，
( x , y ) ∈ ( −∞ , +∞ ) × ( −∞ , +∞ ) ，
pij = P {ξ = xi , η = y j } ， i , j = 1, 2, L
满足规范性条件 随机变量。 随机变量。
i , j =1
∑p
+∞
ij
= 1， 则称 (ξ , η ) 为二维离散型
二维离散随机变量的联合分布表： Y y1 y2 L yn L X
x1 x2 p11 p21 p12 L p22 L p1n L p2n L

第3章 第三章随机向量

且对给定的 成立，故X和Y相互独立. 例4 设 (X, Y)的联合分布密度函数为
3 x, 0 x 1, x y x, p ( x, y ) 2 0, 其他 .
问X, Y是否独立？ 解
x 3 2 x x d y 3 x , 0 x 1, p X ( x ) p ( x, y ) d y 2 0, 其他 .
例3 设 (X, Y) 的联合分布列如下, 问X, Y是否独立？
X Y
0 1 2
1 2 20 2 20 4 20
0 1 20 1 20 2 20
2 2 20 2 20 4 20
解
X p
易得X和Y的边缘分布律分别为：
0 1 4 1 1 4 2 2 4 Y p 1 2 5 0 1 5 2 2 5
3.4 条件分布与随机变量的独立性



e
dt
1 e 2
( x ).
pY ( y )
1 e 2
y2 2
( y ).
本节
上页
下页
3.3 连续型随机向量及分布
本章
上页
下页
3.4 条件分布与随机变量的独立性
1.离散型条件分布
2.连续型条件分布
3.随机变量的独立性
本章
上页
下页
3.4 条件分布与随机变量的独立性
( xi , yi )(i, j 1,2,), 且 P( X xi ,Y y j ) pij ,
则我们把它称为(X,Y)的联合分布列.
本节
上页
下页
3.2 离散型随机向量及分布
联合分布列:
X
Y
x1 xi

概率论第3章 随机向量及其分布


例3 一袋中有五件产品，其中两件次品，三件正品，
从袋中任意依次取出两件，分别采用有放回与不放回 两种方式进行抽样检查，规定随机变量
＝１0,,
第１次取出次品 第１次取出正品
＝１0,,
第２次取出次品 第２次取出正品
则(ξ,η)的联合分布律如下（并可求得边缘分布律）：
表１ 有放回抽样的分布律
设(X, Y)的联合分布律为P{X=xi , Y=yj}= pij (i,j=1,2, …) ，则(X, Y)关于X的边缘分布律有
PX xi PX xi ,Y



P X xi , (Y y j )

j 1



P ( X xi ,Y y j )
FX1,X2,L ,Xn x1, x2,L , xn P : X1() x1, X 2 () x2,L , X n () xn
I P : n Xi () xi

i 1

定理3.1.1 设,F, P为概率空间, 随机向量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数为FX1,X2,L ,Xn ,则
P 0, 1 P 0 P 1 0 2 3 3 5 4 10
P 1, 0 P 1 P 0 1 3 2 3 5 4 10
P 1, 1 P 1 P 1 1 3 2 3 5 4 10
定理3.1.2 设,F, P为概率空间, X1, X 2,L , X n
为其上的随机向量。
(1) 若X1, X 2,L
,
X
都为离散型随机变量，有分布列
n
P Xi aji ，j 1,2,L ，i 1,2,L ,n，

第三章 随机变量与随机向量

x
x0
（2） PX 1 1

1 x 1 1 e dx e 2 2
12

离散型随机变量的概率密度函数和分布函数
f ( x) pi ( x xi ) pi P X xi
K k 1 i 1 K
i 1, 2, K
F ( x) P X x piU ( x xi ) ( x) 0 x0 其它
f (x)
0.3 0.2
0.4
0.1
x
x1
x2
x3
F (x)
x4
1.0 0.6 0.5 0.2
x
x1
x2
x3
x4
14
三、 典型的概率密度函数
1、二项式分布 每次实验结果互不影响
进行n次独立实验，每次观察事件B是否出现， 设事件B出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p， n次独立实验中，事件B出现的次数K是随机的，则 K是二项式分布的随机变量。K=k的概率为
3、均匀分布 随机变量X，取值 x a, b 。若X在 a, b 范围内 各处出现的可能性相同，则称X在 a, b 均匀分布。
1 f ( x) b a 0 x a, b 其它
1 ba
f (x)
x
a
b
17

4、指数分布 指数分布随机变量X，其概率密度函数为
实验在相同的条件下进行
Pn (k ) C p q
k n k n nk
n! p k q nk k!(n k )!
n k 0
k f ( x) Pn (k ) ( x k ) Cn p k q n k ( x k ) k 0

概率论与数理统计第3章

22
y
(2)
{Y X } {( X ,Y ) G },
YX
G
O
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
x
f ( x , y ) d x d y
G


0
( 2 x y ) d x y 2e d y
1 . 3
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
(2)
p
i j
ij
1
二维离散型随机向量的联合分布函数为
xi x y j y
p
13
例1
一袋中装有2只白球 则( X , Y )的联合概率分布为 和3只黑球,进行有放 回取球 Y 0 1
X 0 1
1 第一次取出白球 X 0 第一次取出黑球 1 第二次取出白球 Y 0 第二次取出黑球
Y 的边缘概率密度.
25
3 x 3 e x0 边缘密度函数为 例6 求随机向量 (X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数， ( x) f X ( x ) FX x0 已知其联合分布函数为 0
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
9
三、边缘分布函数
( X , Y )为二维随机向量, 联合分布函数为F ( x, y)
X和Y分别也是随机变量 X , Y的分布函数分别记为 FX ( x)和FY ( y) FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } lim F ( x , y ) F ( x , )
4
二、联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) 是二维随机向量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P { X x , Y y } 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.

随机向量

但由边缘分布一般不能唯一确定联合分
布. 2） X , X ,, X ) ~ F ( x , x ,, x ) （ ( 1 2 n 1 2 n
Fi ( xi ) F (,, , xi , ,, ),
i 1, 2, , n
例3.1.1 设二维随机向量 X , Y 的联合分布 函数为
对于x,当y2 y1时，有F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
3 F ( x, y)关于变量 x 和 y 右连续。
o
即F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0),
4 0 F ( ,) xlim F ( x , y ) 1.
即 P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D

pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y}

xi x , y j y

pij
4、边缘概率分布
p P{ X xi } P{ X x ,Y } i
X i
P{ X xi ,Y y j } pij , i 1, 2,
F ( ,) x F ( x , y ) 0, lim
y
y
F ( , y ) lim F ( x , y ) 0,
x
y
x
o y
x
F ( x,) lim F ( x, y ) 0,
y
注：以上四条性质是分布函数的四条基本性质，也是判断一个 二元函数作为随机向量的分布函数的四个基本条件。
x, y
x
记作( X , Y ) ~ F ( x, y)

概率论-3.1 n维随机变量及其分布

n维随机变量 ( X1, X 2,L , X n ) 的分布函数定义为：
F(x1, x2,L xn ) PX1 x1, X2 x2,L , Xn xn
上式也称为随机变量 X1, X 2,L , X n 的联合分布函数。
为了叙述和学习上的方便，下面着重讨论二维随机
变量的分布函数及其性质。于是，二维随机变量(X, Y)的
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例：已知X和Y的联合分布律为
X Y
0
1
2
01 1 k 84
11
1
0
8 16
求：(1)k的值； (2)P(X Y ) .
解：(1)由性质可得：
1 8
1 4
k
1 8
1 16
0
1
即
k 7 16
(2) P(X Y ) PX 0,Y 0 PX 0,Y 1 PX 1,Y 1
.
11 1 5
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P( X
1,Y
0)
C31C51 C122
5 22
P( X
1, Y
1)
C31C41 C122
2 11
P( X
2,Y
0)
C32 C122
1 22
于是，X和Y的联合分布律 为：
2020年4月26日星期日
10
X Y 012
05 5 1 33 22 22
1 10 2 0 33 11
21 0 0 11
8 8 16 16
2020年4月26日星期日
11
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二维连续型随机变量
定义：如果存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实
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0
0
0.3087
0.01080 0.05400 0.06750
0
0
0
0.1323
0.00810 0.02025
0
0
0
0
0.02835
0.00243
0
0
0
0
0
0.00243
0.03125 0.15625 0.3125 0.3125 0.15625 0.03125
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§2 边缘分布
例 3（续） ⑵．在不放回场合下
例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
1
2
3
4
pi
1
1 4
0
0
0
1 4
2
1 8
1 8
0
0
1 4
3
1 12
1 12
1 12
0
1 4
4
1 16
1 16
1 16
1 16
1 4
p j
25 48
13 48
7 48
3 48
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例：
一批产品共50件，其中一等品占30%，二等品 占50%，三等品占20%．现从这批产品中每次 取出一件，共抽取5次．试在⑴．有放回场合， ⑵．不放回场合这两种情况下，分别计算取出 的5件产品中的一等品数与二等品数的联合分布 律及它们各自的边缘分布律．
1
0.0025 0.0212 0.0558 0.0537 0.0161
0 0.1493
2
0.0170 0.0956 0.1487 0.0644
0 0 0.3257
3
0.0488 0.1628 0.1140
0 0 0 0.3256
4
0.0597 0.0896
0 0 0 0 0.1493
5
0.0250 0 0 0 0 0
⒈ 考察某地区成年男子的 身体状况，令
X：该地区成年男子的身高； Y：该地区成年男子的体重．
则X， Y 就是一个二维随机变量 ．
⒉ 对一目标进行射击，令 ： X：弹着点与目标的水平距离；
Y：弹着点与目标的垂直距离；
则X， Y 就是一个二维随机变量 ． 返回主目录
§1 随机向量的分布
二维随机变量的例子 ⒊ 考察某地区的气候状况 ，令：
y y2
(x1 , y2)
(X, Y )
y1 (x1 , y1)
o x1
(x2 , y2)
(x2 , y1) x2 x
§1 随机向量的分布 说明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数（证明略）．
1) F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y , 当 x1< x2时， F(x1, y) F(x2, y); 对于任意固定的 x , 当 y1< y2时， F(x1, y) F(x2, y);
2) 0 F(x, y) 1, 且
对于任意固定的 Y , F(, y) 0;
n维随机变量的分布函数
设
X
，
1
X
，
2
，
Xn
是一个n维随机变量，则对于任
意一n维实数组x1， x2， ， xn ，
F x1， x2， ， xn
PX1 x1， X 2 x2， ， X n xn
我们称此函数为n维随机变量
X
，
1
X
，
2
，
Xn
的联合分布函数。简称 分布函数。
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§1 随机向量的分布
X(e)
e
Y(e)
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§1 随机向量的分布 注意事项
⑴ 二维随机变量也称为二 维随机向量；
⑵ 我们应把二维随机变量
X， Y X ， Y
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联 系的；
⑶ 在几何上，二维随机变 量 X， Y 可看
作平面上的随机点．
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§1 随机向量的分布
二维随机变量的例子
性质 1 ：
对任意的 i， j， i，j 1， 2，
有 pij P X xi， Y y j 0
性质 2 ：
pij 1
i，j
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§1 随机向量的分布
例1
将两个球等可能地放入 编号为1，2，3的三个盒子中．
令：X：放入 1号盒中的球数； Y：放入 2号盒中的球数．
试求 X， Y 的联合分布律．
8
PX 3， Y 1 0； PX 3， Y 3 1．
8
由此得随机变量 X， Y 的联合分布律为
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§1 随机向量的分布
例 2（续）
X Y
0
1
2
3
3
1
0
8
8
1
3
0
0
8
3
0
1 8
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边缘分布的定义
如果 X， Y 是一个二维随机变量， 则它的分量 X
或者Y 是一维随机变量，因此 ，分量 X 或者Y 也有分布．我们称 X 或者Y 的分布为 X 或者Y
若 i j 5，有 PX i， Y j 0
若i j 5，
有 PX i， Y j
C50 5
C15C25C10
i j 5i j
得X， Y 的联合分布律及 X、Y 的边缘分布律为
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例 3（续）
§2 边缘分布
Y X
0 1 2 3 4 5 p j
0
0.0001 0.0015 0.0059 0.0097 0.0064 0.0014 0.025
Fx， y pij xi x， y j y
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§1 随机向量的分布
二维连续型随机变量
对于二维随机变量 ( X,Y ) 分布函数 F (x , y )，如 果存在非负函数 f (x , y )，使得对于任意的 x，y有：
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv,
则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 f (x , y ) 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
次数之差的绝对值．
试求 X， Y 的联合分布律．
解：
X 的可能取值为 0，1，2，3；
Y 的可能取值为 1，3 ．
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§1 随机向量的分布
例 2（续）
PX 0， Y 1 0； PX 0， Y 3 1；
8
PX 1， Y 1 3； PX 1， Y 3 0；
8
PX 2， Y 1 3； PX 2， Y 3 0；
X：该地区的温度；
Y：该地区的湿度．
则X， Y 就是一个二维随机变量 ．
⒋ 考察某钢厂钢材的质量 ，令：
X：钢材的含碳量； Y：钢材的含硫量；
则X， Y 就是一个二维随机变量 ．
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§1 随机向量的分布
定义
设 X， Y 是一个二维随机变量， 则对于任意一对 实数 x， y，
Fx， y PX x， Y y
关于二维随机变量 X， Y 的边缘分布．
边缘分布也称为边沿分布或边际分布．
已知联合分布函数求边缘分布函数
设二维随机变量X， Y 的分布函数为Fx， y，则分量
X的分布函数为
FX x PX x PX x， Y lim Fx， y Fx，
y
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已知联合分布律求边缘分布律
§1 随机向量的分布
二维随机变量 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度
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§1 随机向量的分布
定义
设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 ={e}， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 上的随机变量。
由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。
二维离散型随机变量
若二维随机变量 X， Y 的取值是有限个或可列 无穷 个，则称 X， Y 为二维离散型随机变量 ． 设X， Y 二维离散型随机变量， X 的取值为
x1， x2， ， xi， Y 的取值为
y1， y2， ， y j，
则称 Pij P X xi ， Y y j i，j 1， 2，
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§1 随机向量的分布
按定义，概率密度 f (x , y ) 具有以下性质：
10 f (x, y) 0 ;
20
f (x, y)dxdy F(,) 1;
30 若f (x, y)在点(x, y)连续，则有 2F (x, y) f (x, y). xy
X 以及Y 的边缘分布律也可以由 下表表示
Y
X
y1
y2
…
yj
… pi
x1
p11
p12
…
p1 j
… p1
x2
p21
p22
…
p2 j
…
p2
xi
pi1
pi 2
… pij
… pi
p j
p1
p2
…
p j
…
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§1 随机向量的分布
例3
设随机变量 X 在 1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个 随机变量 Y 在1~X 中等可能地取一整数值。试求 ( X,Y ) 的联合分布律，与X及Y各自的边缘分布律。
解：
X 的可能取值为 0，1，2；
Y 的可能取值为 0，1，2．
PX
0， Y
0
1 32
1 9