5-6定积分的几何应用

1 ·复习 定积分的概念，微分的概念。 ·引入 前面我们讨论了定积分的概念及计算方法，在这个基础上进一步来研究它的应用。 ·讲解新课 第六节 定积分的几何应用 一、定积分的元素法 1 元素法 前面用定积分解决了曲边梯形面积及变速直线运动路程的计算问题，这两个例子为我们提供了利用定积分来计算一些几何量与物理量的一般

方法。现在以求连续曲线()yfx（()fx>0）为曲边、区间[,]ab为底的曲边梯形的面积为例来进行分析。容易知道，所求的量（面积）A与区间],[ba、及],[ba上的连续函数()fx有关，且这个量对区间具有可加性。

也就是说，当把],[ba分成许多小区间时，在[,]ab上的量A等于各个小区间上所对应的部分量iA之和（除面积具有可加性外，体积、弧长等对区间也具有可加性，但温度对区间没有可加性），求面积A所用的方法是： 第一步：分割：用任意一组分点把区间[,]ab分成长度为ix

（ni,...2,1）的n个小区间，相应的把曲边梯形分成n个窄的小曲边梯

形，第i个窄的小曲边梯形的面积设为iA，于是有1niiAA， 第二步：求近似：计算iA的近似值 ()iiiAfx （1iiixx，ni,...2,1）， 第三步：求和：得A的近似值

11()nniiiiiAAfx， 2

第四步：求极限：取max0ix时的极限，则得 01lim()()nbiiaiAfxfxdx



。

概括的说，这个方法是“分割求近似，求和取极限”，而其关键是分割后求出近似替代()iiiAfx。因为最后的被积表达式的形式就是在

这一步被确定的，这只要把近似式()iifx中的变量记号改变一下即可（即把i换成x；ix换成dx）。所以位了阐明这个近似替代的本质，我们在区间],[ba内任取一个小区间[,]xxdx，并略去下标i，在这个小区间上的对应的小曲边梯形（如图1）A可用图中带阴影的矩形的面积()fxdx近似替代，并可证明A与()fxdx之差，当0dxx时是x

的高阶无穷小，也就是说，()fxdx是A的线性主部，即图中曲边梯形的面积函数()Ax的微分：()()dAfxxfxdx。 把()fxdx作为被积表达式求从a到b的定积分，即得面积A： ()baAfxdx

。

通常把()dAfxdx称为面积微元或面积元素。 一般来说，一个对区间具有可加性且与区间],[ba上的一个连续函数()fx有关的待求量F，我们总可以采用“分割求近似，求和取极限”的 3

方法，通过定积分将此待求量F求出。方法是；在区间],[ba上任取一点x，设()Fx为待求量分布在区间[,]ax上的值，那么当x有增量x时，()Fx

就有增量F，我们只要把分布在小区间],[dxxx上的部分量F近似地表达为()fxdx，把它记作dF，即 dxxfdF)(， 那么以()fxdx作为被积表达式求从a到b的定积分，即得待求量 badxxfF)(。 这里的dxxfdF)(称为待求量F的微元，这种方法称为定积分的微元法。 2 关于微元法dxxfdF)(的说明

（1）()fxdx作为F的近似表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于x的高阶无穷小。即F-()fxdx=o（x），这样，称作微元的量()fxdx，实际上是所求量的微分dF。 （2）具体怎样求微元呢？这是问题的关键，这要分析实际问题的实际意义及数量关系，一般按照在局部],[dxxx上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元dxxfdF)(。 二、平面图形的面积 用微元法不难将下列图形面积表示成定积分.

（1）曲线)(xfy，)(xf≥0，,,bxax及Ox轴所围成图形 4

（如图1）的面积微元为()dAfxdx，面积为badxxfA)(。 xyOayfx=()

bxxdx+ xyOayfx=()bxxdx+ygx=()

图1 图2

（2）由上下两条曲线)(xfy，)(xgy（)(xf≥)(xg），及

,,bxax所围成的图形（如图2）的面积微元为 [()()]dAfxgxdx， 面积为 badxxgxfA)]()([。

xy

Oc

xy=()φxy=()ψydy+y

xyO11yx=2yx2=(,)11xxdx+ 图3 图4

（3）由左右两条曲线)(yx，()xy，及,ycyd所围成

图形（如图3），由于这时取y为积分变量，应取横条矩形为dA，因而微元为 dyyydA)]()([，面积为 dyyyAbc)]()([。 例1.求两条抛物线xy2，2xy所围成的图形的面积. 5

解：1）画出图形如图4，求曲线交点以确定积分区间： 解方程组xyxy22，得交点（0，0），（1，1）， 2）选择积分变量，写出面积微元，此题取竖条或横条作dA均可，习惯上取横条。即取x为积分变量，积分区间为[0，1]。于是

dxxxdA)(2. 3）将A表示成定积分，并计算： 、

所以 13123200211()333Axxdxxx.

例2.求224yxyx及所围成图形的面积。

xy

Oydy+y

-2

4

AB

yx4=-yx2=2 xyOa-a 图5 图6

解：如图5，取y为积分变量,求出交点坐标)2,2(A;)4,8(B，得积

分区间为[－2，4].于是dyyydA]21)4[(2.

所以4422322111[(4)]418226Ayydyyyy. 练习 求由曲线xy2和直线6,9,4yxx所围成的图形的 6

面积。（答案 143） 3 求有7ln,2ln,lnyyxy与0x所围成的图形的面积。（答案 222ln7ln2ln7）

例3.（补充）求星形线33cossinxatyat （a＞0，0≤t≤2π）所围成图形的面积. 解：如图6，取x为积分变量，由图形对称性得aydxA04 由定积分换元积分法得 032π102sin(3cossin)aAydxatattdt

π2462

03(sinsin)attdt

231π531π3()4226422a



23π32a，因此2

13π48a

AA.

（4）一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tyytxx (≤t≤)给出时，则曲边梯形面积为dttxtyA)()(。其中)(ty≥0，、分别是曲边起点与终点对应的参数值. 练习 求下列曲线所围成图形的面积.

（1）22,2xyxy与1y，（答案 32(1)42）

（2）3xy与xy，（答案 12） 3 计算曲线02,02,2xyxyxy所围成的图形的面积。（答案2ln2） 7

小结 定积分的微元法是本章的重点，又是难点，必须给以足够的重视，使学生会利用微元法求简单的平面图形的面积。 作业 P116 4 板书设计 一 元素法 1 2 二平面图形的面积 例1

例2 例3 练习 小结 作业 8

·复习 定积分的微元法，直角坐标系下的平面图形的面积的求法。 ·引入 某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便。 ·讲解新课 三 旋转体的体积 1 旋转体 旋转体就是一平面图形绕直线l旋转一周而成的几何体，其中直线l叫做旋转轴. 2 用元素法求旋转体的体积

（1） 求由曲线)(xfy、直线bxax,和x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转而成的旋转体的体积V，如图7。 1）取积分变量为x，积分区间为ba,.

2）在区间ba,上，任取一小区间dxxx,，与它对应的薄片体积近似于底面半径为)(xf，高为dx的小圆柱的体积，于是可得体积微元. 3）取微元的定积分，求出结果.即可得所求旋转体的体积。badVVdxxfba2)(π

xy

Oabyfx=()xdx+x xyOdcxy=()φ 图7 图8

（2） 求由曲线()xy、直线cy、dy和y轴围成的曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为（如图8） 2π()d

cVydy

。